C’erano una volta tre fratelli. Il destino era stato molto generoso con loro: ognuno aveva il proprio regno e ci viveva da re. Ovviamente tra i tre re c’erano molte differenze, come fra tutti i popoli della terra. E per questo meritano di essere presentati uno alla volta.
Il Re Unità viveva in un regno che non era potente e ricco e indossava un abito verde, il colore della terra. I suoi sudditi erano tipi molto solitari e si chiamavano Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.
Le cose erano un po’ diverse per il Re Decina. Questo re era più ricco e indossava un abito blu, ma anche i suoi sudditi si chiamavano Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.
Quando i due Re si incontravano, tutti davano per scontato che i sudditi blu dovevano mettersi davanti ai sudditi verdi, e che i sudditi verdi avrebbero sempre seguito i blu.
Il terzo fratello, il Re Centinaia, era il più ricco. Il suo abito era rosso, il colore del potere e della ricchezza, e siccome mangiava più dei sui fratelli, aveva un gran pancione. Ma la sua maggior ricchezza non cambiava il fatto che anche i suoi sudditi si chiamassero Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.
Quando i tre Re si incontravano, i sudditi rossi stavano naturalmente in prima fila, seguiti dai sudditi blu che stavano al centro, mentre i sudditi verdi occupavano l’ultima posizione.
Sebbene sembrassero tutti molto simili, la loro posizione nella fila determinava il potere e il valore di ciascuno. E affinchè lo si vedesse subito, anche i colori prevedevano una chiara distinzione: rosso per il Re Centinaia, blu per il Re Decina e verde per il Re Unità.
E’ interessante notare che non ci fu mai uno scontro tra i tre piccoli Re perchè tutti erano felici e contenti della loro posizione e del loro valore.
Questa situazione di pace e armonia rendeva molto felice il padre dei tre Re. La soddisfazione dei suoi figli gli dava la certezza che alla sua morte tutto l’impero avrebbe continuato ad essere prospero e pacifico. Perchè ovviamente era anche lui un Re e possedeva un regno più grande e potente di tutti i regni dei suoi tre figli messi insieme, e per questo era chiamato “Re Mille”. E come avrai già capito, anche i suoi sudditi si chiamavano Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.
Note
Materiale utile per la presentazione: . i quattro Re del sistema decimale . tappeto gerarchico . cartelli dei numeri.
Indicazioni generali Per questa narrazione è bello usare pupazzi che rappresentano unità, decine, centinaia e migliaia, anche se non ci sono dialoghi, ma è piuttosto il narratore che ne dà una descrizione. La storia si basa sull’idea di Maria Montessori di creare un parallelo tra valore posizionale dei numeri e gerarchia sociale. Il posto, la posizione di un numero nel sistema decimale corrisponde al suo valore. “…bisognerebbe studiare solo la posizione del numero, la posizione che corrisponde al luogo e non al numero. Ad esempio, nella società c’è un re, un ministro, un governatore, un cittadino comune. Sono tutti uguali come esseri umani; è la posizione sociale che li distingue nel loro valore amministrativo. Così è per ciascuno dei nove numeri, che possono rappresentare numeri modesti o rappresentare milioni: il posto che occupano rivela il loro valore a seconda della loro posizione“. (Maria Montessori, Psicoaritmetica).
La storia dei Re del sistema decimale rientra nella grande cornice della quinta grande lezione, la “Storia dei numeri”.
Anche se sembra un gioco semplice, il mancala non è un gioco di fortuna, ma piuttosto di pianificazione strategica, stima e calcolo delle quantità. Nelle versioni di mancala più complesse si inserisce anche l’elemento della velocità, dando un vantaggio a chi ha mente e dita abbastanza agili da superare l’avversario.
Mancala in realtà non è un gioco, ma piuttosto una famiglia di giochi che condividono alcune regole di base che possono variare notevolmente per complessità, tanto da poter essere paragonabili al go asiatico o agli scacchi. In questo articolo parlo del mancala giocato con le regole del kalah (o kalaha), il più adatto ai bambini.
Il mancala è uno dei giochi da tavolo per due giocatori più antichi al mondo. Le tavole mancala più antiche sono state trovate in Giordania in un insediamento neolitico e risalgono al 6000 aC circa, epoca in cui gli uomini stavano iniziando a padroneggiare l’agricoltura e l’allevamento. Antichissime tavole mancala sono state rinvenute in tutta l’Africa e in Iran. La rara scoperta di queste tavole dimostra che il mancala è uno dei giochi più antichi, se non il più antico conosciuto dall’umanità, ma non chiarisce dove e quando abbia avuto origine, considerando che può essere giocato semplicemente scavando buche temporanee nel terreno e utilizzando semi deperibili che non lasciano tracce archeologiche.
Qualunque variante si giochi, due giocatori, distribuiscono le “pedine” (sassi, conchiglie, semi o perfino palline di sterco animale) all’interno di file di fori (case o pozzi) disposti parallelamente, e in qualunque cultura si giochi, queste pedine sono chiamate “semi” e il loro movimento da un foro all’altro viene definito “semina”. Questo suggerisce quali potrebbero essere le origini del gioco: piantare semi nel terreno.
Oltre ad essere uno dei giochi più antichi del mondo, è probabilmente anche uno dei più giocati: anche se in Europa è poco conosciuto, è diffusissimo in tutto il continente africano, in Asia e nelle Americhe. In Africa pare ci siano tante varianti di regole di gioco quanti sono i gruppi etnici o addirittura le città.
Il mancala assume in Africa anche significati magici e metaforici. Spesso il tavoliere rappresenta il villaggio, dove ogni buca è una capanna. I semi singoli vengono chiamati donne o vedove, due semi vengono chamati sposi, poi ci possono essere i capi, i bambini, il bestiame, ecc.
Perchè proporre il mancala ai bambini
affina la motricità fine e la coordinazione occhio-mano, impegnando i muscoli di tutta la mano
permette di esercitare le abilità di conteggio in modo divertente, raccogliendo e distribuendo i semi
insegna ad attendere e rispettare i turni
permette di esercitare l’abilità di stima di quantità
aiuta a sviluppare la capacità di fare previsioni, mettere in atto strategie, il ragionamento astratto ipotetico-deduttivo. Giocare a mancala richiede il conteggio mentale e la previsione del movimento dei semi sul tavoliere
stimola le capacità di attenzione e concentrazione
porta all’intuizione delle proprietà della moltiplicazione.
Giochiamo a mancala
Come dicevo, la variante di mancala che propongo ai bambini è quella giocata con le regole del kalah.
Il tavoliere può essere acquistato, o meglio può essere costruito con i bambini. E’ composto da due file di sei buche disposte parallelamente. A destra e a sinistra si trovano due buche più grandi, i granai. Il nostro è fatto con fondi di bicchierini di plastica e ciotoline incollate su un rettangolo di cartone. I semi sono soia.
Preparazione I giocatori siedono uno di fronte all’altro davanti al tavoliere. La fila di buche davanti ad ogni giocatore è la sua, e il suo granaio è quello alla sua destra. In ogni buca si mettono 4 semi, mentre i granai restano vuoti.
Scopo del gioco Vince chi al termine della partita ha collezionato il maggior numero di semi nel suo granaio.
Gioco
Il gioco procede in senso antiorario e si gioca a turno.
Semina
Quando è il suo turno, il giocatore prende in mano tutti i semi di una delle sue buche e li distribuisce in senso antiorario nelle buche successive, uno per buca. Se dopo aver distribuito i semi nelle sue buche e nel suo granaio avanzano semi, può continuare a distribuire i semi nelle buche dell’avversario, uno per buca. Se dopo aver distribuito i semi nelle sue buche, nel suo granaio e nelle buche dell’avversario avanzano semi, il giocatore continua la distribuzione tornando alle sue buche, ma non può mettere semi nel granaio dell’avversario. In altre parole la distribuzione continua finchè i semi non sono terminati, eventualmente saltando il granaio dell’avversario.
Tocca ancora a te
Se il giocatore riesce a depositare l’ultimo seme nel suo granaio, ha diritto ad un altro turno, può quindi prendere in mano tutti i semi di un’altra delle sue buche e distribuirli in senso antiorario nelle buche successive, uno per buca. Così tutte le volte che riuscirà a mettere l’ultimo seme di un mucchietto nel suo granaio.
Cattura
Se il giocatore riesce a mettere l’ultimo seme del suo mucchietto in una buca vuota della sua fila di buche, catturerà tutte le pietre dell’avversario che si trovano nella buca direttamente di fronte. Metterà quindi nel suo granaio i semi dell’avversario e il suo seme, e il turno passerà all’avversario.
Conclusione
Il gioco termina quando tutte le buche di uno dei due giocatori risultano vuote. Se l’altro giocatore ha ancora dei semi nelle sue buche, restano sue: può quindi prenderle e metterle nel suo granaio.
Problemi ed esercizi vari sui poligoni per la classe quarta della scuola primaria.
Esercizi (alla lavagna e sul quaderno) – Misura il lato di alcuni quadrati che hai disegnato e calcolane il perimetro. – Ci sono quattro aiuole quadrate: la prima ha il lato di m 5,5; la seconda di m 6,3; la terza di m 7 e la quarta di m 8. Calcola i perimetri delle quattro aiuole. – Disegna un quadrato e un rombo i cui lati misurino cm 5. – Disegna alcuni rombi, misura il lato di ciascuno e calcolane il perimetro. – Disegna quattro rombi: il primo con il alto di cm 3.5; il secondo con il lato di cm 5; il terzo con il lato di cm 8; il quarto con il lato di cm 19. Calcola il perimetro di ciascuno. – Disegna due segmenti, uno di cm 12 e l’altro di cm 8 in modo che si taglino a metà. Ora congiungi le estremità dei segmenti. Quale poligono ottieni? Misura con esattezza 2 lati e calcola il perimetro del poligono ottenuto. – Disegna alcuni rettangoli; misurane, con la tua riga, la lunghezza e la larghezza e calcola il perimetro di ciascuno.
Disegna quattro rettangoli: il primo con i lati di 8 cm e di 5 cm; il secondo con i lati di cm 11 e cm 7; il terzo con i lati di cm 9,5 e cm 4,7; il quarto con i lati di cm 13 e cm 15. Calcola il perimetro di ciascuno.
Misura i due lati del piano della cattedra e calcola il suo perimetro.
Fra le cose che ti circondano a scuola, trova esempi di rettangoli. Misura due lati e calcola il perimetro.
Quali sono i perimetri del foglio sul quale scrivi, del tuo libro di lettura chiuso e aperto, del piano del banco?
Disegna un parallelogramma; misurane due lati e calcolane il perimetro.
Esercizi per la classificazione di triangoli e quadrilateri, adatti alla classe quarta della scuola primaria.
Classificazione dei triangoli
Stabilisci se è possibile costruire un triangolo con tre strisce di carta aventi le misure sotto indicate. In caso affermativo specifica accanto come risulta il triangolo rispetto ai lati.
Con le strisce lunghe: cm 10, cm 12, cm 15, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 4, cm 7, cm 11, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 8, cm 8, cm 10, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 18, cm 10, cm 10, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 14, cm 14, cm 14, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 3, cm 4, cm 5, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 3, cm 3, cm 4, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Quadrilateri Prendiamo quattro strisce di cartoncino e colleghiamo i loro estremi in modo che nessuna striscia intersechi le altre. Otteniamo una figura con quattro lati e quattro angoli detta quadrilatero o quadrangolo.
Il quadrilatero non è una figura rigida e indeformabile come il triangolo: si può trasformare in altri quadrilateri aventi gli stessi lati ma non gli stessi angoli, e quindi di forma diversa.
I segmenti che congiungono due vertici opposti del quadrilatero si chiamano diagonali. In ogni quadrilatero si possono tracciare due diagonali. Nella figura ABCD è un quadrilatero: AC e BD sono le diagonali; A, B, C, D sono i vertici; il lato AB ha per opposto il lato CD; il lato AD ha per opposto il lato BC.
Rappresentiamo con un grafico l’intera famiglia dei quadrilateri:
Il perimetro dei quadrilateri si trova sommando la misura dei rispettivi lati.
Classificazione dei quadrilateri
Prendi quattro strisce di cartone forate agli estremi e collegandole tra loro mediante dei ferma-campione, costruisci un quadrilatero articolato. Con quattro strisce prese a caso, è sempre possibile costruire un quadrilatero?
Stabilisci se con quattro strisce aventi le misure sotto indicate puoi costruire un quadrilatero:
cm 6, cm 4, cm 5, cm 10. Si può costruire un quadrilatero? ______________
dm 2, cm 8, cm 6, cm 5. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 6, cm 9, dm 1, dm 2. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 3, cm 3, cm 3, cm 3. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 3, cm 3, cm 3, cm 10. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 5, cm 5, cm 4, cm 4. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 3, cm 4, cm 3, cm 4. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 20, cm 8, cm 8, cm 4. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 6, cm 10, cm 5, cm 3. Si può costruire un quadrilatero? ______________
Costruisci con 4 strisce un quadrilatero articolato quindi disponilo in modo da ottenere un trapezio.
Quando un quadrilatero si chiama trapezio?
Costruisci un rettangolo servendoti di 4 strisce a due a due uguali. Come devono essere disposte le 4 strisce per ottenere un rettangolo? Tenendo fisso un lato esercita una leggera pressione su uno dei lati ad esso consecutivi: che cosa ottieni? il rettangolo costruito e le figure ottenute nella trasformazione hanno lo stesso perimetro?
Costruisci un quadrato servendoti di quattro strisce uguali; tenendo fisso un lato ed esercitando una leggera pressione su uno dei lati ad esso consecutivi, il quadrato si trasforma in tanti rombi. Il quadrato costruito ed i rombi hanno lo stesso perimetro?
Come si chiamano i quadrilateri che hanno i lati a due a due paralleli? Come sono inoltre tra loro i lati paralleli?
Quali sono i quadrilateri che hanno le diagonali uguali?
Quali sono i quadrilateri che hanno le diagonali perpendicolari tra loro?
Disegna un trapezio isoscele, un trapezio rettangolo, un trapezio scaleno e traccia le loro diagonali. In quale dei tre trapezi disegnati le diagonali sono uguali?
Disegna un trapezio isoscele, un trapezio rettangolo ed un trapezio scaleno e traccia le distanze tra le basi, cioè le altezze dei trapezi. In quale dei tre trapezi disegnati l’altezza coincide con un lato?
Perimetro dei quadrilateri
Qual è il perimetro di questo parallelogramma?
m (5+3+5+3) = m 16 (perimetro del parallelogramma)
Oppure: m (5+3) x 2 = m 16 (perimetro del parallelogramma)
Qual è il perimetro di questo quadrato?
m (7×4) = m 28 (perimetro del quadrato)
Qual è il perimetro di questo rettangolo?
m (5+3+5+3) = m 16 (perimetro del rettangolo)
Oppure: m (5+3) x 2 = m 16 (perimetro del rettangolo)
Qual è il perimetro di questo rombo?
m (7×4) = m 28 (perimetro del rombo).
Troviamo il perimetro del nostro banco, della nostra aula, del corridoio, del cortile, ecc. (lavoro a gruppi).
Il trapezio Costruito un quadrilatero con le quattro strisce di cartone, possiamo disporle in modo che due di esse risultino parallele: otterremo così un trapezio.
Il trapezio infatti è un quadrilatero che ha due paralleli. I due lati paralleli AB e DC (vedi figura) si dicono basi del trapezio; la distanza EF tra le due basi si dice altezza del trapezio. Se i lati obliqui (i due lati non paralleli) sono uguali, il trapezio si dice isoscele: se uno dei lati non paralleli fra di loro è perpendicolare alle basi, il trapezio si dice rettangolo; esso ha due angoli retti.
Il parallelogrammo Se nel trapezio costruito con le quattro strisce di cartone teniamo fissa la posizione delle basi e di un lato obliquo, e permettiamo all’altro lato obliquo di ruotare attorno ad un estremo della base minore, otteniamo tanti trapezi. Ad un certo punto il lato mobile si dispone parallelamente al lato opposto: il trapezio si è trasformato in un quadrilatero particolare che ha i lati a due a due paralleli: il parallelogrammo.
Il parallelogrammo è infatti un trapezio particolare ed ha: – i lati opposti paralleli ed uguali – gli angoli opposti uguali a due a due – le diagonali che si tagliano scambievolmente per metà.
Il rettangolo Il parallelogrammo è una figura mobile. Esercitando una leggera pressione su un lato, tenendo fermo uno dei lati ad esso adiacenti, il parallelogrammo si trasforma in tanti parallelogrammi diversi. Osserva che gli angoli variano di ampiezza, rimanendo però uguali a due a due, finché, ad un certo punto, diventano tutti uguali e retti; otteniamo così un rettangolo, cioè un parallelogramma con tutti gli angoli uguali, retti.
Il rettangolo è un parallelogramma particolare avente: – i lati opposti uguali e paralleli – gli angoli tutti uguali e retti – le diagonali uguali che si dimezzano scambievolmente.
Il rombo Abbiamo visto che il parallelogramma con tutti gli angoli uguali è il rettangolo. Il parallelogrammo con tutti i lati uguali è il rombo. Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli uguali. Il rombo è un parallelogramma particolare con: – i lati tutti uguali a due a due paralleli – gli angoli opposti uguali – le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente.
Il quadrato Il rombo, come tutti i quadrilateri, è una figura mobile. Esercitando una leggera pressione su un lato e tenendo fermo uno dei lati ad esso adiacenti, esso si trasforma in tanti rombi diversi. Ad un certo punto i lati si dispongono perpendicolarmente tra loro: abbiamo così ottenuto un quadrato, cioè un rombo con tutti gli angoli retti. Il quadrato è un rombo particolare che ha: – i lati tutti uguali, a due a due paralleli – gli angoli tutti uguali e retti – le diagonali uguali, perpendicolari fra loro, che si dimezzano scambievolmente.
Problemi – Un presepe ha la base quadrata il cui lato è di m 3. Qual è il perimetro della base del presepe? – Disegna un rettangolo con le dimensioni di cm 8 e cm 4. Quanti centimetri misura il perimetro? – Disegna un quadrato con il lato di cm 8. Quanti centimetri misura il perimetro? – Luisa ricama su una tovaglietta un rombo con il lato di cm 25. Quale sarà la lunghezza del ricamo? – Calcola il perimetro di un parallelogramma che ha un lato di cm 20 e l’altro di cm 16.
Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE scaricabili e stampabili in formato pdf con presentazioni ed esercizi per bambini della scuola d’infanzia e primaria.
Le tavole della divisione servono al bambino per lavorare con le divisioni i cui dividendi danno almeno una volta quozienti senza resto.
Presentazioni per la tavola forata della divisione qui:
La tavola I è quadrettata e contiene 36 dividendi dall’ 81 all’ 1 nella riga superiore. Le caselle dei numeri primi (7 5 3 2 1) sono colorate perchè si tratta di numeri primi. I divisori da 9 a 1 si trovano disposti lungo il margine sinistro della tavola. Nei quadretti interni si trovano i quoti. La tavola I è essenzialmente una tavola di controllo, e può essere usata per verificare le divisioni esatte eseguite con la tavola forata, o quelle eseguite con la tavola II.
La tavola II è identica alla tavola I, ma i quadretti interni sono vuoti. I quoti infatti sono scritti su cartellini quadrati e si conservano in una scatolina separata per eseguire l’esercizio;
in un’altra scatolina ci saranno le 81 divisioni esatte o complete (cioè quelle senza resto) da eseguire.
Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE
Il materiale pronto per la stampa e il download è a disposizione degli abbonati:
L’uso delle tavole permette ai bambini di ripetere in modo vario le divisioni, facilitando la memorizzazione delle combinazioni. Gli esercizi con le due tavole della divisione, che si propongono ai bambini attorno ai 6 anni, concludono il capitolo sulla memorizzazione delle combinazioni fondamentali.
____________________________ Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE
Presentazione 1 – uso della tavola I come tavola di controllo per le divisioni senza resto
Materiale: – cartellini delle divisioni da svolgere – tavola I della divisione.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi dicendo: “Oggi vorrei mostrarti la prima tavola della divisione” – portiamo il materiale al tavolo – esaminiamo la tavola I della divisione con i bambini, facendo notare i dividendi:
facciamo anche notare i numeri che si trovano nelle caselle colorate, che sono numeri primi.
I divisori scritti in diagonale sul margine sinistro:
I quozienti:
– scegliamo un cartellino di una divisione da svolgere (senza resto) ed eseguiamola con la tavola forata
– copiamo la divisione sul quaderno, col quoziente che abbiamo trovato – con l’indice destro troviamo il dividendo nella riga in alto
– con l’indice sinistro troviamo il divisore lungo la diagonale sinistra
– facciamo scorrere l’indice destro verso il basso e l’indice sinistro verso destra finché non si incontreranno nella casella del quoziente
– in questo modo avremo usato la tavola per verificare il risultato trovato con la tavola forata della divisione – dopo questo primo controllo, controlliamo anche con la tavola di controllo I
– ripetiamo altre due volte, poi invitiamo il bambino a provare ad usare le sue dita per trovare i quozienti, e poi a verificare con la tavola di controllo.
_______________________ Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE
Presentazione 2 Uso della tavola I con la tavola II
Materiale: – tavola della divisione I – tavola della divisione II completa di cartellini dei quoti e cartellini delle divisioni senza resto da svolgere
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi dicendo: “Oggi vorrei mostrarti la seconda tavola della divisione” – portiamo al tavolo le due tavole, la scatola coi cartellini dei quoti (o tombolini) e la scatola con le divisioni da svolgere – esaminiamo la tavola II che è uguale alla tavola I, ma le caselle interne sono vuote – smistiamo i quoti e impiliamoli in 9 gruppi da 1 a 9 – il bambino prende un’operazione dal cestino e la trascrive sul quaderno – individua sulla tavola I i termini della divisione, ricercandone il risultato – individua i termini della divisione sulla tavola II e vi colloca il cartellino appropriato.
In un secondo tempo il bambino potrà calcolare il risultato mentalmente, senza cercarlo sulla tavola I, ed usarla invece solo come tavola di controllo.
Maria Montessori ricorda sempre di richiamare l’attenzione del bambino sui dividendi che si trovano nelle caselle colorate delle due tavole, per dare una prima intuizione del concetto di numero primo.
_______________________ Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE
Presentazione 3 Uso della tavola I con la tavola II
Materiale: – tavola della divisione I – tavola della divisione II completa di cartellini dei quoti e cartellini delle divisioni senza resto da svolgere
Presentazione: – portiamo al tavolo le due tavole, la scatola coi cartellini dei quoti (o tombolini) e la scatola con le divisioni da svolgere – smistiamo i quoti e impiliamoli in 9 gruppi di 9 quoti uguali ciascuno
– il bambino prende un’operazione dal cestino e la trascrive sul quaderno – individua sulla tavola I i termini della divisione, ricercandone il risultato – individua i termini della divisione sulla tavola II e vi colloca il cartellino appropriato.
In un secondo tempo il bambino potrà calcolare il risultato mentalmente, senza cercarlo sulla tavola I, ed usarla invece solo come tavola di controllo. Questo permetterà di passare dal concetto di divisore di un numero ai numeri primi, preparando indirettamente alla ricerca di massimo comune divisore e minimo comune multiplo.
_______________________ Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE
Presentazione 3 Uso della tavola I come tavola di controllo col libretto delle divisioni (anche per divisioni con resto)
Materiale: – tavola forata per la divisione – libretto delle divisioni
Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE
Il materiale pronto per la stampa e il download è a disposizione degli abbonati:
– tavola I della divisione
Presentazione: – esaminiamo il libretto coi bambini – scegliamo un dividendo – stabiliamo il dividendo contando le perle e mettendole nella ciotola
– leggiamo la prima divisione, ad esempio 5:5=. Mettiamo sulla tavola i 5 birilli che rappresentano il divisore le perle tra i birilli – sotto a ogni birillo c’è una perla, quindi possiamo registrare il quoziente 1 sul libretto. Nella ciotola non avanzano perle, quindi il resto è 0. Ricordiamo al bambino che sottolineiamo sempre le divisioni senza resto nel nostro libretto – rimettiamo le perle nella ciotola
– leggiamo la divisione successiva: 5:4= – togliamo un birillo e distribuiamo le 5 tra i 4 birilli. Ogni birillo riceve una perla e ne avanza una nella ciotola. – registriam0: 5:4=1 resto:1
– procediamo con le restanti divisioni presenti sulla pagina
– controlliamo sulla tavola della divisione I, dove troveremo i quozienti senza resto
Con questo procedimento il bambino può trovare sulla tavola I i risultato delle divisioni senza resto.
Per le 120 divisioni con “quoziente incompleto” che si trovano nel libretto possiamo usare la tavola I per calcolare quoziente e resto. Queste combinazioni vanno da 64:9 a 3:2
Poiché la casella che si trova nel punto di incontro del dividendo verticale col divisore orizzontale è una casella vuota, il bambino cercherà il quoziente sulla stessa riga nella prima casella successiva in cui compare un numero: quello sarà il quoziente. Facendo l’esempio della pagina del 5, per cercare il risultato di 5:2 sulla tavola avremo 5:2=2
Per calcolare il resto basterà sottrarre al dividendo della nostra divisione il dividendo che corrisponde alla prima casella occupata che abbiamo usato come quoziente. Nel nostro esempio 5:2=2; resto = (5-4) 1
________________________________ Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE
Tavole della divisione
Scopo: – memorizzare le combinazioni delle divisioni – acquisire familiarità con i modi in cui i numeri possono essere divisi – sperimentare a livello sensoriale la relazione inversa tra divisione e moltiplicazione – preparare il bambino a trovare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo.
Controllo dell’errore: – la tavola di controllo – la tavola I della divisione.
Psicoaritmetica Montessori – Perle dorate: formazione dei grandi numeri. Un esercizio che si fa coi bambini utilizzando perle dorate e cartelli dei numeri consiste nella composizione di grandi numeri. Tutte le esperienze sul sistema decimale qui illustrate si possono riferire ad un’età compresa tra i 4 ed i 5 anni. Per le presentazioni ho utilizzato le mie perle auto prodotte (trovi il tutorial qui),
i cartelli stampabili Lapappadolce e i cartelli prodotti da Montessori 3D di Boboto. Trovi altri esercizi e presentazioni relative alla formazione di grandi numeri qui:
Quando vogliamo leggere un numero, ad esempio 32.457.891, lo dividiamo in gruppi formati da tre elementi alla volta (centinaia, decine ed unità) a partire da destra, ed in questo modo leggere il numero diventa molto semplice:
Presentazione coi cartelli dei numeri per formare i numeri da 1 a 9999
Materiale: – il set completo dei cartelli dei numeri.
Presentazione: invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio – chiediamogli di srotolare un tappeto e andiamo allo scaffale a prendere il vassoio con la scatola dei cartelli dei numeri – mettiamo la scatola dei cartelli sul tappeto in basso, davanti a noi – mettiamo il materiale sul tappeto e disponiamolo secondo le gerarchie: unità a destra dall’1 al 9, decine a sinistra delle unità dall’1 al 9, poi centinaia e infine migliaia. Mentre mettiamo ogni cartello leggiamo il numero in questo modo: “Una unità, uno… 9 unità, nove. Incoraggiamo il bambino a contare con noi – arrivati a 9 chiediamo: “Cosa viene dopo il 9?” Il bambino risponde e cominciamo a comporre la colonna delle decine. Continuiamo a contare col bambino: … 4 decine, quaranta… 7 centinaia, settecento… 9 migliaia, novemila. Chiediamo al bambino: “Quale numero viene dopo?” arrivati a 90 e a 900. Incoraggiamo sempre il bambino a contare con noi
– osserviamo lo schema e leggiamo col bambino i numeri 1, 10, 100 e 1000 facendo notare ai bambini quanti zeri ha ognuno. Possiamo continuare a leggere anche le altre righe, sempre da destra a sinistra – indichiamo un cartello al bambino, leggiamo insieme il numero e notiamo quanti zeri ha – per verificare che il bambino abbia chiaro lo schema possiamo mescolare i cartelli e chiedere al bambino di ricomporli in colonne per unità, decine, centinaia e migliaia – quando lo schema è composto scegliamo due cartelli presi da gerarchie adiacenti (unità e decine, decine e centinaia, centinaia e migliaia) – mettiamo il cartello delle unità sul cartello della decina, allineato a sinistra – facciamo scivolare il cartello dell’unità verso destra, orizzontalmente o meglio mettendo i cartelli in verticale di modo che il più corto scivoli verso il basso, a coprire lo zero delle decine (se preferite in modo che i cartelli siano allineati lungo il bordo destro)
– posiamo il numero sul tappeto e leggiamolo dicendo: “Quattro decine e due unità” – chiediamo al bambino di ripetere con noi – leggiamo nuovamente il numero, ma questa volta dicendo: “Quarantadue” – chiediamo al bambino di rimettere i cartelli nello schema – continuiamo con altri cartelli scelti tra gerarchie adiacenti, poi passiamo a tre, sempre seguendo la stessa procedura
– infine usiamo le quattro gerarchie
– rimettere i cartelli correttamente all’interno dello schema – rimettere i cartelli nella loro scatola – rimettere la scatola sul vassoio – riportare la scatola sullo scaffale.
Scopo: – rinforzare il concetto di gerarchie dei numeri nel sistema decimale – rinforzare ed esercitare la capacità di lettura dei numeri da 1 a 9999, che il bambino sa già comporre per quantità di perle dorate – dare una visione globale dei numeri all’interno del sistema decimale ai bambini – comprendere che è la posizione di un numero a determinarne il valore: i numeri sono soltanto 9 in tutto, ed è lo zero a determinare la loro posizione e quindi il loro valore – comprendere che lo zero all’interno di un grande numero, in qualsiasi posizione, indica semplicemente la mancanza di quantità di quella particolare gerarchia: ad esempio nel numero 5407 mancano le decine.
Età: – dai 4 anni e mezzo.
Controllo dell’errore: l’insegnante. Coi soli cartelli dei numeri non è possibile verificare la correttezza della composizione. Per farlo occorre lavorare coi cartelli dei numeri e le perle dorate insieme.
Varianti: – possiamo eseguire questa presentazione coinvolgendo un gruppo di bambini (3 o 4).
Presentazione con le perle dorate e i cartelli
Per prima cosa poniamo sul tappeto il materiale in questo ordine, formando il “quadro del sistema decimale“:
Non si tratta di contare, ma di portare l’attenzione del bambino sul concetto che in ogni gerarchia esistono unicamente 9 cifre che non possono essere rappresentate semplicemente dai numeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9, dal momento che essi indicano soltanto unità semplici; in altre parole possiamo dire che le cifre significative sono sempre e soltanto nove:
Con i bambini proporremo i primi esercizi utilizzando un solo cubo delle migliaia, cioè formando grandi numeri entro il 1999. Potremo così proporre molti esercizi di associazione tra cartelli dei numeri e perle dorate (cioè tra simbolo e quantità).
