Problemi ed esercizi vari sui poligoni per la classe quarta della scuola primaria.
Esercizi (alla lavagna e sul quaderno) – Misura il lato di alcuni quadrati che hai disegnato e calcolane il perimetro. – Ci sono quattro aiuole quadrate: la prima ha il lato di m 5,5; la seconda di m 6,3; la terza di m 7 e la quarta di m 8. Calcola i perimetri delle quattro aiuole. – Disegna un quadrato e un rombo i cui lati misurino cm 5. – Disegna alcuni rombi, misura il lato di ciascuno e calcolane il perimetro. – Disegna quattro rombi: il primo con il alto di cm 3.5; il secondo con il lato di cm 5; il terzo con il lato di cm 8; il quarto con il lato di cm 19. Calcola il perimetro di ciascuno. – Disegna due segmenti, uno di cm 12 e l’altro di cm 8 in modo che si taglino a metà. Ora congiungi le estremità dei segmenti. Quale poligono ottieni? Misura con esattezza 2 lati e calcola il perimetro del poligono ottenuto. – Disegna alcuni rettangoli; misurane, con la tua riga, la lunghezza e la larghezza e calcola il perimetro di ciascuno.
Disegna quattro rettangoli: il primo con i lati di 8 cm e di 5 cm; il secondo con i lati di cm 11 e cm 7; il terzo con i lati di cm 9,5 e cm 4,7; il quarto con i lati di cm 13 e cm 15. Calcola il perimetro di ciascuno.
Misura i due lati del piano della cattedra e calcola il suo perimetro.
Fra le cose che ti circondano a scuola, trova esempi di rettangoli. Misura due lati e calcola il perimetro.
Quali sono i perimetri del foglio sul quale scrivi, del tuo libro di lettura chiuso e aperto, del piano del banco?
Disegna un parallelogramma; misurane due lati e calcolane il perimetro.
Esercizi per la classificazione di triangoli e quadrilateri, adatti alla classe quarta della scuola primaria.
Classificazione dei triangoli
Stabilisci se è possibile costruire un triangolo con tre strisce di carta aventi le misure sotto indicate. In caso affermativo specifica accanto come risulta il triangolo rispetto ai lati.
Con le strisce lunghe: cm 10, cm 12, cm 15, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 4, cm 7, cm 11, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 8, cm 8, cm 10, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 18, cm 10, cm 10, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 14, cm 14, cm 14, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 3, cm 4, cm 5, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Con le strisce lunghe: cm 3, cm 3, cm 4, si può costruire un triangolo?_________ Come?________________________
Quadrilateri Prendiamo quattro strisce di cartoncino e colleghiamo i loro estremi in modo che nessuna striscia intersechi le altre. Otteniamo una figura con quattro lati e quattro angoli detta quadrilatero o quadrangolo.
Il quadrilatero non è una figura rigida e indeformabile come il triangolo: si può trasformare in altri quadrilateri aventi gli stessi lati ma non gli stessi angoli, e quindi di forma diversa.
I segmenti che congiungono due vertici opposti del quadrilatero si chiamano diagonali. In ogni quadrilatero si possono tracciare due diagonali. Nella figura ABCD è un quadrilatero: AC e BD sono le diagonali; A, B, C, D sono i vertici; il lato AB ha per opposto il lato CD; il lato AD ha per opposto il lato BC.
Rappresentiamo con un grafico l’intera famiglia dei quadrilateri:
Il perimetro dei quadrilateri si trova sommando la misura dei rispettivi lati.
Classificazione dei quadrilateri
Prendi quattro strisce di cartone forate agli estremi e collegandole tra loro mediante dei ferma-campione, costruisci un quadrilatero articolato. Con quattro strisce prese a caso, è sempre possibile costruire un quadrilatero?
Stabilisci se con quattro strisce aventi le misure sotto indicate puoi costruire un quadrilatero:
cm 6, cm 4, cm 5, cm 10. Si può costruire un quadrilatero? ______________
dm 2, cm 8, cm 6, cm 5. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 6, cm 9, dm 1, dm 2. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 3, cm 3, cm 3, cm 3. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 3, cm 3, cm 3, cm 10. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 5, cm 5, cm 4, cm 4. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 3, cm 4, cm 3, cm 4. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 20, cm 8, cm 8, cm 4. Si può costruire un quadrilatero? ______________
cm 6, cm 10, cm 5, cm 3. Si può costruire un quadrilatero? ______________
Costruisci con 4 strisce un quadrilatero articolato quindi disponilo in modo da ottenere un trapezio.
Quando un quadrilatero si chiama trapezio?
Costruisci un rettangolo servendoti di 4 strisce a due a due uguali. Come devono essere disposte le 4 strisce per ottenere un rettangolo? Tenendo fisso un lato esercita una leggera pressione su uno dei lati ad esso consecutivi: che cosa ottieni? il rettangolo costruito e le figure ottenute nella trasformazione hanno lo stesso perimetro?
Costruisci un quadrato servendoti di quattro strisce uguali; tenendo fisso un lato ed esercitando una leggera pressione su uno dei lati ad esso consecutivi, il quadrato si trasforma in tanti rombi. Il quadrato costruito ed i rombi hanno lo stesso perimetro?
Come si chiamano i quadrilateri che hanno i lati a due a due paralleli? Come sono inoltre tra loro i lati paralleli?
Quali sono i quadrilateri che hanno le diagonali uguali?
Quali sono i quadrilateri che hanno le diagonali perpendicolari tra loro?
Disegna un trapezio isoscele, un trapezio rettangolo, un trapezio scaleno e traccia le loro diagonali. In quale dei tre trapezi disegnati le diagonali sono uguali?
Disegna un trapezio isoscele, un trapezio rettangolo ed un trapezio scaleno e traccia le distanze tra le basi, cioè le altezze dei trapezi. In quale dei tre trapezi disegnati l’altezza coincide con un lato?
Perimetro dei quadrilateri
Qual è il perimetro di questo parallelogramma?
m (5+3+5+3) = m 16 (perimetro del parallelogramma)
Oppure: m (5+3) x 2 = m 16 (perimetro del parallelogramma)
Qual è il perimetro di questo quadrato?
m (7×4) = m 28 (perimetro del quadrato)
Qual è il perimetro di questo rettangolo?
m (5+3+5+3) = m 16 (perimetro del rettangolo)
Oppure: m (5+3) x 2 = m 16 (perimetro del rettangolo)
Qual è il perimetro di questo rombo?
m (7×4) = m 28 (perimetro del rombo).
Troviamo il perimetro del nostro banco, della nostra aula, del corridoio, del cortile, ecc. (lavoro a gruppi).
Il trapezio Costruito un quadrilatero con le quattro strisce di cartone, possiamo disporle in modo che due di esse risultino parallele: otterremo così un trapezio.
Il trapezio infatti è un quadrilatero che ha due paralleli. I due lati paralleli AB e DC (vedi figura) si dicono basi del trapezio; la distanza EF tra le due basi si dice altezza del trapezio. Se i lati obliqui (i due lati non paralleli) sono uguali, il trapezio si dice isoscele: se uno dei lati non paralleli fra di loro è perpendicolare alle basi, il trapezio si dice rettangolo; esso ha due angoli retti.
Il parallelogrammo Se nel trapezio costruito con le quattro strisce di cartone teniamo fissa la posizione delle basi e di un lato obliquo, e permettiamo all’altro lato obliquo di ruotare attorno ad un estremo della base minore, otteniamo tanti trapezi. Ad un certo punto il lato mobile si dispone parallelamente al lato opposto: il trapezio si è trasformato in un quadrilatero particolare che ha i lati a due a due paralleli: il parallelogrammo.
Il parallelogrammo è infatti un trapezio particolare ed ha: – i lati opposti paralleli ed uguali – gli angoli opposti uguali a due a due – le diagonali che si tagliano scambievolmente per metà.
Il rettangolo Il parallelogrammo è una figura mobile. Esercitando una leggera pressione su un lato, tenendo fermo uno dei lati ad esso adiacenti, il parallelogrammo si trasforma in tanti parallelogrammi diversi. Osserva che gli angoli variano di ampiezza, rimanendo però uguali a due a due, finché, ad un certo punto, diventano tutti uguali e retti; otteniamo così un rettangolo, cioè un parallelogramma con tutti gli angoli uguali, retti.
Il rettangolo è un parallelogramma particolare avente: – i lati opposti uguali e paralleli – gli angoli tutti uguali e retti – le diagonali uguali che si dimezzano scambievolmente.
