Categoria: matematica

Il serpente dell’addizione è un esercizio che si può introdurre parallelamente a quello delle catene di 100

La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri

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e delle catene di 1000,

La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri

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e che ha lo scopo di far eseguire quasi meccanicamente piccole addizioni di unità, introducendo i bambini al calcolo mentale.

Per giocare al serpente dell’addizione occorrono semplicemente le barrette di perle colorate e quelle di perle dorate (per il 10).

Se non vuoi acquistarle, trovi il tutorial per realizzarle in proprio qui: 

Costruire il materiale delle perle colorate Montessori

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Se non ti è possibile, puoi anche pensare di stampare la versione virtuale, che trovi qui: 

Perle colorate Montessori – download

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E’ necessario disporre di una certa quantità di barrette. Il numero rappresentato da ciascuna di esse si conosce contando le perle che la compongono. A poco a poco, però, il colore aiuterà a riconoscere la quantità ed eliminerà l’impegno di dover contare una perla alla volta.

Si comincia l’esercizio disponendo in riga una certa quantità di bastoncini, scegliendoli a caso. Almeno in un primo momento, però, sarà meglio disporre i bastoncini in modo tale che i bastoncini-addendi in gioco (due o più) non diano come somma oltre la decina.  Questi bastoncini andranno allineati su un lungo tavolo o sul pavimento. Per fare in modo che non risulti troppo lunga, la linea non è diritta ma sinuosa, e ricorda un serpente.

Si inizia il conteggio e non appena si giunge a 10 unità, si isolano i bastoncini sommati, sostituendoli con un bastoncino dorato della decina. Quindi, a partire dalla decina, si riprende a contare fino a raggruppare altre dieci unità e, ancora, un bastoncino dorato va a sostituire quelli sommati, che si tolgono dal  serpente. E così si procede fino ad esaurire il conteggio.

Assistiamo a questa trasformazione: il serpente muta pelle e diventa via via tutto d’oro ,  e bastoncini di uguale lunghezza  vanno via via ad occupare il posto di quelli di lunghezza diversa. Il conteggio è servito a trasformare in decine quantità minori, destinate a fondersi nel dieci, base del sistema decimale.

L’esercizio offre la possibilità di eseguire semplici addizioni nel limite del dieci, dal momento che ogni volta si comincia daccapo, senza tener conto di quei bastoncini delle decine che si vanno allineando lungo il cammino. E’ un’attività sempre uniforme che va ripetendosi e che finisce col rendere facile, rapida e meccanica l’addizione di numeri inferiori al dieci.

In realtà si tratta di un grande lavoro di conteggio delle unità, che costringe a riflettere e ad eseguire un certo numero di sottrazioni contemporaneamente alle addizioni, per calcolare la quantità eccedente la decina, dopo che essa è stata formata.

Su questa particolarità si sviluppa l’esercizio con tutte le sue varietà, risultanti dai possibili accostamenti, nella formazione del serpente, di bastoncini differenti.

Poniamo il caso che il serpente cominci coi numeri 6 e 5:

la loro somma dà 11. Si isolano i due bastoncini, sostituendoli con un altro dorato, ma c’è ancora una perla (l’ultima del bastoncino marrone) che completa la quantità espressa dalla somma 5+6, cioè 5+6 è uguale a 10+1.

Questo uno appartiene al 6 che è stato isolato insieme al bastoncino del 5, infatti 6 = 5+1. Questo 1 che rimane è ancora da contare.

Proseguendo, supponiamo che gli altri bastoncini che seguono siano 8 e 6. L’addizione che si presenta per prima è 1+8=9, quindi si continua a sommare 9+6 =  15 = 10+5. Si isolano perciò i bastoncini 1, 8 e 6, sostituendoli con un bastoncino del 10 e uno del 5. Questo 5 è ciò che è rimasto del 6.

