Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione. Presentazioni ed esercizi per bambini della scuola primaria.
La memorizzazione della divisione è la sintesi delle quattro operazioni. Per questo motivo, il bambino giunge a lavorare con la tavola forata della divisione dopo aver svolto una grande quantità di esercizi con le altre operazioni. E’ soprattutto importante che il bambino sappia lavorare con la moltiplicazione molto bene prima di passare alla divisione.
Naturalmente il bambino ha già incontrato la divisione con altri materiali e ha già avuto modo di conoscere vari casi di divisione: divisioni di ripartizione, divisioni di contenenza, divisioni con un divisore a una cifra o a due cifre.  Per poter proseguire nello studio della divisione, ad un certo punto deve imparare a memoria alcune combinazioni di divisioni.

Premessa

Gli esercizi collettivi ed i giochi organizzati con le perle dorate danno al bambino una prima rappresentazione materiale della funzione della divisione. Queste attività introduttive vengono poi sostituite con esercizi paralleli svolti con un altro tipo di materiale. Questo materiale si presta all’attività individuale e prepara all’esecuzione dell’operazione scritta. Si tratta di:
memorizzazione della divisione:
1. attività con la Tavola Forata
2. le tavole della Divisione
divisione di grandi numeri:
1. struttura dell’operazione (tavole di distribuzione, borsa del quoziente)
2. la grande divisione col divisore di una cifra: (analisi della distribuzione e esecuzione col materiale)
la grande divisione col divisore di due o più cifre
la prova della divisione
calcolo e scrittura della divisione.

Nella pratica della scuola, la divisione coi numeri interi viene esaminata a diversi livelli:
sistema decimale: funzione della divisione per partizione: dividendo di più cifre e divisore di una o più cifre (gioco del decurione, ecc…)
gioco dei francobolli: passaggio all’astrazione ed esecuzione dell’operazione, tanto della divisione per partizione quanto della divisione per contenenza; dividendo di più cifre e divisore di una o più cifre; anche divisore con la presenza della cifra zero (203, 230)
memorizzazione: conoscenza delle combinazioni necessarie e sufficienti; massimo dividendo è 81 e massimo divisore è 9
divisione col materiale gerarchico: ulteriore passaggio all’astrazione; dividendo di più cifre e divisore di una cifra (piccola divisione o divisione corta) o di più cifre (grande divisione o divisione lunga).

Le divisioni di piccoli numeri (numeri compresi tra 1 e 81) per una cifra (divisore compreso nel limite delle 9 unità semplici), costituiscono il primo degli esercizi paralleli della divisione, accessibile anche ai bambini piccoli.

Per la prima presentazione si usa una tavola forata simile alla Tavola della Moltiplicazione, ma munita di 81 fori invece di 100 (la massima divisione da memorizzare è 81:9=9). Abbiamo inoltre 81 perle verdi (per il dividendo) e una serie di 9 birillini verdi (per il divisore).

La tavola è accompagnata dai Moduli della Divisione, dei foglietti che portano il titolo “Divisione”, e che sono suddivisi in quattro colonne corrispondenti a dividendo, divisore, quoziente e resto. Orizzontalmente il modulo è suddiviso in nove righe: tante quante il numero massimo di divisioni possibili dove il dividendo è nel limite di 81 e divisore e quoziente non superano il 9.

pdf qui: Google drive

Una seconda versione di questi moduli prevede nella seconda colonna l’elenco in ordine decrescente di tutti i divisori possibili (da 9 a 1).

pdf qui: Google drive

La differenza tra le due versioni di moduli risiede nel fatto che con la prima il bambino costruisce le divisioni e si arresta su quella il cui quoziente sarà maggiore di 9. Con la seconda il bambino compila le parti mancanti solamene di quelle divisioni il cui quoziente non supera il 9, mentre cancella quelle che non sono utilizzabili per il suo lavoro.

Ogni bambino dispone di 81 moduli, raccolti in una busta.

Si comincia prendendo in considerazione le 81 perle verdi nella loro scatola e i 9 birillini che si dispongono lungo la striscia verde che in alto limita la tavola. Spiegheremo ai bambini che ogni birillo deve ricevere la stessa quantità di perle.

L’operazione inizia assegnando una perla a ciascun birillo e, conclusa una prima distribuzione, si continuerà fino all’esaurimento del dividendo.

Poi si conta il numero delle righe di 9 perle ciascuna che si sono potute organizzare: ce lo indicherà anche il corrispondente numero, scritto sulla colonna a sinistra della tavola.

Il bambino, sul modulo, sotto la parola dividendo scriverà 81, sotto la parola divisore 9, sotto quoziente ancora 9 e sotto resto 0. I termini dell’operazione, ogni volta che ci si imbatte in una divisione esatta, vengono evidenziati sottolineandoli con un colore brillante.