Il rombo Abbiamo visto che il parallelogramma con tutti gli angoli uguali è il rettangolo. Il parallelogrammo con tutti i lati uguali è il rombo. Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli uguali. Il rombo è un parallelogramma particolare con: – i lati tutti uguali a due a due paralleli – gli angoli opposti uguali – le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente.
Il quadrato Il rombo, come tutti i quadrilateri, è una figura mobile. Esercitando una leggera pressione su un lato e tenendo fermo uno dei lati ad esso adiacenti, esso si trasforma in tanti rombi diversi. Ad un certo punto i lati si dispongono perpendicolarmente tra loro: abbiamo così ottenuto un quadrato, cioè un rombo con tutti gli angoli retti. Il quadrato è un rombo particolare che ha: – i lati tutti uguali, a due a due paralleli – gli angoli tutti uguali e retti – le diagonali uguali, perpendicolari fra loro, che si dimezzano scambievolmente.
Problemi – Un presepe ha la base quadrata il cui lato è di m 3. Qual è il perimetro della base del presepe? – Disegna un rettangolo con le dimensioni di cm 8 e cm 4. Quanti centimetri misura il perimetro? – Disegna un quadrato con il lato di cm 8. Quanti centimetri misura il perimetro? – Luisa ricama su una tovaglietta un rombo con il lato di cm 25. Quale sarà la lunghezza del ricamo? – Calcola il perimetro di un parallelogramma che ha un lato di cm 20 e l’altro di cm 16.
Cesto dei solidi geometrici Montessori: presentazioni ed esercizi per bambini del nido e della scuola d’infanzia.
Con la cesta dei solidi geometrici si introducono nuovi vocaboli, incoraggiando al contempo l’esplorazione tattile e l’esperienza pratica.
Cesto dei solidi geometrici Montessori comprende dieci forme: – cubo: ogni lato misura 6 cm – sfera: diametro di 6 cm – cono: il diametro della base è 6 cm e l’altezza 10 cm – cilindro: il diametro della base è 6 cm e l’altezza 10 cm – parallelepipedo (prisma a base rettangolare) i lati misurano cm 10 e cm 6 – prisma a base triangolare: i lati delle basi misurano 6 cm e le altezze 10 cm – ovoidale: asse maggiore 10 cm e minore 6 cm – ellissoide: asse maggiore 10 cm e minore 6 cm – piramide a base quadrata: i lati della base misurano cm 6 e l’altezza è 10 cm – piramide a base triangolare: i lati della base misurano cm 6 e l’altezza è 10 cm.
Coi bambini più piccoli si possono tra queste selezionare sette solidi soltanto: cubo, cilindro, prisma a base triangolare, prisma a base rettangolare, piramide a base quadrata, piramide a base triangolare e cono.
“Il grande piacere che i bambini provano nel riconoscimento degli oggetti per mezzo del tocco della loro forma, corrisponde per sé stesso ad un esercizio sensoriale. Molti psicologi hanno parlato del senso stereognostico, cioè della capacità di riconoscere forme per il movimento dei muscoli della mano, che segue i contorni degli oggetti solidi. Questo senso non consiste nel solo senso del tocco, perché la sensazione tattile è soltanto quella per la quale noi percepiamo differenze in qualità di superfici (ruvido o liscio). Le percezioni di forma vengono dalla combinazione di due sensazioni, tattile e muscolare, cioè da sensazioni di movimento… quello che noi chiamiamo nei ciechi senso tattile, è in realtà, molto spesso, il senso stereognostico; cioè, essi percepiscono per mezzo delle loro mani le forme dei corpi. E’ la speciale sensibilità muscolare del bambino da tre a sei anni di età, quella che forma la sua propria attività muscolare, che stimola in lui l’uso del senso stereognostico. Quando il bambino spontaneamente si benda gli occhi per riconoscere i diversi oggetti, come gli incastri solidi e piani, egli esercita questo senso. Vi sono molti esercizi che il bambino può fare ad occhi chiusi. Nel materiale di sviluppo vi sono anche solidi geometrici dipinti in turchino chiaro. La maniera più divertente per insegnare al bambino a riconoscere queste forme, è di fargliele palpare ad occhi chiusi, invitandolo a indovinare il loro nome: questo sarà insegnato con apposite lezioni in tre tempi. Dopo un esercizio di tal genere il bambino, quando ha gli occhi aperti, osserva le forme con un interesse più vivo. Un’altra maniera di interessarlo ai solidi geometrici, è di farli muovere. La sfera rotola in tutte le direzioni; il cilindro rotola in una sola direzione; il cono rotola intorno a se stesso; il prisma e la piramide, in qualunque maniera, poggiano stabilmente ma il prisma cade più facilmente che non la piramide. Basterà un accenno per far rilevare delle analogie nell’ambiente. Come l’analogia del cilindro con una colonna, della sfera colla testa umana, ecc., e si resterà stupiti della capacità che hanno i bambini nel trovare da sé simili analogie”. Maria Montessori – Manuale di pedagogia scientifica.
_______________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 1 – lezione in tre tempi per imparare i nomi dei solidi geometrici
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio (con i bambini più piccoli meglio usare 7 solidi e non 10) – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi, ad esempio dicendo: “Ti piacerebbe stare un po’ con me per imparare delle parole nuove?” e chiediamogli di srotolare il tappeto – andiamo allo scaffale del materiale sensoriale e diciamo: “Oggi lavoreremo con i solidi geometrici”. Mostriamo al bambino dove si trova il materiale sullo scaffale e chiediamogli di ripetere con noi “Solidi geometrici”. Chiediamo: “Mi passeresti i solidi geometrici?”. Il bambino ce li porge, e noi gli mostriamo come trasportarli e posarli sul tappeto. – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo e chiediamo: “Come si chiama questo materiale?”. Il bambino risponde che si tratta dei solidi geometrici – scegliamo tre solidi e mettiamoli al centro del piano di lavoro, quindi procediamo con la lezione in tre tempi per impararne i nomi
– primo tempo. Nel primo tempo isoliamo i vocaboli (cubo, sfera, cilindro). Per l’associazione della sensazione col nome diciamo: “Questa è una sfera… vuoi ripetere la parola sfera?”. Prendiamo in mano la sfera, facciamola roteare tra le mani, accarezziamola con la punta delle dita, poi diamola al bambino perchè anche lui possa sentirla, ripetendo se serve la parola “sfera”. Seguiamo la stessa procedura con altre due forme
– secondo tempo: per il riconoscimento dell’oggetto in base al nome, chiediamo al bambino di compiere azioni con la forma che nominiamo, ad esempio dicendo: “Indicami il cilindro”, “Per favore metti la sfera qui?”, “Per favore metti il cubo al centro del tavolo”, “Passami il cilindro”, “Fai rotolare la sfera” ecc. Quando il bambino risponde in modo corretto e con sicurezza si passa al terzo tempo. Il secondo tempo della lezione è quello più delicato perchè ci permette di osservare se il bambino ha davvero compreso; è inoltre la fase più divertente per il bambino, perchè possiamo anche chiedergli di fare cose buffe con gli oggetti che gli stiamo presentando. Se il bambino non è in grado di identificare l’oggetto, si dovrebbe tornare, per quell’oggetto, ai primo tempo
– terzo tempo: per verbalizzare il nome corrispondente all’oggetto mettiamo i solidi uno alla volta davanti al bambino e chiediamo per ognuno: “Cos’è questo?”
– per variare il terzo tempo della lezione possiamo anche fare il gioco del “cosa manca?”. Dopo aver messo i tre solidi in fila sul piano di lavoro
– copriamo uno dei tre solidi con un fazzoletto
-e chiediamo: “Quale solido è scomparso?” – a questo punto possiamo dire: “Adesso conosci i nomi di tre dei solidi geometrici: cilindro, sfera e cubo” e possiamo ringraziare il bambino per aver lavorato con noi – in un altro momento della giornata o un altro giorno procederemo allo stesso modo con gli altri solidi.
Età: – dai 3 ai 4 anni.
Nota: se il bambino non si mostra interessato alla lezione, significa semplicemente che non è il momento giusto, e che dovrà essere presentata in un altro momento. Se la lezione non è riuscita i motivi possono essere vari: forse quel giorno il bambino è particolarmente distratto, oppure ha bisogno che sia ridotto il numero di solidi da presentare, o forse la nostra lezione è stata troppo lunga. Questo genere di lezioni in tre tempi possono essere faticose per i bambini, e per questo dovrebbero durare davvero pochi minuti.