Questi resti di cui abbiamo parlato  devono potersi distinguere dai bastoncini colorati che costituiscono il serpente. Questi resti rappresentano la quantità che si è dovuta mettere da parte, poichè il bastoncino colorato conteggiato solo parzialmente non può essere spezzato. Però bisogna ricordarsi di tenerne conto nell’addizione successiva. Per rappresentare questi resti, c’è un materiale complementare che elimina ogni possibile confusione: i bastoncini per i cambi:

1 – un bastoncino di 1 perla nera

2- un bastoncino di 2 perle nere

3 – un bastoncino di 3 perle nere

4 – un bastoncino di 4 perle nere

5 – un bastoncino di 5 perle nere

6 – un bastoncino di 5 perle nere e 1 bianca

7 – un bastoncino di 5 perle nere e 2 bianche

8 – un bastoncino di 5 perle nere e 3 bianche

9 – un bastoncino di 5 perle nere e 4 bianche

L’uso di nero e bianco e la loro particolare disposizione facilitano la scelta dei pezzi, che si riconoscono a prima vista.

Se non avete la possibilità di utilizzare perle vere per il gioco del serpente dell’addizione, ho preparato anche i bastoncini dei cambi in versione stampabile:

Esempi pratici

Facciamo degli esempi pratici. Componiamo questo serpente:

1 + 4 + 9 + 2 + 6 + 9 + 2 + 4 +8 + 6 + 3 + 7 + 5 + 3 + 4 +2

Il bambino comincia a contare le perle, e arrivato a 10 mette un segno a dividere la decina dal “resto”

Stacchiamo le barrette interessate al conteggio, e prendiamo la barretta della decina che abbiamo ottenuto, e la barretta del cambio relativa alla parte restante  (in questo caso 1+4+9= 10 e 4):

Mettiamo da una parte la decina, ed attacchiamo al serpente la barretta nera del cambio:

Conserviamo quindi a parte le perle colorate che abbiamo tolto al serpente, e che ci serviranno per la prova:

Continuiamo il gioco addizionando la barretta del cambio al serpente, fino a raggiungere una nuova decina. Nell’esempio dovremo sommare 4 + 2 + 6

Otterremo una seconda barretta della decina, e avremo bisogno di una barretta dei cambi da 2 da attaccare al serpente:

Eliminiamo da ogni conteggio la barretta da 4 del cambio precedente:

quindi attacchiamo il nuovo cambio ottenuto (due) al serpente, e conserviamo da una parte le decine ottenute, a dall’altra le barrette colorate tolte al serpente:

Ora dunque dobbiamo sommare 2 e 9; avremo una nuova decina e un cambio da 1:

Poi avremo 1+2+4+8, ed otterremo una decina e una perla del cambio da 5:

poi 5+ 6; avremo una decina ed un resto di 1:

poi 1+3+7, ed avremo 1 decina e un cambio da 1:

poi 1+5+3+4, ottenendo una decina e un cambio di 3:

la barretta del cambio da 3 si attacca alla parte terminale del serpente, che è 2:

non arriviamo a comporre una decina nuova, quindi l’operazione si conclude conteggiando un avanzo di 5, cioè una barretta dei cambi da 5:

Eliminiamo dal conteggio il vecchio cambio (quello di 3 perle) e poniamo il cambio da 5 insieme alle decine, e la barretta del 2 insieme alle altre barrette colorate tolte via via dal serpente.

Il risultato dell’addizione 1 + 4 + 9 + 2 + 6 + 9 + 2 + 4 +8 + 6 + 3 + 7 + 5 + 3 + 4 +2 è 75:

cioè 10 10 10 10 10 10 10 10 5. Ma come possiamo sapere se è corretto? Basterà contare tutte le perle colorate che formavano il serpente in origine, sempre raggruppando tra loro le barrette a formare decine colorate. Se ci occorre spezzettare le barrette, potremo sostituirle con un equivalente di perle nere dei cambi. Nel nostro esempio dovremo sostituire la barretta dei due con due barrette da uno:

ed avremo:

9+1=10,  9+1=10,  8+2=10,  7+3=10, 6+4=10, 6+4=10, 5+4+1=10, e 3+2=5; cioè 10 10 10 10 10 10 10 10 5

l’operazione è corretta. Il risultato è 75.

