Aste numeriche Montessori – Esercizi con le schede dei numeri e le aste. Ciò che rende interessante la serie delle aste numeriche non è soltanto il fatto del contare, ma le relazioni fra le differenti quantità. Per fissare bene questo quadro di fondamentale importanza, dobbiamo unire ad esse la conoscenza dei simboli numerici.
A tale scopo utilizziamo i numeri tattili (o cifre smerigliate). Come spiegato meglio qui si tratta di dieci cartellini lisci su ciascuno dei quali è incollata una cifra in carta vetrata: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Come spiegato meglio qui, i numeri tattili si fanno ripetutamente toccare nel senso della scrittura, mentre se ne dice il nome: uno, due, tre, ecc… In questo modo si imprime nella memoria del bambino la forma della cifra in relazione al suo nome, e contemporaneamente la mano si esercita a riprodurre il segno di ognuna, o a scriverla.
Insieme alle cifre smerigliate, nello stesso schedarietto, ci sono a corredo delle aste numeriche dieci cartellini coi numeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (puoi stamparle gratuitamente qui). Il fatto che a ciascun simbolo numerico si possa far corrispondere la quantità totale che esso rappresenta sotto forma di un unico oggetto (come il numero ne è l’unico segno), rende chiara e facile l’associazione fra simbolo numerico e quantità. Basta quindi collocare il numero vicino all’asta corrispondente (come mostrato negli esercizi che seguono) per memorizzarne rapidamente la relazione.
Dalla serie di aste, disposte in ordine, possono derivare attività di composizione, scomposizione, confronto. Possiamo dedicarci ad esercizi di spostamento e comparazione sia con l’intera serie sia con una parte, sia con le aste lunghe sia con quelle corte. Occorre però fare attenzione ad una cosa sola: tutte le combinazioni devono avvenire all’interno della decina, cioè non devono superare l’asta maggiore, perchè in questa fase potrebbe generare nel bambino complicazioni più che progressi.
Ogni volta che si uniscono aste differenti si esegue un’addizione, e ogni volta che tale somma viene scomposta si esegue una sottrazione. Per i bambini è molto interessante trovare due aste che unite formano la lunghezza di un’asta più lunga. Per esempio 4+3=7 che, riportate alle loro posizioni primitive danno 7-3=4 oppure 7-4=3.
Tra questi primi esercizi, uno dei più chiari consiste nel formare tutte le composizioni che danno dieci, collocando l’1 vicino al 9, il 2 vicino all’8 e c0sì via, costruendo cioè le seguenti addizioni: 9+1=10, 8+2=10, 7+3=10, 6+4=10. Questo esercizio mette di fronte a un limite: si possono ottenere quattro combinazioni soltanto. Oltre a queste quattro, avanzeranno sul tappeto solo l’asta intera del 10 e quella del 5.
Come Maria Montessori spiega nel suo trattato di Psicoaritmetica, l’uso di queste aste è molto interessante, non solo per i bambini.
Una delle caratteristiche essenziali e comuni a gran parte del materiale Montessori consiste infatti nella sua polivalenza. Per tale proprietà, un materiale (ad esempio le aste numeriche), pur conservando intatto il suo scopo primario, può essere ripreso a livelli diversi e riconsiderato sotto aspetti diversi dal bambino stesso. Uno stesso materiale, poi, può essere la base per considerazioni superiori da parte dell’adulto, privo di specifiche conoscenze metodologiche ed esperienze montessoriane: questo è il secondo aspetto del concetto di polivalenza.
Un adulto potrebbe notare, ad esempio, che le aste uguali sono in numero di 5, ossia la metà di 10 e in più c’è un’altra asta: quella del 5. Raggruppando tutte le aste risulta evidente che la somma delle unità rappresentate da tutte le aste è data da
10×5+5=55
cioè si è trovato un procedimento che facilita in modo davvero singolare il calcolo della somma di tutte le unità contenute nella serie.
A questo scopo, basta moltiplicare il numero maggiore per la sua metà, poi aggiungervi detta metà. E’ chiaro che questo ci permette di effettuare in modo rapido la somma della serie naturale dei numeri. Chiamando n un numero qualunque, la somma delle unità contenute nei numeri compresi tra 1 e n sarà:
cioè la formula algebrica che abbiamo esposto. Infatti, in una serie di numeri che aumentano di uno in uno, si possono comporre gruppi tutti uguali al maggiore con lo stesso procedimento, cioè collocando l’uno accanto al penultimo, il due accanto al terzultimo, il tre al quartultimo, ecc…
Lo stesso concetto può essere espresso anche dicendo ”la somma della serie naturale dei numeri interi è uguale alla semisomma fra il quadrato dell’ultimo numero e l’ultimo numero”
oppure dicendo “la somma della serie naturale dei numeri interi è uguale al prodotto della metà dell’ultimo numero aumentato di 1″.
