Lo scaffale delle perle colorate Montessori: presentazione generale

Lo scaffale delle perle colorate Montessori: presentazione generale. Uno dei modi per raggruppare i numeri consiste nel ripeterli tante volte per quante sono le unità che li compongono; in tal modo si forma un quadrato, come già visto col materiale del sistema decimale (perle dorate): 1 x 1 – 2 x 2 – 3 x 3 – 4 x 4 – 5 x 5 – 6 x 6 – 7 x 7 – 8 x 8 – 9 x 9 – 10 x 10.

Ciascuno di tali prodotti, ripetuto altrettante volte, dà un secondo gruppo di risultati:  i cubi dei numeri: 1 x 1 x 1 – 2 x 2 x 2 – 3 x 3 x 3 – 4 x 4 x 4 – 5 x 5 x 5 – 6 x 6 x 6 –  7 x 7 x 7 – 8 x 8 x 8 – 9 x 9 x 9 – 10 x 10 x 10.

Nel sistema decimale abbiamo già usato il quadrato formato da 10 x 10 =  100 e il cubo formato da 100 x 10 = 1000 perle:

Tanto i nomi (quadrato e cubo) quanto la forma impiegata per rappresentare questi due raggruppamenti ci permettono di considerare i numeri da un punto di vista geometrico. Quadrato e cubo sono i nomi attribuiti rispettivamente alla seconda e alla terza potenza di un numero.

Ogni numero si può considerare alla prima potenza:

ripetuto per se stesso si dice che è stato elevato alla seconda potenza (quadrato) e si indica con  un piccolo 2 (esponente) collocato in alto e a destra del numero primitivo (base): 1 x 1 = 1²  = 1 / 2 x 2 =  2² = 4 / 3 x 3 = 3²  = 9 / 4 x 4 =  4² = 16 / 5 x 5 = 5²  = 25 / 6 x 6 =  6² = 36 / 7 x 7 = 7²  = 49 / 8 x 8 =  8² = 64 / 9 x 9 =  9² = 81 / 10 x 10 = 10²  = 100

Cubo di un numero si dice quello elevato alla terza potenza: lo si indica con  un piccolo 3 collocato come per il quadrato: 1 x 1 x 1 = 1³  = 1 / 2 x 2 x 2 = 2³  = 8 / 3 x 3 x 3 = 3³  = 27 / 4 x 4 x 4 = 4³  = 64 / 5 x 5 x 5 = 5³ = 125 / 6 x 6 x 6 = 6³ = 216 / 7 x 7 x 7 =  7³ = 343 / 8 x 8 x 8 = 8³  = 512 / 9 x 9 x 9 = 9³  = 729 / 10 x 10 x 10 =  10³ = 1000

Fra le perle esiste un materiale che rappresenta in quantità reali, oltre le basi, le serie dei quadrati e dei cubi dei numeri da 1 a 10. Ogni numero conserva, dalla prima alla terza potenza, lo stesso colore dei bastoncini di perle usati, per la prima volta, nel Serpente per la ricerca del 10 e nella numerazione dal 11 a 19.

Per ciascuno dei dieci numeri esiste:
– il bastoncino che lo rappresenta (prima potenza);
– tanti quadrati del numero quante sono le unità costituenti la base (seconda potenza),
– un cubo formato di tanti quadrati quante sono le unità costituenti la base (terza potenza);
– una catena fatta di tante perle quante sono quelle del quadrato, in cui risultano distinti i diversi bastoncini costituenti il quadrato
– una catena corrispondente al cubo: in essa si distinguono le catene dei quadrati e, nell’ambito di queste ultime, i bastoncini rappresentanti le basi.

Questo materiale permette di studiare separatamente i numeri nella loro prima, seconda e terza potenza, e di operare le comparazioni ad essi relative.

La rappresentazione in forma di quadrato rigido, in cui le perle risultano fissate tra loro, permette tanto la sovrapposizione dei diversi quadrati, quanto altri vari accostamenti, adatti a far rilevare le relazioni fra le dimensioni dei quadrati stessi, nonché i rapporti numerici fra esse:

Confrontando nello stesso modo i cubi rigidi e le corrispondenti catene lunghe, forme geometriche relative alla terza potenza, si osserva la grande differenza che passa fra il quadrato e il cubo di uno stesso numero. In tal modo si ha l’impressione sensoriale delle lunghezze relative al quadrato e al cubo dei numeri, e della loro progressione.