Naturalmente lavoreremo prima all’associazione di un solo cartello dei numeri, ad esempio 600, 8, ecc…
Quando poi il bambino avrà acquisito familiarità con le categorie separate, possiamo passare a consegnargli contemporaneamente due o più cartelli di differenti gerarchie, ad esempio 1000 400 50 8,
chiedendogli di portare la quantità corrispondente a ciascun cartello.
Poi possiamo mostrargli come avviene la formazione di un grande numero: sul cartello più lungo collochiamo via via quelli più corti, allineandoli prima sulla sinistra
e facendoli scorrere poi verso destra
Alla fine, leggeremo al bambino: mille-quattrocento-cinquant-otto.
Un altro esercizio consiste nel dire un numero, ad esempio ottocentoquarantasette, ed il bambino dovrà scegliere dal quadro del sistema decimale le quantità corrispondenti, cioè 8 quadrati di perle, 4 bastoncini e 7 perle sciolte.
Per quanto riguarda i cartelli dei numeri, la scelta sarà per il bambino ancora più semplice. Se poi si sovrappongono i cartelli 800 40 e 7
si avrà il numero: 847
I bambini, in questo modo, si esercitano nella composizione e scomposizione di grandi numeri, sia per quanto riguarda le quantità, sia per quanto riguarda i loro simboli numerici. I numeri si scompongono separando le migliaia, le centinaia, le decine e le unità: ogni grande numero è una somma di gruppi, ciascuno dei quali è rappresentato dalle cifre che stanno una accanto all’altra.
Questa, ad esempio, la composizione del numero 1235 con il materiale:
e questa con i cartelli dei numeri:
Si può iniziare a giocare coi grandi numeri molto presto: i bambini ne saranno entusiasti. Il fatto di poter comporre e analizzare i numeri muovendo oggetti stimola la ripetizione. Presentato nel suo insieme, il sistema decimale è una specie di trama fondamentale sulla quale si sviluppano un po’ per volta i dettagli che chiariscono e facilitano, ogni volta un po’ di più, il suo studio.
L’esercizio della “visione a volo d’uccello del sistema decimale“, ad esempio, consiste nell’appaiare a ciascuno dei cartelli dei numeri la corrispondente quantità di perle. Questo risponde al principio di globalità, un punto fondamentale della didattica montessoriana che consiste nel cominciare sempre, al ogni livello, dalla presentazione di una situazione generale, precisando poi i dettagli.
Lo studio dei dettagli può essere condotto con più dettagli contemporaneamente. Una sistematizzazione non è necessaria, mentre è necessario studiare “tutti” i dettagli. Gli esercizi coi dettagli che si riferiscono al sistema decimale non hanno necessità di precedenza, essendo già guidati da un insieme prestabilito. La Montessori chiama questi esercizi “esercizi paralleli“, e si tratta di giochi che vanno dalle tavole di Seguin, alle catene di 100 e di 1000, al serpente dell’addizione, ai vari giochi per le operazioni aritmetiche…
Materiale: 1 perla delle unità, 1 barretta delle decine, 1 quadrato delle centinaia, 1 cubo delle migliaia; i cartelli dei numeri 1 10 100 e 1000.
Scopo: – appaiare le quantità di perle ai relativi simboli numerici
Presentazione: Portare la scatola dei cartelli grandi dei numeri sul tappeto, e mettere sul tappeto i cartelli 1 10 100 e 1000. Posizionare i cartelli uno sotto l’altro, facendoli nominare dal bambino.
Portare al tavolo la quantità di perle corrispondente,
quindi comporre il numero 1111.
Presentazione 2 (esercizio di gruppo per due o tre bambini)
Materiale: 9 perle delle unità, 9 barrette delle decine, 9 quadrati delle centinaia, 1 cubo delle migliaia; il set completo dei cartelli grandi dei numeri (senza i cartelli dal 2000 al 9000); un vassoio vuoto per ognuno dei bambini partecipanti e due tappeti
Scopo dell’esercizio: esercitarsi ed acquisire familiarità con le diverse categorie di numeri, soprattutto per quanto riguarda la lettura dei simboli scritti; imparare a leggere correttamente i grandi numeri; preparazione al lavoro con il valore posizionale delle cifre.
Esercizio:
Stendere i due tappeti sul pavimento e disporre con l’aiuto dei bambini in uno i cartelli dei numeri e nell’altro le perle dorate, in questo modo:
contando il materiale via via che viene disposto.
(in questa prima fase sarà sufficiente disporre solo il cartello del 1000, in relazione al solo cubo delle migliaia presente)
Ogni bambino riceve un vassoio con una ciotolina per contenere le unità
mettiamo sul vassoio di ogni bambino un cartello diverso,
e chiediamo loro di identificarlo e di portarci la quantità di perle corrispondente.
Quando il bambino torna, si legge la carta e si contano insieme le perle che ha portato. Quindi si rimettono al loro posto sia le perle, sia il numero.
Dopo un po’ di esercizi con una sola categoria, possiamo passare a mettere due cartelli diversi sui vassoi, relativi a due categorie adiacenti.
Mostriamo sempre al bambino, dopo che ci ha portato il corrispondente quantitativo di perle, come sovrapporre i due cartelli e come leggere il numero formato,
dicendo ad esempio: “quattro decine e sei unità… quarantasei”.
Passeremo poi ad utilizzare tre, ed infine quattro categorie.
Presentazione 3 (esercizio di gruppo)
Materiali: – il set completo delle perle dorate (9 elementi per categoria), – il set completo dei cartelli grandi dei numeri, – un vassoio per ogni bambino partecipante, – tre tappeti e un vassoio
Scopo dell’esercizio: – combinare i simboli scritti con le quantità corrispondenti – familiarizzare con le diverse categorie di numeri, soprattutto per quanto riguarda la lettura dei simboli – esercitare la composizione, scomposizione e la lettura dei grandi numeri – comprendere il valore posizionale delle cifre all’interno di un numero.
Esercizio: Allestiamo i tre tappeti, con l’aiuto dei bambini, in questo modo:
Come nella presentazione precedente, scegliamo un cartello e diamolo al bambino, perchè possa metterlo sul suo vassoio e chiediamogli di andare a prendere la quantità di perle corrispondenti.
Contiamo insieme a lui, mentre trasferisce il materiale scelto dal suo vassoio al tappeto piccolo. Terminato il controllo, chiediamo al bambino di rimettere tutto il materiale a posto, quindi ripetiamo l’esercizio con un altro cartello dei numeri. Ripetiamo questi esercizi almeno un paio di volte.
Quando il bambino esegue con sicurezza l’esercizio, possiamo iniziare a dare al bambino due cartelli dei numeri alla volta, ad esempio 50 e 4.
In fase di controllo, sul tappeto piccolo, chiamiamo sempre il numero formato dai due cartelli: ” 5 decine e 4 unità… Cinquantaquattro”.
Ripetiamo l’esercizio con numeri diversi, poi inseriamo prima anche le centinaia, ed infine anche le migliaia.
Ripetiamo gli esercizi anche invertendoli, cioè dando al bambino una certa quantità di perle, e chiedendogli di portarci i cartelli dei numeri corrispondenti.
Presentazione 4
Materiali: – il set completo delle perle dorate (9 elementi per categoria), – il set completo dei cartelli grandi dei numeri, – un vassoio per ogni bambino partecipante, – tre tappeti e un vassoio.
Scopo dell’esercizio: – combinare i simboli scritti con le quantità corrispondenti; – familiarizzare con le diverse categorie di numeri, soprattutto per quanto riguarda la lettura dei simboli; – esercitare la composizione, scomposizione e la lettura dei grandi numeri; – comprendere il valore posizionale delle cifre all’interno di un numero; – comprendere che, siccome i grandi numeri sono composti da più categorie, lo zero mostra semplicemente un posto vuoto, cioè che mancano elementi di una o più categorie (ad esempio che nel 1304 mancano le decine).
Esercizio: Allestiamo i tre tappeti, con l’aiuto dei bambini, in questo modo:
Prepariamo una cifra coi cartelli dei numeri per ogni bambino, all’inizio utilizzando categorie adiacenti, ad esempio 1436…
Chiediamo ad ogni bambino di portarci le perle corrispondenti alla cifra assegnata, e di trasferire correttamente il materiale sul tappeto, ordinando correttamente sia le perle, sia i cartelli dei numeri.
Mostriamo sempre come posizionare correttamente i cartelli dei numeri.
Per farlo il bambino dovrà sovrapporre i cartelli uno sull’altro sul margine destro
raccogliere le carte, ruotarle in verticale e far scorrere tutti i cartelli sul margine sinistro e poi verso il basso sul lato inferiore
quindi posare il numero composto correttamente sul tappeto.
Leggere sempre il numero: “1 migliaio, 4 centinaia, 2 decine e 6 unità… mille quattrocento venti sei”
Chiedere al bambino di rimettere tutto il materiale al suo posto prima di ripetere l’esercizio anche invertito (cioè preparando un certo quantitativo di perle dorate, e chiedendogli di portarci i cartelli dei numeri corrispondenti e chiedendogli di comporre correttamente la cifra).
Quando i bambini si muovono con sicurezza, passiamo a preparare per loro cifre composte da categorie non adiacenti, chiedendo loro di portarci la quantità di perle corrispondente; ad esempio 2034: lo zero mostra semplicemente un posto vuoto, cioè che mancano elementi di una o più categorie ( in questo caso mancheranno le centinaia).
Ripetiamo gli esercizi invertendo le azioni, cioè preparando una certa quantità di perle dorate (ad esempio 1036) nella quale manchino uno o più categorie, e chiedendo al bambino di portarci i cartelli dei numeri corrispondenti e di comporre correttamente la cifra.
Esercizi con le barrette di perle colorate Montessori e i cartelli dei numeri. Una raccolta di esercizi per aiutare il bambino a memorizzare i numeri ed abbinarli alle relative quantità. Per le presentazioni ho utilizzato i cartelli stampabili e le perle prodotte in proprio Lapappadolce, e i cartelli prodotti da Montessori 3D di Boboto.
Trovi il tutorial per preparare il materiale in proprio qui:
Psicoaritmetica Montessori – Esercizi con le perle dorate e i cartelli dei numeri per bambini della scuola d’infanzia. Dopo aver lavorato col materiale dei cartelli dei numeri
Materiale: – 9 perle delle unità, – 9 barrette delle decine, – 9 quadrati delle centinaia – 9 cubi delle migliaia – il set completo dei cartelli grandi dei numeri – tre tappeti e un vassoio.
Scopo dell’esercizio: – dare una visione generale del sistema decimale; – lavorare al concetto base per cui, arrivati al nove, in qualsiasi gerarchia, si passa all’uno della gerarchia immediatamente superiore.
Esercizio:
Disponiamo su due tappeti separati tutto il materiale delle perle dorate e tutto il materiale dei cartelli grandi dei numeri, in questo modo:
Prepariamo un certo quantitativo di perle sul terzo tappetino, ad esempio 3158
quindi chiediamo al bambino: “Riesci a trovare il numero che indica queste perle?”
Il bambino va al tappeto e compone il numero sul vassoio, quindi ce lo porta.
Controlliamo insieme la corrispondenza tra la cifra e le perle, quindi il bambino riordina i cartelli dei numeri, e noi possiamo preparare un secondo quantitativo di perle
Presentazione 2
Materiale: – 9 perle delle unità – 9 barrette delle decine – 9 quadrati delle centinaia – 9 cubi delle migliaia – il set completo dei cartelli grandi dei numeri – tre tappeti e due vassoi (uno piccolo per i cartelli dei numeri e uno più grande per le perle dorate)
Scopo dell’esercizio: – dare una visione generale del sistema decimale – lavorare al concetto base per cui, arrivati al nove, in qualsiasi gerarchia, si passa all’uno della gerarchia immediatamente superiore.
Esercizio:
Disponiamo su due tappeti separati tutto il materiale delle perle dorate e tutto il materiale dei cartelli grandi dei numeri, in questo modo:
prepariamo sul terzo tappetino una certa cifra utilizzando i cartelli dei numeri, ad esempio 6524
quindi chiediamo al bambino: “Riesci a trovare le perle che corrispondono a questo numero?” Il bambino va al tappeto e raccoglie le perle richieste sul vassoio, quindi le porta sul tappeto.
Controlliamo la quantità insieme al bambino,
quindi mentre il bambino riordina le perle, possiamo preparare per lui una seconda cifra coi cartelli dei numeri.
Presentazione 3
Visione “a volo d’uccello” del sistema decimale
Materiale: 45 perle delle unità, 45 barrette delle decine, 45 quadrati delle centinaia e 45 cubi delle migliaia; il set completo dei cartelli grandi dei numeri; 9 piccoli contenitori per le unità (facoltativi)
Il gioco può essere condotto anche più semplicemente con 45 perle delle unità, 45 barrette delle decine, 45 quadrati delle centinaia e un solo cubo delle migliaia e il set completo dei cartelli dei numeri (togliendo i cartelli da 2000 a 9000)
Scopo dell’esercizio: rafforzamento degli esercizi precedenti con le perle dorate e i cartelli dei numeri; fare pratica nell’organizzare le quantità ed i numeri; offrire al bambino una visione globale del sistema decimale, sia per quantità sia per i rispettivi simboli numerici.
Esercizio:
Disponiamo i nove contenitori per le unità lungo il lato destro del tappeto
e i cartelli dei numeri delle unità in ordine sparso
Apriamo la piccola scatolina che contiene le 45 perle delle unità. Prendiamo dalla scatolina una perla e poniamola nel primo contenitore in alto a destra, contando ad alta voce: “Uno”
e chiediamo al bambino di trovare il cartello del numero corrispondente, che andrà posto a sinistra del contenitore.
Continuare allo stesso modo fino a completare l’intera serie delle unità da 1 a 9.
Arrivati al nove, naturalmente, possiamo ricordare al bambino che se avessimo una perla in più, le perle sarebbero 10, quindi passiamo alla serie delle barrette delle decine,
operando come abbiamo fatto con le unità, fino ad arrivare al 90.
Procediamo allo stesso modo con i quadrati delle centinaia
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori per bambini della scuola d’infanzia e primaria. Per le presentazioni ho usato le mie perle auto prodotte (trovi il tutorial qui)
ho inoltre usato il materiale prodotto da Montessori3D di Boboto.
I cartelli dei numeri comprendono: – unità da 1 a 9, scritte in verde su scheda bianca – decine da 10 a 90, scritte in blu su scheda bianca (larghe uguale, ma lunghe 2 volte la lunghezza delle unità) – centinaia da 100 a 900, scritte in rosso su scheda bianca (larghe uguale, ma lunghe tre volte la lunghezza delle unità) – migliaia da 1000 a 9000, scritte in verde su scheda bianca (larghe uguale, ma lunghe quattro volte la lunghezza delle unità).
Non è forse ovvio dare il colore verde all’unità, all’interno di un sistema numerico, dal momento che ha a che fare con la crescita? Allo stesso modo il verde può simboleggiare il seme che viene messo nella terra.
Per crescere il seme ha bisogno dell’acqua, il cui simbolo è il blu. Come l’unità, pallina dopo pallina, si sviluppa in decina, così il seme diventa germoglio e cresce fino a diventare una chioma d’albero che darà fiori e poi frutti.
Dieci decine formano i centinaio, il cui colore è il rosso, simbolo di energia e di forza. Questa forza, nelle piante, è il frutto che cade al suolo per dare al nuovo seme la possibilità di continuare a diffondersi.
In questo modo ritorniamo alla forma originaria del punto (il migliaio, cui Maria Montessori dà di nuovo il colore verde), che significa sia l’inizio di un altro viaggio nelle tre dimensioni, sia l’espansione dell’energia vitale.
Per questo Maria Montessori parla di psicoaritmetica, filosofia dell’aritmetica, cioè di aritmetica come aiuto allo sviluppo psichico.
Le confezioni di numeri grandi in commercio costano circa 30 euro, quelli piccoli 25 euro. Qui il download gratuito:
___________________________ Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Associare quantità e simboli
Materiale: – un vassoio – cartelli dei numeri – perle dorate: 1 unità, 1 decina, 1 centinaio e 1 migliaio – tappeto.
Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare un tappeto – andiamo allo scaffale della matematica e individuiamo il materiale che intendiamo usare e diciamo: “Oggi svolgeremo una nuova attività con le perle dorate e i cartelli dei numeri” – poniamo il vassoio col materiale a sinistra del tappeto – mettiamo la perla dell’unità sul tappeto e diciamo: “Questa è una unità”. Diamo la perla al bambino in modo che possa sentirla nelle sue mani. Mettiamo il cartello dell’1 sul tappeto e ripetiamo: “Questa è una unità” – chiediamo al bambino di mettere la perla accanto al numero, indichiamo prima il cartello e poi la perla e diciamo: “Una unità”
– mettiamo la barretta della decina sul tappeto e diciamo: “Questa è una unità”. Diamo la barretta al bambino in modo che possa sentirla nelle sue mani. Mettiamo il cartello del 10 sul tappeto e ripetiamo: “Questa è una decina” – chiediamo al bambino di mettere la barretta accanto al numero, indichiamo prima il cartello e poi la barretta e diciamo: “Una decina”
– mettiamo il quadrato del 100 sul tappeto e diciamo: “Questa è un centinaio”. Diamo il quadrato al bambino in modo che possa sentirlo nelle sue mani. Mettiamo il cartello del 100 sul tappeto e ripetiamo: “Questo è un centinaio” – chiediamo al bambino di mettere il quadrato accanto al numero, indichiamo prima il cartello e poi il quadrato e diciamo: “Un centinaio”
– mettiamo il cubo del 1000 sul tappeto e diciamo: “Questa è un migliaio”. Diamo il cubo al bambino in modo che possa sentirlo nelle sue mani. Mettiamo il cartello del 1000 sul tappeto e ripetiamo: “Questa è un migliaio” – chiediamo al bambino di mettere il cubo accanto al numero, indichiamo prima il cartello e poi il cubo e diciamo: “Un migliaio”
– procediamo con la nostra lezione in tre tempi chiedendo prima al bambino di indicarci perle e numero, ad esempio dicendo: “Indicami il centinaio”, “Qual è il migliaio?”, Mostrami la decina”, ecc… Ripetiamo più volte, cambiando di tanto in tanto l’ordine dei cartelli
– infine (terzo tempo) poniamo un numero davanti al bambino e chiediamogli di dircene il nome: “Che numero è questo?”. “A quale quantità di perle è uguale?”. Il bambino risponde. Rimettiamo a lato il numero e le perle, e proponiamogli via via gli altri – dopo la lezione in tre tempi ordiniamo il materiale sul tappeto mettendo in alto il cartello dell’unità e la perla, e incolonniamo il restante materiale e ripetiamo indicando via via il materiale: “Una unità, uno”, “Una decina, dieci”, “Un centinaio, cento”, “Un migliaio, mille” – raccogliamo i cartelli: prendiamo il cartello del mille, sovrapponiamo ad esso quello del 100 allineandolo a sinistra, poi quello del 10 e infine quello dell’1. Facciamo scivolare i cartelli verso destra, in modo che compaia il numero 1111 e diciamo: “Mille, cento, dieci, uno” – scomponiamo nuovamente mettendo i cartelli in riga dal migliaio all’unità e leggiamo: “Un migliaio, un centinaio, una decina, una unità” – al termine della presentazione rimettiamo il materiale sul vassoio e riportiamolo sullo scaffale – chiediamo al bambino di riarrotolare il tappeto e riporlo nel suo cesto.
__________________________ Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Vista a volo d’uccello del sistema decimale
Materiale: – cartelli dei numeri – il materiale completo delle perle dorate – tappeto
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare il tappeto – andiamo allo scaffale della matematica e indichiamo il materiale dicendo: “Oggi faremo l’esercizio della visione a volo d’uccello” – portiamo il materiale al tappeto – disponiamo i due set completi di perle e cartelli, cominciando col mettere la perla singola dell’uno nell’angolo superiore destro del tappeto e il cartello dell’1 accanto alla perla, alla sua sinistra – indichiamo l’unità e diciamo: “Questa è una unità” – indichiamo il cartello dell’1 e diciamo: “Questa è una unità” – procediamo allo stesso modo fino al 9, con i cartelli dei numeri e le perle – continuiamo allo stesso modo con le decine, le centinaia e le migliaia.
– al termine della presentazione rimettiamo il materiale sul vassoio e riportiamolo sullo scaffale – chiediamo al bambino di riarrotolare il tappeto e riporlo nel suo cesto. Trovi un’altra versione di questa presentazione qui:
Scopo: dare al bambino una visione a volo d’uccello dell’associazione tra quantità e simboli scritti utilizzando i cartelli dei numeri e le perle dorate.
________________________ Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Esercizio di gruppo con le schede e le perle dorate per un gruppo di bambini
Materiale: – cartelli dei numeri, – 9 perline dorate delle unità, – 9 barrette delle decine, – 9 quadrati delle centinaia – 9 cubi delle migliaia – due vassoi – due tappeti.
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Presentazione – invitiamo un gruppo di bambini ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamo di srotolare i due tappeti – andiamo allo scaffale della matematica e indichiamo i vassoi col materiale che intendiamo usare e diciamo: “Oggi faremo un nuovo esercizio con le perle dorate e i cartelli dei numeri” – portiamo il vassoio dei cartelli su un tappeto e il vassoio delle perle sull’altro – disponiamo i cartelli dei numeri sul tappeto, in quattro colonne come al solito, con le unità a destra e le migliaia a sinistra – le perle dorate vengono poste in sequenza sull’altro tappeto:
– mettiamo una certa quantità di perline dorate sul vassoio, ad esempio 2 quadrati delle centinaia. Poi chiediamo: “Quante sono?”
– quando i bambini rispondono”Duecento”, chiediamo: “Chi vuole prendere il vassoio e mettere la scheda del numero 200 accanto alle perline dorate?”
– terminato il lavoro col 200, rimettiamo a posto il cartello e le perle inserendoli correttamente nei loro schemi e prepariamo un’altra quantità di perline dorate – continuiamo allo stesso modo, proponendo vari esempi:
– poi l’esercizio può essere invertito: mettiamo un cartello sul vassoio, e chiediamo ai bambini di aggiungervi la quantità di perline dorate corrispondenti:
– una volta che i bambini hanno acquisito padronanza dell’esercizio, si possono comporre quantità formate da ordini di grandezza vari
– al termine della presentazione rimettiamo il materiale sul vassoio e riportiamolo sullo scaffale – chiediamo al bambino di riarrotolare il tappeto e riporlo nel suo cesto.
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Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Il gioco del 9
Materiale: – cartelli dei numeri – 10 perle delle unità, 10 barrette della decina, 10 quadrati delle centinaia e un cubo delle migliaia – un vassoio – un tappeto.
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare un tappeto – andiamo allo scaffale della matematica e individuiamo il materiale che intendiamo usare dicendo: “Oggi faremo una nuova attività con le perle dorate e i cartelli dei numeri” – portiamo il vassoio al tappeto – iniziando la presentazione utilizzando solo le perle dorate e presentando i numeri solo oralmente (senza cartelli) – prendiamo la ciotola delle unità e mettiamole una ad una di fronte al bambino contandole: uno, due, tre, quattro, cinque, sei, sette, otto, nove
– arrivati a nove diciamo: “Se aggiungiamo un’altra perla arriviamo a 10, ma sappiamo che il dieci è una barretta della decina:
– riponiamo le perle singole, prendiamo le barrette delle decine e cominciamo a contarle: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta – arrivati a 90 diciamo: se aggiungiamo un’altra decina arriviamo a 100, ma sappiamo che per il 100 utilizziamo il quadrato di perle:
– prendiamo un quadrato e confrontiamolo,
– quindi riponiamo le barrette e continuiamo coi quadrati, contandoli mentre li impiliamo: cento, duecento, trecento, quattrocento, cinquecento, seicento, settecento, ottocento, novecento – arrivati a 900 diciamo: se aggiungiamo un’altro quadrato arriviamo a 1000, ma sappiamo che per il 1000 noi usiamo il cubo di perle:
– confrontiamo i 10 quadrati col cubo
– riponiamo i quadrati e lasciamo sul tappeto soltanto il cubo, quindi riponiamo anch’esso sul vassoio – ripetiamo l’esercizio utilizzando anche i cartelli dei numeri, per aggiungere al conteggio la lettura del simbolo e rendere ancora più evidente il passaggio da un gerarchia ad un’altra quando si supera il 9 – procediamo come abbiamo fatto per preparare la visione a volo d’uccello, ma questa volta mettiamo accanto ad ogni numero una sola unità, poi mentre contiamo le unità facciamo sempre scendere una perla fino ad arrivare al 9:
– arrivati a nove diciamo: “Se aggiungiamo un’altra perla arriviamo a 10, ma sappiamo che il dieci è una barretta della decina:
– riponiamo le perle singole, prendiamo le barrette delle decine e cominciamo a contarle: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta
– arrivati a 90 diciamo: se aggiungiamo un’altra decina arriviamo a 100, ma sappiamo che per il 100 utilizziamo il quadrato di perle:
– prendiamo un quadrato e confrontiamolo,
– quindi riponiamo le barrette e continuiamo coi quadrati, contandoli mentre li impiliamo: cento, duecento, trecento, quattrocento, cinquecento, seicento, settecento, ottocento, novecento
– arrivati a 900 diciamo: se aggiungiamo un’altro quadrato arriviamo a 1000, ma sappiamo che per il 1000 noi usiamo il cubo di perle:
– confrontiamo i 10 quadrati col cubo
– riponiamo i quadrati e lasciamo sul tappeto soltanto il cubo, quindi riponiamo anch’esso sul vassoio
– possiamo decidere di fermarci qui oppure proseguire con le migliaia fino a 9000 – arrivati a 9000 qualche bambino potrebbe chiedersi cosa viene dopo e ne potremmo discutere: diecimila, centomila, ecc. – al termine della presentazione rimettiamo il materiale sul vassoio e riportiamolo sullo scaffale – chiediamo al bambino di riarrotolare il tappeto e riporlo nel suo cesto.
___________________________ Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Associare le quantità ai cartelli dei numeri
Materiali: – cartelli dei numeri – set completo delle perle dorate – due tappeti e un vassoio (in alternativa possiamo anche scegliere di usare tre tappeti: uno per le perle dorate, uno per i cartelli, e uno per l’esercizio. In questo caso avremo due vassoi: uno per trasportare le perle e uno per trasportare i cartelli. Comporremo in questo caso numero e quantità sul terzo tappeto)
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare i tappeti – andiamo allo scaffale della matematica, indichiamo il materiale che intendiamo utilizzare e diciamo: “Oggi faremo un nuovo esercizio con le perle dorate e i cartelli dei numeri – con l’aiuto del bambino disponiamo i cartelli dei numeri sul tappeto in colonne per unità, decine, centinaia e migliaia – con l’aiuto del bambino disponiamo separatamente le perle dorate, in colonne per unità, decine, centinaia e migliaia – se scegliamo di usare tre tappeti mettiamo due vassoi sul terzo tappeto (uno per le perle dorate e uno per i cartelli) – formiamo una certa quantità di perle sul vassoio scegliendo due sole gerarchie adiacenti (ad esempio decine e unità, o centinaia e decine) – chiediamo al bambino di contarle e comporre il numero corrispondente alla quantità di perle:
– quando il bambino ha completato l’esercizio, verificare il risultando scomponendo la cifra e mettendo unità, decine, centinaia e migliaia accanto alle relative perle – poi possiamo proporre tre categorie vicine (centinaia, decine e unità o migliaia, centinaia e decine)
– poi possiamo usare tutte le quattro categorie
– quando il bambino ha completato l’esercizio, verificare il risultando scomponendo la cifra e mettendo unità, decine, centinaia e migliaia accanto alle relative perle
– infine possiamo omettere una categoria, ad esempio scegliendo migliaia, centinaia e unità. Se non mettiamo una categoria di perle sul vassoio, non ci saranno cartelli dei numeri per quella data categoria. Dovremo evidenziare questa situazione che corrisponde a “zero” mentre il bambino esegue l’esercizio:
– a questo punto possiamo invertire l’esercizio e prima comporre un numero, poi chiedere al bambino di portare la quantità di perle corrispondente – componiamo un numero con i cartelli un numero formato da due cifre (scelte fra gerarchie adiacenti, ad esempio decine e unità, o centinaia e decine) e mettiamolo su un vassoio – chiediamo al bambino di prendere la quantità di perle corrispondenti al numero:
poi tre, poi quattro gerarchie:
infine tre categorie non adiacenti:
– al termine della presentazione rimettiamo il materiale sul vassoio e riportiamolo sullo scaffale – chiediamo al bambino di riarrotolare i tappeti e riporli nel cesto.
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Scopo: – creare un collegamento tra il concreto e l’astratto – associare quantità e simboli all’interno del sistema decimale – sperimentare le quantità mentre si leggono i numeri – acquisire familiarità con le diverse gerarchie di numeri sia con le quantità di perle sia con i cartelli dei numeri – mostrare come si compongono i grandi numeri – mostrare che per ogni categoria ci sono solo 9 numeri e che la loro posizione è determinata dallo zero – aiutare il bambino a comprendere che nel sistema decimale ogni volta che si supera il 9 si passa alla gerarchia successiva – preparare a lavorare con le quattro operazioni.
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Note: – le prime volte evitiamo di scegliere cartelli che presentano lo stesso numero iniziale (ad esempio 10 e 100) – controlliamo che il bambino prenda il vassoio dal giusto verso (le unità devono trovarsi alla sua destra) – quando il bambino ha terminato l’esercizio dovrà rimettere il materiale correttamente all’interno degli schemi delle perle e dei cartelli – una volta presentati gli esercizi, il bambino li può ripetere tutte le volte che lo desidera – quando il bambino ha compreso gli esercizi presentati, nella sua mente non solo si crea l’associazione simbolo-quantità, ma avviene una sintesi mentale. Questa sintesi mentale, cioè il segreto del sistema decimale, è il punto d’arrivo di tutto il lavoro. Grazie a questi esercizi il bambino comprende l’essenza del sistema decimale.
Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori Età: – dai 4 anni e mezzo circa, dopo aver lavorato con le perle e i cartelli separatamente.
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Esercizi coi cartelli dei numeri e le perle dorate Montessori
Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri per bambini della scuola d’infanzia. Per le presentazioni ho utilizzato i cartelli stampabili Lapappadolce e i cartelli prodotti da Montessori 3D di Boboto.
Il materiale a disposizione dei bambini per comprendere il sistema decimale è triplice, essendo costituito di oggetti, numeri e parole. Gli oggetti sono le perle, mentre per i numeri ed i loro nomi abbiamo molti materiali, tra i quali i cartelli dei numeri.
Si tratta di una serie di cartelli, le cui dimensioni sono proporzionali alle gerarchie dei numeri e i cui colori sono i seguenti: – verde per la serie da 1 a 9 e da 1000 a 9000
– blu per la serie da 10 a 90
– rosso per la serie da 100 a 900.