________________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione ad occhi bendati
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – benda per occhi – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi sul piano di lavoro
– il bambino mette la benda e toccando i solidi li identifica.
Varianti: – mentre il bambino è bendato, possiamo chiedergli di trovare un particolare solido che nominiamo – invece di bendare il bambino possiamo scegliere tre o quattro solidi e metterli in un cestino separato coperto con un telo. Il bambino raggiunge i solidi con la mano, infilandola sotto al telo, e uno alla volta li riconosce al tatto. Quando riconosce un solido, lo estrae dal cesto per verificare il suo lavoro.
Una variante di gruppo: – un gruppo di bambini siede attorno al tappeto tenendo le mani dietro alla schiena – passiamo dietro di loro e mettiamo un solido tra le mani di ogni bambino – fermiamoci davanti al tappeto e chiediamo, ad esempio: “Chi ha la sfera?” – il bambino che pensa di avere la sfera la mette sul tappeto e il gioco continua.
Età: – dai 3 ai 4 anni.
________________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 2 – borsa del mistero (mistery bag)
Materiale: – sette solidi geometrici (per il nido) e dieci solidi geometrici (per la scuola d’infanzia) – borsa in tessuto – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi (tutti o un certo numero) all’interno della borsa in tessuto
– il bambino identificherà i solidi toccandoli all’interno della borsa.
Varianti: – chiediamo al bambino di trovare all’interno della borsa un certo solido – due bambini giocano insieme: un bambino chiede un certo solido e l’altro lo trova senza usare la vista.
Età: – dai 2 ai 4 anni.
________________________ Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 3 – cercare somiglianze tra i solidi
Materiale: – solidi geometrici (con i bambini più piccoli meglio usare 7 solidi e non 10) – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi dicendo: “Oggi faremo un nuovo esercizio coi solidi geometrici” e chiediamogli di srotolare il tappeto – andiamo allo scaffale dei materiali sensoriali, il bambino individua il cesto dei solidi geometrici e lo porta al tappeto – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo, prendiamo una ad una le forme e mettiamole sul piano di lavoro formando una fila orizzontale lungo il margine superiore, da sinistra a destra. Per la prima serie di sovrapposizioni escludiamo sfera, ovoidale ed ellissoide, di modo che le forme da sovrapporre tra loro siano 7 – scegliamo, ad esempio, il cubo – mentre con l’indice percorriamo i lati della faccia superiore del cubo diciamo: “Riesci a trovare un altro solido che si adatti esattamente a questo faccia del cubo?” – chiediamo al bambino di sovrapporre il secondo solido al primo (ad esempio cubo e piramide a base quadrata) – isoliamo un altro solido e chiediamo al bambino fare un altro abbinamento (ad esempio cilindro e cono)
– il bambino fa abbinamenti tra le facce uguali dei solidi, ad esempio ponendo il cono sul cilindro, la piramide sul cubo, ecc.
– lavorando con i 10 solidi, escludendo sfera ellissoide ed ovoidale, avremo un numero dispari di forme da accoppiare, così formando le coppie avanzerà sempre un solido che resterà solo – fatti i primi 3 abbinamenti, prendiamo il solido rimasto solo, dividiamo tutte le coppie fatte, e ricominciamo prendendo per primo il solido rimasto solo – dopo questi primi accostamenti, possiamo inserire le tre forme con superficie curva sovrapponendole alle facce piane degli altri solidi – discutiamo coi bambini, attirando la loro attenzione sul fatto che alcuni solidi possono essere sovrapposti perchè hanno facce uguali, i solidi sovrapposti creano altre forme che possono assomigliare ad oggetti, i solidi che hanno solo superfici curve poggiano su un solo punto, non possiamo sovrapporre due solidi curvilinei, ecc.
Punti di interesse: – sovrapporre i solidi con movimenti intenzionale – c’è sempre un solido che rimane da solo.
Età: – dai 2 ai 4 anni.
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Cesto dei solidi geometrici Montessori Presentazione 4 – sperimentare il movimento dei solidi
Materiale: – il cesto dei solidi geometrici (a seconda dell’età del bambino possiamo selezionare un numero inferiore di forme) – tappeto o tavolo
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici dicendo: “Oggi faremo insieme un nuovo esercizio coi solidi geometrici” – portiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – diciamo: “Oggi esploreremo i solidi geometrici e vedremo come si muovono” – esploriamo i solidi facendoli roteare tra le mani. Poi posiamoli sul tappeto formando una fila orizzontale lungo il margine superiore, da sinistra a destra – scegliamo, ad esempio, il cubo
– facciamo roteare il cubo tra le mani
– mettiamo il cubo sul piano di lavoro e spingiamolo delicatamente per farlo ribaltare sul tavolo – scegliamo un altro solido e procediamo come abbiamo fatto col cubo – discutiamo coi bambini, facendo notare che quando facciamo muovere i solidi spingendoli il cubo, i prismi e le piramidi non ruotano; il cilindro, la sfera ruota in avanti; il cono compie un percorso circolare; l’ellissoide e l’ovoide compiono un movimento sbilanciato.
Variante con la lavagna di sabbia – dopo aver rimesso i solidi in ordine sul tavolo, uno accanto all’altro in riga orizzontale, prendiamo la lavagna di sabbia e mettiamola davanti a noi – prendiamo un solido e facciamolo rotolare sulla lavagna per osservare la traccia che lascia
– creiamo l’impronta delle varie facce di un solido sulla lavagna
Conclusione: – chiediamo al bambino di suddividere i solidi in base a come si muovono, formando 2 gruppi: quelli che rotolano e quelli che non rotolano.
Possiamo anche preparare dei fogli di lavoro simili a questo (in inglese) :
Il bambino può associare oggetti della vita reale con le rispettive forme geometriche. E’ importante fare il possibile per aiutare il bambino ad acquisire consapevolezza rispetto alle forme geometriche degli oggetti che lo circondano nel suo ambiente. Possiamo anche invitare i bambini a portare a scuola oggetti che corrispondano alla forma dei solidi geometrici della cesta.
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi sul piano di lavoro – chiediamo al bambino di prendere un solido e di andare in giro per la stanza alla ricerca di un oggetto che abbia la stessa forma – quando l’ha trovato, il bambino tornerà e metterà l’oggetto sul piano di lavoro accanto al solido corrispondente.
Varianti: – in seguito il bambino può procedere ad abbinare solidi e oggetti senza portare con sé il solido scelto – quando il bambino è pronto possiamo chiedere di portarci un oggetto corrispondente ad un solido che verrà solo nominato – possiamo predisporre un cesto pieno di oggetti da abbinare, senza che il bambino vada a cercarli per la stanza – possiamo anche fotografare oggetti corrispondenti alle forme dei solidi e preparare delle carte illustrate (foto di miescuelitamontessori.blogspot.it). Qui della carte pronte (da acquistare)
Età: – dai 3 ai 4 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 6 – abbinare i solidi alla rappresentazione piana delle facce
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – rappresentazioni piane delle facce dei solidi – tappeto o tavolo.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici – trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – mettiamo i solidi sul piano di lavoro formando una riga orizzontale – mettiamo le rappresentazioni piane delle facce dei solidi sul piano di lavoro formando una riga orizzontale sotto ai solidi
– scegliamo tre tavolette, allineiamole davanti al bambino e chiediamogli di trovare i solidi che si possono sovrapporre alla rappresentazione piana – continuiamo così con tutte le tavolette – invitiamo i bambini ad osservare i solidi dall’alto
– discutiamo coi bambini: quanti solidi si possono abbinare alla stessa tavoletta? Perché?
Età: – dai 3 ai 4 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 7 – abbinare i solidi con le loro facce scuola d’infanzia
Materiale: – i 10 solidi geometrici disposti su un vassoio – forme di legno (o carte) che rappresentano le facce dei solidi: cerchi, quadrati, rettangoli e triangoli
pdf qui:
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi i solidi geometrici e le facce – posiamo i solidi sul piano di lavoro in linea orizzontale da sinistra a destra e le facce che abbiamo preparato – diciamo: “Oggi abbineremo le figure geometriche stampate con le facce dei solidi” – scegliamo la prima carta e facciamola scorrere tra i solidi, procedendo da sinistra a destra, fino a trovare una faccia corrispondente
– mettiamo la carta davanti al solido. Prendiamo il solido e posiamolo sulla carta corrispondente, osserviamo la corrispondenza e quindi rimettiamo il solido al suo posto – continuiamo con le rimanenti carte
– quando tutte le carte sono state abbinate ai solidi, discutiamo coi bambini somiglianze e differenze che questo lavoro ci ha permesso di evidenziare
Età: – dai 3 ai 5 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 8 – nomenclatura per le parti dei solidi
Materiale: – dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio – tappeto o tavolo – foglio di lavoro per l’osservazione dei solidi geometrici.