Dopo aver dato al bambino l’indicazione che  nessun quoziente e nessun divisore possono essere maggiori di 9, e che nessun resto può essere maggiore o uguale al divisore. Così, dopo aver completato la tavola, il bambino si accerta che con 81 perle non può organizzare nessun’altra divisione.

Rimuoviamo una perla, riducendo il dividendo a 80, e ripetiamo la distribuzione.

Il bambino calcola che 80:9 è uguale a 8, ma gli rimangono 8 perle. Scrive sul modulo. A questo punto rimuove un birillino, riducendo così a 8 il divisore.

Ripetendo la distribuzione scopre che, nonostante abbia dato 9 perle ad ognuno degli 8 birillini, gliene rimangono ancora 8, che è una quantità di perle uguale al divisore. Per questo non si può, con 80 perle, procedere oltre.

L’esercizio riprende, rimuovendo una perla (ora sono 79), ma ricollocando al suo posto il nono birillino. E così via.

Il procedimento seguito si può così riassumere:
– partendo da un dividendo di 81 perle, suddividerlo successivamente per tutti i divisori possibili da 9 a 1, al fine di ottenere quozienti non superiori a 9
– poi, togliere una perla e suddividere il nuovo dividendo come sopra
– procedere così togliendo sempre una perla e suddividendo tutti i nuovi dividendi per tutti i divisori da 9 a 1.

A conclusione dell’esplorazione, il bambino avrà organizzato moltissime divisioni, delle quali è necessario memorizzare soltanto quelle esatte (che saranno in totale 81).

Ogni volta il bambino scrive sui moduli come già spiegato, ma tenendo presente che per ogni nuovo dividendo si usa un nuovo modulo.

Sempre riguardo ai moduli, usando quelli presentati come seconda versione si hanno tre casi:
– il modulo risulta riempito completamente: col dividendo 9 ed è l’unico caso (da 9:9 a 9:1)
– il modulo risulta riempito soltanto nella parte superiore: cioè là dove i divisori sono alti; per esempio col dividendo 56 (da 56:9 a 56:6)
– il modulo risulta riempito soltanto nella parte inferiore: cioè là dove i divisori sono bassi; per esempio col dividendo 5 (da 5:5 a 5:1)

Usando invece i moduli nella prima versione, il bambino, per ogni dividendo, prende in considerazione soltanto i possibili divisori. E, per questo, è la versione di moduli che si preferisce utilizzare.

Tutti gli altri esercizi che derivano da questa presentazione si sviluppano su punti di coscienza successivi da porre all’attenzione del bambino:
– dalle sole divisioni esatte o complete, alla divisione come operazione inversa della moltiplicazione
– dai divisori possibili di un numero fino al concetto di divisibilità.

L’età per questo genere di attività si situa intorno ai 6 anni.

___________________________

Presentazione 1 – Ricerca dei dividendi

Materiali:
– una tavola simile a quella per la moltiplicazione, che presenta una riga verde orizzontale lungo il margine superiore, con stampati i numeri da 1 a 9 per i divisori; i numeri da 1 a 9 stampati in colonna lungo il margine sinistro per i quozienti; 81 fori che rappresentano il dividendo massimo, cioè 81
– nove birilli verdi che rappresentano il divisore
– 81 perle verdi da mettere nei fori, che rappresentano il dividendo
– cartellini delle divisioni da svolgere (o cartellini bianchi e penna nera).

pdf qui: Google drive

Presentazione:
– mettiamo la tavola al centro del piano di lavoro ed esaminiamola col bambino
– indichiamo i fori lungo il margine superiore che servono per i birilli. I birilli rappresentano il divisore
– indichiamo i fori più piccoli sulla tavola. Metteremo le perle verdi in questi fori per rappresentare il dividendo
– scegliamo una divisione tra i cartellini delle divisioni pronte, oppure scriviamola su un cartellino bianco, ad esempio: 12:4


– il bambino copia la divisione sul suo quaderno
– contiamo le 12 perle verdi che rappresentano il dividendo
– mettiamo 4 birilli lungo il margine superiore della tavola e ricordiamo che i birilli rappresentano il divisore


– distribuiamo le 12 perle procedendo sempre da sinistra a destra sotto ai quattro birilli. Diamo una perla ad ogni birillo e chiediamo: “Ogni birillo ha la stessa quantità di perle?”

– poi distribuiamo la seconda fila di perle

– e continuiamo in questo modo finché tutte le perle non saranno distribuite equamente sotto ad ogni birillo


– chiediamo di nuovo: “Ogni birillo ha la stessa quantità di perle?”
– il bambino risponde sì, dicendo che ogni birillo ha 3 perle. Il numero di perle che riceve un birillo è la risposta.
– il bambino registra il quoziente sul quaderno.