Le due formule risultano uguali.
Questo esercizio, che è possibile dimostrare coi bambini più grandi, sempre utilizzando le aste numeriche, è denominato SOMME DA PROGRESSIONI ARITMETICHE (vedi qui). Questo esercizio, che consiste nel formare con due aste tutte le combinazioni del dieci, ricorda il compito assegnato dal maestro al piccolo Karl Friedrich Gauss: addizionare tutti i numeri interi da 1 a 100. Egli raggiunse il risultato applicando il metodo analitico:
- cominciò a scartare l’ultimo numero, cioè il 100, riservandosi di addizionarlo a parte alla fine, e cominciò a considerare i numeri da 1 a 99
- il primo numero della serie è 1, l’ultimo 99. Addizionando 1+99 si ottiene 100
- addizionando il secondo col penultimo avremo 2+98 = 100
- e così pure si ottiene 100 addizionando il terzo numero 3 all’antipenultimo 97, il 4 al 96, il 5 al 95 e così via fino a giungere a 49+51
- otteniamo cioè la somma 100 per 49 volte 100, ossia 4900.
- aggiungiamo poi 50, che è rimasto solo al centro, e abbiamo 4950
- aggiungiamo infine il 100 che avevamo accantonato all’inizio e arriviamo a 5050.
Questa è la somma dei primi cento numeri interi.
Il materiale delle aste rappresenta in modo chiaro e semplice la relazione esistente tra quantità numeriche successive, partendo dall’unità. Questo è un principio immutabile: chi cambia è l’uomo nel corso del suo sviluppo, deducendo da fatti identici conseguenze differenti.
Tutto questo dimostra come sia indispensabile servirsi di materiali semplici ed esatti, grazie ai quali l’intelligenza può svilupparsi e giungere a nuove scoperte.
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Esercizi con le aste numeriche – Materiale
1. le aste numeriche montessoriane;
2. cartelli grandi dei numeri da 1 a 10, oppure le schede dei numeri tattili da 1 a 10;
2. un grande tappeto (Maria Montessori consigliava il verde).
Scopo delle attività proposte:
associare i numeri da 1 a 10 alle relative quantità. Vedere le cifre da 1 a 10 in sequenza.
Età:
da 3 anni in su
Esercizio 1
Questo è un esercizio che può essere presentato a un gruppo di 3 o 4 bambini insieme.
Si dispongono le aste numeriche sul pavimento, disposte parallele tra di loro e col rosso sempre a sinistra, ma non in ordine di grandezza.
Anche le schede giganti dei numeri (o i numeri tattili) sono disposti non in ordine di grandezza, ma in file e dal verso giusto.
L’insegnante raccoglie un’asta, per esempio il “sei”, la mostra ai bambini e chiede: “Chi sa quanto vale questa?”.
Se un bambino risponde “Sei”, l’insegnante gli dirà: “Sì, puoi contare per vedere se è proprio il sei?”.
Quando il bambino ha contato i segmenti, l’insegnante chiede: “Chi mi può trovare il numero 6?”, e quando uno dei bambini ha trovato il numero tra le schede stampate, prende il numero e mostrando l’asta dice: “Si tratta del sei”, poi mostra il numero stampato e dice “Questo è il nostro modo di scrivere 6, e adesso possiamo metterli insieme”.
Quindi pone l’asta sul tappeto e posa la scheda del numero sul sesto segmento dell’asta.
L’esercizio continua in questo modo finchè ogni asta con la sua scheda del numero stampato non si troverà sul tappeto.
Esercizio 2
Questo esercizio può essere presentato il giorno successivo al primo esercizio.
L’insegnante mostra la scheda gigante di un numero (o il numero tattile), e i bambini devono trovare la quantità corrispondente, scegliendo l’asta numerica giusta.
Poi asta e numero vengono posti sul tappeto.
Esercizio 3
Questo è un esercizio individuale.
Si dispongono sul tappeto , in alto, le aste numeriche non in sequenza, e le schede grandi dei numeri in basso a destra.
L’insegnante chiede al bambino di trovare l’asta del numero 1, il bambino gliela porge e lei la mette sul tappeto in basso a sinistra. Poi chiede al bambino di trovare anche la scheda del numero 1, il bambino gliela porge e lei gli mostra come appoggiarla all’asta.