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi i solidi geometrici – posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo – osserviamo i solidi uno ad uno contandone spigoli, facce ed angoli
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 9 – abbinare i solidi con i cartellini dei nomi
Materiale: – i 10 solidi geometrici disposti su un vassoio – cartellini dei nomi per i solidi geometrici: faccia, vertice, spigolo, angolo, base, cerchio, quadrato, triangolo, rettangolo
Presentazione: – invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici – posiamo i solidi sul piano di lavoro in linea orizzontale da sinistra a destra e mettiamo la scatola dei cartellini a sinistra – diciamo: “Oggi abbineremo i cartellini ai solidi” – prendiamo il primo gruppo di cartellini che recano ad esempio la scritta ‘base’
– posizioniamo un cartellino in corrispondenza della base di ogni solido – continuiamo allo stesso modo con i rimanenti cartellini:
Età: – dai 5 ai 7 anni.
________________________ Solidi geometrici Montessori Presentazione 10 – carte delle nomenclature in 3 parti per bambini dai 3 ai 6 anni
pdf qui:
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Solidi geometrici Montessori Presentazione 11 – cartellini dei comandi
Per i bambini che sanno leggere, e proprio per esercitare la lettura in modo vario, possiamo preparare dei cartellini dei comandi per lavorare con i solidi geometrici. Questi comandi li aiuteranno a lavorare coi solidi in modo indipendente ad una grande varietà di esercizi. I comandi possono essere proposti anche ai bambini che ancora non sanno leggere, sia chiedendo al bambino di scegliere un cartellino e leggendoglielo a voce alta, sia mettendo il bambino che non sa leggere in un gruppo di bambini che lo sanno fare, per eseguire i comandi insieme. Questi sono i miei comandi:
Nomenclatura: – i nomi dei solidi – base, lato, spigolo, vertice, angolo, ecc.
Punti di interesse: – i vari movimenti che i solidi compiono mentre rotolano – il diverso numero di facce, spigoli, angoli presenti nei diversi solidi
Scopo: – favorire l’esplorazione tattile – affinare il senso stereognostico – introdurre nuove parole e arricchire il vocabolario – intuire alcune delle proprietà dei solidi – sviluppare la capacità di percezione visiva delle forme tridimensionali – rendere consapevole il bambino delle forme geometriche solide che lo circondano – sviluppare la capacità di trovare somiglianze e differenze tra le forme geometriche confrontandole tra loro – preparare allo studio della geometria – migliorare la capacità di concentrazione e coordinazione.
Controllo dell’errore: – disarmonia percepita col senso stereognostico e visivo.
Estensioni ed altre idee: – possiamo chiedere ai bambini di modellare i solidi geometrici con creta o altre paste da modellare – possiamo proporre ai bambini più grandi i modelli dei solidi geometrici da costruire col cartoncino – ho trovato moltissime altre idee in questa pagina di Pinterest.
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Solidi geometrici DIY
– realizzati con pasta di sale (e poi dipinti in blu):
– possiamo realizzare i modelli dei solidi in cartoncino blu; in questo sito trovate tutti i modelli di poliedro in formato pdf pronti per la stampa: paper models of polyedra. I modelli possono essere utili anche per chi possiede i solidi geometrici in legno, per creare attività parallele sia coi più piccoli, sia nella scuola primaria
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria. Secondo Maria Montessori ogni materia di insegnamento non dovrebbe procedere da sola, in modo lineare e separatamente dalle altre. Al contrario ognuna dovrebbe essere vista come un piccolo rivolo d’acqua che sgorga da una sorgente, si ingrossa, scompare per qualche tempo nascosto sotto le pietre, poi torna fuori più lontano, si unisce con altri rivoletti, si isola ancora e infine diventa un fiume con sponde proprie.
Questo vale anche per la geometria, che si avvia nella Casa dei Bambini (dai 4 ai 6 anni) quando il bambino si trova nel periodo di sviluppo dei sensi, delle coordinazioni motorie e del linguaggio. In questo periodo non interessano le analisi e le definizioni: il bambino assorbe il mondo esterno attraverso le sensazioni e la continua attività motoria che esercita sugli oggetti circostanti. Tenendo presente questa caratteristica peculiare della mente infantile, intorno ai 4 anni si presenta il primo materiale sistematico di forme geometriche piane, che serve a dare la prima rappresentazione sensoriale di esse: gli incastri geometrici piani. Il vassoio di presentazione bianco e rosso delle immagini è prodotto da Montessori 3D di Boboto.
Per la prima presentazione si utilizzano le forme più regolari e contrastanti tra loro: un triangolo equilatero, un cerchio e un quadrato. Si tratta del vassoio di presentazione.
Dopo aver lavorato col vassoio di presentazione vengono gradualmente aggiunte le altre figure, fino a lavorare con più figure differenti insieme: triangolo, rettangolo, pentagono, rombo, trapezio, cerchio.
Infine si danno i vassoi contenenti sei figure che rappresentano varietà e gradazioni della stessa forma:
il quadrato e cinque rettangoli che hanno un lato costante (10 cm) e l’altro degradante di 1 cm fino al rettangolo che ha il lato minore di 5 cm
sei poligoni dal pentagono al decagono, tutti costruiti in modo che siano iscritti in un cerchio che ha 10 cm di diametro
sei cerchi di cui il maggiore ha diametro di 10 cm e il minore di 5 e gli altri il diametro successivamente degradante di 1 cm dal primo all’ultimo
figure varie a contorni curvi: triangolo equilatero, ellisse, ovale, due fiori costruiti sullo stesso quadrato, uno sul lato e uno sull’angolo
Si tratta di incastri che si possono inserire perfettamente in una cornice quadrata, muniti di una manopola per la presa a tre dita. Ogni incastro può essere collocato esattamente solo nella propria cornice. L’esercizio dunque porta a una comparazione continua tra le forme, e a un controllo materiale su identità e differenze.
Che cosa c’è di identico tra la cornice e l’incastro? La linea di contorno. I due oggetti, incastro e cornice, in se stessi sono molto diversi, e in certo modo opposti: la cornice ha dal lato esterno sempre la stessa forma (un quadrato), invece gli incastri hanno contorni esterni diversissimi (triangolo, rettangolo, cerchio, pentagono, ecc.). Il quadrato delle cornici ha però incavi di contorno diversissimi, corrispondenti a quelli degli incastri: ha un vuoto, una mancanza di materia.
Col materiale degli incastri geometrici piani il bambino si dedica a comparazioni tra le figure geometriche ed al loro studio intuitivo, grazie ad esperienze attive fatte di spostamenti, ricerche e tentativi. L’attività del bambino con questo materiale è un’attività complessa: la mano sposta, l’occhio riconosce, la mente giudica.
Per richiamare l’attenzione del bambino sul contorno, facciamo eseguire un esercizio speciale: il bambino deve toccare tutto il contorno dell’incastro e poi il contorno dell’incavo che sta nella cornice.
I movimenti della mano seguono il contorno e questo movimento eseguito lentamente, attentamente e con precisione, dice Maria Montessori, dà un’idea motrice. Il bambino può riconoscere anche grazie al movimento la forma del contorno, e mettere in rapporto la forma rilevata come identica nell’incastro e nella cornice.
Gli esercizi proseguono a occhi bendati: il bambino mette una serie di incastri nelle cornici, toccandone attentamente i contorni e senza l’aiuto della vista.
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria
In tutti i vassoi previsti nel cofanetto, le figure sono costruite in modo da avere un riferimento alla medesima dimensione lineare: 10 cm. Il triangolo equilatero ha il lato di 10 cm e il cerchio il diametro di 10 cm. Così il triangolo, non essendo inscritto nel cerchio, non può entrarvi, né a maggior ragione il cerchio nel triangolo. Questa impossibilità pratica di sbagliare è il controllo dell’errore insito nel materiale stesso. Grazie a questo principio il bambino, una volta conosciuto l’uso degli oggetti, può procedere senza insegnante.