Confrontando i quadrati rigidi e i  cubi, si vede come, partendo da ciascun quadrato, si sviluppa la terza dimensione.
Ogni cubo è sovrapponibile al rispettivo quadrato e viceversa, ma la differenza fra quadrato e cubo risiede nella terza dimensione. Il fatto che per ogni numero si disponga di quadrati separati in quantità sufficiente per poter formare il cubo, permette la quasi totale scomposizione del cubo rigido. Infatti, sebbene esso non sia in sè modificabile, i quadrati separati lo possono rappresentare come scomposto nelle parti che lo hanno formato e dar luogo a calcoli e verifiche.
Il numero di perle che costituisce ciascun cubo è uguale a quello di cui è formato il quadrato ripetuto tante volte quante sono le unità del bastoncino-base da cui  il quadrato ha origine.

Prendiamo ad esempio il numero 2:
2 x 2 = 4 = il quadrato
4 x 2 = 8 = il cubo.

Prendiamo ora ad esempio il numero 5:
5 x 5 = 25 = il quadrato
25 x 5 = 125 = il cubo.
I tre numeri fra loro uguali 5 x 5 x 5 rappresentano effettivamente il numero delle perle che si possono contare nei tre spigoli uscenti da uno stesso vertice del cubo, ossia nei due lati consecutivi del quadrato e, dal vertice comune, nello spigolo costituente la terza dimensione. Che 5 x 5 x 5 indichi il cubo di 5 e che si possa rappresentare così:

è cosa evidente.

La geometria acquista così un substrato numerico rendendo, nello stesso tempo, più chiaro il concetto del valore del cubo.
Se si collocano i vari cubi di perle l’uno sull’altro, in modo che i loro centri si trovino su di una stessa verticale, si ottiene una costruzione simile a quella realizzata dai bambini piccoli quando costruivano la Torre Rosa.
Ma ancora: entrambe le torri, quella di perle e quella rosa, si possono mettere in relazione ponendo un fatto aritmetico di fronte a uno geometrico, e come correlazione fra numeri e grandezze.
Tutti i cubi della Torre Rosa, dal maggiore al minore, hanno uno spigolo che, misurato in centimetri, è rispettivamente: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1.

Così possiamo conoscere quanti centimetri quadrati misuri una faccia di ogni cubo di legno. Ciascuna di esse misura rispettivamente cm²: 10² = 100 / 9² = 100 / 8² = 100 / 7² = 100 / 6² = 100 / 5² = 100 / 4² = 100 / 3² = 100 / 2² = 100 / 1² = 100

Nello stesso modo si può accertare il volume di ciascun cubo, rispettivamente di cm³: 10³ = 100 / 9³ = 100 / 8³ = 100 / 7³ = 100 / 6³ = 100 / 5³ = 100 / 4³ = 100 / 3³ = 100 / 2³ = 100 / 1³ = 100.

Pertanto, il cubo maggiore è uguale a 1000 volte il piccolo cubo che si trova alla sommità della torre e che rappresenta l’unità del sistema.

Una delle svariate attività con le catene consiste nel contarle o numerando le unità a una a una o numerando per gruppi di unità.

Tali catene di perle dai colori così brillanti esercitano sui bambini un fascino straordinario, suscitando in essi un’attività instancabile di conteggio. Sono particolarmente interessati dalla catena del 1000, la più lunga: si vedono i bambini contare le perle a una a una fino alla fine. Siccome tale lavoro è faticoso e i bambini non possono portarlo a termine in una sola giornata, vi ritornano il giorno dopo, continuando l’operazione da dove l’avevano interrotta.

Anche il contare per gruppi è un lavoro interessante: la cosa più semplice consiste nel contare per gruppi la catena del 1000, e tale numerazione ci ricorda le attività con il sistema decimale: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000.

Il contare per gruppi si trasforma in esercizio di memorizzazione quando si lavora alle altre catene.

Esiste, in relazione alle catene, un materiale di piccole frecce di cartoncino dello stesso colore delle perle.

pdf qui: frecce per contare le perle colorate Montessori per stampante bianco/nero 

pdf qui: frecce per contare le perle colorate Montessori (per stampante a colori)

Le frecce si possono collocare in corrispondenza di ciascuna perla del primo bastoncino e poi della perla che conclude ogni bastoncino.