Scopo:
– sviluppo della capacità di concentrazione, coordinazione, senso di indipendenza e senso dell’ordine
– memorizzare le divisioni

Età:
– dai 6 ai 7 anni.

__________________________
Presentazione 2

Materiale:
– tavola forata per la divisione
– moduli per la divisione.

Presentazione:
– esaminiamo col bambino i moduli. Indichiamo l’intestazione, su cui è scritta la parola ‘divisione’ e le intestazioni delle quattro colonne: dividendo, divisore, quoziente, resto. Facciamo notare al bambino che ci sono nove caselle per ogni colonna, perchè per alcuni dividendi troveremo nove diverse divisioni, mentre per altri dividendi il numero di divisioni possibili sarà inferiore
– partiamo dal dividendo 81. Prendiamo la scatola con le 81 perle verdi e spieghiamo al bambino che vogliamo distribuire tutte le 81 perle tra i 9 birilli. Scriviamo il numero 81 nella colonna dividendo e  9 nella colonna divisore sul modulo
– distribuiamo le 81 perle sulla tavola procedendo sempre da sinistra a destra per completare le file e scendendo poi alla fila successiva
– quando la distribuzione è completata, mostriamo che la scatola delle perle è vuota
– indichiamo che 9 è il quoziente, perchè ci sono 9 perle per ogni singolo birillo
– scriviamo 9 nella colonna quoziente
– facciamo nuovamente notare al bambino che dopo aver completato la distribuzione non sono avanzate perle nella scatola, quindi non c’è resto
– poichè non c’è resto, questa è una divisione molto importante, e per questo la possiamo sottolineare in rosso sul modulo

– diciamo al bambino: “Per usare la tavola forata della divisione ci sono due importanti regole. La prima regola è che il quoziente non può essere più grande di 9. La seconda regola è che il resto non può essere uguale o maggiore del divisore”
– chiediamo al bambino se è possibile distribuire 81 perle tra 8 birilli
– rimuoviamo dalla tavola il nono birillo e tutte le perle che si trovavano sotto di esso
– mettiamo le perle avanzate nella scatola, poichè non c’è altro spazio sotto al primo birillo quindi non si può iniziare una nuova distribuzione

– facciamo notare al bambino che non possiamo distribuire le 81 perle tra 8 birilli perchè il quoziente massimo non può essere più grande di 9. Non possiamo fare nulla con le nove perle avanzate, che sono in numero maggiore del divisore, che è 8
– ora cambiamo dividendo: 80. Prendiamo un nuovo modulo e scriviamo 80
– togliamo tutto il materiale dalla tavola forata
– rimettiamo sulla tavola 9 birilli e diciamo al bambino che ora divideremo 80 per 9
– registriamo sul modulo il dividendo 80 e il divisore 9
– distribuiamo le 80 perle nelle 9 colonne
– ci sono soltanto 8 perle sotto all’ultimo birillo, così dovremo necessariamente togliere una perla da ognuno degli altri birilli
– facciamo notare al bambino che il quoziente è 8 e registriamolo sul modulo nella colonna quoziente
– facciamo notare al bambino che ci sono 8 perle nella scatola, e diciamo che questo 8 è il resto
– registriamo il resto sul modulo nella colonna resto
– facciamo notare che le 8 perle di resto potrebbero essere distribuite, ma se lo facessimo supereremmo il quoziente massimo, che deve essere 9 (infatti 80:8= 10)
– cambiamo dividendo: 79


– togliamo tutte le perle dalla tavola forata e lavoriamo con 79 perle. Prendiamo un nuovo modulo e procediamo come abbiamo fatto per gli altri dividendi.

Note:
– dopo aver dato queste indicazioni, il bambino continua a lavorare col materiale e gli altri dividendi, registrando sempre il suo lavoro. Spieghiamo che siamo interessati in modo particolare a quelle divisioni dove non c’è resto. Sottolineiamo di rosso le divisioni senza resto, perchè sono quelle che dobbiamo memorizzare. Quando il bambino passerà ad utilizzare gli altri materiali previsti per la memorizzazione delle divisioni, queste divisioni che ha sottolineato come lavoro preliminare saranno le sole che avrà bisogno di conoscere, mentre le altre non appariranno. Degli 81 dividendi, solo 36 saranno memorizzati. Questo processo comporta una grande mole di lavoro per il bambino, e difficilmente vorrà compierlo completamente. Non è necessario che lavori con tutti i dividendi, è necessario che il bambino comprenda il procedimento che serve ad arrivare al libretto delle divisioni.

Scopo:
– sviluppare concentrazione, coordinazione, senso di indipendenza e dell’ordine
– memorizzare le divisioni.