L’importanza di avere una cornice di incastro non è solo quella di garantire il controllo dell’errore: la cornice richiama anche l’attenzione sulle particolarità che differenziano le varie forme, quando il bambino cerca per tentativi cerca per tentativi la cornice giusta per la piastrella che ha in mano, o prova a incastrarla in diversi sensi.
Il quadrato, ad esempio, si può spostare nei quattro lati ed entra sempre. Il rettangolo, se non si appoggia in modo che i lati maggiori e minori corrispondano, rimane fuori dalla cornice. Il quadrato, tuttavia, non si può rigirare nella cornice tante volte come un poligono e questo, dal pentagono al decagono, fa passi sempre più piccoli nel suo giro. Il cerchio, infine, può girare tutto intorno senza interruzioni.
Il materiale degli incastri geometrici può insomma insegnare la differenza tra le figure senza intervento da parte dell’insegnante, che interviene solo per presentare gli esercizi e per dare i nomi delle forme geometriche attraverso la lezione in tre tempi che si utilizza per tutti i tipi di nomenclatura.
Col materiale degli incastri geometrici nella mente del bambino, grazie all’apprendimento dei concetti della geometria, si sviluppa il senso geometrico. Gli occhi del bambino sono stimolati a sentire l’aspetto geometrico dell’ambiente che li circonda: il piano del tavolo rettangolare, gli esagoni delle mattonelle del pavimento, i cerchi dei piatti, i quadretti dei fazzoletti, le ellissi delle cornici dei quadri … porte, finestre, decorazioni assumono un significato nuovo.
Questa nuova attitudine della mente, questa osservazione spontanea che si manifesta grazie allo sviluppo di una particolare sensibilità interiore, è qualcosa di molto diverso da ciò che consideriamo “apprendimento logico”.
Aggiungere alcune nozioni di una data disciplina, in questo caso della geometria, durante i periodi sensitivi prepara nella personalità attitudini che predispongono la mente a comprendere, depositano germi permanenti di interesse nell’intelligenza.
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria
Le figure geometriche rappresentate negli incastri vengono ripetute come semplici disegni su tre serie di cartoncini quadrati, che hanno la stessa dimensione delle cornici. Su di esse le figure riproducono:
serie 1: gli incastri colorati nella stessa dimensione e colore
serie 2: il contorno con una striscia colorata
serie 3: una linea sottile.
La linea di contorno, già tante volte percepita dal movimento della mano, viene dunque isolata e resa visibile.
Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria
Le tre serie di cartoncini possono essere realizzate facilmente utilizzando come modello gli incastri.
Gli esercizi con gli incastri geometrici sono primissime esperienze che mettono in rapporto il bambino piccolo, dai tre o quattro anni di età, con le forme geometriche. Le sue conoscenze sono intuizioni d’insieme, che egli riceve attraverso la sua esperienza attiva.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori utilizzando le tre tavole.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Le neuroscienze ci dicono che la comprensione della matematica presenta aspetti sia geometrico-percettivi sia simbolico-linguistici ed è necessario allenare il cervello a usare contemporaneamente entrambe le aree cerebrali.
Spesso la matematica è presentata ai bambini in modo puramente “linguistico”, come una lista di istruzioni da memorizzare. La memoria linguistica è molto potente e durevole, quindi i bambini inizialmente imparano con poco sforzo, ma quando la quantità di formule da memorizzare diventa eccessiva, la matematica diventa per loro materia arida e incomprensibile.
Per questo è necessario insegnare la matematica prima di tutto attraverso stimoli di tipo percettivo-sensoriale, soprattutto attraverso le mani, perché le aree cerebrali che ci permettono i movimenti fini sono molto vicine a quelle che ci fanno percepire le forme geometriche e le quantità approssimate.
Il materiale usato per la presentazione è offerto da:
I due testi fondamentali per l’insegnamento della matematica col metodo Montessori sono “Psicoaritmetica” e “Psicogeometria”, pubblicati per la prima volta nel 1934 in spagnolo quando l’autrice, a causa delle persecuzioni del fascismo, si trovava in esilio a Barcellona. Le tesi esposte nelle due pubblicazioni, messe a confronto con le recenti scoperte delle neuroscienze, evidenziano marcati elementi di sintonia e attualità.
Prendiamo ad esempio il teorema di Pitagora: la sua formulazione “linguistica” recita che “in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”. Lo sforzo per la memoria linguistica è modesto, dunque si tende a partire dall’enunciato del teorema, presentando la sua dimostrazione, e poi si fanno seguire gli esercizi. L’idea montessoriana è diversa, ed è molto semplice: bisogna partire dalle “cose”, cioè dalle rappresentazioni concrete degli oggetti geometrici.
“Non fu dalle cose, che i primi geometri trassero le loro conoscenze? Non furono corrispondenze e relazioni tra cose, che stimolarono qualche mente attiva e interessata a formulare degli assiomi e quindi dei teoremi?“ “Il modo con cui un concetto è stato compreso per la prima volta dagli esseri umani è il modo naturale per presentare quel concetto ai bambini”. Maria Montessori
Sulla base di questa idea Maria Montessori introdusse nei due testi un’enorme quantità di materiali, che con la loro muta eloquenza permettono ai bambini di scoprire, in modo indipendente, la geometria e l’aritmetica.
“Nella scuola tradizionale lo studio del teorema di Pitagora rappresenta spesso un grosso scoglio da superare per i bambini, tanto che era chiamato “il ponte degli asini” (asino, si sa, era l’epiteto usato per gli studenti meno brillanti). Quando interrogati, gli studenti dovevano illustrare la dimostrazione del teorema disegnandola alla lavagna. Quelli che erano in grado di farlo avevano memorizzato sia il teorema sia la sua dimostrazione, ma erano in pochi quelli che l’avevano realmente compreso. Disegnando linee i bambini riproducono parallelogrammi equivalenti a quadrati, e rettangoli equivalenti a parallelogrammi e spiegano le ragioni dell’equivalenza. Le linee sulla lavagna si moltiplicano e alla fine il tutto diventa un labirinto che rispecchia il labirinto che c’è nella mente del bambino. Anche se il postulato che recita: ‘Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui sue altri lati’ è ben fissato nella mia mente, devo confessare che la prima volta che lo ho realmente compreso è stata quando ho visto la dimostrazione fatta con gli incastri delle tavole di Pitagora a bambini di 8 anni. Ma nella mente di tutte le persone a cui l’ho chiesto, il famoso teorema si riferisce soltanto ai quadrati. Nessuna altra figura geometrica gode dello stesso privilegio. Noi siamo in grado di utilizzare tutte le figure, purché esse siano equivalenti. Questo è un esempio di cosa succede quando il bambino è liberato dalla schiavitù dei libri di testo e il suo potenziale intellettivo è stimolato e aiutato attraverso chiavi di conoscenza che gli permettono di investigare e creare con gioia ed entusiasmo. I contenuti del programma scolastico sono coperti, ma se ne aggiungono molti altri ancora, e tutto con la piena comprensione e la gioia di imparare di una mente che ricerca e che vede le relazioni tra le cose. Ciò accade non solo per quanto riguarda la geometria, ma anche per quanto riguarda il resto della matematica. Non è questo anche l’obiettivo dei sostenitori della nuova matematica?“ Mario Montessori – Communications 1 (1969)
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Il materiale per il teorema di Pitagora è composto da 3 tavole con pezzi ad incastro blu, rossi, gialli e bianchi.
Le tre tavole rappresentano tre casi del teorema: – primo caso (TAVOLA I): i due cateti sono uguali – secondo caso (TAVOLA II): i due cateti stanno in proporzione 3:4 tra loro – terzo caso (TAVOLA III): caso generale (la dimostrazione Euclidea).
La tavola 1 serve ad una dimostrazione del teorema a livello principalmente sensoriale.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I i due cateti sono uguali
Per la prima dimostrazione abbiamo una cornice che corrisponde a uno spazio complesso, cioè: – un triangolo rettangolo isoscele bianco – lo spazio corrispondente ai quadrati costruiti sui tre lati:
Nel centro è collocato il triangolo bianco. Il resto del materiale è costituito dal quadrato diviso in otto triangoli a mezzo delle due diagonali e delle due mediane:
La dimostrazione del primo caso è estremamente intuitiva. In questo incastro:
– i due quadrati dei cateti sono divisi per mezzo della diagonale in due triangoli – il quadrato dell’ipotenusa è diviso in quattro triangoli per mezzo di due diagonali.