Il fatto che le catene siano snodate (risultano rigidi soltanto i bastoncini – base), rende possibile ripiegarle in modo da formare un quadrato, o anche con la catena del cubo una serie di tanti quadrati quante sono le unità costituenti la base.

Tali raggruppamenti e verifiche danno luogo ad attività di numerazione progressiva e a nuove memorizzazioni. Per esempio, partendo da zero, numerare per 3 fino al cubo: 0 3 6 9 12…27; poi numerare per 4, per 5 e così via.

Lo stesso incremento della quantità dei numeri che si rileva contando per gruppi fino al cubo di ciascun numero, concorre a formare il concetto di “potenza” di un numero. La potenza più lontana si raggiunge con uno sforzo più grande. Con questo tipo di numerazioni il bambino ha inoltre un primo concetto di multiplo di un numero.

Bisogna far comprendere al bambino la costruzione creata artificialmente dall’uomo attorno ai numeri. I numeri sottostanno a una regola comune che consiste nell’obbedienza alla legge propria del gruppo. Ogni numero risulta formato di singole unità, ad esempio il 4 è formato da quattro elementi. Dal momento stesso in cui gli elementi si organizzano in gruppo, obbediscono alle sue leggi. Così, in ciascun gruppo (linea – bastoncino) è presente, in misura diversa, il cittadino comune che è l’unità, il gradino iniziale necessario alla formazione delle successive classi sociali. E il cittadino comune è l’espressione della potenza zero di ogni numero.
Il secondo rango di nobiltà è dato dal ripetersi del bastoncino tante volte quante sono le unità del gruppo: la seconda potenza del 4 sarà il quadrato del 4.
Il terzo rango risulta formato di 4 volte il secondo rango: otteniamo il cubo del 4, che è possibile con la dignità propria del re.
Ma ci sono differenti nazioni, e quindi differenti re: è evidente che il re di un piccolo Stato è re allo stesso modo di quelli di nazioni più importanti. Infatti, la terza potenza è sempre un cubo. Nel primo caso la nazione è minuscola (l’unità è il re), nell’ultimo caso la nazione è grande (dieci).
A qualsiasi nazione il re appartenga, deve comunque uniformarsi alla legge del paese, che è poi la legge del gruppo.
E’ il primo rango di nobiltà ciò che caratterizza il gruppo e che dà, nel contempo, la legge. Cosicché tutte le potenze zero sono punti (perle sciolte), tutte le prime potenze sono linee (bastoncini), tutte le seconde potenze sono quadrati e infine tutte le terze potenze sono cubi.
Questo ritmo nella successione geometrica è comune a tutti quanti i numeri.

Con questo tipo di numerazioni  il bambino ha un primo concetto di multiplo di un numero.
Un ulteriore collegamento visibile fra aritmetica e geometria si può realizzare costruendo opportunamente, tanto con le catene corte quanto con quelle lunghe, svariate forme geometriche. Per esempio, con la catena corta del 9 si costruiscono ennagono e triangoli regolari, con quella lunga del 6 si  costruiscono sette poligoni regolari (di 36 lati, di 18 lati, dodecagono, ennagono, esagono, quadrato, triangolo). Queste esperienze, a livello più avanzato, si ricollegano allo studio dei multipli.

Nel web:
http://baandek.org/posts/montessori-bead-chain/
http://home-basededucationalservices.blogspot.it/2011/04/1st-grader-and-3rd-grader.html
http://themoveablealphabet.blogspot.it/2009/03/math-math-math.html
http://teachingfromatacklebox.blogspot.it/2013/01/montessori-short-and-long-bead-chains.html
http://www.montessorialbum.com/montessori/index.php?title=Short_Chains
http://www.montessorialbum.com/montessori/index.php?title=Bead_Stair

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BIBLIOGRAFIA E LINK UTILI

Maria Montessori – L’autoeducazione nelle scuole elementari – Garzanti

Maria Montessori – Il metodo della pedagogia scientifica applicato all’educazione infantile nelle case dei bambini. Edizione critica – Edizioni Opera Nazionale Montessori

Maria Montessori – Psicoaritmetica – Edizioni Opera Nazionale Montessori

Maria Montessori – Psicogeometria – Edizioni Opera Nazionale Montessori