I cartelli per le nove unità sono uguali tra loro, e simili a quelli usati per la prima numerazione con le aste numeriche. I cartelli per le nove decine sono di grandezza doppia, perchè necessitano di spazio per contenere lo zero. I cartelli per le centinaia hanno una lunghezza tripla di quelli delle unità per lasciar spazio per due zeri.
I cartelli per le migliaia, che hanno bisogno di uno spazio per tre zeri, hanno una lunghezza quadrupla di quelli delle unità.
Di seguito trovate qualche esercizio che è possibile fare con i bambini utilizzando i cartelli dei numeri, in preparazione del loro utilizzo con le perle dorate:
Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri Presentazione 1
Materiale: i cartelli grandi dei numeri 1, 10, 100 e 1000
Età: dai quattro ai cinque anni
Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri Lezione in tre tempi
Primo tempo: Poniamo sul tavolo, di lato, i cartelli dei numeri, in questo modo:
Mostriamo al bambino la carta dell’unità ripetendo più volte il nome del numero: “Uno… uno… Questo è il nostro modo di scrivere uno”
Sostituiamo con il numero 10, nominandolo più volte e facendolo ripetere al bambino.
Sostituiamo quindi col cartello del 100
e infine col cartello del 1000. “Questo è il modo in cui scriviamo un centinaio.” Lei poi lo mette al suo fianco e mostra al bambino la carta “1000” e dice: “Questo è il modo in cui scriviamo mille.”
Secondo tempo: disponiamo le carte davanti al bambino in ordine casuale, e chiediamo: “Indicami il cento”, “Qual è il mille?”, Mostrami il dieci”, ecc… Ripetiamo più volte, cambiando di tanto in tanto l’ordine dei cartelli.
Terzo tempo: quando il bambino ha compreso l’esercizio e lo esegue facilmente e senza errori, poniamo i cartelli dei numeri a un lato del tavolo, fuori dalla vista del bambino. Poniamo un numero davanti al bambino e chiediamogli di dircene il nome: “Che numero è questo?”. Il bambino risponde. Rimettiamo a lato il numero, e proponiamogli via via gli altri.
Ricapitolazione: al termine della lezione, mettiamo tutti i cartelli a lato del tavolo. Quindi mettiamo il 1000 davanti al bambino e diciamo: “Oggi abbiamo imparato che questo è modo di scrivere mille”. Poi sostituiamo col cartello del 100 e diciamo “Questo è il modo di scrivere cento”, e continuiamo così con il cartello del dieci e quello dell’uno.
Infine prendiamo uno alla volta i cartelli dei numeri a partire dal 1000, sovrapponendoli e dicendo : “Mille, cento, dieci, uno.”, e sovrapponendoli così:
______________ Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri Presentazione 2
Materiale: il set completo dei cartelli grandi dei numeri
Età: a partire dai quattro anni
Scopo dell’esercizio: comprendere che ogni volta che viene raggiunto il nove, si passa all’uno della gerarchia immediatamente superiore; saper leggere i simboli scritti
Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri Esercizio:
Portiamo il materiale al tavolo del bambino e sediamoci accanto a lui. Prendiamo una alla volta i cartelli delle unità, e chiediamo al bambino di nominarle.
Poniamo sul tavolo l’1 in alto a destra, e le unità successive in una colonna verticale, una sotto l’altra, fino al 9.
Prendiamo quindi i cartelli delle decine, a partire dal 10.
Poniamo il 10 a sinistra dell’1, parallelo ad esso.
Il bambino nomina una ad una le decine, che vengono disposte in ordine sotto al 10. (I nomi venti, trenta, fino a novanta verranno insegnate in una lezione successiva. In questo esercizio diremo semplicemente una decina, due decine, nove decine…)
Prendiamo poi i cartelli delle centinaia. Poniamo il 100 a sinistra del 10, parallelo ad esso. Formiamo la colonna delle centinaia, mentre il bambino nomina i vari cartelli: “100, 200, 900 …”.
Infine prendiamo i cartelli delle migliaia. Poniamo il cartello del 1000 a sinistra del 100 e parallelo ad esso. Disponiamo quindi la colonna delle migliaia successive, mentre il bambino le nomina: “Mille, duemila…novemila…”.
Osserviamo il risultato insieme al bambino. Abbiamo una chiara impressione visiva della successione dei numeri da 1 a 9 per ognuna delle gerarchie. E’ bene ripetere questo esercizio per più giorni successivi. Teniamo quindi il materiale sullo scaffale, a disposizione del bambino.
Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri Presentazione 3 (un gioco di gruppo)
Materiale: il set completo dei cartelli grandi dei numeri, un vassoio
Materiale: il set completo dei cartelli grandi dei numeri, un vassoio
Età: a partire dai 4 anni e mezzo
Scopo dell’esercizio: fare pratica nella composizione e nella lettura dei numeri da 1 a 9999.
Esercizio: si tratta di un esercizio che può essere condotto da un gruppo di 3 – 5 bambini.
Disponiamo con l’aiuto dei bambini tutti i cartelli dei numeri sul tappeto, in questo modo:
I bambini staranno sul lato del tappeto che consente loro di vedere sempre i cartelli dal verso giusto, mentre noi possiamo metterci sul lato opposto.
Mettiamo un cartello sul vassoio, e chiediamo: “Chi sa di che numero si tratta?” I bambini rispondono. Rimettiamo quindi il cartello al suo posto e mettiamone via via altri. In questa prima fase metteremo sul vassoio un solo cartello alla volta.
Nei giorni successivi possiamo anche invertire l’esercizio, e chiedere ai bambini di mettere sul vassoio una certa cifra, dicendo ad esempio: “Chi vuole mettere mettere 300 sul vassoio?” “Chi vuole trovare il 6000?” ecc…
E’ importate fare molti di questi esercizi, per un certo periodo di tempo. Quando i bambini riescono facilmente a riconoscere le cifre, possiamo comporre numeri formati da due, tre, quattro gerarchie differenti, ed i bambini impareranno a leggerli.
Ad esempio potremo preparare sul vassoio il numero 3800.
Se i bambini mostrano qualche difficoltà, all’inizio, possiamo separare i due cartelli ponendoli in colonna uno sotto l’altro,dicendo: “Questo è tremila, e questo è ottocento”
e poi sovrapporli nuovamente, dicendo: “Così li mettiamo insieme per fare il tremilaottocento”.
Ripetiamo l’esercizio nei giorni successivi, aumentando gradualmente la complessità, finchè i bambini non saranno in grado di leggere e comporre qualsiasi numero da 1 a 9999.
_________________________________ Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri per bambini della scuola d’infanzia e primaria. Le perle fotografate nelle presentazioni sono di Montessori 3D di Boboto.
Il materiale dello scaffale delle perle colorate comprende, per ciascuno dei dieci numeri: – il bastoncino che lo rappresenta (prima potenza); – tanti quadrati del numero quante sono le unità costituenti la base (seconda potenza), – un cubo formato di tanti quadrati quante sono le unità costituenti la base (terza potenza); – una catena fatta di tante perle quante sono quelle del quadrato, in cui risultano distinti i diversi bastoncini costituenti il quadrato – una catena corrispondente al cubo: in essa si distinguono le catene dei quadrati e, nell’ambito di queste ultime, i bastoncini rappresentanti le basi.
__________________ Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività 1 – forme geometriche con le catene corte
Materiale: – catene corte – tappeto.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Descrizione dell’attività: – mettiamo le catene corte sul tappeto – prendiamo la catena del tre e formiamo il triangolo – chiediamo al bambino di identificare la forma – proseguiamo in ordine con le altre catene, componendole in fila sul tappeto; possiamo anche chiedere al bambino di prevedere la forma successiva prima di comporla.
Età: dai 4 anni.
Scopo: oltre a familiarizzare con le catene corte dello scaffale, il bambino impara che c’è un collegamento tra i numeri e la geometria. Rinforza inoltre la nomenclatura relativa alle forme geometriche.
___________________ Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività 2 – forme geometriche concentriche con le catene corte
Materiali: – catene corte – tappeto.
Descrizione dell’attività: – con la catena del 3 formiamo sul tappeto il triangolo, poi con la catena del 4 costruiamo in quadrato attorno al triangolo e proseguiamo così con tutte le altre catene. Ogni volta verbalizziamo quello che abbiamo fatto dicendo, ad esempio: “Il triangolo è inscritto nel quadrato”, “Il quadrato circoscrive il triangolo ed è inscritto nel pentagono” e così via.
Età: dai 4 anni.
Scopo: oltre a familiarizzare con le catene corte dello scaffale, il bambino impara che c’è un collegamento tra i numeri e la geometria. Rinforza inoltre la nomenclatura relativa alle forme geometriche.
_______________________ Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività 3 – esplorazione del quadrato
Materiale: – cartellini in bianco e matita – catene corte di ogni numero – quadrati di ogni numero.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Descrizione dell’attività: – prendiamo ad esempio la catena corta del 5, distendiamola sul tappeto, quindi ripieghiamola in modo da formare il quadrato. Chiediamo: “Che cosa abbiamo fatto?”. Il bambino risponderà: “Un quadrato” – indichiamo la base del quadrato e diciamo: “Per base abbiamo cinque perle”. Scriviamo su un cartellino 5 – indichiamo il lato e diciamo: “Per lato abbiamo 5 perle”. Scriviamo 5 su un altro cartellino
– diciamo: “Questa forma è un quadrato, possiamo verificarlo confrontandolo col quadrato del 5” – compariamo la catena ripiegata col quadrato del 5 – diciamo: “Quando parliamo di questo quadrato possiamo dire che si tratta di cinque per cinque volte, che formano il quadrato del cinque. In matematica per scrivere cinque al quadrato facciamo così”
– prendiamo un terzo cartellino e scriviamo 5² dicendo: “Prima si scrive 5, e poi 2 in alto e a destra del numero” – diciamo: “Ora siamo in grado di dire che cinque preso cinque volte mi dà cinque alla seconda” – scriviamo su due cartellini i segni dell’operazione e componiamo 5 x 5 = 5²
– continuiamo allo stesso modo con altre catene.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri _________________ Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività 4 – esplorazione del quadrato
Materiale: – cartellini bianchi e matita – catene corte – quadrati dei numeri.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Descrizione dell’attività: – mettiamo la catena del quadrato dell’1 sul tappeto, a sinistra, e chiediamo: “Cosa abbiamo qui? Abbiamo 1 preso 1 volta”. Scriviamo su un cartellino 1 x 1. Diciamo: “Il risultato dell’operazione è 1²”. Scriviamo 1² su un cartellino ed affianchiamolo al primo. Chiediamo: “Qual è il suo valore? Il suo valore è 1”. Scriviamo 1 su un altro cartellino e affianchiamolo al secondo
mettiamo la catena corta del 2 sotto alla prima e ripieghiamola. Diciamo: “Qui abbiamo 2 preso 2 volte”. Scriviamo 2 x 2. Diciamo: “Si tratta del quadrato del 2, cioè due al quadrato, che si scrive così”. Scriviamo 2² su un altro cartellino. Chiediamo: “Qual è il valore di 2². Il valore è 4”. Scriviamo 4 su un altro cartellino. Continuiamo così fino alla catena corta del 10.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
_______________________ Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività 5 – esplorazione del cubo
Materiale: – cartellini bianchi e matita – catene lunghe – quadrati e cubo dei numeri.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Descrizione dell’attività: – prendiamo ad esempio la catena lunga del 5 e disponiamola in linea retta sul tappeto, quindi ripieghiamola per formare i quadrati. Chiediamo ai bambini: “Cosa abbiamo fatto? Abbiamo ottenuto un quadrato di 5 preso 5 volte” – sovrapponiamo un quadrato su ogni quadrato formato dalla catena ripiegata
– raccogliamo i quadrati e impiliamoli uno sull’altro per formare un cubo
– indichiamo i 5 quadrati sovrapposti e chiediamo: “Quale forma abbiamo ottenuto? Un cubo”. – scriviamo su un cartellino 5 x 5. Indichiamo il primo quadrato e mettiamo su di esso il cartellino che abbiamo scritto
– diciamo: “5 x 5 è il quadrato di cinque, che possiamo anche scrivere 5²”. Scriviamo il cartellino, mettiamo 5 x 5 sul tappeto e 5² sul primo quadrato
– ricontiamo i quadrati, che sono cinque, e diciamo “Il cubo è formato da 5 x 5 per 5 volte” – prendiamo il cubo del 5 per confrontarlo con quello formato dai quadrati. Si tratta proprio di un cubo. Indichiamo il primo quadrato, poi contiamolo con i rimanenti quadrati: “Il cubo è formato da 5 quadrati”. Scriviamo su un nuovo cartellino il numero 5 e posizioniamolo in verticale lungo uno spigolo del cubo. Diciamo: “Il cubo è formato da 5 x 5 x 5”. Aggiungiamo x 5 al 5 x 5 al cartellino sul tappeto e togliamo il 5 dal cubo
“Per indicare 5 x 5 x 5, che è anche 5² x 5 scriviamo 5³. Cinque alla terza è il cubo del cinque” – mettiamo il cartellino a fianco del primo cartellino sul tappeto: 5² x 5 = 5 × 5 x 5 = 5³ – contando la catena possiamo anche conoscere il valore del cubo
– continuiamo queste esplorazioni con altre catene.
_______________________ Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività 6 – esplorazione del cubo
Materiali: – cartellini bianchi e matita – catene lunghe, quadrati e cubi dei numeri.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Descrizione dell’attività: – portiamo il materiale sul tappeto – prendiamo la perla dell’1 che rappresenta il numero 1, il quadrato di 1 e il cubo di 1. – diciamo: “Uno preso una volta è 1 x 1, cioè 1². Qual è il suo valore? 1.”. Scriviamo su un cartellino 1 x 1 = 1² = 1 e mettiamolo sul tappeto. Diciamo: “Il suo cubo è 1² x 1, cioè 1³. Qual è il suo valore? Sempre 1”. Scriviamo su un altro cartellino 1 x 1 x 1 = 1³ = 1 e mettiamolo sul tappeto. – prendiamo i due quadrati del 2 e mettiamoli uno sull’altro. Diciamo: “Questo è un quadrato del 2 preso due volte, che insieme formano il cubo del 2”. Confrontiamo col cubo del 2. Scriviamo su un cartellino 2² x 2. Diciamo “Due al quadrato per due è come dire 2 x 2 x 2, che è come dire due al cubo”. Scriviamo su un altro cartellino 2 x 2 x 2 = 2³ e chiediamo: “Qual è il suo valore?”. I bambini rispondono contando le perle o se serve utilizzando la catena lunga del 2 e noi completiamo il cartellino: 2 x 2 x 2 = 2³ = 8 – prendiamo tre quadrati del 3 e mettiamoli uno sull’altro. Diciamo: “Questo è un quadrato del 3 preso 3 volte, che insieme formano il cubo del 3”. Confrontiamo col cubo del 3. Scriviamo su un cartellino 3² x 3. Diciamo “Tre al quadrato per tre è come dire 3 x 3 x 3, che è come dire tre al cubo”. Scriviamo su un altro cartellino 3 x 3 x 3 = 3³ e chiediamo: “Qual è il suo valore?”. I bambini rispondono a memoria, o contando le perle o se serve utilizzando la catena lunga del 3 e noi completiamo il cartellino: 3 x 3 x 3 = 3³ = 27 – proseguiamo allo stesso modo con tutti i cubi fino a 10 x 10 x 10
_______________________ Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività 7 – forme geometriche con le catene lunghe
Materiale: – catene lunghe – quadrati e cubi.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Descrizione dell’attività: – prendiamo una catena lunga e componiamo con essa una versione più grande della stessa forma che avevamo creato con la catena corta corrispondente (ad esempio il triangolo per quella del 3)
poniamo un quadrato ad ogni angolo della forma, ed in cubo nel centro.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri Attività – la piramide dei quadrati dei numeri
Materiali: -i quadrati dei numeri.
Descrizione dell’attività:
– mettiamo i quadrati uno sull’altro a formare una piramide, dal quadrato del 10 a quello dell’1
– diciamo al bambino: “Oggi calcoleremo il valore di questa piramide”
– cominciando dal quadrato dell’1 procediamo nei conteggi:
Se paragoniamo la torre dei cubi di perle con la torre rosa, sapendo che il cubo dell’ 1 misura 1 centimetro cubo, diremo che la torre rosa misura 3025 cm³.
Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Lo scaffale delle perle colorate Montessori: presentazione generale. In questo materiale troviamo i numeri da 1 a 9. A questi si aggiunge il quadrato del 10, che i bambini hanno già incontrato col materiale del sistema decimale (perle dorate). Nello scaffale delle perle colorate avremo quindi 1 x 1 – 2 x 2 – 3 x 3 – 4 x 4 – 5 x 5 – 6 x 6 – 7 x 7 – 8 x 8 – 9 x 9 – 10 x 10.
Nelle presentazioni che seguono il materiale fotografato è di Montessori 3D di Boboto.
Oltre al quadrato, abbiamo anche per ogni numero la sua rappresentazione moltiplicata per tre volte, cioè il suo cubo. Avremo quindi le rappresentazioni di: 1 x 1 x 1 – 2 x 2 x 2 – 3 x 3 x 3 – 4 x 4 x 4 – 5 x 5 x 5 – 6 x 6 x 6 – 7 x 7 x 7 – 8 x 8 x 8 – 9 x 9 x 9 – 10 x 10 x 10.
I bambini hanno già incontrato il quadrato e il cubo del 10 col materiale delle perle dorate, dove hanno imparato a conoscere il quadrato formato da 10 x 10 = 100 e il cubo formato da 100 x 10 = 1000 perle:
Quadrato di un numero è il nome che usiamo per la seconda potenza e cubo quello per la terza potenza. I nomi (quadrato e cubo) e la forma che il materiale permette di mostrare anche a livello sensoriale permettono di considerare i numeri da un punto di vista geometrico.
Con questo materiale possiamo visualizzare ogni numero alla prima potenza:
elevato alla seconda potenza (quadrato):
ed elevato alla terza potenza (cubo):
Ogni numero, dalla prima alla terza potenza, ha lo stesso colore delle barrette di perle che i bambini usano anche per il Serpente per la ricerca del 10
Nello scaffale delle perle per ogni numero, da 1 a 10, abbiamo: – la barretta che lo rappresenta (prima potenza); – i quadrati del numero (seconda potenza), ripetuti il numero stesso, di modo che se sovrapposti possano formare il suo cubo – un cubo unito (terza potenza); – una catena fatta di tante perle quante sono quelle del quadrato – una catena corrispondente al cubo.
Questo materiale permette di studiare separatamente i numeri nella loro prima, seconda e terza potenza, e di svolgere numerosi esercizi che portano il bambino a fare comparazioni.
La rappresentazione in forma di quadrato permette la sovrapposizione dei diversi quadrati e tutta una serie di esercizi che rendono evidenti al bambino le relazioni numeriche e geometriche tra i quadrati stessi:
Confrontando i cubi rigidi e le catene lunghe i bambini posso vedere la grandissima differenza che c’è tra quadrato e cubo di un numero, la lunghezza del quadrato e del cubo e la loro progressione passando dalla catena di un numero e quella di un altro.
Confrontando poi quadrati e cubi il bambino fa l’esperienza sensoriale di come, sovrapponendo i quadrati, si sviluppa la terza dimensione. Per ogni numero abbiamo, come detto, il numero di quadrati che serve per formare il cubo, e questo permette la scomposizione del cubo stesso. Il bambino veder che il numero di perle che costituisce il cubo è uguale a quello del cubo formato sovrapponendo i quadrati dello stesso colore. Con la catena poi vede che il quadrato è formato da tante barrette quante sono quelle presenti nella catena.
Prendiamo ad esempio il numero 5. I tre numeri 5 x 5 x 5 rappresentano il numero delle perle che si possono contare nei tre spigoli uscenti da uno stesso vertice del cubo
La geometria acquista così un substrato numerico rendendo, nello stesso tempo, più chiaro il concetto del valore del cubo.
Se sovrapponiamo i dieci cubi uno all’altro, dal più grande al più piccolo, otteniamo una torre simile alla torre rosa, che i bambini hanno imparato a conoscere già nella Casa dei Bambini La cosa interessante è che le due torri si possono mettere in relazione tra loro. Questo permette di mettere in relazione un dato geometrico (la torre rosa) con un dato aritmetico (la torre di perle), perchè i cubi della Torre Rosa misurano da 1 cm³ a 10 cm³ e la torre di perle è formata da 1³ a 10³ perle:
E’ quindi possibile calcolare quanti cm² misura la faccia di ogni cubo della torre rosa: 10² = 100 / 9² = 100 / 8² = 100 / 7² = 100 / 6² = 100 / 5² = 100 / 4² = 100 / 3² = 100 / 2² = 100 / 1² = 100
Ed è anche possibile calcolare il volume di ogni cubo della torre rosa: 10³ = 100 / 9³ = 100 / 8³ = 100 / 7³ = 100 / 6³ = 100 / 5³ = 100 / 4³ = 100 / 3³ = 100 / 2³ = 100 / 1³ = 100.
Possiamo anche dire, quindi, che il cubo più grande della torre rosa è formato da 1000 dei cubi più piccoli. Il cubo più piccolo è, nella torre rosa, l’unità del sistema.
Tra le principali attività che i bambini possono svolgere con le catene (lunghe e corte) c’è quella del conteggio lineare, che consiste nel contare e numerare le perle a una a una o per raggruppamenti (tabelline):
Maria Montessori riporta così la sua esperienza: “Tali catene di perle dai colori così brillanti esercitano sui bambini un fascino straordinario, suscitando in essi un’attività instancabile di conteggio. Sono particolarmente interessati dalla catena del 1000, la più lunga: si vedono i bambini contare le perle a una a una fino alla fine. Siccome tale lavoro è faticoso e i bambini non possono portarlo a termine in una sola giornata, vi ritornano il giorno dopo, continuando l’operazione da dove l’avevano interrotta”.
Lo scaffale delle perle colorate Montessori
Le prime catene che i bambini contano (per 10) per iniziare sono quelle del 100 e del 1000. Infatti contare la catena del 100 e contare per gruppi la catena del 1000, ricorda al bambino le attività svolte con le perle dorate del sistema decimale:
Questo esercizio di conteggio per raggruppamenti di numeri diventa un esercizio di memorizzazione delle tabelline quando si lavora alle altre catene.
Esiste, in relazione alle catene, un materiale di piccole frecce di cartoncino dello stesso colore delle perle.
frecce per contare le perle colorate Montessori per stampante bianco/nero
frecce per contare le perle colorate Montessori (per stampante a colori)
Le frecce in genere si mettono accanto a ciascuna perla della prima barretta, e poi accanto alla perla che conclude ogni barretta.
Il fatto che le catene siano snodate, rende possibile ripiegarle in modo da formare un quadrato, o ottenere una serie di tanti quadrati quante sono quelle che occorrono a formare un cubo.
L’aumento di quantità che il bambino sperimenta contando per raggruppamenti fino al cubo di ogni numero, lo sostiene nella formazione del concetto astratto di “potenza” e di “multiplo” di un numero.
Lo scaffale delle perle colorate Montessori
La grande importanza di questo materiale sta nel fatto che permette al bambino di comprendere “la costruzione creata artificialmente dall’uomo attorno ai numeri”. I numeri infatti seguono una regola comune: l’obbedienza alla legge del gruppo. Ogni numero è formato da singole unità (il 4 è formato da quattro elementi), e quando gli elementi si organizzano in gruppo, obbediscono alle sue leggi. “In ogni gruppo (la linea rappresentata dalla barretta) è presente, in misura diversa, il cittadino comune che è l’unità, il gradino iniziale necessario alla formazione delle successive classi sociali. E il cittadino comune è l’espressione della potenza zero di ogni numero. Il secondo rango di nobiltà è dato dal ripetersi del bastoncino tante volte quante sono le unità del gruppo: la seconda potenza del 4 sarà il quadrato del 4. Il terzo rango risulta formato di 4 volte il secondo rango: otteniamo il cubo del 4, che è possibile con la dignità propria del re. Ma ci sono differenti nazioni, e quindi differenti re: è evidente che il re di un piccolo Stato è re allo stesso modo di quelli di nazioni più importanti. Infatti, la terza potenza è sempre un cubo. Nel primo caso la nazione è minuscola (l’unità è il re), nell’ultimo caso la nazione è grande (dieci). A qualsiasi nazione il re appartenga, deve comunque uniformarsi alla legge del paese, che è poi la legge del gruppo. E’ il primo rango di nobiltà ciò che caratterizza il gruppo e che dà, nel contempo, la legge. Cosicché tutte le potenze zero sono punti (perle sciolte), tutte le prime potenze sono linee (bastoncini), tutte le seconde potenze sono quadrati e infine tutte le terze potenze sono cubi. Questo ritmo nella successione geometrica è comune a tutti quanti i numeri.”
Un ulteriore collegamento visibile fra aritmetica e geometria si può realizzare costruendo forme geometriche con le catene. Per esempio, con la catena corta del 9 si costruiscono ennagono e triangoli regolari, con quella lunga del 6 si costruiscono sette poligoni regolari (di 36 lati, di 18 lati, dodecagono, ennagono, esagono, quadrato, triangolo). Queste esperienze, a livello più avanzato, si ricollegano allo studio dei multipli.
la catena del 1000 rappresenta la scomposizione lineare del cubo del 1000. Il cubo di 1000 perle può essere scomposto in dieci quadrati e ciascuno di essi in dieci bastoncini, ognuno di dieci perle. Lasciando questi uniti soltanto per le estremità, otterremo una catena lunghissima che ci darà l’impressione della quantità, il migliaio, più esatta di quella che ci viene fornita dal cubo. La catena del 1000 è formata da 10 catene del 100 legate tra loro attraverso un anello più grande.
Le perle fotografate nelle presentazioni sono di Montessori 3D di Boboto.
_______________ La catena del 1000 Montessori Presentazione 1
Materiale: – catena del 1000 – 1 cubo del 1000 – 10 quadrati del 100 – una lunga striscia di tessuto o carta. Quelle in commercio misurano 900 x 23 cm e costano circa 40 euro. Questa è di leaderjoyysa.com:
– un vassoio – frecce per contare la catena del 1000 contenute in una busta (verdi da 1 a 9, blu da 10 a 990, rosse da 100 a 900, verde per il 1000):
frecce per contare le catene del 100 e del 1000 bianco e nero
frecce per contare le catene del 100 e del 1000 colore
pdf qui:
La catena del 1000 Montessori – Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare il lunghissimo tappeto che avremo predisposto (possiamo anche preparare una lunga striscia di carta se non abbiamo il tappeto apposito) – andiamo allo scaffale delle perle e indichiamo il materiale dicendo: “Oggi lavoreremo con una catena ancora più lunga della catena del 100” – mostriamo al bambino come trasportare la catena , tenendola fra le dita di una mano in questo modo, col palmo rivolto verso l’alto. Mentre noi trasportiamo la catena, chiediamo al bambino di portare il vassoio con la busta delle frecce, i quadrati e il cubo
– posiamo la catena a zig zag sul tappeto e partendo da un estremo cominciamo a ripiegare la catena ogni 10 barrette, in modo da formare 10 quadrati identici dicendo al bambino: “Ora cercheremo di piegare questa lunghissima catena come abbiamo fatto con la catena del 100” – formiamo un quadrato alla volta, fino a ripiegare tutta la catena. Dopo aver formato il primo chiediamo al bambino: “Cosa abbiamo ottenuto?”. Un quadrato
– se il bambino lo desidera può naturalmente aiutarci a piegare la catena – compariamo i dieci quadrati che si sono formati con la catena con 10 quadrati del 100
– compariamo col bambino i dieci quadrati con i 10 quadrati che compongono il cubo del 1000 – chiediamo al bambino di distendere la catena, tirandola lentamente per l’estremità più lontana facendo percorrere alla catena tutta la lunghezza del tappeto – chiediamo al bambino di tornare da noi, apriamo la busta delle frecce e mettiamole in colonna sul vassoio, con la collaborazione del bambino. Mettiamo accanto alla catena, all’inizio del percorso, il vassoio con le frecce per contare
– contiamo le perle che compongono la prima barretta e contrassegniamo ogni perla con una freccia verde, da 1 a 9
– arrivati al 10 mettiamo la freccia blu del 10 – continuiamo a contare a 10 a 10 fino a 90 mettendo la freccia blu corrispondente sull’ultima perla della barretta
– arrivati al 100 usiamo la freccia rossa delle centinaia e mettiamo a lato della catena un quadrato di perle – proseguiamo così fino a 999. Accanto al 900 mettiamo un quadrato
– Arrivati al 1000 usiamo la freccia verde grande del 1000 e chiudiamo la catena col cubo
– torniamo all’inizio della catena e contiamo nuovamente aiutandoci con le frecce: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 , 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 – possiamo contare così più volte, ed anche dal 1000 all’1: 1000, 900, 800, 700, 600, 500, 400, 300, 200, 100 … 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
_________________ La catena del 1000 Montessori Presentazione 2 (una variante)
Questa attività insegna al bambino a contare per gruppi, in preparazione alla moltiplicazione. Rappresenta inoltre un esercizio di preparazione indiretta allo studio del cubo dei numeri.
La catena del 1000 Montessori – Materiali: – catena del 1000 – 10 quadrati del 100 – un cubo del 1000 – frecce per contare la catena del 1000 – una lunga striscia di tessuto o di carta – vassoio.
La catena del 1000 Montessori – Presentazione: – mostriamo al bambino come trasportare la catena, tenendo i segmenti tra le dita
– mettiamo la catena sul tappeto ordinata per segmenti di 10 barrette
– portiamo accanto al tappeto un cubo del 1000, 10 quadrati del 100 e le frecce per contare la catena del 1000 – chiediamo a un bambino di tenere fermo un capo della catena, prendiamo il capo opposto e facciamo strisciare la catena lungo il tappeto per distenderla completamente in tutta la sua lunghezza – ripieghiamo nuovamente la catena, ma questa volta formando 10 gruppi di 10 barrette in questo modo:
– compariamo i 10 quadrati che abbiamo formato con la catena con i 10 quadrati del 100 e col cubo del 1000
– distendiamo nuovamente la catena e organizziamo le frecce per contare in colonne per unità, decine, centinaia, migliaia – contiamo le unità della prima barretta da 1 a 9 con le frecce verdi – dal 10 al 90 usiamo le frecce blu – al 100 usiamo la freccia rossa e poniamo accanto alla barretta corrispondente un quadrato del 100
– proseguiamo così dal 110 al 990 usando le frecce blu e rosse
– arrivati al 1000 usiamo la freccia verde e poniamo accanto alla barretta il cubo del 1000
___________________ La catena del 1000 Montessori Presentazione 3
La catena del 1000 Montessori – Materiali: – catena del 1000 – un cubo del 1000 e 10 quadrati del 100 – frecce per contare la catena del 1000.