Gli otto triangoli sono tutti uguali tra loro, quindi: – i triangoli dei due cateti possono entrare nel quadrato dell’ipotenusa – i quattro triangoli dell’ipotenusa possono riempire i due quadrati dei cateti.
Gli spostamenti sono molto divertenti, anche perchè i triangoli dei due cateti hanno lo stesso colore, mentre i quattro triangoli dell’ipotenusa hanno un colore diverso. E’ facile vedere che i triangoli gialli e gli altri blu, fanno tra loro un quadrato col lato uguale al cateto di quello posto nel centro della cornice. Gli altri 4 triangoli rossi, disposti in modo che i vertici siano tutti uniti al centro e le ipotenuse al di fuori, formano un quadrato, il cui lato corrisponde all’ipotenusa del triangolo che sta nella cornice. Così gli 8 triangoli si possono collocare nella cornice riempendo tutto lo spazio, e dimostrando questo primo caso del teorema di Pitagora. Con questa dimostrazione siamo partiti da un fatto noto, cioè il teorema di Pitagora, e da una cornice vuota che lo rappresenta; e abbiamo dimostrato il teorema riempiendo i vuoti della cornice.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I – Presentazione 1 Esplorazione sensoriale del teorema di Pitagora
Mostriamo il materiale dicendo: – “Le figure a destra della tavola mostrano i quadrati dei due lati del triangolo rettangolo isoscele, divisi a metà dalla linea diagonale, così da formare 2 triangoli interni per ogni quadrato, uno giallo e uno blu” – “Il quadrato dell’ipotenusa è diviso da due linee diagonali , così da formare 4 triangoli interni rossi” – “Gli 8 triangoli totali (2 gialli, 2 blu e 4 rossi) sono tutti identici, quindi con i triangoli gialli e blu dei quadrati dei cateti possiamo riempire lo spazio occupato dai 4 triangoli rossi del quadrato dell’ipotenusa”
– “Viceversa possiamo usare i 4 triangoli rossi per occupare lo spazio dei quadrati blu e giallo dei cateti”.
La sostituzione di questi differenti pezzi mobili è molto interessante, anche perchè presentano colori differenti. L’esercizio inoltre ricorda gli esercizi di equivalenza fatti con gli incastri delle frazioni.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I – Presentazione 2
Materiale: – tavola del teorema di Pitagora I
Presentazione: – osserviamo lo schema di figure a destra della tavola – rimuoviamo il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?”. E’ un triangolo rettangolo isoscele
– rimettiamo al suo posto il triangolo bianco indichiamo i quadrati. Chiediamo ai bambini: “Cosa sono?” Sono quadrati – diciamo ai bambini: “Oggi conosceremo insieme la relazione tra quadrati e triangoli.” – indichiamo i lati del triangolo e facciamo notare che i quadrati adiacenti ai lati del triangolo hanno la loro stessa lunghezza – Chiediamo: “Quale lato del triangolo ha la stessa lunghezza del triangolo grande rosso?” L’ipotenusa – indichiamo l’ipotenusa e diciamo: “L’ipotenusa ha la stessa lunghezza del quadrato rosso” – esaminiamo i pezzi per mostrare le loro equivalenze
– passiamo allo schema di figure a sinistra della tavola e diciamo: “Questi sono gli stessi quadrati divisi da diagonali. Ci sono molte equivalente tra le figure dello schema” – rimuoviamo interamente il quadrato rosso (formato da 4 triangoli) e incoraggiamo i bambini a notare che è equivalente alla somma dei quadrati gialli e blu combinati – nota altre equivalenze, ad esempio che il quadrato giallo è metà del quadrato rosso, come ne è la metà anche il quadrato blu
– al termine dell’esperienza, diamo la regola: “Nel triangolo rettangolo, la somma del quadrato costruita sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa”.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA I – Presentazione 3
Introduzione: – diamo ai bambini qualche semplice informazione su Pitagora, dicendo che fu un grande matematico dell’Antica Grecia, nato nell’isola di Samo nel 500 aC. Egli fondò la sua scuola a Crotone (Italia meridionale), che era allora parte della Magna Grecia – troviamo Pitagora nella linea del tempo. Questa breve introduzione è molto utile perchè richiama il nome del materiale, cioè la tavola del teorema di Pitagora; inoltre il collegamento con la storia fa sentire ed apprezzare ai bambini il proprio legame con gli uomini del passato.
Presentazione
Primo passaggio: sostituzione dei pezzi: – iniziamo con la tavola contenente tutti i pezzi già disposti nel modo corretto per dare una prima forte impressione
– togliamo tutti i pezzi dal primo schema
– prendiamo i pezzi dell’altro schema e mettiamoli nelle cornici del primo, cioè muoviamo i pezzi da un lato all’altro
Secondo passaggio: – dallo schema nel quale i quadrati sono divisi dalle diagonali formando i triangoli colorati, togliamo i triangoli gialli e quelli blu. Chiediamo a un bambino di riempire i due quadrati dello schema a sinistra utilizzando i quattro triangoli rosso che formano il quadrato grande
– i triangoli rossi che erano sull’ipotenusa del triangolo bianco sono stati distribuiti in due quadrati posati sugli altri due lati (cateti) del triangolo bianco
– ora con i triangoli blu e gialli riempiamo lo spazio lasciato libero dai triangoli rossi: tutto ciò che era costruito sui cateti ora si trova sull’ipotenusa.
Applicazione del teorema: – la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.
Note: – i triangoli dello schema sono tutti triangoli isosceli.
Scopo diretto: – introduzione sensoriale al materiale – preparazione per gli incastri seguenti
Età: – dagli 8 anni.
Teorema di Pitagora col metodo Montessori TAVOLA II i due cateti sono in proporzione 3:4
Nell’incastro i tre quadrati sono riempiti con quadratini di tre diversi colori. Il loro numero è: – nel quadrato del cateto minore 3² = 9 – nel quadrato del cateto maggiore 4² = 16 – nel quadrato dell’ipotenusa 5² = 25. In questo caso speciale calcolando le lunghezze dei lati per se stesse, si ha il numero di quadrati che riempiono le superfici, cioè: 3 x 3 = 9 quadrati 4 x 4 = 12 quadrati 5 x 5 = 25 quadrati e quindi 25 = 16 + 9.
Siccome i quadratini relativi al quadrato di ogni lato sono di colore diverso, si possono disporre a disegni vari i quadratini corrispondenti ai due cateti, nel quadrato dell’ipotenusa. Allora gli spazi relativi ai quadrati dei due cateti restano riempiti coi quadratini relativi all’ipotenusa, e rimanono di colore uguale i quadrati dei cateti.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori Tavola II – Presentazione 1
Il gioco degli spostamenti è evidente: – i due quadrati dei cateti possono essere riempiti completamente con i quadratini dell’ipotenusa, diventando dello stesso colore – il quadrato dell’ipotenusa può essere composto in due colori creando bei disegni.
Così rimane materialmente ed esteticamente dimostrata la relazione pitagorica cambiando i quadratini mobili negli spazi della cornice che si trova nel materiale.
Tavola II – Presentazione 2
Materiale: – tavola del teorema di Pitagora II
Presentazione: – rimuoviamo dalla tavola il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?” E’ un triangolo rettangolo scaleno – diciamo: “Questa è un’altra dimostrazione della teoria di Pitagora”. – diciamo: “In questa tavola i quadrati sono divisi in quadratini tutti uguali. Possiamo usarla per verificare che la somma dei quadrati dei lati è uguale al quadrato dell’ipotenusa. “ – chiediamo l’aiuto dei bambini per inserire tutti i quadratini blu e gialli nella cornice quadrato grande e i quadratini rossi nelle cornici dei quadrati medio e piccolo:
– chiediamo ai bambini cos’hanno scoperto e chiediamo se quello che abbiamo fatto con i quadratini colorati può essere scritto – facciamolo insieme:
– dopo essersi esercitati con la tavola i bambini possono risolvere problemi detti a voce, ad esempio possiamo dare la misura dell’ipotenusa e di un lato di un triangolo, e i bambini devono trovare la lunghezza dell’altro lato.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Nota: Si tratta della terna pitagorica. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.