Si passa quindi al 2, al 3 ecc… rispettando l’ordine crescente della numerazione.
L’insegnante deve mostrare bene come posizionare le aste sul tappeto (col segmento rosso sempre a sinistra e ben allineate) e come mettere le schede (sempre sull’ultimo segmento di ogni asta.
Quando il bambino ha compreso l’esercizio, può essere lasciato da solo per continuarlo.
Quando l’esercizio è terminato, i numeri scritti appaiono in sequenza corretta da sinistra a destra.
Esercizio 4
Questo esercizio aiuta i bambini ad associare quantità e numeri. Al termine dell’esercizio, avremo le aste numeriche sistemate in ordine sparso sul tappeto, e ognuna sarà associata ad una carta posizionata alla propria destra. Le aste non si toccheranno l’una con l’altra. Bisogna notare che la carta del numero 10 è più larga delle carte dei numeri formati da una sola cifra.
1. l’insegnante invita il bambino ad unirsi a lei nell’esercizio,
2. il bambino prepara il tappeto sul pavimento
3. e l’insegnante porta al tappeto le carte dei numeri e le mostra al bambino,
4. facendogli notare che la carta del numero 10 è più larga delle altre.
5. L’insegnante chiede al bambino di andare a prendere dallo scaffale l’asta numerica più lunga della serie
6. e il bambino la posiziona con la parte rossa a sinistra.
7. L’insegnante consegna al bambino una carta dei numeri presa a caso e gli chiede di andare allo scaffale a prendere l’asta numerica corrispondente. Chiede al bambino di identificare il numero sulla carta, prima che lui vada allo scaffale.
8. Quand0 il bambino ritorna, l’insegnante gli chiede: “Quale asta hai preso?”,
9. e lo invita a contare i segmenti dell’asta che ha scelto.
10. Se il bambino ha commesso un errore, contando i segmenti se ne renderà conto da solo, e andrà allo scaffale a prendere l’asta giusta, quindi di nuovo l’insegnante gli chiederà che asta ha preso, e il bambino di nuovo conterà i segmenti dell’asta scelta, quindi l’asta verrà messa sul tappeto.
11. L’insegnante chiede poi al bambino di posizionare la carta del numero sull’ultimo segmento a destra dell’asta in questione.
12. L’insegnante consegna poi al bambino un po’ di altre carte dei numeri, e il bambino prosegue da solo l’esercizio.
Esercizio 5
1. Si mettono tutte le aste numeriche su un tappeto, e tutte le carte dei numeri su un altro.
2. Si riuniscono due o tre bambini, quindi si mostra ad ogni bambino una carta e la si posiziona sul tappeto.
3. I bambini vanno a prendere l’asta corrispondente alla loro carta.
4. Chiediamo ad ogni bambino: “Che cosa hai portato per la tua scheda?” Ogni bambino dice il numero e poi conta i segmenti dell’asta scelta. In questo esercizio dunque i bambini prima leggono il numero, poi contano i segmenti.
5. ogni bambino posiziona sul tappeto la sua asta e la carta relativa.
6. Si può anche provare, in alternativa a questo esercizio, a partire dando ad ogni bambino un’asta e chiedendo di trovare la carta corrispondente. In questo caso, il bambino prima conterà i segmenti, poi leggerà il numero sulla scheda.
Esercizio 6
Lo scopo di questo esercizio è che il bambino posizioni le aste sul tappeto in ordine crescente e quindi posizioni le carte corrispondenti sull’ultimo segmento a destra di ogni asta.
1. L’insegnante invita il bambino a posizionare sul tappeto le aste numeriche in ordine crescente
2. poi gli consegna una carta presa a caso e gli chiede di posizionarla sull’ultimo segmento a destra dell’asta corrispondente.
3. L’insegnante consegna poi tutte le rimanenti carte e il bambino prosegue da solo l’esercizio.
Questo esercizio è molto importante, perchè permette all’insegnante di essere sicura che il bambino ha davvero compreso i concetti di quantità e il valore delle cifre scritte.
Esercizio 7
Disporre sul pavimento tre tappeti in linea orizzontale ed organizzarli così: nel tappeto a sinistra mettere le aste numeriche in ordine crescente; lasciare libero il tappeto centrale; mettere le carte dei numeri sul tappeto a destra.
2. Dare al bambino una carta (o un’asta) e chiedergli di prendere l’asta (o la carta) che gli corrisponde.
Trovi qui gli esercizi preliminari con le aste numeriche: Esercizi con le aste numeriche,
e qui il tutorial per realizzarle in proprio: Costruire le aste numeriche
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