La catena del 1000 Montessori – Presentazione: – portiamo la catena sul tappeto e distendiamola in tutta la sua lunghezza, enfatizzandola coi bambini – mettiamo i 10 quadrati del 100 accanto alla catena – mettiamo il cubo del 1000 a destra dei dieci quadrati – con movimenti lenti ed accurati raggruppiamo le prime dieci barrette della catena a formare un quadrato – sovrapponiamo un quadrato del 100 alle barrette raggruppate – ripetiamo con tutte le barrette che formano la catena del 1000 – mettiamo i quadrati del 100 che abbiamo usato per la comparazione a parte e indicando i quadrati: “Quanti quadrati abbiamo?” – prendiamo i quadrati uno ad uno e contiamoli sovrapponendoli uno all’altro; arrivati al nono affianchiamoli al cubo del 1000, mettiamo il 10 quadrato e diciamo: “Dieci quadrati sono uguali a un cubo” – distendiamo la catena del 1000 in tutta la sua lunghezza – mettiamo le frecce per contare in ordine su un tappetino o un vassoio accanto alla catena del 1000 distesa – contiamo le perle della prima barretta una ad una, utilizzando le frecce verdi fino al 9 – al 10 usiamo la freccia blu del 10
– proseguiamo dal 10 al 90 con le frecce blu
– al 100 usiamo la freccia rossa del 100 e mettiamo accanto alla barretta un quadrato del 100 – proseguiamo così fino al 990, usando le frecce blu e rosse – arrivati al 1000 usiamo la freccia verde del 1000 e mettiamo accanto alla barretta il cubo del 1000
– torniamo all’inizio della catena e ripercorriamola contando da 10 a 1000 – arrivati al mille torniamo al punto di partenza contando da 1000 a 10.
Dopo l’esercizio possiamo proseguire in questi modi: – nominiamo al bambino una data quantità, ad esempio 549 e chiediamo di indicarci la perla del 549 lungo la catena – puntiamo con l’indice o con una bacchetta una perla lungo la catena e chiediamo al bambino di dirci quale quantità rappresenta.
_______________________ La catena del 1000 Montessori Presentazione 4
Dopo aver lavorato separatamente prima con la catena del 100 e poi con la catena del 1000, possiamo presentare i due materiali insieme.
La catena del 1000 Montessori – Materiali: – catena del 100 e frecce per contare la catena del 100 – catena del 1000 e frecce per contare la catena del 1000.
Presentazione: – procediamo a contare le perle della catena del 100 utilizzando le frecce verdi, blu e la freccia rossa del 100 – distendiamo a fianco della catena del 100 quella del 1000, parallelamente, e utilizzando le frecce verdi, blu, rosse e la freccia verde del 1000 contiamo le perle – dopo aver completato il conteggio delle perle delle due catene, compariamole tra loro permettendo al bambino di fare le proprie osservazioni.
____________________________________ La catena del 1000 Montessori
Età: dai 5 anni.
Controllo dell’errore: le frecce per contare.
Punti di interesse: – la lunghezza della catena – i diversi colori delle frecce.
Età: dai 4 anni e mezzo ai 5 anni.
La catena del 1000 Montessori – Scopo: – comprendere il valore relativo di 1, 10, 100 e 1000 in forma lineare (prima ha lavorato solo col materiale del sistema decimale) – esercitarsi nel contare – imparare a contare per gruppi di numeri e non uno ad uno – sviluppare le abilità necessarie all’apprendimento della moltiplicazione – imparare i numeri da 1 a 1000 e da 1000 a 1 – imparare a contare da 1 a 1000 e da 1000 a 1 dieci a dieci, o anche cento a cento – visualizzare la differenza di quantità tra 100 e 1000, comparando le due catene. Quando le catene del 100 e del 1000 vengono disposte parallele l’una all’altra, si mostra al bambino, a livello sensoriale, l’aumento esponenziale tra 10² e 10³ – contare è un’attività riposante e tende a diventare meccanica. Attraverso la ripetizione, il bambino interiorizza il meccanismo – preparare indirettamente allo studio delle potenze
La catena del 1000 Montessori – Controllo dell’errore – poiché le etichette devono essere posizionate alla fine di ciascuna barretta, il bambino percepisce facilmente se ha commesso un errore nel conteggio – se mentre conta, il bambino ci chiama in aiuto perchè manca una freccia, possiamo rispondergli che possiamo fargliene una nuova, ma prima bisognerà ricontrollare il conteggio. Se si scopre che la freccia mancante è stata messa per errore accanto a una barretta, possiamo dire che siamo contenti di averla ritrovata, perchè per rifare una freccia ci vuole molto lavoro. In questo modo evitiamo di correggere il bambino dicendogli dall’esterno che ha sbagliato.
La catena del 1000 Montessori Note: – è importante permettere al bambino di disporre la catena del 1000 per tutta la sua lunghezza per dare l’impressione di linearità – in mancanza di spazio o se il bambino desidera ripetere l’esercizio dopo averglielo già presentato in assetto lineare, possiamo scegliere di disporre la catena a spirale:
la catena del 100 mostra ai bambini la scomposizione lineare del quadrato del 10. L’esercizio, che consiste nel contare per gruppi di perle, è una preparazione alla moltiplicazione e allo studio del quadrato dei numeri.
Le perle usate nelle presentazioni sono di Montessori 3D di Boboto.
_____________________ La catena del 100 Montessori Presentazione 1
La catena del 100 Montessori Materiali: – catena del 100 – quadrato del 100 – tappeto – frecce per contare la catena del 100 in una busta – vassoio.
La catena del 100 Montessori Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare il tappeto lungo – andiamo allo scaffale delle perle colorate, indichiamo la catena del 100 e diciamo: “Oggi lavoreremo insieme con la catena del 100” – portiamo la catena sul tappeto tenendola con due mani per le due estremità – chiediamo al bambino di portare il vassoio col quadrato del 100 e la busta delle frecce – posiamo la catena sul tappeto quindi distendiamola in tutta la sua lunghezza – mettiamo sul tappeto le frecce per contare, con l’aiuto del bambino, raggruppate in unità, decine e centinaia
– lentamente raccogliamo la catena del 100 per formare un quadrato e chiediamo al bambino: “Lo riconosci? Sembra il quadrato del 100 – mettiamo accanto alla catena del 100 piegata il quadrato del 100
– compariamo i due quadrati, di modo che il bambino possa verificare che si tratta dello stesso numero di perle
– distendiamo di nuovo la catena e cominciamo a contare le perle, aggiungendo le frecce
– per la prima barretta contiamo le perle una ad una mettendo una freccia per ogni perla
– dopo continuiamo a contare a gruppi di 10, mettendo una sola freccia sull’ultima perla della barretta.
– diciamo: “Oggi abbiamo contato fino a 100!” – togliamo le frecce verdi e leggiamo le frecce da 10 a 100 e da 100 a 10, più volte – giriamo sul rovescio le frecce blu. Chiediamo al bambino di contare a 10 a 10 e di girare ogni volta che ha nominato un numero la freccia blu – al termine dell’esercizio riponiamo le frecce nella busta, mettiamo quadrato e busta sul vassoio e riportiamo il materiale allo scaffale; prendiamo la catena del 100 tenendola con due mani per le estremità e riportiamola allo scaffale.
_______________________ La catena del 100 Montessori Presentazione 2
La catena del 100 Montessori Materiali: – catena del 100 – quadrato del 100 – tappeto – frecce per contare la catena del 100 (verdi piccole per le unità da 1 a 9, blu medie per le decine da 10 a 90 e una rossa grande per il 100). Puoi stamparle (insieme a quelle che servono per la catena del 1000) qui:
frecce per contare le catene del 100 e del 1000 bianco e nero
frecce per contare le catene del 100 e del 1000 colore
pdf qui:
La catena del 100 Montessori Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare il tappeto lungo – andiamo allo scaffale delle perle colorate, indichiamo la catena del 100 e diciamo: “Oggi lavoreremo insieme con la catena del 100” – portiamo la catena sul tappeto tenendola con due mani per le due estremità – chiediamo al bambino di portare il vassoio col quadrato del 100 e la busta delle frecce – posiamo la catena sul tappeto quindi distendiamola in tutta la sua lunghezza – mettiamo il quadrato del 100 accanto alla catena, a destra
– con movimenti lenti ed accurati componiamo la catena in modo da formare un secondo quadrato
– col bambino confrontiamo i due quadrati tra loro
– indichiamo il quadrato del 100 e chiediamo: “Quante perle ci sono in questo quadrato?”. Cento. “Quante decine ci sono in questo quadrato?”. Dieci.
– indichiamo il quadrato formato dalla catena del 100 ripiegato e chiediamo: “Quante perle ci sono in questa catena?”. Cento. “Quante decine ci sono in questa catena?”. Dieci.
– diciamo: “La catena e il quadrato sono esattamente uguali” – distendiamo nuovamente la catena – mettiamo le frecce per contare a sinistra della catena, ordinate in colonna per unità, decine e centinaia
– cominciamo a contare le perle, iniziando dall’alto e mettendo la freccia appropriata accanto alle perle della prima barretta. Fino al 9 le frecce saranno verdi
– al 10 posizioneremo la prima freccia blu
– il conteggio delle perle può procedere contandole una ad una oppure contandole 10 a 10
– dopo aver contato le perle, una ad una o dieci a dieci, mettiamo la freccia rossa del 100 accanto all’ultima perla della catena. Diciamo: ” “Abbiamo appena contato fino a 100.”
– dopo aver contato facciamo scorrere il dito e ripetiamo i numeri dal 10 al 100 – chiediamo al bambino: “Quante perle ci sono in questa catena?”. Il bambino risponderà che ce ne sono 100 – indichiamo il quadrato e diciamo: “Quante perle ci sono in questo quadrato?”. Il bambino risponderà che ce ne sono cento – diciamo un numero al bambino, ad esempio: “64!” e chiediamogli di indicarcelo lungo la catena
– indichiamo una perla lungo la catena e chiediamo al bambino di dirci a che numero corrisponde.
– per stimolare la curiosità e la capacità di osservazione dei bambini potremmo chiedere, ad esempio: “Se invece di fare una catena di 100 perle avessimo fatto una catena con 100 arance, sarebbe uguale?”. No, sarebbe più lunga perchè le arance occupano più spazio delle perle – togliamo tutte le frecce e mettiamole in ordine sparso sul tappeto, poi diamone una al bambino e chiediamogli di contare 10 a 10 per mettere la freccia al suo posto – togliamo la catena del 100 e chiediamo al bambino di mettere le frecce in ordine dall’1 al 100 – per preparare alla moltiplicazione, con i bambini più grandi, possiamo scrivere coi bambini i cartellini dell’operazione da mettere accanto ad ogni decina (10×1= 20×2= ecc.)
– al termine dell’esercizio riponiamo le frecce nella busta, mettiamo quadrato e busta sul vassoio e riportiamo il materiale allo scaffale; prendiamo la catena del 100 tenendola con due mani per le estremità e riportiamola allo scaffale.
______________________ La catena del 100 Montessori
Scopo: – avere la visione lineare del centinaio – imparare i numeri da 1 a 100 – imparare a contare i numeri 10 per 10 – memorizzare la numerazione del 10 da 1 a 100 e da 100 a 1 – consolidare la capacità di contare – avere una visione lineare della sequenza dei numeri, dopo aver lavorato col sistema decimale – contare è un’attività riposante e tende a diventare meccanica. Attraverso la ripetizione, il bambino interiorizza il meccanismo del contare.
Controllo di errore – le frecce per contare.
Età: – dai 5 anni ai 5 anni e mezzo.
Nota: – se il bambino non desidera utilizzare le frecce mentre conta la catena, significa che non ne ha bisogno.
Aste numeriche Montessori – Esercizi con i cartelli dei numeri e le aste. Ciò che rende davvero interessanti le Aste numeriche Montessori, non è soltanto la possibilità di contare, ma anche la possibilità di riconoscere le relazioni che intercorrono fra le differenti quantità, e per questo è importante, ad un certo punto, unire alle Aste numeriche Montessori la conoscenza dei numeri.
le cifre smerigliate servono ad imparare i simboli numerici. Il bambino tocca ripetutamente le cifre ruvide muovendo due dita unite (indice e medio) nel senso della scrittura e dicendone il nome a voce alta, ed in questo modo memorizza la forma della cifra scritta in relazione al suo numero. Oltre a questo, l’esercizio ha anche il vantaggio di esercitare la mano a riprodurre il segno, in preparazione della scrittura.
Insieme alle Aste numeriche Montessori e alle cifre smerigliate, ci sono anche i cartelli dei numeri da 1 a 10. Puoi stamparli qui:
E’ importante notare che con questo materiale i bambini hanno la possibilità di appaiare una quantità rappresentata da un unico oggetto (l’asta) con un numero che ne è l’unico segno. Questo rende chiaro ed evidente alla mente del bambino l’associazione fra simbolo numerico e quantità. Il bambino dovrà semplicemente mettere il numero accanto all’asta corrispondente (come mostrato negli esercizi che seguono) per memorizzarne rapidamente la relazione tra quantità e segno.
Le Aste numeriche Montessori permettono si svolgere svariate attività di composizione, scomposizione e confronto di quantità purché si resti all’interno della decina, cioè non si superi mai la lunghezza dell’asta più lunga. Questa è una nota importante, perchè come dice Maria Montessori “in questa fase potrebbe generare nel bambino complicazioni più che progressi“.
Un esercizio che piace molto ai bambini, è quello di ricercare due aste che unite fra loro possano formare la lunghezza di un’asta più lunga. Ad esempio l’asta del 4 con l’asta del 3 formano la stessa lunghezza dell’asta del 7 (4+3=7). Quando poi separiamo l’asta del 4 da quella del tre abbiamo 7-3=4 oppure 7-4=3. Possiamo dire, quindi, che uniamo tra loro due aste, in realtà stiamo eseguendo un’addizione, come ogni volta che separiamo due aste stiamo eseguendo una sottrazione.
Uno dei primi esercizi con le aste numeriche che presentiamo ai bambini consiste nel formare tutte le composizioni che danno 10, unendo prima l’asta dell’1 a quella del 9,
poi l’asta del 2 a quella dell’8,
poi l’asta del 3 a quella del 7 e infine l’asta del 4 con quella del 6 (cioè 9+1=10, 8+2=10, 7+3=10 e 6+4=10). E’ chiaro che questo esercizio ci mette di fronte a un limite perchè con le aste non possiamo ottenere che queste quattro combinazioni, e al termine dell’esercizio avanzeranno sul tappeto l’asta del 10 e l’asta del 5. :e quella del 5.
Come Maria Montessori spiega nel suo trattato di Psicoaritmetica, l’uso di queste aste è molto interessante, non solo per i bambini. Una delle caratteristiche essenziali e comuni a gran parte del materiale Montessori consiste infatti nella sua polivalenza, che si manifesta sotto due aspetti: da un lato questo significa che un materiale (ad esempio le aste numeriche) ha un suo scopo primario, ma può essere ripreso a livelli diversi dal bambino stesso; d’altro canto lo stesso materiale può essere oggetto di considerazioni superiori da parte dell’adulto (non necessariamente con formazione montessoriana). Sotto questo secondo aspetto, nelle aste numeriche possiamo notate che raggruppando le aste in modo che esse formino tutte la lunghezza 10, abbiamo 5 aste che misurano 10 e avanza un’asta che misura 5, abbiamo cioè:
10 x 5 + 5 = 55
E’ un procedimento davvero interessante per calcolare la somma di tutte le unità contenute nella serie: moltiplicare il numero maggiore per la sua metà, poi aggiungervi detta metà.
In termini algebrici, chiamando n un numero qualunque, la somma delle unità contenute nei numeri compresi tra 1 e n sarà:
Infatti, in una serie di numeri che aumentano di uno in uno, si possono comporre gruppi tutti uguali al maggiore con lo stesso procedimento che abbiamo usato con le aste numeriche, cioè collocando l’uno accanto al penultimo, il due accanto al terzultimo, il tre al quartultimo, ecc…
Lo stesso concetto può essere espresso anche dicendo “la somma della serie naturale dei numeri interi è uguale alla semisomma fra il quadrato dell’ultimo numero e l’ultimo numero”
oppure dicendo “la somma della serie naturale dei numeri interi è uguale al prodotto della metà dell’ultimo numero aumentato di 1”:
Le due formule risultano uguali.
Questo esercizio, che è possibile dimostrare coi bambini più grandi, sempre utilizzando le aste numeriche, è denominato SOMME DA PROGRESSIONI ARITMETICHE (vedi qui).
Questo esercizio, che consiste nel formare con due aste tutte le combinazioni del dieci, ricorda il compito assegnato dal maestro al piccolo Karl Friedrich Gauss: addizionare tutti i numeri interi da 1 a 100. Egli raggiunse il risultato applicando il metodo analitico: 100, 1+ 99, 2+ 98, 3+ 97, 4+ 96, ecc., fino a 49+51 (otterremo la somma 100 per 49 volte), 50. Quindi: 100 + (100×49) + 50 = 5050 che è la somma dei primi cento numeri interi.
Tutto questo dimostra come sia indispensabile servirsi di materiali semplici ed esatti, grazie ai quali l’intelligenza può svilupparsi e giungere a nuove scoperte.
Nella loro apparente semplicità le aste presentano inoltre il sistema decimale e il sistema metrico decimale insieme, perchè l’asta del 10 misura 1 metro in lunghezza e ogni segmento misura 1 decimetro. “Questi particolari non sono ancora accessibili al bambino, eppure già si trovano nel materiale. Con lo sviluppo mentale e le acquisizioni culturali il bambino saprà poi scoprire e utilizzare ciò che nella prima infanzia è passato inosservato”.
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Aste numeriche Montessori Esercizi con le aste numeriche – Materiale
Materiale: – aste numeriche montessoriane – cartelli dei numeri da 1 a 10, oppure cifre smerigliate da 1 a 10 – un grande tappeto (Maria Montessori consigliava il verde).
Aste numeriche Montessori – Scopo delle attività proposte: – associare i numeri da 1 a 10 alle relative quantità – vedere le cifre da 1 a 10 in sequenza.
Età: – da 3 anni in poi.
______________________ Aste numeriche Montessori – Esercizio 1
Questo è un esercizio che può essere presentato a un gruppo di 3 o 4 bambini insieme. – disponiamo sul tappeto le aste numeriche sul pavimento, parallele tra di loro e col rosso sempre a sinistra, ma non in ordine di grandezza – disponiamo sul tappeto i cartelli dei numeri o le cifre smerigliate non in ordine di grandezza, ma in file e dal verso giusto – raccogliamo un’asta, per esempio il “sei”, mostriamola ai bambini e chiediamo: “Chi sa quanto vale questa?” – se un bambino risponde “Sei”, diremo: “Sì, puoi contare per vedere se è proprio il sei?” – quando il bambino ha contato i segmenti, chiediamo ai bambini: “Chi mi può trovare il numero 6?”, e quando uno dei bambini ha trovato il numero tra i cartelli che si trovano sul tappeto e ce lo ha indicato, prendiamo il numero e mostrando l’asta diciamo: “Si tratta del sei”, poi mostriamo il numero e diciamo“Questo è il nostro modo di scrivere 6, e adesso possiamo metterli insieme” – quindi poniamo il cartello del numero sul sesto segmento dell’asta – l’esercizio continua in questo modo finché ogni asta con il suo cartello non si troverà sul tappeto.
_________________ Aste numeriche Montessori Esercizio 2
Questo esercizio può essere presentato il giorno successivo al primo esercizio. – mostriamo il cartello di un numero (o la cifra smerigliata) – i bambini devono trovare la quantità corrispondente, scegliendo l’asta numerica giusta – poi asta e numero vengono posti sul tappeto.
________________ Aste numeriche Montessori Esercizio 3
Questo è un esercizio individuale. – si dispongono sul tappeto , in alto, le aste numeriche non in sequenza, e i cartelli dei numeri in basso a destra – chiediamo al bambino di trovare l’asta del numero 1, il bambino ce la porge e noi la mette sul tappeto in basso a sinistra – poi chiediamo al bambino di trovare anche il cartello del numero 1, il bambino ce la porge e noi gli mostriamo come appoggiarla all’asta – passiamo quindi al 2, al 3 ecc… rispettando l’ordine crescente della numerazione. E’ importante mostrare bene come posizionare le aste sul tappeto (col segmento rosso sempre a sinistra e ben allineate), e come mettere i cartelli dei numeri (sempre sull’ultimo segmento di ogni asta) – quando il bambino ha compreso l’esercizio, può essere lasciato da solo per continuarlo – quando l’esercizio è terminato, i numeri scritti appaiono in sequenza corretta da sinistra a destra:
____________________________________ Aste numeriche Montessori Esercizio 4
Questo esercizio aiuta i bambini ad associare quantità e numeri. Al termine dell’esercizio, avremo le aste numeriche sistemate in ordine sparso sul tappeto, e ognuna sarà associata ad una carta posizionata alla propria destra. Le aste non si toccheranno l’una con l’altra. Bisogna notare che la carta del numero 10 è più larga delle carte dei numeri formati da una sola cifra: -invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio, – il bambino srotola il tappeto sul pavimento e noi portiamo al tappeto i cartelli dei numeri e li mostriamo al bambino, facendogli notare che il cartello del numero 10 è più largo degli altri – chiediamo al bambino di andare a prendere dallo scaffale l’asta numerica più lunga della serie – il bambino la porta e la posiziona sul tappeto con la parte rossa a sinistra – abbiniamo il cartello più lungo all’asta più lunga – consegniamo al bambino un cartello preso a caso e chiediamogli di andare allo scaffale a prendere l’asta numerica corrispondente. Prima che vada allo scaffale, chiediamogli di identificare il numero sulla carta – quando il bambino ritorna, chiediamogli: “Che asta hai preso?” e invitiamolo a contare i segmenti dell’asta che ha scelto
– se il bambino ha commesso un errore, contando i segmenti se ne renderà conto da solo, e andrà allo scaffale a prendere l’asta giusta, quindi di nuovo l’insegnante gli chiederà che asta ha preso, e il bambino di nuovo conterà i segmenti dell’asta scelta, – a questo punto l’asta verrà messa sul tappeto
– e chiederemo al bambino di posizionare il cartello del numero sull’ultimo segmento a destra dell’asta in questione – consegniamo al bambino un po’ di altre carte dei numeri, e il bambino proseguirà da solo l’esercizio.
______________________________________ Aste numeriche Montessori Esercizio 5
In questo esercizio i bambini prima leggono il numero, poi contano i segmenti.
– mettiamo tutte le aste numeriche su un tappeto, e tutti i cartelli dei numeri su un altro – invitiamo due o tre bambini e mostriamo ad ogni bambino una carta, mettendola poi sul tappeto – ogni bambino va a prendere l’asta corrispondente al proprio cartello – chiediamo ad ogni bambino: “Che cosa hai portato per il tuo cartello?”. Ogni bambino dice il numero e poi conta i segmenti dell’asta scelta, – ogni bambino posiziona sul tappeto la sua asta e il cartello relativo.
Nota: si può anche provare, in alternativa a questo esercizio, a partire dando ad ogni bambino un’asta e chiedendo di trovare la carta corrispondente. In questo caso, il bambino prima conterà i segmenti, poi leggerà il numero.
_____________ Aste numeriche Montessori Esercizio 6
Lo scopo di questo esercizio è che il bambino posizioni le aste sul tappeto in ordine crescente e quindi posizioni le carte corrispondenti sull’ultimo segmento a destra di ogni asta. Questo esercizio è molto importante, perchè ci assicura che il bambino ha davvero compreso i concetti di quantità e il valore delle cifre scritte.
– invitiamo il bambino a posizionare sul tappeto le aste numeriche in ordine crescente
– consegniamogli un cartello preso a caso e chiediamogli di metterlo sull’ultimo segmento a destra dell’asta corrispondente
– consegniamo poi tutte i cartelli rimanenti e il bambino prosegue da solo l’esercizio.
________________ Aste numeriche Montessori Esercizio 7
– disponiamo sul pavimento tre tappeti in linea orizzontale: nel tappeto a sinistra mettiamo le aste numeriche in ordine crescente; lasciamo libero il tappeto centrale; mettiamo i cartelli dei numeri sul tappeto a destra. – diamo al bambino un cartello (o un’asta) e chiediamo di prendere l’asta (o il cartello) che gli corrisponde.
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Aste numeriche Montessori – Scopo: – mettere in relazione simboli e quantità – introdurre la sequenza dei simboli – preparare all’addizione, alla sottrazione e alla moltiplicazione – fare esperienze con la sequenza di numeri da 1 a 10 – imparare a misurare per unità più piccola – dare al bambino un’impressione sensoriale delle quantità – imparare a nominare in successione le quantità – introduzione alla misurazione e al sistema decimale
Aste numeriche Montessori – Varianti: – mettere le aste su un secondo tappeto lontano da quello in cui si trova quello con i cartelli e chiedere al bambino di portarci l’asta corrispondente a un dato numero – indicare un’asta e chiedere al bambino di portarci l’asta più piccola di uno (sottrazione) o più grande di uno (addizione).
Aste numeriche Montessori – Controllo dell’errore – controllo visuale: le bande di colore – la lunghezza delle aste – il numero di bande.
Età: – dai 4 anni in poi, dopo aver presentato le cifre smerigliate.
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Trovi qui gli esercizi preliminari con le aste numeriche:
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione. Presentazioni ed esercizi per bambini della scuola primaria.
Per le presentazioni che seguono ho fotografato il materiale prodotto da Montessori 3D di Boboto.
Per poter lavorare con la tavola forata della divisione i bambini devono avere una solida conoscenza dei meccanismi dell’addizione, della sottrazione e della moltiplicazione, perchè la divisione è un’operazione che ha in sé tutte le altre. E’ soprattutto importante che il bambino sappia lavorare con sicurezza con la tavola per la memorizzazione della moltiplicazione.
Trovi tutto il materiale stampabile pronto: – moduli della divisione versione 1 – moduli della divisione versione 2 – cartellini delle divisioni da svolgere – tabella di controllo I della divisione qui:
Gli esercizi collettivi ed i giochi organizzati con le perle dorate danno al bambino una prima rappresentazione materiale della funzione della divisione. Queste attività introduttive vengono poi sostituite con esercizi paralleli svolti con un altro tipo di materiale. Questo materiale si presta all’attività individuale e prepara all’esecuzione dell’operazione scritta. Si tratta di: – memorizzazione della divisione: 1. attività con la Tavola Forata 2. le tavole della Divisione – divisione di grandi numeri: 1. struttura dell’operazione (tavole di distribuzione, borsa del quoziente) 2. la grande divisione col divisore di una cifra: (analisi della distribuzione e esecuzione col materiale) – la grande divisione col divisore di due o più cifre – la prova della divisione – calcolo e scrittura della divisione.
Nella pratica della scuola, la divisione coi numeri interi viene esaminata a diversi livelli: – sistema decimale: funzione della divisione per partizione: dividendo di più cifre e divisore di una o più cifre (gioco del decurione, ecc…) – gioco dei francobolli: passaggio all’astrazione ed esecuzione dell’operazione, tanto della divisione per partizione quanto della divisione per contenenza; dividendo di più cifre e divisore di una o più cifre; anche divisore con la presenza della cifra zero (203, 230) – memorizzazione: conoscenza delle combinazioni necessarie e sufficienti; massimo dividendo è 81 e massimo divisore è 9 – divisione col materiale gerarchico: ulteriore passaggio all’astrazione; dividendo di più cifre e divisore di una cifra (piccola divisione o divisione corta) o di più cifre (grande divisione o divisione lunga).
Le divisioni di piccoli numeri (numeri compresi tra 1 e 81) per una cifra (divisore compreso nel limite delle 9 unità semplici), costituiscono il primo degli esercizi paralleli della divisione, accessibile anche ai bambini piccoli.
Per la prima presentazione si usa una tavola forata simile alla Tavola della Moltiplicazione, ma munita di 81 fori invece di 100 (la massima divisione da memorizzare è 81:9=9). Abbiamo inoltre 81 perle verdi (per il dividendo) e una serie di 9 birillini verdi (per il divisore).
La tavola è accompagnata dai Moduli della Divisione, dei foglietti che portano il titolo “Divisione”, e che sono suddivisi in quattro colonne corrispondenti a dividendo, divisore, quoziente e resto. Orizzontalmente il modulo è suddiviso in nove righe: tante quante il numero massimo di divisioni possibili dove il dividendo è nel limite di 81 e divisore e quoziente non superano il 9.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
Moduli della Divisione versione 1
Una seconda versione di questi moduli prevede nella seconda colonna l’elenco in ordine decrescente di tutti i divisori possibili (da 9 a 1).
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
Moduli della Divisione versione 2
La differenza tra le due versioni di moduli risiede nel fatto che con la prima il bambino costruisce le divisioni e si arresta su quella il cui quoziente sarà maggiore di 9. Con la seconda il bambino compila le parti mancanti solamene di quelle divisioni il cui quoziente non supera il 9, mentre cancella quelle che non sono utilizzabili per il suo lavoro.
Ogni bambino dispone di 81 moduli, raccolti in una busta o rilegati in forma di libretto.
Si comincia prendendo in considerazione le 81 perle verdi nella loro scatola e i 9 birillini che si dispongono lungo la striscia verde che in alto limita la tavola. Spiegheremo ai bambini che ogni birillo deve ricevere la stessa quantità di perle.
L’operazione inizia assegnando una perla a ciascun birillo e, conclusa una prima distribuzione, si continuerà fino all’esaurimento del dividendo.
Poi si conta il numero delle righe di 9 perle ciascuna che si sono potute organizzare: ce lo indicherà anche il corrispondente numero, scritto sulla colonna a sinistra della tavola.
Il bambino, sul modulo, sotto la parola dividendo scriverà 81, sotto la parola divisore 9, sotto quoziente ancora 9 e sotto resto 0. I termini dell’operazione, ogni volta che ci si imbatte in una divisione esatta, vengono evidenziati sottolineandoli con un colore brillante.
Dopo aver dato al bambino l’indicazione che nessun quoziente e nessun divisore possono essere maggiori di 9, e che nessun resto può essere maggiore o uguale al divisore. Così, dopo aver completato la tavola, il bambino si accerta che con 81 perle non può organizzare nessun’altra divisione.
Rimuoviamo una perla, riducendo il dividendo a 80, e ripetiamo la distribuzione.
Il bambino calcola che 80:9 è uguale a 8, ma gli rimangono 8 perle. Scrive sul modulo. A questo punto rimuove un birillino, riducendo così a 8 il divisore.
Ripetendo la distribuzione scopre che, nonostante abbia dato 9 perle ad ognuno degli 8 birillini, gliene rimangono ancora 8, che è una quantità di perle uguale al divisore. Per questo non si può, con 80 perle, procedere oltre.
L’esercizio riprende, rimuovendo una perla (ora sono 79), ma ricollocando al suo posto il nono birillino. E così via.