Tavola II – Presentazione 3
Materiale: – tavola del teorema di Pitagora II
Presentazione: – mostriamo il materiale e diciamo: “Qui i numeri magici sono 3, 4 e 5” – “In questa figura i tre quadrati sono riempiti con piccoli quadratini tutti uguali e in differenti colori” – con questo materiale il gioco delle sostituzioni viene spontaneo, per cui basta invitare il bambino a sperimentare il materiale in tutte le possibili combinazioni – facciamo notare che i due quadrati costruiti sui due cateti (giallo e blu) possono essere interamente riempiti con i quadratini rossi del quadrato costruito sull’ipotenusa
– facciamo notare anche che i quadratini giallo e blu insieme possono riempire lo spazio occupato dal quadrato rosso – facciamo notare che il triangolo bianco centrale è un triangolo rettangolo scaleno.
________________________ La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Tavola II – Presentazione 4
Materiali: – tavola del teorema di Pitagora II: tavola nella quale i lati del triangolo sono in proporzione 3:4. In questo caso c’è un solo schema sulla tavola. Il triangolo bianco è un triangolo rettangolo scaleno.
Presentazione: – per prima cosa contiamo i pezzi. Questa tavola aggiunge elementi di aritmetica agli elementi sensoriali. Evidenziamo che il triangolo bianco centrale è un triangolo scaleno – togliamo dallo schema tutti i quadratini gialli e tutti i quadratini blu. Proviamo a riempire gli spazi vuotati con i quadratini rossi – al termine ci troveremo con lo spazio per il quadrato dell’ipotenusa vuoto. Riempiamo questo spazio con i quadratini gialli e con quelli blu – nel fare questa operazione si possono ottenere combinazioni di giallo e blu molto interessanti
– contiamo i quadratini. Possiamo scrivere il conteggio così:
– la somma dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.
Teorema di Pitagora col metodo Montessori TAVOLA III caso generale
In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Il materiale che serve a questa dimostrazione Il terzo incastro è di difficile descrizione e si presta a un notevole esercizio intellettuale. Il materiale originale prevedeva una tavola 44 x 24 cm, con quattro incavi rettangolari ai due lati e al centro la cornice che, per la sua determinazione di forma, presenta appunto un teorema già stabilito, che bisogna dimostrare.
I pezzi mobili possono formare varie combinazioni per dimostrare vari principi del teorema, e cioè: – due quadrilateri aventi base uguale e altezza uguale sono equivalenti – due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro. Occorre dimostrare che la somma dei due rettangoli equivale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. La dimostrazione materiale si fa con lo spostamento delle figure.
Nell’incastro in posizione normale:
– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in due rettangoli – il secondo lato è determinato dalle divisioni dell’ipotenusa, su cui cade l’altezza del triangolo abbassata dal vertice opposto.
Nel materiale troviamo anche due romboidi che presentano: – un lato uguale al lato del quadrato piccolo – un lato uguale al lato del quadrato grande – un lato uguale all’ipotenusa.
L’altezza minore dei due romboidi corrisponde all’altezza (o lato minore) dei rettangoli.
L’altezza maggiore corrisponde ai lati dei quadrati dei cateti:
Non è necessario che il bambino conosca già tutte queste corrispondenze dimensionali: vedrà dei pezzi a incastro rossi blu e gialli, e semplicemente li sposterà inserendoli negli incavi della tavola.
A far ragionare il bambino sul teorema è il suo agire materialmente inserendo i pezzi mobili sui fondi della tavola, e non la conoscenza astratta delle corrispondenze dimensionali dei lati e delle altezze delle figure geometriche. In questo modo l’esercizio diventa molto semplice e interessante, e il materiale si presta dare diverse dimostrazioni.
TAVOLA III – Presentazione 1
– Partiamo dall’incastro riempito normalmente:
– togliamo prima i due rettangoli dell’ipotenusa e mettiamoli nei lunghi incavi laterali della tavola – facciamo scorrere verso il basso il triangolo bianco fino a che l’ipotenusa tocca il lato inferiore del quadrato. Rimane vuoto, al di sopra del triangolo, uno spazio che evidentemente equivale al quadrato. Questo spazio vuoto equivale evidentemente al quadrato. Esso ha la forma di uno strano poligono a sei lati, però prolungando la linea corrispondente all’altezza del triangolo, subito si capisce che lo spazio si può dividere in due romboidi, uno maggiore e uno minore. – riempiamo lo spazio rimasto coi due romboidi giallo e blu: le due figure riempiono perfettamente lo spazio.
Vediamo così che è sempre lo stesso spazio riempito: – prima con 1 triangolo + 2 rettangoli – poi con 1 triangolo + 2 romboidi.
Questo dimostra che la somma dei due rettangoli (quadrato dell’ipotenusa) è equivalente alla somma dei due romboidi.
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TAVOLA III – Presentazione 2
Consideriamo poi i romboidi invece dei rettangoli, per dimostrare la loro equivalenza coi due quadrati sui cateti: – cominciamo dal quadrato maggiore e partiamo dall’incastro in posizione normale:
– consideriamo lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato maggiore: per farlo togliamo i pezzi e vuotiamolo – riempiamo lo spazio vuotato con il triangolo e il quadrato grande in posizione normale – ora togliamo il quadrato del cateto maggiore (giallo) – facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto maggiore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto maggiore – è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto maggiore del triangolo – inseriamo nello spazio il romboide grande giallo:
– allo stesso modo possiamo considerare anche lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato minore: per farlo togliamo prima il quadrato del cateto minore – facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto minore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto minore – è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto minore del triangolo – inseriamo nello spazio il romboide piccolo blu:
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TAVOLA III – Presentazione 3
Con queste attività vogliamo dimostrare le equivalenze tra i romboidi e i rettangoli e tra i romboidi e i quadrati, utilizzando gli incavi lunghi che si trovano ai lati della tavola. Questi incavi dimostrano che i pezzi hanno la stessa altezza.
– Partiamo dall’incastro in posizione normale:
– togliamo i due rettangoli che insieme riempiono uno spazio uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa e mettiamoli insieme con i rombi negli incavi di sinistra (i maggiori nell’incavo più largo e i minori in quello più stretto):
Vediamo come le figure incastrate hanno uguale altezza. Basterà poi far combaciare i pezzi secondo la base per verificare l’uguaglianza: dunque le figure sono a due a due equivalenti.
Torniamo poi nella disposizione normale dell’incastro e procediamo allo stesso modo con i quadrati:
Negli spazi paralleli di destra si possono disporre il quadrato grande in fila col romboide grande, disposto però in un altro senso (cioè il senso dell’altezza maggiore). Allo stesso modo si possono mettere nell’incavo minore di destra il quadrato piccolo e il romboide piccolo: quadrato e romboide hanno la stessa altezza e affiancandoli possiamo verificare che hanno base uguale. Dunque i quadrati e i romboidi sono equivalenti. I rettangoli e i quadrati, equivalenti ai romboidi, sono perciò equivalenti tra loro. Il teorema risulta dimostrato.
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TAVOLA III – Presentazione 4
Materiali: – tavola del teorema di Pitagora III
Presentazione: – rimuoviamo i rettangoli rossi dal telaio – facciamo scorrere il triangolo bianco verso il basso e posizioniamo il parallelogramma giallo e blu nel telaio. Facciamo notare ai bambini che i parallelogrammi sono equivalenti ai rettangoli rossi. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale – rimuoviamo il quadrato giallo e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Mettiamo il parallelogramma giallo nello spazio vuoto. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma giallo è equivalente al parallelogramma giallo. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale – rimuoviamo il quadrato blu e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Inseriamo nello spazio vuoto il parallelogramma blu. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma blu è equivalente al quadrato blu. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale – diciamo: “Ora sappiamo che i lati di una figura con lati uguali e base uguale sono equivalenti.” – mostriamo quanto abbiamo detto posizionando il quadrato giallo accanto al parallelogramma giallo confrontando base e altezza – diciamo ai bambini: “Dal momento che le figure gialle sono equivalenti e il parallelogramma giallo è equivalente al rettangolo rosso, possiamo dire che il quadrato giallo e il rettangolo rosso sono equivalenti?”. Sì – dimostriamo che il quadrato blu è equivalente al parallelogramma blu. – diciamo ai bambini: “Poiché il quadrato blu e il parallelogramma blu sono equivalenti, cosa possiamo dire del quadrato blu e del piccolo rettangolo rosso?” Sono equivalenti.