Età:
dai 7 agli 8 anni.

_______________________
Presentazione 3

Materiale:
– tavola forata per la divisione
– libretto delle divisioni
– tavola I della divisione.

pdf qui: libretto delle divisioni per la tavola forata

Presentazione:
– esaminiamo il libretto, notando che c’è una pagina per ogni dividendo e ogni dividendo è diviso per numeri da 9 a 1
– scegliamo il dividendo 5
– stabiliamo il dividendo contando 5 perle

– leggiamo la prima divisione: 5:5=. Mettiamo i 5 birilli che rappresentano il divisore lungo la striscia verde in alto
– distribuiamo le perle equamente tra i birilli. Il quoziente è 1 perchè sotto a ogni birillo c’è una perla
– registriamo il quoziente sul libretto: 5:5=1

– leggiamo la divisione successiva: 5:4=
– togliamo un birillo dalla tavola
– distribuiamo le 5 perle sulla tavola
– ogni birillo riceve una perla e una perla non può essere distribuita
– registriamo il quoziente e il resto: 5:4=1 resto:1

– procediamo con le restanti divisioni presenti sulla pagina del 5


– controlliamo la correttezza delle divisioni eseguite sulla tavola della divisione I
– i dividendi si trovano nella prima riga orizzontale, mentre i divisori si trovano stampati esternamente lungo la diagonale sinistra


– i numeri nei riquadri bianchi all’interno della tavola rappresentano i quozienti risultanti dalle divisioni senza resto. Le divisioni con resto possono essere individuate sulla tabella individuando il quoziente più vicino a destra e sottraendo: la differenza è il resto


– indichiamo al bambino i numeri 7, 5, 3, 2, 1 sulla linea dei dividendi. Questi numeri sono in riquadri colorati. Spieghiamo che questi numeri sono divisibili solo per uno o per se stessi. Diamo il termine “numero primo” e spieghiamo che questi sono i numeri primi più importanti, anche se ci sono altri numeri primi che scopriremo poi.

Scopo:
– sviluppare concentrazione, coordinazione, senso di indipendenza e senso dell’ordine
– memorizzare le divisioni.

Età:
– dai 7 agli 8 anni.

_______________________
Presentazione 4

Materiale:
– tavola forata per la divisione
– cartellini delle divisioni da svolgere
– tabella di controllo I della divisione.

pdf qui: Google drive

Presentazione:
– scegliamo una divisione, ad esempio 21:7=
– copiamo la divisione sul quaderno


– stabiliamo il dividendo contando le 21 perle verdi
– stabiliamo il divisore mettendo sulla tavola 7 birilli verdi


– distribuiamo il dividendo
– registriamo il quoziente, cioè il numero di perle assegnate a un birillo 21:7=3


– controlliamo il risultato sulla tavola di controllo


– togliamo i birilli e le perle
– scegliamo un’altra divisione
– eseguiamola come fatto con la prima
– controlliamo sulla tavola di controllo il risultato.

Scopo:
– sviluppare concentrazione, coordinazione, senso di indipendenza e senso dell’ordine
– memorizzare le divisioni.

Età:
– dai 7 agli 8 anni.

_______________________
Presentazione 4

Materiale:
– cartellini delle divisioni da svolgere
– tavola I della divisione.

pdf qui: google drive

Presentazione:
– esaminiamo la tavola I della divisione. I dividendi si trovano nella prima riga in alto.

I divisori  si trovano lungo la diagonale a sinistra.

I quozienti si trovano all’interno della tavola

– scegliamo un cartellino di una divisione da svolgere


– copiamo la divisione sul quaderno
– con l’indice destro troviamo il dividendo nella riga in alto


– con l’indice sinistro troviamo il divisore lungo la diagonale sinistra


– facciamo scorrere l’indice destro verso il basso e l’indice sinistro verso destra finché non si incontreranno nella casella del quoziente


– registriamo il risultato sul quaderno
– dopo aver eseguito la divisione, controlliamo anche con la tavola di controllo I.

Scopo:
– sviluppare concentrazione, coordinazione, senso di indipendenza e senso dell’ordine
– memorizzare le divisioni.

Età:
– dai 7 agli 8 anni.

_______________________

BIBLIOGRAFIA E LINK UTILI

Maria Montessori – L’autoeducazione nelle scuole elementari – Garzanti

Maria Montessori – Il metodo della pedagogia scientifica applicato all’educazione infantile nelle case dei bambini. Edizione critica – Edizioni Opera Nazionale Montessori

Maria Montessori – Psicoaritmetica – Edizioni Opera Nazionale Montessori

Maria Montessori – Psicogeometria – Edizioni Opera Nazionale Montessori