Il procedimento seguito si può così riassumere: – partendo da un dividendo di 81 perle, suddividerlo successivamente per tutti i divisori possibili da 9 a 1, al fine di ottenere quozienti non superiori a 9 – poi, togliere una perla e suddividere il nuovo dividendo come sopra – procedere così togliendo sempre una perla e suddividendo tutti i nuovi dividendi per tutti i divisori da 9 a 1.
A conclusione dell’esplorazione, il bambino avrà organizzato moltissime divisioni, delle quali è necessario memorizzare soltanto quelle esatte (che saranno in totale 81).
Ogni volta il bambino scrive sui moduli come già spiegato, ma tenendo presente che per ogni nuovo dividendo si usa un nuovo modulo.
Sempre riguardo ai moduli, usando quelli presentati come seconda versione si hanno tre casi: – il modulo risulta riempito completamente: col dividendo 9 ed è l’unico caso (da 9:9 a 9:1) – il modulo risulta riempito soltanto nella parte superiore: cioè là dove i divisori sono alti; per esempio col dividendo 56 (da 56:9 a 56:6) – il modulo risulta riempito soltanto nella parte inferiore: cioè là dove i divisori sono bassi; per esempio col dividendo 5 (da 5:5 a 5:1)
Usando invece i moduli nella prima versione, il bambino, per ogni dividendo, prende in considerazione soltanto i possibili divisori. E, per questo, è la versione di moduli che si preferisce utilizzare.
Tutti gli altri esercizi che derivano da questa presentazione si sviluppano su punti di coscienza successivi da porre all’attenzione del bambino: – dalle sole divisioni esatte o complete, alla divisione come operazione inversa della moltiplicazione – dai divisori possibili di un numero fino al concetto di divisibilità.
L’età per questo genere di attività si situa intorno ai 6 anni.
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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
Presentazione 1 – eseguire divisioni con la tavola forata
Materiali: – tavola forata per la memorizzazione della divisione – una ciotola – cartellini delle divisioni da svolgere (o cartellini bianchi e penna nera) in una scatolina – tavolo o tappeto.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione cartellini delle divisioni da svolgere
Presentazione: – invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio dicendo: “Oggi ti mostrerò un nuovo modo per fare le divisioni” e chiediamogli di srotolare un tappeto – andiamo allo scaffale della matematica, indichiamo il materiale e diciamo: “Questa è la tavola forata della divisione” – portiamo il materiale al tappeto – mettiamo la tavola al centro del piano di lavoro ed esaminiamola col bambino – indichiamo i fori lungo il margine superiore che servono per i birilli e che ci indicano il divisore – indichiamo i fori più piccoli sulla tavola, dove metteremo le perle che indicano il dividendo – scegliamo una divisione tra i cartellini delle divisioni pronte, oppure scriviamola su un cartellino bianco
– diciamo al bambino che per questo esercizio abbiamo due regole: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore – contiamo le perle verdi che rappresentano il dividendo e mettiamole in una ciotola – mettiamo i birilli che rappresentano il divisore lungo il margine superiore della tavola
– distribuiamo le perle procedendo sempre da sinistra a destra sotto ai birilli
– poi distribuiamo la seconda fila di perle
– e continuiamo in questo modo finché tutte le perle non saranno distribuite equamente sotto ad ogni birillo
– chiediamo: “Quante perle ha ricevuto ogni birillo?” – il bambino risponde e registra l’operazione e il risultato sul quaderno
– chiediamo al bambino di prendere una nuova divisione da svolgere e di leggerla a voce alta – ripetiamo il processo – al termine chiediamo al bambino se gli piacerebbe fare una divisione da solo, quindi prendiamo una divisione da svolgere e leggiamola a voce alta – il bambino completa il processo.
Note: – per i primi esercizi è meglio scegliere divisioni senza resto.
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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
Presentazione 2 – moduli per la divisione
Materiale: – tavola forata per la divisione – moduli per la divisione sciolti o rilegati in forma di libretto – tavolo o tappeto – una ciotola.
Presentazione: – esaminiamo col bambino i moduli. Indichiamo l’intestazione, su cui è scritta la parola ‘divisione’ e le intestazioni delle quattro colonne: dividendo, divisore, quoziente, resto – prendiamo un modulo e scriviamo come intestazione 81 – chiediamo al bambino di contare 81 perle e di metterle nella ciotola – diciamo al bambino che vogliamo distribuire le 81 perle tra 9 birilli – ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore – mettiamo i 9 birilli lungo il margine superiore della tavola – scriviamo sul modulo la prima divisione, cioè 81 (dividendo) 9 (divisore) – distribuiamo le 81 perle sulla tavola procedendo sempre da sinistra a destra per completare le file e scendendo poi alla fila successiva – indichiamo la tavola: distribuendo 81 perle tra 9 birilli, ogni birillo ha ricevuto 9 perle – scriviamo 9 nella colonna quoziente e rileggiamo per intero l’operazione che abbiamo scritto sul modulo – la ciotola delle perle è vuota: questo significa che il resto è 0, quindi scriviamo 0 sul modulo – diciamo al bambino che le divisioni senza resto sono le più importanti di tutte, e che per ricordarle possiamo sottolineare sul modulo
– togliamo le 81 perle dalla tavola e rimettiamole nella ciotola – diciamo al bambino che ora proveremo a distribuire le 81 perle tra 8 birilli invece che 9, quindi togliamo un birillo dalla tavola – ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore – distribuiamo le perle tra gli otto birilli, come abbiamo già fatto nella divisione precedente
– contiamo le perle avanzate nella ciotola: sono 9! Siccome 9 supera il divisore, che è 8, e siccome non abbiamo spazio sulla tavola per queste perle avanzate, non possiamo eseguire questa divisione con la tavola – rimettiamo le 81 perle nella ciotola e proviamo a dividerle per 7, poi ripetiamo anche dividendole per 6 e se il bambino lo desidera per gli altri numeri inferiori – osserviamo coi bambini che il resto diventa sempre più grande se il dividendo diventa sempre più piccolo – per questo motivo sul modulo dell’81 possiamo scrivere soltanto 81:9=9, resto 0 – liberiamo la tavola, prendiamo un nuovo modulo e scriviamo nell’intestazione 80 – contiamo 80 perle e mettiamole nella ciotola – diciamo al bambino che vogliamo distribuire le 80 perle tra 9 birilli – ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore – mettiamo i 9 birilli lungo il margine superiore della tavola – scriviamo sul modulo la prima divisione, cioè 80 (dividendo) 9 (divisore) – distribuiamo le 80 perle sulla tavola procedendo sempre da sinistra a destra per completare le file e scendendo poi alla fila successiva – indichiamo la tavola: distribuendo 80 perle tra 9 birilli, ogni birillo ha ricevuto 8 perle – scriviamo 8 nella colonna quoziente e rileggiamo per intero l’operazione che abbiamo scritto sul modulo – la ciotola delle perle ne contiene 8: questo significa che il resto è 8, quindi scriviamo 8 sul modulo – anche con l’80 non possiamo continuare oltre il 9 perchè il resto supererebbe il 9 – liberiamo la tavola, prendiamo un nuovo modulo e scriviamo nell’intestazione 79 – contiamo 79 perle e mettiamole nella ciotola – diciamo al bambino che vogliamo distribuire le 79 perle tra 9 birilli – ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore – mettiamo i 9 birilli lungo il margine superiore della tavola – scriviamo sul modulo la prima divisione, cioè 79 (dividendo) 9 (divisore) – distribuiamo le 79 perle sulla tavola procedendo sempre da sinistra a destra per completare le file e scendendo poi alla fila successiva – indichiamo la tavola: distribuendo 79 perle tra 9 birilli, ogni birillo ha ricevuto 8 perle – scriviamo 8 nella colonna quoziente e rileggiamo per intero l’operazione che abbiamo scritto sul modulo – la ciotola delle perle ne contiene 7: questo significa che il resto è 7, quindi scriviamo 7 sul modulo – anche col 79 non possiamo continuare oltre il 9 perchè il resto supererebbe il 9
Note: – dopo aver dato queste indicazioni, il bambino continua a lavorare col materiale e gli altri dividendi, registrando sempre il suo lavoro e sottolineando sempre le divisioni senza resto – non è necessario che lavori con tutti i dividendi, ciò che importa è che comprenda il procedimento – se il bambino non lo ha notato da solo, dopo aver svolto un certo numero di esercizi con i moduli possiamo attirare la sua attenzione sui rapporti tra dividendo, divisore e quoziente, ad esempio: 12 : 4 = 3 e 12 : 3 = 4.
_______________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione Presentazione 3 – tavola di controllo della divisione
Materiale: – tavola forata per la divisione – cartellini delle divisioni da svolgere – tabella di controllo I della divisione.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione tabella di controllo I della divisione
Presentazione: – scegliamo una divisione, – copiamo la divisione sul quaderno
– stabiliamo il dividendo contando le perle verdi e mettendole nella ciotola – stabiliamo il divisore mettendo sulla tavola i birilli verdi corrispondenti
– distribuiamo il dividendo – registriamo il numero di perle assegnate a ogni birillo (quoziente)
– controlliamo il risultato sulla tavola di controllo
– togliamo i birilli e le perle – scegliamo un’altra divisione – eseguiamola come fatto con la prima – controlliamo sulla tavola di controllo il risultato.
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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
Esercizi con la tavola forata della divisione
Scopo: – memorizzare le divisioni – acquisire familiarità con i modi in cui i numeri possono essere divisi – dimostrare che ogni numero è divisibile e solo per alcuni numeri – mostrare la relazione tra moltiplicazione e divisione – fare esperienze concrete con la divisione utilizzando come divisore massimo il 9 – sperimentare a livello sensoriale la relazione inversa tra divisione e moltiplicazione.
Controllo dell’errore: – i birilli e i fori per le perle possono fungere da controllo dell’errore – la tavola di controllo – la tavola I della divisione.
Età: – dai 5 e mezzo agli 8 anni.
________________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
DIY
Questo è un esempio di tavola stampabile usata con i Lego:
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
Cesto dei solidi geometrici Montessori: presentazioni ed esercizi per bambini del nido e della scuola d’infanzia.
Con la cesta dei solidi geometrici si introducono nuovi vocaboli, incoraggiando al contempo l’esplorazione tattile e l’esperienza pratica.
Cesto dei solidi geometrici Montessori comprende dieci forme: – cubo: ogni lato misura 6 cm – sfera: diametro di 6 cm – cono: il diametro della base è 6 cm e l’altezza 10 cm – cilindro: il diametro della base è 6 cm e l’altezza 10 cm – parallelepipedo (prisma a base rettangolare) i lati misurano cm 10 e cm 6 – prisma a base triangolare: i lati delle basi misurano 6 cm e le altezze 10 cm – ovoidale: asse maggiore 10 cm e minore 6 cm – ellissoide: asse maggiore 10 cm e minore 6 cm – piramide a base quadrata: i lati della base misurano cm 6 e l’altezza è 10 cm – piramide a base triangolare: i lati della base misurano cm 6 e l’altezza è 10 cm.
Coi bambini più piccoli si possono tra queste selezionare sette solidi soltanto: cubo, cilindro, prisma a base triangolare, prisma a base rettangolare, piramide a base quadrata, piramide a base triangolare e cono.
“Il grande piacere che i bambini provano nel riconoscimento degli oggetti per mezzo del tocco della loro forma, corrisponde per sé stesso ad un esercizio sensoriale. Molti psicologi hanno parlato del senso stereognostico, cioè della capacità di riconoscere forme per il movimento dei muscoli della mano, che segue i contorni degli oggetti solidi. Questo senso non consiste nel solo senso del tocco, perché la sensazione tattile è soltanto quella per la quale noi percepiamo differenze in qualità di superfici (ruvido o liscio). Le percezioni di forma vengono dalla combinazione di due sensazioni, tattile e muscolare, cioè da sensazioni di movimento… quello che noi chiamiamo nei ciechi senso tattile, è in realtà, molto spesso, il senso stereognostico; cioè, essi percepiscono per mezzo delle loro mani le forme dei corpi. E’ la speciale sensibilità muscolare del bambino da tre a sei anni di età, quella che forma la sua propria attività muscolare, che stimola in lui l’uso del senso stereognostico. Quando il bambino spontaneamente si benda gli occhi per riconoscere i diversi oggetti, come gli incastri solidi e piani, egli esercita questo senso. Vi sono molti esercizi che il bambino può fare ad occhi chiusi. Nel materiale di sviluppo vi sono anche solidi geometrici dipinti in turchino chiaro. La maniera più divertente per insegnare al bambino a riconoscere queste forme, è di fargliele palpare ad occhi chiusi, invitandolo a indovinare il loro nome: questo sarà insegnato con apposite lezioni in tre tempi. Dopo un esercizio di tal genere il bambino, quando ha gli occhi aperti, osserva le forme con un interesse più vivo. Un’altra maniera di interessarlo ai solidi geometrici, è di farli muovere. La sfera rotola in tutte le direzioni; il cilindro rotola in una sola direzione; il cono rotola intorno a se stesso; il prisma e la piramide, in qualunque maniera, poggiano stabilmente ma il prisma cade più facilmente che non la piramide. Basterà un accenno per far rilevare delle analogie nell’ambiente. Come l’analogia del cilindro con una colonna, della sfera colla testa umana, ecc., e si resterà stupiti della capacità che hanno i bambini nel trovare da sé simili analogie”. Maria Montessori – Manuale di pedagogia scientifica.
_______________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 1 – lezione in tre tempi per imparare i nomi dei solidi geometrici
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio (con i bambini più piccoli meglio usare 7 solidi e non 10) – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi, ad esempio dicendo: “Ti piacerebbe stare un po’ con me per imparare delle parole nuove?” e chiediamogli di srotolare il tappeto – andiamo allo scaffale del materiale sensoriale e diciamo: “Oggi lavoreremo con i solidi geometrici”. Mostriamo al bambino dove si trova il materiale sullo scaffale e chiediamogli di ripetere con noi “Solidi geometrici”. Chiediamo: “Mi passeresti i solidi geometrici?”. Il bambino ce li porge, e noi gli mostriamo come trasportarli e posarli sul tappeto. – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo e chiediamo: “Come si chiama questo materiale?”. Il bambino risponde che si tratta dei solidi geometrici – scegliamo tre solidi e mettiamoli al centro del piano di lavoro, quindi procediamo con la lezione in tre tempi per impararne i nomi
– primo tempo. Nel primo tempo isoliamo i vocaboli (cubo, sfera, cilindro). Per l’associazione della sensazione col nome diciamo: “Questa è una sfera… vuoi ripetere la parola sfera?”. Prendiamo in mano la sfera, facciamola roteare tra le mani, accarezziamola con la punta delle dita, poi diamola al bambino perchè anche lui possa sentirla, ripetendo se serve la parola “sfera”. Seguiamo la stessa procedura con altre due forme
– secondo tempo: per il riconoscimento dell’oggetto in base al nome, chiediamo al bambino di compiere azioni con la forma che nominiamo, ad esempio dicendo: “Indicami il cilindro”, “Per favore metti la sfera qui?”, “Per favore metti il cubo al centro del tavolo”, “Passami il cilindro”, “Fai rotolare la sfera” ecc. Quando il bambino risponde in modo corretto e con sicurezza si passa al terzo tempo. Il secondo tempo della lezione è quello più delicato perchè ci permette di osservare se il bambino ha davvero compreso; è inoltre la fase più divertente per il bambino, perchè possiamo anche chiedergli di fare cose buffe con gli oggetti che gli stiamo presentando. Se il bambino non è in grado di identificare l’oggetto, si dovrebbe tornare, per quell’oggetto, ai primo tempo
– terzo tempo: per verbalizzare il nome corrispondente all’oggetto mettiamo i solidi uno alla volta davanti al bambino e chiediamo per ognuno: “Cos’è questo?”
– per variare il terzo tempo della lezione possiamo anche fare il gioco del “cosa manca?”. Dopo aver messo i tre solidi in fila sul piano di lavoro
– copriamo uno dei tre solidi con un fazzoletto
-e chiediamo: “Quale solido è scomparso?” – a questo punto possiamo dire: “Adesso conosci i nomi di tre dei solidi geometrici: cilindro, sfera e cubo” e possiamo ringraziare il bambino per aver lavorato con noi – in un altro momento della giornata o un altro giorno procederemo allo stesso modo con gli altri solidi.
Età: – dai 3 ai 4 anni.
Nota: se il bambino non si mostra interessato alla lezione, significa semplicemente che non è il momento giusto, e che dovrà essere presentata in un altro momento. Se la lezione non è riuscita i motivi possono essere vari: forse quel giorno il bambino è particolarmente distratto, oppure ha bisogno che sia ridotto il numero di solidi da presentare, o forse la nostra lezione è stata troppo lunga. Questo genere di lezioni in tre tempi possono essere faticose per i bambini, e per questo dovrebbero durare davvero pochi minuti.
________________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione ad occhi bendati
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – benda per occhi – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi sul piano di lavoro
– il bambino mette la benda e toccando i solidi li identifica.
Varianti: – mentre il bambino è bendato, possiamo chiedergli di trovare un particolare solido che nominiamo – invece di bendare il bambino possiamo scegliere tre o quattro solidi e metterli in un cestino separato coperto con un telo. Il bambino raggiunge i solidi con la mano, infilandola sotto al telo, e uno alla volta li riconosce al tatto. Quando riconosce un solido, lo estrae dal cesto per verificare il suo lavoro.
Una variante di gruppo: – un gruppo di bambini siede attorno al tappeto tenendo le mani dietro alla schiena – passiamo dietro di loro e mettiamo un solido tra le mani di ogni bambino – fermiamoci davanti al tappeto e chiediamo, ad esempio: “Chi ha la sfera?” – il bambino che pensa di avere la sfera la mette sul tappeto e il gioco continua.
Età: – dai 3 ai 4 anni.
________________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 2 – borsa del mistero (mistery bag)
Materiale: – sette solidi geometrici (per il nido) e dieci solidi geometrici (per la scuola d’infanzia) – borsa in tessuto – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi (tutti o un certo numero) all’interno della borsa in tessuto
– il bambino identificherà i solidi toccandoli all’interno della borsa.
Varianti: – chiediamo al bambino di trovare all’interno della borsa un certo solido – due bambini giocano insieme: un bambino chiede un certo solido e l’altro lo trova senza usare la vista.
Età: – dai 2 ai 4 anni.
________________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 3 – cercare somiglianze tra i solidi
Materiale: – solidi geometrici (con i bambini più piccoli meglio usare 7 solidi e non 10) – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi dicendo: “Oggi faremo un nuovo esercizio coi solidi geometrici” e chiediamogli di srotolare il tappeto – andiamo allo scaffale dei materiali sensoriali, il bambino individua il cesto dei solidi geometrici e lo porta al tappeto – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo, prendiamo una ad una le forme e mettiamole sul piano di lavoro formando una fila orizzontale lungo il margine superiore, da sinistra a destra. Per la prima serie di sovrapposizioni escludiamo sfera, ovoidale ed ellissoide, di modo che le forme da sovrapporre tra loro siano 7 – scegliamo, ad esempio, il cubo – mentre con l’indice percorriamo i lati della faccia superiore del cubo diciamo: “Riesci a trovare un altro solido che si adatti esattamente a questo faccia del cubo?” – chiediamo al bambino di sovrapporre il secondo solido al primo (ad esempio cubo e piramide a base quadrata) – isoliamo un altro solido e chiediamo al bambino fare un altro abbinamento (ad esempio cilindro e cono)
– il bambino fa abbinamenti tra le facce uguali dei solidi, ad esempio ponendo il cono sul cilindro, la piramide sul cubo, ecc.
– lavorando con i 10 solidi, escludendo sfera ellissoide ed ovoidale, avremo un numero dispari di forme da accoppiare, così formando le coppie avanzerà sempre un solido che resterà solo – fatti i primi 3 abbinamenti, prendiamo il solido rimasto solo, dividiamo tutte le coppie fatte, e ricominciamo prendendo per primo il solido rimasto solo – dopo questi primi accostamenti, possiamo inserire le tre forme con superficie curva sovrapponendole alle facce piane degli altri solidi – discutiamo coi bambini, attirando la loro attenzione sul fatto che alcuni solidi possono essere sovrapposti perchè hanno facce uguali, i solidi sovrapposti creano altre forme che possono assomigliare ad oggetti, i solidi che hanno solo superfici curve poggiano su un solo punto, non possiamo sovrapporre due solidi curvilinei, ecc.
Punti di interesse: – sovrapporre i solidi con movimenti intenzionale – c’è sempre un solido che rimane da solo.
Età: – dai 2 ai 4 anni.
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Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 4 – sperimentare il movimento dei solidi
Materiale: – il cesto dei solidi geometrici (a seconda dell’età del bambino possiamo selezionare un numero inferiore di forme) – tappeto o tavolo
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici dicendo: “Oggi faremo insieme un nuovo esercizio coi solidi geometrici” – portiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – diciamo: “Oggi esploreremo i solidi geometrici e vedremo come si muovono” – esploriamo i solidi facendoli roteare tra le mani. Poi posiamoli sul tappeto formando una fila orizzontale lungo il margine superiore, da sinistra a destra – scegliamo, ad esempio, il cubo
– facciamo roteare il cubo tra le mani
– mettiamo il cubo sul piano di lavoro e spingiamolo delicatamente per farlo ribaltare sul tavolo – scegliamo un altro solido e procediamo come abbiamo fatto col cubo – discutiamo coi bambini, facendo notare che quando facciamo muovere i solidi spingendoli il cubo, i prismi e le piramidi non ruotano; il cilindro, la sfera ruota in avanti; il cono compie un percorso circolare; l’ellissoide e l’ovoide compiono un movimento sbilanciato.
Variante con la lavagna di sabbia – dopo aver rimesso i solidi in ordine sul tavolo, uno accanto all’altro in riga orizzontale, prendiamo la lavagna di sabbia e mettiamola davanti a noi – prendiamo un solido e facciamolo rotolare sulla lavagna per osservare la traccia che lascia
– creiamo l’impronta delle varie facce di un solido sulla lavagna
Conclusione: – chiediamo al bambino di suddividere i solidi in base a come si muovono, formando 2 gruppi: quelli che rotolano e quelli che non rotolano.
Possiamo anche preparare dei fogli di lavoro simili a questo (in inglese) :
Il bambino può associare oggetti della vita reale con le rispettive forme geometriche. E’ importante fare il possibile per aiutare il bambino ad acquisire consapevolezza rispetto alle forme geometriche degli oggetti che lo circondano nel suo ambiente. Possiamo anche invitare i bambini a portare a scuola oggetti che corrispondano alla forma dei solidi geometrici della cesta.
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi sul piano di lavoro – chiediamo al bambino di prendere un solido e di andare in giro per la stanza alla ricerca di un oggetto che abbia la stessa forma – quando l’ha trovato, il bambino tornerà e metterà l’oggetto sul piano di lavoro accanto al solido corrispondente.
Varianti: – in seguito il bambino può procedere ad abbinare solidi e oggetti senza portare con sé il solido scelto – quando il bambino è pronto possiamo chiedere di portarci un oggetto corrispondente ad un solido che verrà solo nominato – possiamo predisporre un cesto pieno di oggetti da abbinare, senza che il bambino vada a cercarli per la stanza – possiamo anche fotografare oggetti corrispondenti alle forme dei solidi e preparare delle carte illustrate (foto di miescuelitamontessori.blogspot.it). Qui della carte pronte (da acquistare)
Età: – dai 3 ai 4 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 6 – abbinare i solidi alla rappresentazione piana delle facce
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – rappresentazioni piane delle facce dei solidi – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi sul piano di lavoro formando una riga orizzontale – mettiamo le rappresentazioni piane delle facce dei solidi sul piano di lavoro formando una riga orizzontale sotto ai solidi
– scegliamo tre tavolette, allineiamole davanti al bambino e chiediamogli di trovare i solidi che si possono sovrapporre alla rappresentazione piana – continuiamo così con tutte le tavolette – invitiamo i bambini ad osservare i solidi dall’alto
– discutiamo coi bambini: quanti solidi si possono abbinare alla stessa tavoletta? Perché?
Età: – dai 3 ai 4 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 7 – abbinare i solidi con le loro facce scuola d’infanzia
Materiale: – i 10 solidi geometrici disposti su un vassoio – forme di legno (o carte) che rappresentano le facce dei solidi: cerchi, quadrati, rettangoli e triangoli
pdf qui:
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi i solidi geometrici e le facce – posiamo i solidi sul piano di lavoro in linea orizzontale da sinistra a destra e le facce che abbiamo preparato – diciamo: “Oggi abbineremo le figure geometriche stampate con le facce dei solidi” – scegliamo la prima carta e facciamola scorrere tra i solidi, procedendo da sinistra a destra, fino a trovare una faccia corrispondente
– mettiamo la carta davanti al solido. Prendiamo il solido e posiamolo sulla carta corrispondente, osserviamo la corrispondenza e quindi rimettiamo il solido al suo posto – continuiamo con le rimanenti carte
– quando tutte le carte sono state abbinate ai solidi, discutiamo coi bambini somiglianze e differenze che questo lavoro ci ha permesso di evidenziare
Età: – dai 3 ai 5 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 8 – nomenclatura per le parti dei solidi
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – tappeto o tavolo – foglio di lavoro per l’osservazione dei solidi geometrici.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi i solidi geometrici – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – osserviamo i solidi uno ad uno contandone spigoli, facce ed angoli
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 9 – abbinare i solidi con i cartellini dei nomi
Materiale: – i 10 solidi geometrici disposti su un vassoio – cartellini dei nomi per i solidi geometrici: faccia, vertice, spigolo, angolo, base, cerchio, quadrato, triangolo, rettangolo
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici – posiamo i solidi sul piano di lavoro in linea orizzontale da sinistra a destra e mettiamo la scatola dei cartellini a sinistra – diciamo: “Oggi abbineremo i cartellini ai solidi” – prendiamo il primo gruppo di cartellini che recano ad esempio la scritta ‘base’
– posizioniamo un cartellino in corrispondenza della base di ogni solido – continuiamo allo stesso modo con i rimanenti cartellini:
Età: – dai 5 ai 7 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 10 – carte delle nomenclature in 3 parti per bambini dai 3 ai 6 anni
pdf qui:
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Solidi geometrici Montessori Presentazione 11 – cartellini dei comandi
Per i bambini che sanno leggere, e proprio per esercitare la lettura in modo vario, possiamo preparare dei cartellini dei comandi per lavorare con i solidi geometrici. Questi comandi li aiuteranno a lavorare coi solidi in modo indipendente ad una grande varietà di esercizi. I comandi possono essere proposti anche ai bambini che ancora non sanno leggere, sia chiedendo al bambino di scegliere un cartellino e leggendoglielo a voce alta, sia mettendo il bambino che non sa leggere in un gruppo di bambini che lo sanno fare, per eseguire i comandi insieme. Questi sono i miei comandi:
Nomenclatura: – i nomi dei solidi – base, lato, spigolo, vertice, angolo, ecc.
Punti di interesse: – i vari movimenti che i solidi compiono mentre rotolano – il diverso numero di facce, spigoli, angoli presenti nei diversi solidi
Scopo: – favorire l’esplorazione tattile – affinare il senso stereognostico – introdurre nuove parole e arricchire il vocabolario – intuire alcune delle proprietà dei solidi – sviluppare la capacità di percezione visiva delle forme tridimensionali – rendere consapevole il bambino delle forme geometriche solide che lo circondano – sviluppare la capacità di trovare somiglianze e differenze tra le forme geometriche confrontandole tra loro – preparare allo studio della geometria – migliorare la capacità di concentrazione e coordinazione.
Controllo dell’errore: – disarmonia percepita col senso stereognostico e visivo.
Estensioni ed altre idee: – possiamo chiedere ai bambini di modellare i solidi geometrici con creta o altre paste da modellare – possiamo proporre ai bambini più grandi i modelli dei solidi geometrici da costruire col cartoncino – ho trovato moltissime altre idee in questa pagina di Pinterest.
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Solidi geometrici DIY
– realizzati con pasta di sale (e poi dipinti in blu):
– possiamo realizzare i modelli dei solidi in cartoncino blu; in questo sito trovate tutti i modelli di poliedro in formato pdf pronti per la stampa: paper models of polyedra. I modelli possono essere utili anche per chi possiede i solidi geometrici in legno, per creare attività parallele sia coi più piccoli, sia nella scuola primaria
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione. Presentazioni ed esercizi per bambini della scuola primaria. Lo scopo di questo materiale è la memorizzazione del risultato di tutte le combinazioni ottenute ripetendo i numeri da 1 a 9, da una a 9 volte. L’esercizio è così semplice che si può proporre a bambini fra i 5 anni e mezzo e i 6 anni.
Si tratta di una tavoletta quadrata con 100 incavi (100 = 10 x 10), in ciascuno dei quali si può collocare una perla. In alto, come intestazione delle colonne verticali di incavi, sono stampati i numeri da 1 a 10. Nella parte sinistra della tavoletta, in posizione mediana, si trova un incavo nel quale è possibile inserire un cartoncino su cui è stampato in rosso uno dei numeri da 1 a 10. Questo cartoncino, che riveste il ruolo di moltiplicando, è intercambiabile. Nell’angolo in alto a sinistra c’è un grande incavo circolare, che serve ad alloggiare un gettone rosso che va collocato sui numeri che rappresentano le volte; questo gettone cambierà continuamente posto, seguendo la tabellina in azione. Completa il materiale una scatolina contenente 100 perle sciolte.
Tutto il materiale stampabile presente in questo articolo: – moduli della moltiplicazione – Tavola I della moltiplicazione – cartellini delle moltiplicazioni da svolgere – cartellini delle addizioni per la tavola forata della moltiplicazione – moduli per la ricerca dei fattori – cartellini dei prodotti è disponibile per gli abbonati, pronto per la stampa, qui:
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
L’esercizio, come descritto da Maria Montessori, è molto semplice: supponiamo di voler moltiplicare il 6 per la serie dei numeri da 1 a 10. Avremo: 6 x 1, 6 x 2, 6 x 3, 6 x 4, 6 x 5, 6 x 6, 6 x 7, 6 x 8, 6 x 9, 6 x 10: – inseriamo nella casella di sinistra il cartoncino col numero 6 – per moltiplicare 6 per 1, prima di tutto collochiamo il gettone rosso sul numero 1 che contrassegna la prima colonna di incavi – poi si dispongono 6 perle nei primi 6 incavi verticali della colonna dell’1 – per moltiplicare 6 x 2 spostiamo il gettone al di sopra del 2, prendiamo altre 6 perle e incolonniamole al di sotto del 2 – Per moltiplicare 6 x 3 spostiamo il gettone al di sopra del 3, prendiamo altre 6 perle e incolonniamole al di sotto del 3 – proseguiamo così fino a raggiungere 6 x 10.