Torniamo ora all’immagine del serpente già presentato più sopra:

L’immagine rappresenta i cambi avvenuti per formare le decine. Le quantità originarie incolonnate a sinistra sono state via via sostituite, dando luogo alla disposizione rappresentata nella linea di perle a destra. Fra le due disposizioni  possiamo vedere ciò che rimaneva dei bastoncini che nel corso dell’operazione risultavano eccedere la decina: resti che vennero via via sommati con i bastoncini che li seguivano. Il risultato del serpente è 62, ossia: 10 10 10 10 10 10 2

A volte i bambini costruiscono un serpente molto lungo, che assomma a molte centinaia. A esercizio concluso, si contano i bastoncini delle decine disponendoli uno accanto all’altro, verticalmente: appena riuniti 10 bastoncini, si sostituiscono con un quadrato del centinaio, e così si prosegue coi cambi, fino alla fine. Il totale risalta facilmente, proprio per la differente forma dei risultanti gruppi del sistema decimale ( quadrato per le centinaia, linea per la decina, punto per le unità).

La verifica dell’operazione eseguita si effettua raccogliendo tutti i bastoncini via via usciti dal gioco e riunendoli a due a due (se possibile), in modo che ogni coppia costituisca una decina. Nel caso del serpente 5 6 8 6 2 5 1 4 9 3 4 7 9 si raggrupperanno così:

9+ 1

8+2

7+3

6+4

6+4

5+5

9

e si verificherà che ogni gruppo possa sostituirsi con una decina del risultato. In questo caso c’è perfetta corrispondenza:

L’esercizio del serpente fissa l’attenzione del bambino sulla difficoltà di contare per dieci. Questa difficoltà, ripetendosi costantemente, porta il bambino a procedere in modo esatto, dal momento che non lo preoccupa la serie di decine che via via si lascia indietro.

Nei metodi comuni, quando si addizionano gruppi di unità che formano più decine, questo accumulo gravoso e molesto si trascina, rendendo faticoso l’andare avanti. Invece la difficoltà di calcolo è unica ed è sempre la stessa, per quanto grande sia l’ampiezza dei conti da eseguire, e risiede in quel salto attraverso il 10 che presuppone un’attività mentale, esige cioè piccole addizioni e sottrazioni per arrivare a completare le decine, e il calcolo dei resti che devono essere aggiunti ai gruppi successivi.

Gli esercizi col serpente, ripetuti per lungo tempo, finiscono per rendere meccanico il lavoro della mente intorno al 10: a poco a poco sparisce la lenta attività di ragionamento, e si sostituisce con un meccanismo mentale. Le leggi che regolano le attività razionali affidano al deposito della memoria le conoscenze acquisite, per fare in modo che ci siano sempre energie disponibili da dedicare a lavori successivi. Questo deposito della memoria è un grande tesoro che permette di avanzare.

Si tratta della teoria montessoriana del “valore del subconscio”. Secondo la Montessori il subconscio è deposito e riserva di impressioni assorbite e di conoscenze acquisite. Il subconscio è paragonabile a una grande stanza buia nella quale sono immagazzinate le esperienze attraverso cui l’individuo è passato nel corso della sua vita. La stanza non è arredata: i mobili non vi sono disposti con una funzione, ma sono ammassati come in un magazzino. La mente che cerca una soluzione è simile a una torcia nelle mani di un ladro che sceglie la cosa per lui più preziosa in quel momento. Il fascio di luce si arresta: ha trovato quello che cercava, e questo cercare e trovare è ciò che chiamiamo “portare alla luce della coscienza”.

Le nuove acquisizioni, poi, devono prima essere filtrate dal ragionamento, e non si dirigono mai direttamente alla memoria ed ai suoi meccanismi.

Così, quando il bambino ha raggiunto un certo grado di maturità meccanica nel calcolo relativo ai passaggi attraverso il 10, i gruppi di decine già accumulati e lasciati indietro potranno venir trasportati di volta in volta nel posto che compete loro attraverso la memoria, grazie a passaggi che in sè non presentano ormai nessuna difficoltà.

Nell’esercizio del serpente, i due diversi lavori risultano separati, e questo permette un procedere rapido e senza fatica, consentendo il raggiungimento di risultati apprezzabili. Le decine che si accumulano si contano a parte, in una seconda fase, e i bambini lo fanno con grande piacere, provando la soddisfazione di chi si rende conto della propria ricchezza dopo aver fatto la fatica di “risparmiarla”.