Lo spostamento del gettone ha lo scopo di indicare volta per volta il nuovo moltiplicatore, e richiede al bambino un’attenzione sempre attiva e la massima esattezza di esecuzione. Mentre il bambino esegue questo esercizio, scrive i prodotti su apposite schede o “moduli della moltiplicazione”:
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
moduli della moltiplicazione
Durante l’esercizio con la tavola forata il bambino dovrà scrivere sui moduli soltanto i prodotti che ha ottenuto aggregando le perle a gruppi di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Maria Montessori consiglia di preparare ogni modulo in dieci copie, di modo che il bambino possa ripetere l’esercizio dieci volte per ogni tabellina. La ripetizione di uno stesso esercizio porterà il bambino a trasformare l’attività pratica in facoltà di ricordare a memoria le combinazioni della moltiplicazione.
Dopo che i bambini hanno riempito per molte volte le serie di moduli, aiutandosi col materiale, si offre loro la Tavola I della moltiplicazione:
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Tavola I della moltiplicazione
Si tratta di una tavola di controllo che serve al bambino a verificare se ha commesso qualche errore nel calcolo delle moltiplicazioni. Tabellina dopo tabellina, numero dopo numero, il bambino può verificare con la tavola se ogni prodotto corrisponde a quello presente in una delle 10 colonne. Eseguito con la massima attenzione questo controllo, i bambini sono in possesso di serie numeriche sicuramente prive di errori.
Su di un foglio copiano poi dai moduli le tabelline, una accanto all’altra e nella loro successione. Con questo lavoro, il bambino otterrà una tavola uguale a quella che ha usato per i controlli.
______________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione Presentazione del materiale
Materiale: – tavola forata per la moltiplicazione.
Presentazione: – invitiamo il bambino dicendo: “Oggi vorrei mostrarti un nuovo materiale chiamato tavola forata per la moltiplicazione” – mettiamo il materiale di fronte a noi sul piano di lavoro. Mettiamo la scatolina a sinistra della tavola, in alto – apriamo la scatolina, mettiamo il coperchio a sinistra della tavola e sul coperchio mettiamo i tasselli dei numeri
– diciamo, ad esempio: “Ora prenderemo 7 per 6 volte” – inseriamo il tassello del numero 7 nella tavola
– mettiamo il gettone rosso sul numero 6 – formiamo la prima colonna verticale di 7 perle
– completiamo le altre colonne, fino ad averne sei
– contiamo le perle a voce alta – scriviamo su un cartellino bianco l’operazione e il risultato
– rimettiamo le perle nella scatola, il gettone rosso nel suo alloggiamento e il tassello sul coperchio della scatola – invitiamo il bambino a ripetere l’esercizio inventando e scrivendo una moltiplicazione – mostriamo al bambino dove e come riporre il materiale al termine dell’esercizio.
______________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – cartellini bianchi e penna nera.
Nota: – per presentare il materiale evitiamo di usare la tabellina dell’uno, perchè non rende il concetto di moltiplicazione; scegliamo qualsiasi altra unità.
Presentazione: – invitiamo un gruppo di bambini ad unirsi a noi per l’esercizio – portiamo il materiale al tavolo o al tappeto – mostriamo al bambino la tavola forata, mettiamola sul piano di lavoro accanto alla scatolina contente le perle, il gettone e i tasselli dei numeri – diciamo: “In questo esercizio il numero da moltiplicare è il 3. Lavoreremo col numero tre” – chiediamo a un bambino di prendere il tassello del numero 3 e mostriamo come inserirlo nella tavola – collochiamo il tassello del 3 nel foro della tavola e diciamo: “Questo numero ci ricorderà con quale tabellina stiamo lavorando”
– collochiamo il gettone rosso sulla prima colonna (numero 1) e incolonniamo tre perle sotto al numero 1 – incoraggiamo i bambini ad iniziare a contare le perle a 3 a 3, invece di contare ogni perla singolarmente – indichiamo la colonna di perle e diciamo “Tre preso una volta, tre”
– spostiamo di volta in volta il gettone e completiamo le colonne 1, 2, 3, 4 fino ad arrivare a “Tre preso quattro volte, dodici”
– scriviamo il risultato sul cartellino.
_______________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – moduli della moltiplicazione – tavola I della moltiplicazione.
Presentazione: -scegliamo un modulo da compilare, ad esempio quello del 4 – inseriamo il tassello del numero 4 nella tavola e spostiamo il gettone rosso sulla colonna dell’1
– il bambino legge la prima combinazione del modulo indicando il 4 del tassello e il numero segnato dal gettone rosso e dicendo: “Quattro preso una volta” – riempie la prima colonna, conta le perle e registra il risultato sul modulo
– il bambino sposta il gettone e legge la combinazione successiva “Quattro per due volte” – riempie la seconda colonna, conte le perle e registra il risultato sul modulo – proseguiamo così con le altre colonne – quando arriviamo alla moltiplicazione in cui moltiplicatore e moltiplicando sono uguali (4×4) facciamo notare la forma geometrica che si crea con le perle
– arrivati e 4 x 10, dopo aver registrato l’operazione sul modulo, il bambino confronta il modulo con la tavola I per verificare la correttezza dell’esercizio
Controllo dell’errore: – la tabella I
___________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – moduli delle moltiplicazioni (possono essere anche rilegati a formare un libretto) – tavola I della moltiplicazione.
Presentazione: – mostriamo ai bambini i moduli: ce ne è uno per ogni moltiplicando dall’1 al 10, e per ogni moltiplicando ci sono i moltiplicatori dall’1 al 10 – scegliamo un modulo, ad esempio quello del 3 – stabiliamo il moltiplicando 3 sulla tavola, inserendo il tassello del 3 – leggiamo la prima moltiplicazione del modulo: 3 x 1 = – spostiamo il gettone rosso sull’uno e poniamo 3 perle sotto di esso – registriamo il prodotto sul modulo: 3 x 1 = 3
– leggiamo la seconda moltiplicazione: 3 x 2 = – spostiamo il gettone rosso sul due e poniamo 3 perle sotto di esso – registriamo il prodotto sul modulo: 3 x 2 = 6 – proseguiamo così fino a 3 x 10 = 3o
– dopo aver completato il modulo, verifichiamo i risultati confrontandoli con quelli della Tavola I della moltiplicazione.
Nota: – in ogni sistema si numerazione, il massimo prodotto da memorizzare è dato da (b – 1)². Così, per il sistema decimale, avremo (1o – 1)² = 81. Tuttavia Maria Montessori ha ritenuto opportuno, in questo materiale, estendere la memorizzazione delle combinazioni inserendo quella del 10 (da 10×1 a 10×10) per sottolineare la semplicità del nostro sistema. Quello che differenzia i prodotti della tabellina dell’1 da quelli della tabellina del 10 è unicamente uno zero.
_______________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiale: – tavola forata per la moltiplicazione – moduli della moltiplicazione.
Presentazione: – invitiamo il bambino dicendo: “Oggi vorrei mostrarti un esercizio da svolgere con la tavola forata per la moltiplicazione” – portiamo il materiale sul piano di lavoro (tavolo o tappeto) – mettiamo la scatola a sinistra della tavola, in alto, e togliamo il coperchio – diciamo: “Ora faremo la tabellina del 6” – mostriamo al bambino il modulo per il 6 da compilare – inseriamo il tassello del 6 nella tavola forata e il gettone rosso nel suo alloggiamento – leggiamo sul modulo la prima moltiplicazione: “6 x 1”
– spostiamo il gettone rosso sul numero 1 – mettiamo 6 perle sulla tavola formando una colonna sotto al numero 1 – contiamo le perle a voce alta – registriamo il risultato sul modulo
– spostiamo il gettone rosso sul numero 2 – mettiamo altre 6 perle in colonna – contiamo a voce alta indicando la prima colonna e dicendo: “6”, poi contiamo: “7, 8, 9, 10, 11, 12”, poi ripetendo: “sei, dodici” indicando le colonne – registriamo il risultato sul modulo
– proseguiamo così fino a 6 x 10 = 60
– leggiamo il modulo completato a voce alta – rimettiamo le perle nella scatola e il gettone nel suo alloggiamento – invitiamo il bambino a completare un’altra tabellina e a leggerla a voce alta ad un altro bambino.
Età: – dai 7 ai 9 anni.
________________________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – cartellini delle moltiplicazioni da svolgere – tavola I della moltiplicazione.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
cartellini delle moltiplicazioni da svolgere
Presentazione: – per facilitare il lavoro del bambino in questo esercizio, disponiamo i tasselli dei numeri in riga o in colonna sul piano di lavoro, mentre terremo i cartellini delle moltiplicazioni da svolgere in un cestino – il bambino pesca un cartellino e copia l’operazione sul suo quaderno, ad esempio 6×4
– il bambino inserisce il tassello del numero 6 nella tavola forata e sposta il gettone rosso sul numero 1 della prima colonna, quindi mette nei fori sottostanti le prime 6 perle e conta: “Sei”
– il bambino sposta il gettone sul numero 2 della seconda colonna, mette nei fori sottostanti altre sei perle e conta: “Dodici” – il bambino sposta il gettone sul numero 3 della terza colonna, mette nei fori sottostanti altre sei perle e conta: “Diciotto” – il bambino sposta il gettone sul numero 4 della quarta colonna, mette nei fori sottostanti altre sei perle e conta: “Ventiquattro” – il risultato della moltiplicazione 6 x 4 è 24, e il bambino lo scrive sul quaderno
– il bambino verifica la correttezza dell’esercizio consultando la tavola I della moltiplicazione. Questo non rappresenta solo un lavoro di autocontrollo, ma aiuta anche la memorizzazione
– il bambino rimuove le perle e il tassello dalla tavola forata, rimette il cartellino della moltiplicazione da eseguire nel cesto e ne pesca uno nuovo, per ripetere l’esercizio con altri numeri.
Controllo dell’errore: – la tavola I della moltiplicazione
Nota: – perchè memorizzi le tabelline è necessario che il bambino ripeta il numero che si crea dopo aver messo ogni gruppo di perle nella tavola forata. E’ bene quindi che l’insegnante supervisioni, in un primo tempo, l’attività del bambino, per evitare che conti le singole perle dopo aver completato lo schema sulla tavola forata. E’ chiaro che se il bambino contasse le perle una ad una ad esercizio ultimato, non memorizzerebbe mai le tabelline.
___________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – cartellini delle moltiplicazioni da svolgere.
Presentazione: – mettiamo la tavola forata al centro del tavolo ed esaminiamola con il bambino – il numero che si inserisce nella finestra di sinistra è chiamato moltiplicando. Ci dice quante perle formano un gruppo, cioè una colonna – il gettone rosso, che si trova nel suo alloggiamento in alto a sinistra, serve a indicare il moltiplicatore. Mentre si esegue l’operazione indica per quante volte vogliamo moltiplicare il numero – peschiamo un cartellino delle moltiplicazioni da svolgere, ad esempio 8 x 3 = …….
– il bambino copia l’operazione sul suo quaderno – inseriamo la tessera del 8 nella tavola forata, per il moltiplicando – spostiamo il gettone rosso sul numero 3 della tavola forata per indicare il moltiplicatore
– l’operazione ci chiede di formare 3 gruppi di 8 perle ognuno – spostiamo il gettone rosso sul numero 1 e sotto di esso formiamo una colonna di 8 perle – spostiamo il gettone rosso sul numero 2 e sotto formiamo una colonna di 8 perle – spostiamo il gettone rosso sul numero 3 e sotto formiamo una colonna di 8 perle – indichiamo moltiplicatore e moltiplicando dicendo: “3 gruppi di 8 perle” e ricontiamo le perle – registriamo il prodotto sul quaderno
– il bambino può continuare ad esercitarsi autonomamente col materiale.
Note: – il concetto di moltiplicazione è già stato introdotto con le perle dorate, dove la stessa quantità veniva aggiunta più volte a se stessa. Con la tavola forata vogliamo facilitare la memorizzazione dei prodotti per favorire e velocizzare le capacità di calcolo del bambino.
___________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – cartellini delle moltiplicazioni da svolgere – tavola I della moltiplicazione.
Presentazione: – il bambino pesca un’operazione, ad esempio 7 x 4 e la copia sul suo quaderno – si stabilisce il moltiplicando inserendo nella tavola forata la tessera del 7 – si stabilisce il moltiplicatore spostando il gettone rosso sul numero 4
– si sposta il gettone rosso sul numero 1 e si incolonnano sotto di esso le prime 7 perle (7×1=7), poi si sposta il gettone sul 2 (7×2=14), sul 3 (7×3=21) e infine sul 4 (7×4=28) – si contano di nuovo le perle: 7, 14, 21, 28 – si registra il risultato sul quaderno: 7 x 4 = 28 – si controlla il risultato confrontandolo con quello stampato sulla tavola I della moltiplicazione
– rimuoviamo perle e tassello dalla tavola e rimettiamo il gettone rosso nel suo alloggiamento – il bambino continua ed esercitarsi pescando una nuova moltiplicazione.
Nota: – lavorando sulla tavola con le perle, il bambino crea figure geometriche: quando i due fattori della moltiplicazione sono uguali si forma un quadrato, quando i due fattori sono diversi si forma un rettangolo.
___________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – cartellini delle addizioni da svolgere – tavola I della moltiplicazione.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
cartellini delle addizioni per la tavola forata della moltiplicazione
Presentazione: – peschiamo un’addizione – procediamo a rappresentare l’operazione sulla tavola con le perle
– scegliamo la tessera da inserire nella tavola (moltiplicando) – spostiamo il gettone rosso sul moltiplicatore – trascriviamo l’operazione in forma di moltiplicazione e scriviamo il risultato
– confrontiamo il risultato con i risultati stampati sulla tavola I
___________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – moduli per la ricerca dei fattori.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
moduli per la ricerca dei fattori
Presentazione: – invitiamo il bambino dicendo: “Oggi vorrei mostrarti un nuovo esercizio da svolgere con la tavola forata della moltiplicazione. Oggi faremo insieme la ricerca dei fattori” – diciamo: “Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori. Proviamo a trovare tutti i fattori che possono dare come prodotto il 20” – contiamo 20 perle e mettiamole in una ciotola – mettiamo le perle, una ad una, sul piano di lavoro, formando una colonna verticale e facciamo notare che abbiamo fatto una colonna di 20 perle – scriviamo sul modulo: 20 = 20 x 1
– diciamo: “Ora vediamo se possiamo fare due colonne con le nostre 20 perle” – formiamo due colonne nella tavola forate e diciamo: “20 perle possono essere messe in due colonne di 10 perle” – scriviamo sul modulo: 20 = 10 x 2
– diciamo: “ora vediamo se possiamo creare tre colonne con le nostre 20 perle” – spostiamo le perle verso la terza colonna, una ad una, prendendole dal basso e alternando le colonne – diciamo: “Venti perle non possono formare tre colonne uguali”
– diciamo: “Proviamo con quattro colonne” – spostiamo le perle verso la quarta colonna – scriviamo sul modulo: 20 = 4 x 5
– continuiamo fino a quando non avremo sperimentato tutte le colonne fino al 10
– riponiamo il materiale usato – invitiamo il bambino a cercare i fattori di altri numeri (il 12, il 16, il 18, il 24, ecc.)
Età: – dai 7 ai 9 anni
___________________________ Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione
Materiali: – tavola forata della moltiplicazione – cartellini dei prodotti – tavola I della moltiplicazione.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
cartellini dei prodotti
Presentazione: – il bambino pesca un cartellino dei prodotti – registra il prodotto sul suo quaderno – conta le perle nel numero indicato dal prodotto e le mette in una ciotola
– crea una moltiplicazione che soddisfi il prodotto e la rappresenta con le perle sulla tavola forata
– al termine controlla la correttezza dell’esercizio consultando la tavola I della moltiplicazione.
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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Scopo: – fornire un aiuto per la memorizzazione delle tabelline – comprendere il processo di moltiplicazione – preparare alla comprensione della divisione – comprendere la proprietà commutativa della moltiplicazione – imparare a scrivere le moltiplicazioni – imparare a registrare i risultati delle operazioni – comprendere il significato di prodotto, fattori, moltiplicando e moltiplicatore – comprendere il significato di multiplo e numero primo – preparare al calcolo del minimo comune multiplo.
Età: – a partire dai 5 anni, fino ai 9
La tavola forata usata nelle presentazioni è stata prestata da Montessori 3D di Boboto.
Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI che comprendono esplorazione sensoriale, nomenclatura, lettura e scrittura di frazioni, addizione e sottrazione di frazioni con lo stesso denominatore, moltiplicazione e divisione di frazioni per un numero intero, equivalenze tra frazioni.
Gli incastri delle frazioni sono dieci piastrelle quadrate (bianche o verdi) identiche nelle quali si incastra un identico cerchio rosso. L’incastro rosso è suddiviso dall’intero ai 10/10. Il materiale classico è in legno o in metallo, ma può essere facilmente realizzato utilizzando cartoncino o gomma Eva.
Se optate per l’acquisto, questi sono gli incastri delle frazioni in legno acquistabili da Montessori Lernwelten:
Per le presentazioni che seguono ho usato gli incastri di Montessori 3D di Boboto e i miei incastri fai da te.
________________________ Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Scopo degli esercizi con gli incastri delle frazioni: – creare un’impressione sensoriale delle frazioni; – introdurre il concetto di frazione; – apprendere la lettura e la scrittura delle frazioni; – esplorare a livello sensoriale le equivalenze tra frazioni; – esercitarsi nelle operazioni tra frazioni.
Età consigliata per le presentazioni: a partire dai 4 anni e mezzo (quando il bambino conosce bene i numeri da 1 a 10).
________________________ Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI Presentazione I – Esplorazione sensoriale
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto.
Presentazione: – portiamo il materiale sul tappeto – diciamo: “Una frazione è una divisione di un intero in parti uguali” – mettiamo i dieci incastri sul tappeto formando una riga orizzontale dall’intero al decimo
– estraiamo il primo cerchio e mettiamolo davanti alla sua cornice – estraiamo ½ e mettiamolo davanti alla sua cornice – estraiamo 1/3 e mettiamolo davanti alla sua cornice e proseguiamo così per mostrare al bambino come prendere gli incastri – mostriamo anche come rimettere gli incastri al loro posto,
– chiedendo ad ogni bambino che partecipa all’esercizio di farne esperienza
– ripetiamo un paio di volte, anche mescolando gli spicchi
– chiediamo ai bambini di rimetterli nelle cornici correttamente.
___________________________ Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI Presentazione II – Nomenclatura
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto.
Presentazione: – portiamo sul piano di lavoro i primi cinque incastri delle frazioni – estraiamo l’incastro dell’intero, mettiamolo davanti alla sua cornice e diciamo al bambino “Questo è un intero.” – estraiamo un incastro delle metà, mettiamolo davanti alla sua cornice e diciamo al bambino “Questo è un mezzo”
– ripetiamo con gli altri incastri, fino a un quinto (primo tempo); – utilizzando la lezione in tre tempi proseguiamo chiedendo ai bambini, ad esempio “Per favore mi dai la frazione da un quarto?” e così via (secondo tempo). Infine possiamo chiedere: “Quale frazione vuoi rimettere nella sua cornice?” di modo che il bambino possa nominare la frazione e indicarcela (terzo tempo)
– quando il bambino si sente sicuro con questi primi cinque incastri, seguiamo la stessa procedura per i rimanenti cinque.
___________________________ Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI Presentazione III – Scrittura
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto – cartellini in bianco e pennarello nero.
Presentazione: – quando i bambini hanno ben memorizzato il nome delle dieci frazioni proposte, invitiamoli al tappeto e diciamo loro: “Oggi vi mostrerò come scrivere le frazioni” – indichiamo l’incastro delle metà e chiediamo ai bambini: “Questa cornice quanti pezzi contiene?”. “Due” – scriviamo 2 su un cartellino in bianco e diciamo: “Sì, ci sono due pezzi, quindi scriverò su questo cartellino 2”
– mettiamo un incastro sopra alla sua cornice e chiediamo al bambino quanti pezzi ho tolto dalla cornice e ora si trovano lì in alto. Il bambino dirà “1” – tracciamo la linea e scriviamo 1
– ripetiamo in questo modo per tutte le altre frazioni, fino ad arrivare ad 1/10
– se lo riteniamo opportuno, utilizzando la lezione in tre tempi, possiamo dare al bambino la nomenclatura di numerato e denominatore – dopo questa presentazione il bambino sarà in grado di scrivere e leggere qualsiasi frazione. Per esercitarsi proponiamo, ad esempio, 2/3, 6/8, 3/5, 8/10 ecc.
___________________________ Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI Presentazione IV – Lettura
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto – cartellini pronti delle frazioni da 1/1 a 10/10
Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Presentazione: – portiamo il materiale sul tappeto – disponiamo i cartellini formando pile in corrispondenza di ogni cornice, in basso
– chiediamo al bambino di prendere il primo cartellino, di leggerlo e di metterlo in alto – chiediamo di indicarci quale numero è il numeratore e quale il denominatore, per verificare se ha memorizzato i termini correttamente
– chiediamo al bambino di estrarre dalla cornice la frazione corrispondente al cartellino e porla accanto ad esso – ripetere con altri cartellini, mettendo ogni volta il materiale usato al suo posto
– dopo questa introduzione, due bambini possono lavorare insieme mescolando tutti i cartellini insieme e poi etichettando correttamente le frazioni.
___________________________ Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI Presentazione V – addizione di frazioni con lo stesso denominatore
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto – strisce di carta e pennarello
Presentazione: – portiamo il materiale sul tappeto – scriviamo su una striscia di carta un’addizione, ad esempio due settimi più quattro settimi – mostriamo al bambino che per la prima frazione prendiamo un settimo due volte (due settimi) – quindi prendiamo un settimo quattro volte (quattro settimi)
– chiediamo al bambino di contare quanti settimi ci sono (sei) – mostriamo al bambino come si scrive la risposta
– leggiamo l’intera operazione col bambino – scriviamo un’altra addizione e chiediamo al bambino di eseguirla – dopo alcuni esercizi del genere, facciamo notare al bambino che abbiamo sommato tra loro frazioni con lo stesso denominatore – quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.
___________________________ Presentazione VI – sottrazione di frazioni con lo stesso denominatore
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto – strisce di carta e pennarello
Presentazione: – portiamo il materiale sul tappeto – scriviamo una sottrazione su una striscia di carta, ad esempio tre sesti meno un sesto
– prendiamo tre sesti e mettiamoli davanti all’incastro
– indichiamo uno dei tre sesti e diciamo: “Adesso tolgo un sesto”
– prendiamo un sesto e spostiamolo a destra, separandolo dagli altri sesti
– chiediamo al bambino di contare quanti sesti si trovano a sinistra (due) – chiediamo al bambino di scrivere la risposta
– proponiamo e risolviamo insieme altre sottrazioni – quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.
___________________________ Presentazione VII – moltiplicazione di frazioni per un numero intero
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto – strisce di carta e pennarello.
Presentazione: – portiamo il materiale sul tappeto – scriviamo una moltiplicazione su una striscia di carta, ad esempio due decimi per quattro – leggiamo insieme l’operazione – diciamo: “Prendiamo due decimi quattro volte” – prendiamo due decimi una volta, due volte, tre volte e quattro volte mettendoli raggruppati a due a due sul tappeto – chiediamo al bambino di contare tutti i decimi che si trovano ora sul tappeto (otto) – mostriamo al bambino come scrivere la risposta
– facciamo altri esercizi col bambino – quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.
___________________________ Presentazione VIII – divisione di frazioni per un numero intero
Materiale: – incastri delle frazioni – bottoni o perle di legno o birilli o qualsiasi altro oggetto possa servire da contrassegno – tappeto – strisce di carta e pennarello.
Presentazione: – portiamo il materiale sul tappeto – scriviamo una divisione su una striscia di carta, ad esempio quattro quarti diviso due – leggiamo l’operazione e chiediamo per quanto dobbiamo dividere (per due) – chiediamo al bambino di prendere due bottoni e di metterli sul tappeto in riga, sotto agli incastri delle frazioni – chiediamo al bambino quanti quarti ci servono per iniziare (quattro) – prendiamo i quattro quarti e mettiamoli sul tappeto – diciamo al bambino che ora dovremo distribuire i quarti in parti uguali tra i due bottoni – procediamo mettendo un quarto sotto un bottone e un quarto sotto l’altro
– ricordiamo al bambino che nella divisione noi vogliamo sempre sapere quanti elementi si trovano in un solo gruppetto (sotto a un solo bottone) – chiediamo al bambino quanti quarti si trovano sotto ad un bottone (due) – chiediamo al bambino di scrivere la risposta
– facciamo altri esercizi simili – quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.
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___________________________ Presentazione IX – equivalenze tra frazioni
Materiale: – incastri delle frazioni – tappeto.
Si tratta di un’attività che può essere proposta durante o dopo gli esercizi con gli incastri delle frazioni. Dopo aver eseguito un certo esercizio, possiamo ad esempio chiedere al bambino se è possibile riempire lo spazio occupato da un terzo con frazioni di altri incastri. Nell’esempio il terzo può essere riempito da due sesti.
L’importante è stimolare il bambino affinché possa giungere da solo alla scoperta delle equivalenze, senza dare definizioni.
Al termine di tutto il lavoro con gli incastri delle frazioni, il bambino potrà stilare una propria tabelle delle equivalenze.
Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI per imparare a conoscere i numeri da 11 a 19, da 10 a 90 e da 11 a 99. Le presentazioni prevedono l’utilizzo, insieme alle tavole, di perle colorate, perle dorate e aste numeriche.
Tutto il materiale pubblicato sulle tavole di Seguin (download, presentazioni, tutorial, ecc.) si trova qui: LE TAVOLE DI SEGUIN.
Per le presentazioni ho utilizzato il mio materiale auto prodotto e le tavole di Seguin realizzate da Montessori 3D di Bobobo.
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Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI La prima tavola di Séguin – numerazione da 11 a 19.
Il materiale è costituito da una serie di nove 10 scritti l’uno sotto l’altro e disposti in una cornice.
Sotto l’ultimo c’è uno spazio vuoto. Allegata a questa tavola c’è una serie di tavolette di grandezza sufficiente per coprire lo zero del 10, che si possono collocare nella cornice, introducendole dal lato destro fornito di apposita scanalatura.
L’esercizio consiste nel collocare la tavoletta dell’1 sopra lo zero del primo 10,
quella del 2 sullo zero del secondo 10 e così via,
fino a che il bambino non arriva a coprire col 9 l’ultimo zero. A partire da questo punto non si può fare altro, se non passare ad una seconda decina.
All’esercizio precedente bisogna associare la conoscenza dei termini. La difficoltà maggiore nella terminologia sta nel passaggio dal 10 al 20. Infatti, la struttura delle parole che si riferisce alla decina ed alle unità nasconde gli elementi che le compongono. Questi elementi, fondendosi, formano parole nuove.
Perciò, questa parte deve essere imparata a memoria mediante esercizi di composizione di parole costruite con cartellini.
La parola dici sarà sempre scritta in rosso, mentre l’altra parte della parola, che indica il gruppo di unità associate alla decina, sarà scritta in nero. Così fino al numero 16 l’unità precede la decina, negli altri (e poi in tutte le decine successive) l’unità segue la decina. In tal modo avremo:
un———–dici do———–dici tre———–dici quattor—–dici quin———dici se————dici —————dici—— a —– s-sette —————dici—————- otto —————dici—— a —–n-nove venti.
Conclude la serie la parola “venti”, termine che si differenzia completamente da quelli che la precedono nella numerazione. Raggiunto il nove, poi, perfino le parole dimostrano che si è concluso il passaggio graduale, per entrare in un nuovo gruppo.
E’ ora necessario unire le conoscenze dei numeri da 11 a 19, fin qui considerati separatamente prima come quantità e poi come simboli. L’appaiamento quantità – simboli si conduce presentando contemporaneamente le perle colorate e i cartelli, per ciascuno dei numeri da 11 a 19. Nelle immagini vediamo il numero 15 con le perle colorate, e con le “perle colorate” stampabili:
Altro esercizio consisterà poi nel lasciare fissa la stessa decina, e sostituendo via via accanto ad essa i gruppi successivi di unità. Questo esercizio può essere eseguito sia con le perle colorate, sia con le aste numeriche:
Ogni volta che si forma una nuova quantità, c’è la relativa composizione del numero. Si pone così il bastoncino da 1 perla vicino a un bastoncino della decina, mentre nel cartello del 10 lo zero viene coperto dal simbolo dell’1. Si prosegue così, sostituendo e unendo fra loro quantità e simboli, lasciando fissa la decina.
Arrivati al 9, non si può continuare con lo stesso procedimento, perchè il bastoncino (o l’asta numerica) che segue il 9 non può che essere una nuova decina. Collochiamo quindi la nuova decina accanto alla prima.
Per quanto riguarda i cartelli dei numeri, bisogna invece accantonare quelli usati prima e utilizzare il cartello del 20.
Tutti questi esercizi rafforzano il concetto chiave del sistema decimale, che si impernia sul passaggio da una decina all’altra, cioè dal 9 al 10. Dopo il 9, il ponte è stato superato: ha inizio una nuova decina.
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Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI Esercizio 1 – Prima tavola di Séguin
tempo 1: si dispongono le tavolette di Séguin sul tappeto. L’insegnante tiene le tessere dei numeri da 1 a 9 e comincia inserendo quella dell’1 sul primo 10 dicendo: “10 e 1 si chiama undici. Questo è il nostro modo di scrivere 11. Undici.! “
Ripete più volte il nome. Poi mette sul secondo 10 la tessera del 2 dicendo: “10 e 2 si chiama dodici, Questo è il nostro modo di scrivere 12. Dodici.” L’insegnante continua allo stesso modo con tutti gli altri numeri fino al 19.
tempo 2: l’insegnante chiede ai bambini di indicarle le cifre che lei nomina, dicendo ad esempio “Mostrami il 18″ ecc…
tempo 3: l’insegnante indica le cifre non in ordine e il bambino le dice i nomi. Alla fine glieli chiede in ordine da 11 a 19.
Il materiale viene riposto in un luogo accessibile al bambino, in modo che lui possa usarlo ogni volta che lo desidera. Nei giorni successivi possiamo chiedere al bambino di comporre numeri non seguendo l’ordine:
_______________________________ Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI Esercizio 2 – prima tavola di Séguin collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità
Materiale: tavolette di Séguin dei 10, 9 barrette di perle del 10, un set di barrette di perle colorate da 1 a 9 Scopo: collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità
Esercizio: si sistemano le tavole di Seguin sul tappeto. L’insegnante mette una barretta del 10 e una dell’1 a sinistra del primo 10 della tavoletta dicendo: “10 e 1 è undici”, e chiede al bambino di contare le perle.
Poi prende la tessera mobile dell’1 e la fa scivolare sul primo 10 della tavoletta dicendo “10 e 1 è 11. Questo è il nostro modo di scrivere 11″.
Quindi il bambino mette le barrette a destra del numero 11.
Poi chiede al bambino di mettere una barretta del 10 e una del 2 a destra del secondo dieci, quindi di comporre sulla tavoletta di Seguin il 12. Il bambino conta le perline delle barrette.
Questo esercizio prosegue fino al 19. Come sempre si ripone il materiale in un luogo accessibile al bambino, in modo che lui possa servirsene ogni volta che lo desidera.
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Tavole di Seguin – presentazioni ed esercizi Seconda tavola di Séguin – numerazione da 11 a 99.
Scopo di questa seconda tavola è quello di verificare, per altra via, lo stesso fenomeno. E’ costituita da due tavole uguali:
la suddivisione in due tavole ha solo lo scopo di rendere più maneggevole il materiale. Sulla prima tavola sono presenti i numeri corrispondenti alle prime 5 decine: 10 20 30 40 50; nell’altra le quattro decine successive 50 60 70 80 90. Il materiale è completato da una serie di nove tavolette con le unità, che si possono inserire nelle tavole per coprire gli zeri.
Ci sono poi, per eseguire l’esercizio, le perle dorate del sistema decimale: 9 decine e 10 unità sciolte.
Per la numerazione da 11 a 99 si procede contemporaneamente con quantità e simboli. Per esempio, per il passaggio dalla seconda alla terza decina, si aggiunge ai due bastoncini dorati una perla e contemporaneamente si copre lo zero del 20 con la tavoletta dell’1, per ottenere il numero 21. Poi, si aggiungerà una seconda perla, sostituendo l’uno col la tavoletta del 2 per ottenere il numero 22.
Arrivati al 29, nel momento stesso in cui si aggiunge la decima perla, si sostituiscono le perle sciolte con una nuova decina: quelle tre decine che, spostandosi in basso, corrispondono al numero 30.
Inserendo e sostituendo, sopra lo zero del 10, una dopo l’altra, le nove cifre delle unità secondo la serie naturale dei numeri, si formano successivamente i numeri 11 12 13 14 15 16 17 18 19.
Giunti a questo punto, bisogna passare al 20, ripercorrendo il procedimento per comporre via via i numeri 21 22 23 24 25 26 27 28 29… e così via, fino ad arrivare al 99.
Giunti al 99 non è più possibile continuare con questo materiale: i riquadri sono insufficienti a contenere il numero 100, che è formato da tre cifre. L’unità che manca, e che non possiamo aggiungere, è una chiave più importante di quella che prima ci permetteva il passaggio da una decina all’altra. Si tratta anche qui di un “semplice uno”, ma questa unità è diversa da quella che ci ha permesso di percorrere una ad una le decine: porta con sè una nuova gerarchia, che richiede per esprimersi di uno spazio maggiore. E’ il passaggio dalle decine alle centinaia.
Le decine che si susseguono l’una all’altra sono le guide. Lo dimostrano le parole stesse, tutte differenti tra loro: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta. Al contrario, i punti di passaggio da una decina alla successiva, ad eccezione di quelli tra le prime due decine che ha richiesto uno studio a parte, si distinguono con parole uniformi che corrispondono all’unione successiva delle nove unità con ciascuna decina: vent-uno venti-due venti-tre venti-quattro venti-cinque venti-sei venti-sette vent-otto venti-nove.
Questo si ripete via via per ogni nuova decina, allo stesso modo che per la sostituzione delle tavolette: è un’autentica addizione di parole.
Questi esercizi chiariscono e facilitano non solo la comprensione del sistema decimale, ma anche il meccanismo del contare che deve svolgersi sulla base del grande quadro del sistema decimale.
Tavole di Seguin – presentazioni ed esercizi Esercizio 1 – seconda tavola di Seguin
Imparare i nomi dei numeri da 10 a 90 in relazione alle quantità
Materiale: 45 barrette di perle del dieci, Scopo: imparare i nomi dei numeri da 10 a 90 in associazione alle quantità.
Esercizio: si procede usando il metodo della lezione in tre tempi. L’insegnante porta sei barrette del 10 al tavolo del bambino e si siede accanto a lui.
Tempo 1: l’insegnante mette una barretta di fronte al bambino. Il bambino le dirà che è il 10.
Allora lei toglie la barretta dal tavolo ed al suo posto mette due barrette dicendo: “Questi sono due 10. Noi chiamiamo due 10 venti”, ripetendo venti più volte.
Poi toglie le due barrette, e al loro posto ne mette tre davanti al bambino “Questi sono tre 10. Noi chiamiamo tre 10 trenta” ripetendo trenta più volte.
Tempo 2: l’insegnante mette i tre gruppi di fronte al bambino e gli chiede di mostrarle quelli che via via indica, in ordine sparso:
“Poi mostrarmi il 30?” “Mi indichi il 20?” “Qual è il 10?” “Se io li rimescolo, poi me li ridici?” L’insegnante cambia l’ordine delle barrette più volte, e il bambino ripete i nomi correttamente.
Tempo 3: l’insegnante mette davanti al bambino una quantità alla volta e gli chiede di dirle il numero cui corrisponde. Alla fine della lezione l’insegnante dispone le quantità in colonna in ordine crescente e insieme al bambino ne dice i nomi: “Dieci, venti, trenta”.
Nei giorni seguenti ai numeri imparati vengono via via aggiunti tutti gli altri, fino al 90.
Si vanno via via a formare rettangoli sempre più larghi sul modello 10=10×1; 20=10×2; 30=10×3; ecc… Questo concetto non viene verbalizzato, si lascia che il bambino abbia un’impressione visiva della geometria del numero.
Esercizio 2 – seconda tavola di Seguin
collegare le cifre da 10 a 90
Materiale: tavolette di Séguin dal 10 al 90 45 barrette di perline colorate del 10.
Scopo: collegare le cifre da 10 a 90 alle quantità, contare da 10 a 90 con quantità e cifre
Esercizio: le tavolette di Seguin vengono disposte verticalmente sul tappeto, e l’insegnante mostra al bambino come mettere correttamente le barrette di perline alla sinistra delle cifre, cominciando dal 10.
Appena il bambino capisce l’esercizio, può lavorare autonomamente, infatti siccome le barrette di perline sono contate, lui può accorgersi da solo di eventuali errori ed autocorreggersi.
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Esercizio 3 – seconda tavola di Seguin
Identificare i numeri a 10 a 90 con le tavolette di Séguin
Materiale: tavolette di Séguin numerate dal 10 al 90
Scopo: identificare i numeri da 10 a 90
Esercizio: dopo che il bambino ha imparato i nomi dei numeri in relazione alle quantità, può associarli al segno grafico. Si utilizza il metodo della lezione in tre tempi:
tempo 1: l’insegnante indica i numeri uno alla volta in sequenza ripetendone il nome tempo 2: l’insegnante chiede al bambino di indicarle i numeri che lei nomina in ordine sparso tempo 3: l’insegnante indica i numeri in ordine sparso, e il bambino le dice il nome.
Al termine della lezione insegnante e bambino insieme, ripetono i nomi dei numeri in sequenza.
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Esercizio 4 – seconda tavola di Seguin
Contare da 10 a 99 con le tavolette di Séguin e le perle colorate Montessori
Materiale: tavolette di Séguin dal 10 al 90 e cifre mobili dall’1 al 9; 9 barrette di perline colorate del 10 un set di barrette di perline colorate dall’1 al 9.
Scopo: costruire quantità e numeri in sequenza da 10 a 99. Questa è la tappa finale di tutto il lavoro svolto per imparare a contare.
Esercizio: si prepara il materiale sul tappeto. Poi l’insegnante chiede al bambino di mettere una barretta di perline del 10 a sinistra del numero 10.
Poi gli mostra come costruire l’11 mettendo una perlina delle unità a sinistra del numero 10, quindi fa scivolare il numero mobile dell’uno sullo zero dicendo: “10 e 1 è 11, e noi lo scriviamo così, dieci e uno”.
L’insegnante mostra al bambino che per fare il 12 bisogna aggiungere un’altra unità, quindi toglie la tessera dell’1 e mette al suo posto quella del 2.
Insegnante e bambino continuano così a costruire i numeri e le quantità cui corrispondono fino a 19. I numeri mobili non usati si tengono da parte, girati sul rovescio:
“10 e 9 sono 19. Abbiamo una decina e 9 unità”.
Se noi avessimo un’unità in più (mette una perlina in più) avremmo 10 unità, quindi sarebbero 2 decine”.
Quindi sostituisce le dieci perline con una barretta di perline del 10: “Ora dobbiamo mettere questa decina con le altre, così di barrette ne abbiamo due adesso, quindi siamo a 20, il nostro prossimo numero”.
Si procede così, rispettando i tempi di apprendimento del bambino, fino al 99.
Quando il bambino ha capito l’esercizio, può svolgerlo anche da solo.
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Inserendo e sostituendo, sopra lo zero del 10, una dopo l’altra, le nove cifre delle tavolette secondo la serie naturale dei numeri, si formano successivamente i numeri
11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19
giunti a questo punto, bisogna passare al 20, ripercorrendo il procedimento per comporre via via i numeri:
21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29
e così via fino alla fine, il 99. Sono sempre le stesse tavolette che servono da ponte fra il 10 e il 20, così come fra il 20 e il 30, fra l’80 e il 90. Giunti al 99 non è più possibile continuare con questo materiale: i riquadri sono del tutto insufficienti a contenere il numero successivo, il 100, essendo costituito da tre cifre. Quell’unità che manca e che non possiamo aggiungere è una chiave più importante di quella che prima ci permetteva il passaggio da una decina all’altra. Si tratta di un semplice uno, ma questa unità non è quella che ci permette di percorrere una ad una le decine: porta invece con sé una nuova gerarchia che richiede per esprimersi uno spazio maggiore. E’ il passaggio dalle decine alle centinaia. Le decine che si susseguono l’una all’altra sono le guide. Lo dimostrano le parole stesse, tutte differenti fra loro: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta. Al contrario, i punti di passaggio da una decina alla successiva, ad eccezione di quelli tra le prime due decine che hanno richiesto uno studio a parte, si distinguono con parole uniformi che corrispondono all’unione successiva delle nove unità con ciascuna decina: vent-uno, venti-due, venti-tre, ecc. Questo si ripete per ogni decina: quaranta-cinque, quaranta-sei, ottanta-tre, ottanta-quattro, ecc. E’ un’autentica addizione di parole. Gli esercizi descritti chiariscono e facilitano non solo la comprensione del sistema decimale, ma anche il meccanismo del contare che deve svolgersi sulla base del gran quadro del sistema decimale mostrato in principio. I passaggi non sono che dettagli, ponti sempre uguali che collegano un gruppo all’altro. E’ la serie dall’uno al nove che opera e, una volta appreso in meccanismo, non c’è che da ripeterlo. Gli ordini gerarchici che rappresentano il fondamento e la guida della numerazione devono venir studiati prima dell’attività di numerare e in se stessi. Poi il contare diverrà un’operazione semplice, con la quale non ci si può confondere.
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria. Secondo Maria Montessori ogni materia di insegnamento non dovrebbe procedere da sola, in modo lineare e separatamente dalle altre. Al contrario ognuna dovrebbe essere vista come un piccolo rivolo d’acqua che sgorga da una sorgente, si ingrossa, scompare per qualche tempo nascosto sotto le pietre, poi torna fuori più lontano, si unisce con altri rivoletti, si isola ancora e infine diventa un fiume con sponde proprie.
Questo vale anche per la geometria, che si avvia nella Casa dei Bambini (dai 4 ai 6 anni) quando il bambino si trova nel periodo di sviluppo dei sensi, delle coordinazioni motorie e del linguaggio. In questo periodo non interessano le analisi e le definizioni: il bambino assorbe il mondo esterno attraverso le sensazioni e la continua attività motoria che esercita sugli oggetti circostanti. Tenendo presente questa caratteristica peculiare della mente infantile, intorno ai 4 anni si presenta il primo materiale sistematico di forme geometriche piane, che serve a dare la prima rappresentazione sensoriale di esse: gli incastri geometrici piani. Il vassoio di presentazione bianco e rosso delle immagini è prodotto da Montessori 3D di Boboto.
Per la prima presentazione si utilizzano le forme più regolari e contrastanti tra loro: un triangolo equilatero, un cerchio e un quadrato. Si tratta del vassoio di presentazione.
Dopo aver lavorato col vassoio di presentazione vengono gradualmente aggiunte le altre figure, fino a lavorare con più figure differenti insieme: triangolo, rettangolo, pentagono, rombo, trapezio, cerchio.
Infine si danno i vassoi contenenti sei figure che rappresentano varietà e gradazioni della stessa forma:
il quadrato e cinque rettangoli che hanno un lato costante (10 cm) e l’altro degradante di 1 cm fino al rettangolo che ha il lato minore di 5 cm
sei poligoni dal pentagono al decagono, tutti costruiti in modo che siano iscritti in un cerchio che ha 10 cm di diametro
sei cerchi di cui il maggiore ha diametro di 10 cm e il minore di 5 e gli altri il diametro successivamente degradante di 1 cm dal primo all’ultimo
figure varie a contorni curvi: triangolo equilatero, ellisse, ovale, due fiori costruiti sullo stesso quadrato, uno sul lato e uno sull’angolo
Si tratta di incastri che si possono inserire perfettamente in una cornice quadrata, muniti di una manopola per la presa a tre dita. Ogni incastro può essere collocato esattamente solo nella propria cornice. L’esercizio dunque porta a una comparazione continua tra le forme, e a un controllo materiale su identità e differenze.
Che cosa c’è di identico tra la cornice e l’incastro? La linea di contorno. I due oggetti, incastro e cornice, in se stessi sono molto diversi, e in certo modo opposti: la cornice ha dal lato esterno sempre la stessa forma (un quadrato), invece gli incastri hanno contorni esterni diversissimi (triangolo, rettangolo, cerchio, pentagono, ecc.). Il quadrato delle cornici ha però incavi di contorno diversissimi, corrispondenti a quelli degli incastri: ha un vuoto, una mancanza di materia.
Col materiale degli incastri geometrici piani il bambino si dedica a comparazioni tra le figure geometriche ed al loro studio intuitivo, grazie ad esperienze attive fatte di spostamenti, ricerche e tentativi. L’attività del bambino con questo materiale è un’attività complessa: la mano sposta, l’occhio riconosce, la mente giudica.
Per richiamare l’attenzione del bambino sul contorno, facciamo eseguire un esercizio speciale: il bambino deve toccare tutto il contorno dell’incastro e poi il contorno dell’incavo che sta nella cornice.
I movimenti della mano seguono il contorno e questo movimento eseguito lentamente, attentamente e con precisione, dice Maria Montessori, dà un’idea motrice. Il bambino può riconoscere anche grazie al movimento la forma del contorno, e mettere in rapporto la forma rilevata come identica nell’incastro e nella cornice.
Gli esercizi proseguono a occhi bendati: il bambino mette una serie di incastri nelle cornici, toccandone attentamente i contorni e senza l’aiuto della vista.
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria
In tutti i vassoi previsti nel cofanetto, le figure sono costruite in modo da avere un riferimento alla medesima dimensione lineare: 10 cm. Il triangolo equilatero ha il lato di 10 cm e il cerchio il diametro di 10 cm. Così il triangolo, non essendo inscritto nel cerchio, non può entrarvi, né a maggior ragione il cerchio nel triangolo. Questa impossibilità pratica di sbagliare è il controllo dell’errore insito nel materiale stesso. Grazie a questo principio il bambino, una volta conosciuto l’uso degli oggetti, può procedere senza insegnante.
L’importanza di avere una cornice di incastro non è solo quella di garantire il controllo dell’errore: la cornice richiama anche l’attenzione sulle particolarità che differenziano le varie forme, quando il bambino cerca per tentativi cerca per tentativi la cornice giusta per la piastrella che ha in mano, o prova a incastrarla in diversi sensi.
Il quadrato, ad esempio, si può spostare nei quattro lati ed entra sempre. Il rettangolo, se non si appoggia in modo che i lati maggiori e minori corrispondano, rimane fuori dalla cornice. Il quadrato, tuttavia, non si può rigirare nella cornice tante volte come un poligono e questo, dal pentagono al decagono, fa passi sempre più piccoli nel suo giro. Il cerchio, infine, può girare tutto intorno senza interruzioni.
Il materiale degli incastri geometrici può insomma insegnare la differenza tra le figure senza intervento da parte dell’insegnante, che interviene solo per presentare gli esercizi e per dare i nomi delle forme geometriche attraverso la lezione in tre tempi che si utilizza per tutti i tipi di nomenclatura.
Col materiale degli incastri geometrici nella mente del bambino, grazie all’apprendimento dei concetti della geometria, si sviluppa il senso geometrico. Gli occhi del bambino sono stimolati a sentire l’aspetto geometrico dell’ambiente che li circonda: il piano del tavolo rettangolare, gli esagoni delle mattonelle del pavimento, i cerchi dei piatti, i quadretti dei fazzoletti, le ellissi delle cornici dei quadri … porte, finestre, decorazioni assumono un significato nuovo.
Questa nuova attitudine della mente, questa osservazione spontanea che si manifesta grazie allo sviluppo di una particolare sensibilità interiore, è qualcosa di molto diverso da ciò che consideriamo “apprendimento logico”.
Aggiungere alcune nozioni di una data disciplina, in questo caso della geometria, durante i periodi sensitivi prepara nella personalità attitudini che predispongono la mente a comprendere, depositano germi permanenti di interesse nell’intelligenza.
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria
Le figure geometriche rappresentate negli incastri vengono ripetute come semplici disegni su tre serie di cartoncini quadrati, che hanno la stessa dimensione delle cornici. Su di esse le figure riproducono:
serie 1: gli incastri colorati nella stessa dimensione e colore
serie 2: il contorno con una striscia colorata
serie 3: una linea sottile.
La linea di contorno, già tante volte percepita dal movimento della mano, viene dunque isolata e resa visibile.
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria
Le tre serie di cartoncini possono essere realizzate facilmente utilizzando come modello gli incastri.
Gli esercizi con gli incastri geometrici sono primissime esperienze che mettono in rapporto il bambino piccolo, dai tre o quattro anni di età, con le forme geometriche. Le sue conoscenze sono intuizioni d’insieme, che egli riceve attraverso la sua esperienza attiva.
Esercizi di aritmetica per la classe seconda in schede pronte per il download e la stampa in formato pdf: addizione, sottrazione, moltiplicazione, numerazioni, maggiore e minore, calcolo veloce, ecc. Il materiale è composto da 24 pagine:
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori utilizzando le tre tavole.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Le neuroscienze ci dicono che la comprensione della matematica presenta aspetti sia geometrico-percettivi sia simbolico-linguistici ed è necessario allenare il cervello a usare contemporaneamente entrambe le aree cerebrali.
Spesso la matematica è presentata ai bambini in modo puramente “linguistico”, come una lista di istruzioni da memorizzare. La memoria linguistica è molto potente e durevole, quindi i bambini inizialmente imparano con poco sforzo, ma quando la quantità di formule da memorizzare diventa eccessiva, la matematica diventa per loro materia arida e incomprensibile.
Per questo è necessario insegnare la matematica prima di tutto attraverso stimoli di tipo percettivo-sensoriale, soprattutto attraverso le mani, perché le aree cerebrali che ci permettono i movimenti fini sono molto vicine a quelle che ci fanno percepire le forme geometriche e le quantità approssimate.
Il materiale usato per la presentazione è offerto da:
I due testi fondamentali per l’insegnamento della matematica col metodo Montessori sono “Psicoaritmetica” e “Psicogeometria”, pubblicati per la prima volta nel 1934 in spagnolo quando l’autrice, a causa delle persecuzioni del fascismo, si trovava in esilio a Barcellona. Le tesi esposte nelle due pubblicazioni, messe a confronto con le recenti scoperte delle neuroscienze, evidenziano marcati elementi di sintonia e attualità.
Prendiamo ad esempio il teorema di Pitagora: la sua formulazione “linguistica” recita che “in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”. Lo sforzo per la memoria linguistica è modesto, dunque si tende a partire dall’enunciato del teorema, presentando la sua dimostrazione, e poi si fanno seguire gli esercizi. L’idea montessoriana è diversa, ed è molto semplice: bisogna partire dalle “cose”, cioè dalle rappresentazioni concrete degli oggetti geometrici.
“Non fu dalle cose, che i primi geometri trassero le loro conoscenze? Non furono corrispondenze e relazioni tra cose, che stimolarono qualche mente attiva e interessata a formulare degli assiomi e quindi dei teoremi?“ “Il modo con cui un concetto è stato compreso per la prima volta dagli esseri umani è il modo naturale per presentare quel concetto ai bambini”. Maria Montessori
Sulla base di questa idea Maria Montessori introdusse nei due testi un’enorme quantità di materiali, che con la loro muta eloquenza permettono ai bambini di scoprire, in modo indipendente, la geometria e l’aritmetica.
“Nella scuola tradizionale lo studio del teorema di Pitagora rappresenta spesso un grosso scoglio da superare per i bambini, tanto che era chiamato “il ponte degli asini” (asino, si sa, era l’epiteto usato per gli studenti meno brillanti). Quando interrogati, gli studenti dovevano illustrare la dimostrazione del teorema disegnandola alla lavagna. Quelli che erano in grado di farlo avevano memorizzato sia il teorema sia la sua dimostrazione, ma erano in pochi quelli che l’avevano realmente compreso. Disegnando linee i bambini riproducono parallelogrammi equivalenti a quadrati, e rettangoli equivalenti a parallelogrammi e spiegano le ragioni dell’equivalenza. Le linee sulla lavagna si moltiplicano e alla fine il tutto diventa un labirinto che rispecchia il labirinto che c’è nella mente del bambino. Anche se il postulato che recita: ‘Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui sue altri lati’ è ben fissato nella mia mente, devo confessare che la prima volta che lo ho realmente compreso è stata quando ho visto la dimostrazione fatta con gli incastri delle tavole di Pitagora a bambini di 8 anni. Ma nella mente di tutte le persone a cui l’ho chiesto, il famoso teorema si riferisce soltanto ai quadrati. Nessuna altra figura geometrica gode dello stesso privilegio. Noi siamo in grado di utilizzare tutte le figure, purché esse siano equivalenti. Questo è un esempio di cosa succede quando il bambino è liberato dalla schiavitù dei libri di testo e il suo potenziale intellettivo è stimolato e aiutato attraverso chiavi di conoscenza che gli permettono di investigare e creare con gioia ed entusiasmo. I contenuti del programma scolastico sono coperti, ma se ne aggiungono molti altri ancora, e tutto con la piena comprensione e la gioia di imparare di una mente che ricerca e che vede le relazioni tra le cose. Ciò accade non solo per quanto riguarda la geometria, ma anche per quanto riguarda il resto della matematica. Non è questo anche l’obiettivo dei sostenitori della nuova matematica?“ Mario Montessori – Communications 1 (1969)
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Il materiale per il teorema di Pitagora è composto da 3 tavole con pezzi ad incastro blu, rossi, gialli e bianchi.
Le tre tavole rappresentano tre casi del teorema: – primo caso (TAVOLA I): i due cateti sono uguali – secondo caso (TAVOLA II): i due cateti stanno in proporzione 3:4 tra loro – terzo caso (TAVOLA III): caso generale (la dimostrazione Euclidea).
La tavola 1 serve ad una dimostrazione del teorema a livello principalmente sensoriale.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I i due cateti sono uguali
Per la prima dimostrazione abbiamo una cornice che corrisponde a uno spazio complesso, cioè: – un triangolo rettangolo isoscele bianco – lo spazio corrispondente ai quadrati costruiti sui tre lati:
Nel centro è collocato il triangolo bianco. Il resto del materiale è costituito dal quadrato diviso in otto triangoli a mezzo delle due diagonali e delle due mediane:
La dimostrazione del primo caso è estremamente intuitiva. In questo incastro:
– i due quadrati dei cateti sono divisi per mezzo della diagonale in due triangoli – il quadrato dell’ipotenusa è diviso in quattro triangoli per mezzo di due diagonali.
Gli otto triangoli sono tutti uguali tra loro, quindi: – i triangoli dei due cateti possono entrare nel quadrato dell’ipotenusa – i quattro triangoli dell’ipotenusa possono riempire i due quadrati dei cateti.
Gli spostamenti sono molto divertenti, anche perchè i triangoli dei due cateti hanno lo stesso colore, mentre i quattro triangoli dell’ipotenusa hanno un colore diverso. E’ facile vedere che i triangoli gialli e gli altri blu, fanno tra loro un quadrato col lato uguale al cateto di quello posto nel centro della cornice. Gli altri 4 triangoli rossi, disposti in modo che i vertici siano tutti uniti al centro e le ipotenuse al di fuori, formano un quadrato, il cui lato corrisponde all’ipotenusa del triangolo che sta nella cornice. Così gli 8 triangoli si possono collocare nella cornice riempendo tutto lo spazio, e dimostrando questo primo caso del teorema di Pitagora. Con questa dimostrazione siamo partiti da un fatto noto, cioè il teorema di Pitagora, e da una cornice vuota che lo rappresenta; e abbiamo dimostrato il teorema riempiendo i vuoti della cornice.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I – Presentazione 1 Esplorazione sensoriale del teorema di Pitagora
Mostriamo il materiale dicendo: – “Le figure a destra della tavola mostrano i quadrati dei due lati del triangolo rettangolo isoscele, divisi a metà dalla linea diagonale, così da formare 2 triangoli interni per ogni quadrato, uno giallo e uno blu” – “Il quadrato dell’ipotenusa è diviso da due linee diagonali , così da formare 4 triangoli interni rossi” – “Gli 8 triangoli totali (2 gialli, 2 blu e 4 rossi) sono tutti identici, quindi con i triangoli gialli e blu dei quadrati dei cateti possiamo riempire lo spazio occupato dai 4 triangoli rossi del quadrato dell’ipotenusa”
– “Viceversa possiamo usare i 4 triangoli rossi per occupare lo spazio dei quadrati blu e giallo dei cateti”.
La sostituzione di questi differenti pezzi mobili è molto interessante, anche perchè presentano colori differenti. L’esercizio inoltre ricorda gli esercizi di equivalenza fatti con gli incastri delle frazioni.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I – Presentazione 2
Materiale: – tavola del teorema di Pitagora I
Presentazione: – osserviamo lo schema di figure a destra della tavola – rimuoviamo il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?”. E’ un triangolo rettangolo isoscele
– rimettiamo al suo posto il triangolo bianco indichiamo i quadrati. Chiediamo ai bambini: “Cosa sono?” Sono quadrati – diciamo ai bambini: “Oggi conosceremo insieme la relazione tra quadrati e triangoli.” – indichiamo i lati del triangolo e facciamo notare che i quadrati adiacenti ai lati del triangolo hanno la loro stessa lunghezza – Chiediamo: “Quale lato del triangolo ha la stessa lunghezza del triangolo grande rosso?” L’ipotenusa – indichiamo l’ipotenusa e diciamo: “L’ipotenusa ha la stessa lunghezza del quadrato rosso” – esaminiamo i pezzi per mostrare le loro equivalenze
– passiamo allo schema di figure a sinistra della tavola e diciamo: “Questi sono gli stessi quadrati divisi da diagonali. Ci sono molte equivalente tra le figure dello schema” – rimuoviamo interamente il quadrato rosso (formato da 4 triangoli) e incoraggiamo i bambini a notare che è equivalente alla somma dei quadrati gialli e blu combinati – nota altre equivalenze, ad esempio che il quadrato giallo è metà del quadrato rosso, come ne è la metà anche il quadrato blu
– al termine dell’esperienza, diamo la regola: “Nel triangolo rettangolo, la somma del quadrato costruita sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa”.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I – Presentazione 3
Introduzione: – diamo ai bambini qualche semplice informazione su Pitagora, dicendo che fu un grande matematico dell’Antica Grecia, nato nell’isola di Samo nel 500 aC. Egli fondò la sua scuola a Crotone (Italia meridionale), che era allora parte della Magna Grecia – troviamo Pitagora nella linea del tempo. Questa breve introduzione è molto utile perchè richiama il nome del materiale, cioè la tavola del teorema di Pitagora; inoltre il collegamento con la storia fa sentire ed apprezzare ai bambini il proprio legame con gli uomini del passato.
Presentazione
Primo passaggio: sostituzione dei pezzi: – iniziamo con la tavola contenente tutti i pezzi già disposti nel modo corretto per dare una prima forte impressione
– togliamo tutti i pezzi dal primo schema
– prendiamo i pezzi dell’altro schema e mettiamoli nelle cornici del primo, cioè muoviamo i pezzi da un lato all’altro
Secondo passaggio: – dallo schema nel quale i quadrati sono divisi dalle diagonali formando i triangoli colorati, togliamo i triangoli gialli e quelli blu. Chiediamo a un bambino di riempire i due quadrati dello schema a sinistra utilizzando i quattro triangoli rosso che formano il quadrato grande
– i triangoli rossi che erano sull’ipotenusa del triangolo bianco sono stati distribuiti in due quadrati posati sugli altri due lati (cateti) del triangolo bianco
– ora con i triangoli blu e gialli riempiamo lo spazio lasciato libero dai triangoli rossi: tutto ciò che era costruito sui cateti ora si trova sull’ipotenusa.
Applicazione del teorema: – la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.
Note: – i triangoli dello schema sono tutti triangoli isosceli.
Scopo diretto: – introduzione sensoriale al materiale – preparazione per gli incastri seguenti
Età: – dagli 8 anni.
Teorema di Pitagora col metodo Montessori TAVOLA II i due cateti sono in proporzione 3:4
Nell’incastro i tre quadrati sono riempiti con quadratini di tre diversi colori. Il loro numero è: – nel quadrato del cateto minore 3² = 9 – nel quadrato del cateto maggiore 4² = 16 – nel quadrato dell’ipotenusa 5² = 25. In questo caso speciale calcolando le lunghezze dei lati per se stesse, si ha il numero di quadrati che riempiono le superfici, cioè: 3 x 3 = 9 quadrati 4 x 4 = 12 quadrati 5 x 5 = 25 quadrati e quindi 25 = 16 + 9.
Siccome i quadratini relativi al quadrato di ogni lato sono di colore diverso, si possono disporre a disegni vari i quadratini corrispondenti ai due cateti, nel quadrato dell’ipotenusa. Allora gli spazi relativi ai quadrati dei due cateti restano riempiti coi quadratini relativi all’ipotenusa, e rimanono di colore uguale i quadrati dei cateti.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori Tavola II – Presentazione 1
Il gioco degli spostamenti è evidente: – i due quadrati dei cateti possono essere riempiti completamente con i quadratini dell’ipotenusa, diventando dello stesso colore – il quadrato dell’ipotenusa può essere composto in due colori creando bei disegni.
Così rimane materialmente ed esteticamente dimostrata la relazione pitagorica cambiando i quadratini mobili negli spazi della cornice che si trova nel materiale.
Tavola II – Presentazione 2
Materiale: – tavola del teorema di Pitagora II
Presentazione: – rimuoviamo dalla tavola il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?” E’ un triangolo rettangolo scaleno – diciamo: “Questa è un’altra dimostrazione della teoria di Pitagora”. – diciamo: “In questa tavola i quadrati sono divisi in quadratini tutti uguali. Possiamo usarla per verificare che la somma dei quadrati dei lati è uguale al quadrato dell’ipotenusa. “ – chiediamo l’aiuto dei bambini per inserire tutti i quadratini blu e gialli nella cornice quadrato grande e i quadratini rossi nelle cornici dei quadrati medio e piccolo:
– chiediamo ai bambini cos’hanno scoperto e chiediamo se quello che abbiamo fatto con i quadratini colorati può essere scritto – facciamolo insieme:
– dopo essersi esercitati con la tavola i bambini possono risolvere problemi detti a voce, ad esempio possiamo dare la misura dell’ipotenusa e di un lato di un triangolo, e i bambini devono trovare la lunghezza dell’altro lato.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Nota: Si tratta della terna pitagorica. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.
Tavola II – Presentazione 3
Materiale: – tavola del teorema di Pitagora II
Presentazione: – mostriamo il materiale e diciamo: “Qui i numeri magici sono 3, 4 e 5” – “In questa figura i tre quadrati sono riempiti con piccoli quadratini tutti uguali e in differenti colori” – con questo materiale il gioco delle sostituzioni viene spontaneo, per cui basta invitare il bambino a sperimentare il materiale in tutte le possibili combinazioni – facciamo notare che i due quadrati costruiti sui due cateti (giallo e blu) possono essere interamente riempiti con i quadratini rossi del quadrato costruito sull’ipotenusa
– facciamo notare anche che i quadratini giallo e blu insieme possono riempire lo spazio occupato dal quadrato rosso – facciamo notare che il triangolo bianco centrale è un triangolo rettangolo scaleno.
________________________ La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Tavola II – Presentazione 4
Materiali: – tavola del teorema di Pitagora II: tavola nella quale i lati del triangolo sono in proporzione 3:4. In questo caso c’è un solo schema sulla tavola. Il triangolo bianco è un triangolo rettangolo scaleno.
Presentazione: – per prima cosa contiamo i pezzi. Questa tavola aggiunge elementi di aritmetica agli elementi sensoriali. Evidenziamo che il triangolo bianco centrale è un triangolo scaleno – togliamo dallo schema tutti i quadratini gialli e tutti i quadratini blu. Proviamo a riempire gli spazi vuotati con i quadratini rossi – al termine ci troveremo con lo spazio per il quadrato dell’ipotenusa vuoto. Riempiamo questo spazio con i quadratini gialli e con quelli blu – nel fare questa operazione si possono ottenere combinazioni di giallo e blu molto interessanti
– contiamo i quadratini. Possiamo scrivere il conteggio così:
– la somma dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.
Teorema di Pitagora col metodo Montessori TAVOLA III caso generale
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Il materiale che serve a questa dimostrazione Il terzo incastro è di difficile descrizione e si presta a un notevole esercizio intellettuale. Il materiale originale prevedeva una tavola 44 x 24 cm, con quattro incavi rettangolari ai due lati e al centro la cornice che, per la sua determinazione di forma, presenta appunto un teorema già stabilito, che bisogna dimostrare.
I pezzi mobili possono formare varie combinazioni per dimostrare vari principi del teorema, e cioè: – due quadrilateri aventi base uguale e altezza uguale sono equivalenti – due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro. Occorre dimostrare che la somma dei due rettangoli equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. La dimostrazione materiale si fa con lo spostamento delle figure.
Nell’incastro in posizione normale:
– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in due rettangoli – il secondo lato è determinato dalle divisioni dell’ipotenusa, su cui cade l’altezza del triangolo abbassata dal vertice opposto.
Nel materiale troviamo anche due romboidi che presentano: – un lato uguale al lato del quadrato piccolo – un lato uguale al lato del quadrato grande – un lato uguale all’ipotenusa.
L’altezza minore dei due romboidi corrisponde all’altezza (o lato minore) dei rettangoli.
L’altezza maggiore corrisponde ai lati dei quadrati dei cateti:
Non è necessario che il bambino conosca già tutte queste corrispondenze dimensionali: vedrà dei pezzi a incastro rossi blu e gialli, e semplicemente li sposterà inserendoli negli incavi della tavola.
A far ragionare il bambino sul teorema è il suo agire materialmente inserendo i pezzi mobili sui fondi della tavola, e non la conoscenza astratta delle corrispondenze dimensionali dei lati e delle altezze delle figure geometriche. In questo modo l’esercizio diventa molto semplice e interessante, e il materiale si presta dare diverse dimostrazioni.
TAVOLA III – Presentazione 1
– Partiamo dall’incastro riempito normalmente:
– togliamo prima i due rettangoli dell’ipotenusa e mettiamoli nei lunghi incavi laterali della tavola – facciamo scorrere verso il basso il triangolo bianco fino a che l’ipotenusa tocca il lato inferiore del quadrato. Rimane vuoto, al di sopra del triangolo, uno spazio che evidentemente equivale al quadrato. Questo spazio vuoto equivale evidentemente al quadrato. Esso ha la forma di uno strano poligono a sei lati, però prolungando la linea corrispondente all’altezza del triangolo, subito si capisce che lo spazio si può dividere in due romboidi, uno maggiore e uno minore. – riempiamo lo spazio rimasto coi due romboidi giallo e blu: le due figure riempiono perfettamente lo spazio.
Vediamo così che è sempre lo stesso spazio riempito: – prima con 1 triangolo + 2 rettangoli – poi con 1 triangolo + 2 romboidi.
Questo dimostra che la somma dei due rettangoli (quadrato dell’ipotenusa) è equivalente alla somma dei due romboidi.
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TAVOLA III – Presentazione 2
Consideriamo poi i romboidi invece dei rettangoli, per dimostrare la loro equivalenza coi due quadrati sui cateti: – cominciamo dal quadrato maggiore e partiamo dall’incastro in posizione normale:
– consideriamo lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato maggiore: per farlo togliamo i pezzi e vuotiamolo – riempiamo lo spazio vuotato con il triangolo e il quadrato grande in posizione normale – ora togliamo il quadrato del cateto maggiore (giallo) – facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto maggiore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto maggiore – è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto maggiore del triangolo – inseriamo nello spazio il romboide grande giallo:
– allo stesso modo possiamo considerare anche lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato minore: per farlo togliamo prima il quadrato del cateto minore – facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto minore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto minore – è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto minore del triangolo – inseriamo nello spazio il romboide piccolo blu:
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TAVOLA III – Presentazione 3
Con queste attività vogliamo dimostrare le equivalenze tra i romboidi e i rettangoli e tra i romboidi e i quadrati, utilizzando gli incavi lunghi che si trovano ai lati della tavola. Questi incavi dimostrano che i pezzi hanno la stessa altezza.
– Partiamo dall’incastro in posizione normale:
– togliamo i due rettangoli che insieme riempiono uno spazio uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa e mettiamoli insieme con i rombi negli incavi di sinistra (i maggiori nell’incavo più largo e i minori in quello più stretto):
Vediamo come le figure incastrate hanno uguale altezza. Basterà poi far combaciare i pezzi secondo la base per verificare l’uguaglianza: dunque le figure sono a due a due equivalenti.
Torniamo poi nella disposizione normale dell’incastro e procediamo allo stesso modo con i quadrati:
Negli spazi paralleli di destra si possono disporre il quadrato grande in fila col romboide grande, disposto però in un altro senso (cioè il senso dell’altezza maggiore). Allo stesso modo si possono mettere nell’incavo minore di destra il quadrato piccolo e il romboide piccolo: quadrato e romboide hanno la stessa altezza e affiancandoli possiamo verificare che hanno base uguale. Dunque i quadrati e i romboidi sono equivalenti. I rettangoli e i quadrati, equivalenti ai romboidi, sono perciò equivalenti tra loro. Il teorema risulta dimostrato.
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TAVOLA III – Presentazione 4
Materiali: – tavola del teorema di Pitagora III
Presentazione: – rimuoviamo i rettangoli rossi dal telaio – facciamo scorrere il triangolo bianco verso il basso e posizioniamo il parallelogramma giallo e blu nel telaio. Facciamo notare ai bambini che i parallelogrammi sono equivalenti ai rettangoli rossi. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale – rimuoviamo il quadrato giallo e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Mettiamo il parallelogramma giallo nello spazio vuoto. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma giallo è equivalente al parallelogramma giallo. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale – rimuoviamo il quadrato blu e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Inseriamo nello spazio vuoto il parallelogramma blu. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma blu è equivalente al quadrato blu. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale – diciamo: “Ora sappiamo che i lati di una figura con lati uguali e base uguale sono equivalenti.” – mostriamo quanto abbiamo detto posizionando il quadrato giallo accanto al parallelogramma giallo confrontando base e altezza – diciamo ai bambini: “Dal momento che le figure gialle sono equivalenti e il parallelogramma giallo è equivalente al rettangolo rosso, possiamo dire che il quadrato giallo e il rettangolo rosso sono equivalenti?”. Sì – dimostriamo che il quadrato blu è equivalente al parallelogramma blu. – diciamo ai bambini: “Poiché il quadrato blu e il parallelogramma blu sono equivalenti, cosa possiamo dire del quadrato blu e del piccolo rettangolo rosso?” Sono equivalenti.
_________________________ Tavola III – Presentazione 5
La tavola III, per essere precisi, non dimostra tanto il teorema di Pitagora quanto la teoria di Euclide. Si tratta del famoso teorema delpons asinorum (ponte degli asini) della geometria euclidea che afferma: “Gli angoli opposti ai due lati uguali di un triangolo isoscele sono congruenti“. Si tratta, in sostanza, del contenuto della proposizione 5 nel libro I degli Elementi di Euclide. Per prima cosa i bambini noteranno che il triangolo centrale dello schema della tavola è un triangolo rettangolo scaleno, uguale a quello usato nella tavola II.
I principi già studiati o suggeriti attraverso gli esercizi sensoriali con le altre tavole e che dimostrano il teorema sono: – due quadrilateri che hanno base uguale e altezza uguale sono equivalenti – due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro – il quadrato formato sull’ipotenusa è diviso in due rettangoli. La divisione è fatta prolungando perpendicolarmente la linea che va dall’apice del triangolo bianco all’ipotenusa – nel materiale sono compresi anche due romboidi, ognuno dei quali ha un lato uguale rispettivamente al quadrato grande e al quadrato piccolo dei lati del triangolo bianco, e l’altro lato uguale all’ipotenusa – le altezze minori dei due romboidi corrispondono alle rispettive altezze (lati corti) dei rettangoli – il lato maggiore corrisponde rispettivamente al lato del quadrato grande e del quadrato piccolo dei lati del triangolo.
Non è necessario che il bambino conosca tutte queste corrispondenze. Egli vede i pezzi colorati di un inserto e semplicemente lo sposta, mettendolo nelle cornici. Questa attività è ciò che dà al bambino l’opportunità di ragionare sul teorema, e non l’idea astratta delle corrispondenze e delle relazioni tra le figure.
__________________ TAVOLA III – Presentazione 6
Con questa tavola porteremo avanti due dimostrazioni: – dimostrazione A, basata sul movimento della mano usata per scambiare i pezzi nelle cornici; questo porterà all’applicazione del concetto di equivalenza, in particolare l’equivalenza tra rettangoli e parallelogrammi e l’equivalenza tra quadrati e parallelogrammi – dimostrazione B, basata sulle relazioni tra le linee nelle figure equivalenti.
Dimostrazione A: – rimuoviamo i rettangoli rossi dalla cornice centrale. Proviamo a mettere i parallelogrammi giallo e blu (che si trovano nelle cornici laterali) al loro posto. Ai primi tentativi non ci riusciremo, ma se facciamo scivolare verso il basso il triangolo bianco il gioco è fatto. Questo dimostra l’equivalenza tra i rettangoli rossi e i parallelogrammi giallo e blu – rimettiamo tutti i pezzi al loro posto. Ora lavoriamo con le figure blu – proviamo a mettere il parallelogramma blu al posto del quadrato blu: non è possibile – muoviamo il triangolo bianco verso l’alto e verso destra nello spazio del quadrato blu. Ora il parallelogramma blu potrà essere inserito senza problemi – facciamo lo stesso con i pezzi gialli abbiamo così dimostrato la qualità transitiva dell’equivalenza: A=B B=C A=C proprietà transitiva
Dimostrazione B: – prendiamo il più piccolo dei rettangoli rosi e mettiamolo nella cornice di sinistra con il parallelogramma blu. Lo spazio è lungo abbastanza per i due pezzi. La larghezza della cornice rappresenta rappresenta le altezze delle due figure: le due altezze quindi sono uguali – mettiamo le due figure fianco a fianco per dimostrare che le basi sono uguali. Due parallelogrammi che hanno la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti – facciamo la stessa cosa con il rettangolo rosso grande e il parallelogramma giallo. Rettangoli e parallelogrammi con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti – ripetere l’attività con i parallelogrammi e i quadrati blu e giallo. Ora useremo le cornici di destra – mettendo i pezzi nelle cornici dimostreremo che le altezze sono le stesse – controlliamo anche la lunghezza delle basi delle due figure affiancando i due pezzi tra loro – parallelogrammi e quadrati con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Conclusione: – prendiamo le figure blu e il rettangolo rosso più piccolo – il parallelogramma blu ha la stessa altezza e la stessa base del quadrato e del rettangolo rosso. Quindi il quadrato e il rettangolo sono equivalenti – prendiamo le figure gialle e il rettangolo rosso più grande: esse sono equivalenti.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Scopo: – comprendere il teorema – risolvere problemi in modo pratico (dopo i 10 anni)
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Età: – a livello sensoriale, dopo aver presentato le altre due tavole del teorema di Pitagora (8 anni) – per applicazioni a problemi geometrici a partire dai 10 anni.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico per la scuola primaria.
La misura del tempo è indispensabile all’uomo, che senza di essa non saprebbe disporre ordinatamente le sue azioni nella giornata. Ecco perchè egli ha sentito il bisogno, fin dall’antichità, di misurare il tempo, ed è riuscito a farlo… anche senza i nostri modernissimi e perfetti orologi (dal greco orologhion = che dice l’ora). Come? Lo spiegheremo nel modo più preciso e rapido possibile.
Il primo e più perfetto orologio per gli uomini è stato il sole. Esso apparentemente compie un cammino giornaliero, le cui tappe grossolanamente si indicano coi termini di alba, mezzogiorno, pomeriggio, tramonto.
Dapprima l’uomo pensò di stabilire tale cammino, misurando coi passi l’ombra di un obelisco (dal latino obeliscus, diminutivo di obelos = spiedo, poi colonna terminante a punta) in una giornata solare: al mattino l’ombra era più lunga, verso mezzogiorno si accorciava, alla sera si allungava ancora di più. Un po’ semplicistica, certo, questa misurazione e senza dubbio imperfetta, e poi non ovunque c’era un obelisco.
Egitto (Luxor)
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
Allora l’uomo pensò di ridurre l’obelisco a più modeste proporzioni e costruì il primo vero strumento di misurazione del tempo che si conosca, lo gnomone (dal greco gnomon = indice), un’asta dritta e rigida, munita di appositi segni, eretta verticalmente su un piano orizzontale. La lunghezza della sua ombra permetteva di dividere approssimativamente il giorno in varie parti. Non si sa se l’origine di tale strumento risalga ai Caldei, agli Egizi o ai Cinesi. Comunque il più antico esemplare (1500 aC) che si conosca, è egizio e se ne conserva un frammento nel Museo di Berlino.
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
Strumento di misura più perfetto dello gnomone, da cui deriva e di cui elimina alcuni inconvenienti, è il quadrante solare, chiamato anche meridiana (dal latino meridies = mezzogiorno) o orologio solare. Esso consiste in un’asta rettilinea, detta stilo, parallela alla linea dei poli, che può essere anche una linea disegnata o fittizia o addirittura essere costituita da un foro. Tale asta ha una base, o piana o sferica o cilindrica o leggermente curva, destinata a ricevere l’ombra e con su tracciate delle linee, dette orarie, che indicano appunto le ore della giornata. La usarono gli Egizi, i Babilonesi, i Greci e i Romani e ne vedono ancora oggi esemplari medioevali sulle facciate di molte chiese e palazzi antichi, con graziosissimi detti latini come “Horas non numero nisi serenas” (segno solo le ore serene), “Sine sole sileo” (senza sole taccio), ecc.
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
La meridiana aveva, tra gli altri, un grosso inconveniente, denunciato dalle scritte latine riferite sopra: non funzionava quando mancava il sole. Ecco allora l’uomo escogitare un nuovo orologio, capace di misurare il tempo anche senza il sole: la clessidraad acqua(dal greco klepsydra, da klepto = portar via, e ydor = acqua) detta anche orologio ad acqua, che fu usata prima dai Babilonesi e dagli Egizi, poi dai Greci e dai Romani fino al sorgere dell’orologio meccanico. Essa era sostanzialmente costituita da un recipiente cavo, che si riempiva di acqua e questa attraverso un forellino gocciolava in un serbatoio. La durata del flusso era indicata da diversi segni orari, tracciati ad altezze varie tra la parte superiore ed il fondo del recipiente. Più tardi all’acqua fu sostituita la sabbia e si ebbe così la clessidra a sabbia.
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
Ma l’uomo non si accontentò più né di quadranti solari né di clessidre, che avevano non lievi inconvenienti e pensò quindi di costruire orologi meccanici. Creò allora un quadrante con su segnate le ore indicate da una lancetta collegata a un rullo, il cui giro era regolato da un peso. Tale orologio fu per la prima volta portato in Europa dai Crociati, che probabilmente lo assunsero dagli Arabi. Gli Europei ne perfezionarono il meccanismo e a partire dal 1300 cominciarono a vedersi nelle chiese e nei palazzi pubblici enormi orologi a pesi con quadrante di squisita fattura. Si pensi al famoso orologio dei Mori in Piazza San Marco a Venezia, a quello astronomico di Strasburgo, che segna il tempo, il calendario e i movimenti degli astri, al Big Ben della torre del palazzo del Parlamento a Londra, che è forse il più grande orologio del mondo, con quattro quadranti, ciascuno del diametro di otto metri.
San Marco – Venezia
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
Big Ben – Londra
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
Ma il ritmo della vita rese necessari all’uomo orologi meno ingombranti di quelli a peso, cioè individuali, di dimensioni piccole, più perfezionati e più comodi. Ed ecco nascere (nel 1550) i primi orologi da tasca, il cui inventore fu Peter Henlein di Norimberga, che ne basò il funzionamento du una molla elastica in sostituzione e con le stesse funzioni del peso. Tali orologi furono detti “uova di Norimberga”, ma non avevano affatto la forma delle uova: erano rotondi e più tardi assunsero le più svariate e impensate forme, di croci, cuori, farfalle, gigli, ghiande, libri e perfino… teschi.
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
Ma al perfezionamento totale degli orologi contribuì il pendolo, la cui scoperta si deve a Galileo Galilei (1639), il quale constatò che la durata delle oscillazioni di un pendolo dipendeva dalla lunghezza del filo a cui era sospeso: più corto era il filo, più breve era la durata dell’oscillazione. Tale principio fu applicato agli orologi dallo scienziato inglese Christian Huygens (1657) e da allora l’orologio cominciò a diventare popolare e alla portata di tutti.
L’uomo e la misura del tempo – materiale didattico
In tempi più recenti all’orologio da tasca fu sostituito l’orologio da polso, anche detto cronometro (dal greco chronos = tempo e metron = misura), quando indica le frazioni di secondo. Il cronometro è utilissimo, ad esempio, nelle gare sportive.
Esercizi sul metro per la quarta classe della scuola primaria. Gli esercizi sono scaricabili in forma di elenco, per l’insegnante, e in formato scheda, per i bambini.
Problemi di geometria per la classe quarta della scuola primaria: perimetro dei triangoli e dei quadrilateri, con schede autocorrettive scaricabili in formato pdf.
Problemi sul perimetro dei POLIGONI (poligoni regolari, trapezio, rettangolo, rombo, parallelogramma), con schede scaricabili e stampabili in formato pdf, per la classe quarta della scuola primaria.
Ruota o mandala delle tabelline Montessori – Il bambino può avere già osservato, in natura, ordini numerici in determinati sistemi, per esempio nelle piante la specifica disposizione dei petali e dei sepali o delle antere: è facile per lui scoprire la regolarità di un disegno anche nelle tabelline.
la stella a 5 punte nella disposizione dei semi della mela
Costruire la ruota delle tabelline è molto semplice ed economico. Noi abbiamo ritagliato dei dischi di compensato del diametro di circa 25cm. Poi abbiamo praticato col trapano dieci fori lungo il bordo, a distanza regolare, e vi abbiamo inserito ed incollato dei tasselli di legno. I bambini li hanno rifiniti con la carta vetrata.
Senza trapano e tasselli, si possono anche più semplicemente piantare sul retro dieci chiodi con la testa grossa, lasciandoli sporgere sul davanti (per la punta) per almeno un centimetro.
Al legno può naturalmente essere sostituito del cartone spesso, più semplice da ritagliare)
I tasselli (o i chiodi) vengono quindi numerati da 0 a 9. Come verrà spiegato meglio di seguito, nel cerchio vengono prese in considerazione solo le unità, mentre le decine bisogna ricordarle. Se ad esempio dobbiamo segnare il numero 16 useremo il chiodino 6, per il 63 il chiodino 3, ecc…
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina del 2 Il filo di lana sullo 0, sul 2, sul 4, sul 6, sull’8, sullo 0 (10), poi ancora sul 2 (12), sul 4 (14), sul 6 (16), sull’8 (18) e ancora sullo 0 (20)
Così, mentre il bambino ripete oralmente la tabellina, sulla ruota si crea questo:
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina del 3
Il filo di lana sullo 0, sul 3, sul 6, sul 9, sul 2 (12), sul 5 (15), sull’8 (18), sull’1 (21), sul 4 (24), sul 7 (27) e di nuovo sullo 0 (30)
Così, mentre il bambino ripete oralmente la tabellina, sulla ruota si crea questo:
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina del 4
Filo di lana sullo 0, sul 4, sull’8, sul 2 (12), sul 6 (16), ancora sullo 0 (20), poi ancora sul 4, sull’8, sul 2, sul 6 e infine di nuovo sullo 0 (40)
Questa (come naturalmente quella del 6) è la tabellina preferita dai bambini, perchè durante l’esecuzione il disegno risulta molto scomposto, ma al termine dell’esercizio, ripetendo oralmente la tabellina si ottiene questa forma:
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
tabellina del 5 Filo di lana una volta sullo 0 e una volta sul 5, fino ad arrivare al 50.
La tabellina del 5 mostra come il 5 è la metà del cerchio, cioè del 10.
Ruota o mandala delle tabelline Montessori Tabellina del 6
Anche con la tabellina del 6 si ottiene la stella a 5 punte, come con quella del 4 (infatti 6+4=10), con andamento inverso del filo di lana:
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina del 7
Allo stesso modo, ripetendo la tabellina del 7 sulla ruota, si ottiene la stella a 10 punte, come per la tabellina del 3 (infatti 7+3=10)
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina dell’8
E ripetendo quella dell’8, si torna al pentagono, come per la tabellina del 2 (8+2=10)
Ruota o mandala delle tabelline Montessori Tabellina del 9
ripetendo la tabellina del 9, si vede bene come questa tabellina , da alcuni considerata “difficile”, si memorizza facilmente procedendo di numero in numero aggiungendo una decina e togliendo una unità:
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina del 10
La tabellina del 10 è il cerchio:
Con lo stesso principio si possono preparare dei cubi per sedersi in cerchio, numerati sempre da 0 a 9:
Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Montessori wheel or mandala of multiplication tables – The child may have already noted, in nature, numerical orders in certain systems, for example in plants the specific arrangement of petals and sepals, or anthers: it’s easy for them to find out the regularity of a pattern even in the multiplication tables.
the 5-pointed star in the arrangement of apple seeds
Building the wheel of multiplication tables is very simple and cheap. We have cut some disks of plywood of diameter about 25cm. Then we practiced with drill ten holes along the edge, at regular distances, and we have inserted and glued dowels of wood. The children have finished with the sandpaper.
Without drill and dowels, you can also simply plant on the back ten nails with a big head, letting them stick out from the front (for the tip) for at least one centimeter.
Wood can be replaced with thick cardboard, easier to trim.
The dowels (or nails) are then numbered from 0 to 9. As will be explained below, in the circle are taken into account only the units, while the tens must remember. For example, if we have to mark the number 16 we will use the nail 6, to 63 the nail 3, etc …
Multiplication table of 2 The wool thread on the 0, on the 2, on the 4, on the 6, on the 8, on the 0 (10), then again on the 2 (12), on the 4 (14), on the 6 (16), on the 8 (18) and on the 0 (20)
So, while the child repeats the multiplication table orally, on the wheel are creating this:
Multiplication table of 3
The wool thread on the 0, on the 3, on the 6, on the 9, on the 2 (12), on the 5 (15), on the 8 (18), on the 1 (21), on the 4 (24), on the 7 (27) and on the 0 (30)
So, while the child repeats the multiplication table orally, on the wheel are creating this:
Multiplication table of 4
The wool thread on the 0, on the 4, on the 8, on the 2 (12), on the 6 (16), on the 0 (20), on the 4, on the 8, on the 2, on the 6 and on the 0 (40)
This (of course as that of 6) is the multiplication table preferred by children, because when running the design is very decomposed, but at the end exercise, orally repeating the multiplication table is obtained this form:
Multiplication table of 5
Wool thread once on the 0 and once on the 5, up to the 50.
The multiplication table of 5, shows how the 5 is half of the circle, that is, 10.
Multiplication table of 6 Even with the multiplication table of 6 is obtained the 5-pointed star, as with that of 4 (that is 6 + 4 = 10), with the inverse of the wool yarn:
Multiplication table of 7 Similarly, by repeating the multiplication table of 7 on the wheel, you get the star at 10 bits, as for the multiplication table of 3 (in fact 7 + 3 = 10)
Multiplication table of 8
And repeating that of 8, we return to the pentagon, as the multiplication table of 2 (8 + 2 = 10):
Multiplication table of 9
repeating the multiplication table of 9, one can see how this multiplication table, by some considered “difficult”, you learn easily progressing in number in number, adding 1 ten, and removing one unit:
Multiplication table of 10
The multiplication table of 10 is the circle:
With the same principle can be prepared cubes to sit in a circle, always numbered from 0 to 9:
Tabelline psicomotorie Montessori. Per la tabellina del 2 ci mettiamo comodamente seduti su una sedia con le mani appoggiate sulle cosce. Al via solleviamo entrambe le mani.
Con la mano destra andiamo a toccare la coscia sinistra e con la sinistra la coscia destra (dicendo silenziosamente “uno”). Una volta incrociate diciamo a voce alta “Due!”.
Proseguiamo con questo movimento incrociato, contando sottovoce e, ogni volta che la sinistra tocca la coscia destra diciamo a voce alta il numero successivo che qui sarà “Quattro”, fino ad arrivare al 20.
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Tabelline psicomotorie Montessori
Per la tabellina del 3 facciamo lo stesso movimento, contiamo sottovoce ma al 3 battiamo le mani e diciamo il numero a voce alta, fino a che si arriva a 30.
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Tabelline psicomotorie Montessori
Per la tabellina del 4 cominciamo come per la tabellina del 2, ma dopo aver toccato la coscia destra, andiamo a toccare con la mano destra il gomito sinistro, e con la mano sinistra il gomito destro; a questo punto diciamo a voce alta “Quattro” e ripetiamo questi movimenti fino a 40.
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Tabelline psicomotorie Montessori
Per la tabellina del 5 procediamo come per la tabellina del quattro e, dopo aver toccato il gomito sinistro, stringiamo con i due pollici le narici del naso e diciamo a voce alta “Cinque”. Proseguiamo allo stesso modo fino a 50.
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Tabelline psicomotorie Montessori
Per la tabellina del 6 ripetiamo lo stesso procedimento fino a 4, andiamo dal gomito destro, con la destra, al lobo dell’orecchio sinistro e con la sinistra al lobo destro, quindi diciamo “Sei”. Proseguiamo fino a 60.
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Tabelline psicomotorie Montessori
Per la tabellina del 7, come quella del 6, ma dopo aver toccato il lobo dell’orecchio destro, tocchiamo con tutte e due le mani la nuca e diciamo “Sette”. Si continua allo stesso modo fino a 70.
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Tabelline psicomotorie Montessori
Per la tabellina dell’8, ripetiamo gli stessi movimenti fino al 6, andiamo quindi dal lobo dell’orecchio destro con la mano destra a toccare la palpebra sinistra e con la mano sinistra la palpebra destra, e una volta arrivati diciamo “Otto”. Ripetiamo gli stessi movimenti fino a 80.
Per la tabellina del 9 Vera Birkenbihl nel suo libro “Imparare malgrado la scuola” ha fornito una possibilità grandiosa e razionale: il risultato lo si può ottenere con le dita.
E questo è ancora più impressionante perchè normalmente ai bambini viene impedito molto presto di contare con le dita.
Mettiamo le mani sulle cosce o sul piano di un tavolo e apriamo le 10 dita.
Ora pieghiamo il mignolo sinistro (9×1) e contiamo da sinistra a destra le dita rimaste distese. Il messaggio più efficace per il cervello sarebbe se, contando, premessimo ogni dito contro la coscia. Maria Montessori ci ricorda l’importanza della memoria muscolare.
Ora distendiamo nuovamente tutte le dita, pieghiamo l’anulare sinistro (9×2) e contiamo allo stesso modo di prima fino al dito piegato: sono 8. Il dito dietro al dito piegato vale 10, quindi siamo a 18.
Distendiamo un’altra volta le dieci dita, ora viene piegato il medio della mano sinistra (9×3) e contando da destra a sinistra fino al dito piegato, arriviamo a 7.
Le due dita dietro il dito piegato sono 20, quindi 27. E procediamo così per tutta la sequenza, di seguito altri esempi:
Tabelline psicomotorie Montessori
In tutte queste attività i bambini trovano il proprio ritmo di movimento e, grazie alle ripetizioni, acquistano sicurezza nelle tabelline, non attraverso un arido apprendimento mnemonico che impegna la parte sinistra del cervello, bensì facendo esperienze ritmiche divertenti che diventano autentico lavoro di memoria, attraverso la rielaborazione in tutti e due i lobi del cervello.
Cartelli dei numeri Montessori. Per i vari utilizzi dei cartelli dei numeri, consulta il materiale presente sito.
Questi cartelli esistono in vari formati:
– i primi cartelli grandi dei numeri da 1 a 10
– cartelli grandi, colorati, da 0 a 9000. Seguendo le indicazioni Montessori avremo le unità verdi, le decine blu, le centinaia rosse e le migliaia di nuovo verdi.
OPERAZIONI VARIE PER la classe quarta della scuola primaria, scaricabili e stampabili in formato pdf: addizioni in colonna, sottrazioni in colonna, moltiplicazioni e divisioni, composizioni e scomposizioni, equivalenze, ecc…
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