_________________________ Tavola III – Presentazione 5
La tavola III, per essere precisi, non dimostra tanto il teorema di Pitagora quanto la teoria di Euclide. Si tratta del famoso teorema delpons asinorum (ponte degli asini) della geometria euclidea che afferma: “Gli angoli opposti ai due lati uguali di un triangolo isoscele sono congruenti“. Si tratta, in sostanza, del contenuto della proposizione 5 nel libro I degli Elementi di Euclide. Per prima cosa i bambini noteranno che il triangolo centrale dello schema della tavola è un triangolo rettangolo scaleno, uguale a quello usato nella tavola II.
I principi già studiati o suggeriti attraverso gli esercizi sensoriali con le altre tavole e che dimostrano il teorema sono: – due quadrilateri che hanno base uguale e altezza uguale sono equivalenti – due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro – il quadrato formato sull’ipotenusa è diviso in due rettangoli. La divisione è fatta prolungando perpendicolarmente la linea che va dall’apice del triangolo bianco all’ipotenusa – nel materiale sono compresi anche due romboidi, ognuno dei quali ha un lato uguale rispettivamente al quadrato grande e al quadrato piccolo dei lati del triangolo bianco, e l’altro lato uguale all’ipotenusa – le altezze minori dei due romboidi corrispondono alle rispettive altezze (lati corti) dei rettangoli – il lato maggiore corrisponde rispettivamente al lato del quadrato grande e del quadrato piccolo dei lati del triangolo.
Non è necessario che il bambino conosca tutte queste corrispondenze. Egli vede i pezzi colorati di un inserto e semplicemente lo sposta, mettendolo nelle cornici. Questa attività è ciò che dà al bambino l’opportunità di ragionare sul teorema, e non l’idea astratta delle corrispondenze e delle relazioni tra le figure.
__________________ TAVOLA III – Presentazione 6
Con questa tavola porteremo avanti due dimostrazioni: – dimostrazione A, basata sul movimento della mano usata per scambiare i pezzi nelle cornici; questo porterà all’applicazione del concetto di equivalenza, in particolare l’equivalenza tra rettangoli e parallelogrammi e l’equivalenza tra quadrati e parallelogrammi – dimostrazione B, basata sulle relazioni tra le linee nelle figure equivalenti.
Dimostrazione A: – rimuoviamo i rettangoli rossi dalla cornice centrale. Proviamo a mettere i parallelogrammi giallo e blu (che si trovano nelle cornici laterali) al loro posto. Ai primi tentativi non ci riusciremo, ma se facciamo scivolare verso il basso il triangolo bianco il gioco è fatto. Questo dimostra l’equivalenza tra i rettangoli rossi e i parallelogrammi giallo e blu – rimettiamo tutti i pezzi al loro posto. Ora lavoriamo con le figure blu – proviamo a mettere il parallelogramma blu al posto del quadrato blu: non è possibile – muoviamo il triangolo bianco verso l’alto e verso destra nello spazio del quadrato blu. Ora il parallelogramma blu potrà essere inserito senza problemi – facciamo lo stesso con i pezzi gialli abbiamo così dimostrato la qualità transitiva dell’equivalenza: A=B B=C A=C proprietà transitiva
Dimostrazione B: – prendiamo il più piccolo dei rettangoli rosi e mettiamolo nella cornice di sinistra con il parallelogramma blu. Lo spazio è lungo abbastanza per i due pezzi. La larghezza della cornice rappresenta rappresenta le altezze delle due figure: le due altezze quindi sono uguali – mettiamo le due figure fianco a fianco per dimostrare che le basi sono uguali. Due parallelogrammi che hanno la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti – facciamo la stessa cosa con il rettangolo rosso grande e il parallelogramma giallo. Rettangoli e parallelogrammi con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti – ripetere l’attività con i parallelogrammi e i quadrati blu e giallo. Ora useremo le cornici di destra – mettendo i pezzi nelle cornici dimostreremo che le altezze sono le stesse – controlliamo anche la lunghezza delle basi delle due figure affiancando i due pezzi tra loro – parallelogrammi e quadrati con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Conclusione: – prendiamo le figure blu e il rettangolo rosso più piccolo – il parallelogramma blu ha la stessa altezza e la stessa base del quadrato e del rettangolo rosso. Quindi il quadrato e il rettangolo sono equivalenti – prendiamo le figure gialle e il rettangolo rosso più grande: esse sono equivalenti.
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Scopo: – comprendere il teorema – risolvere problemi in modo pratico (dopo i 10 anni)
La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Età: – a livello sensoriale, dopo aver presentato le altre due tavole del teorema di Pitagora (8 anni) – per applicazioni a problemi geometrici a partire dai 10 anni.
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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Problemi di geometria per la classe quarta della scuola primaria: perimetro dei triangoli e dei quadrilateri, con schede autocorrettive scaricabili in formato pdf.
Problemi sul perimetro dei POLIGONI (poligoni regolari, trapezio, rettangolo, rombo, parallelogramma), con schede scaricabili e stampabili in formato pdf, per la classe quarta della scuola primaria.
Lavoretti per bambini – scatole di fiammiferi. Le scatole di fiammiferi sono molto semplici da realizzare e permettono di realizzare tantissimi lavori creativi coi bambini, soprattutto durante il periodo natalizio, ma non solo.
Di seguito propongo vari modelli; tutti possono essere variati per dimensioni e decorati in un’infinità di modi diversi. Potete scegliere di stampare i modelli già pronti, oppure di crearli coi bambini: un bel progetto didattico per i più grandi.
Trovi tutti i modelli qui:
Lavoretti per bambini – scatole di fiammiferi – come costruire i cartamodelli
Il progetto più semplice è questo. Il mio porta a realizzare una scatola di fiammiferi di 8 x 4,5 x 2 cm di altezza:
Si traccia al centro del foglio il rettangolo delle dimensioni scelte:
Ai quattro lati si disegnano altri rettangoli, nella misura che si vuole per l’altezza della nostra scatola:
Infine si aggiungono quattro linguette in corrispondenza degli angoli:
In corrispondenza dei due lati corti si disegnano altri due rettangoli, sempre di larghezza pari all’altezza che si vuole per la scatola (qui sempre 2 cm). A questi due ultimi rettangoli, per rendere più precisa la piegatura che dovrà poi essere fatta, togliamo qualche millimetro facendo una riga più interna (che sarà la linea per il taglio):
Per realizzare il coperchio disegniamo il primo rettangolo a sinistra largo 2 cm (altezza della scatola), ma per garantire che poi scivoli bene questa volta aggiungiamo qualche millimetro. Poi aggiungiamo un rettangolo largo 4,5 (larghezza della scatola) sempre aggiungendo qualche centimetro), poi ancora un rettangolo 2 cm più qualcosa, poi ancora un rettangolo 4,5 più qualcosa; infine un rettangolo largo 2 cm senza aggiunte. Aggiungiamo qualche millimetro anche ad uno dei lati lunghi del rettangolo totale:
Lavoretti per bambini – scatole di fiammiferi – variante per il coperchio
Indipendentemente dalle dimensioni scelte per la vostra scatola di fiammiferi, potete scegliere di realizzare un coperchio che scivoli in entrambe le direzioni, oppure un coperchio con chiusura a linguetta (apribile solo da un lato o da entrambi i lati).
Questo modello è per una scatolina che misura 5 x 4 x 1 cm di altezza:
Per farlo basta aggiungere ad uno dei due rettangoli più grandi del modello per il coperchio spiegato sopra:
– un rettangolo alto quanto l’altezza della scatola più qualche millimetro (nel mio caso 1 cm) e un secondo rettangolo alto sempre quanto l’altezza della scatola, senza aggiunta. L’operazione va fatta su entrambi i lati del rettangolo scelto.
– se si vuole che la scatola sia apribile da entrambi i lati, aggiungere la linguetta, alta un poco meno dell’altezza della scatola e con gli angoli tagliati.
– se si vuole che la scatola sia apribile su un solo lato, aggiungere ad uno dei due estremi due linguette laterali. In questo caso, dove si sono le linguette laterali si può non disegnare la linguetta lunga.
Lavoretti per bambini – scatole di fiammiferi – variante per realizzare la scatola
Avrete notato che utilizzando il modello base il fondo della scatola non risulta rivestito dalla carta decorativa. Se volete evitare l’inconveniente, rendendo al tempo stesso la scatolina anche più solida, potete fare questa modifica al cartamodello:
Questo modello si riferisce a una scatolina che misura 6 x 4,5 x 1,5 di altezza. La modifica che dicevo consiste nel dividere a metà la misura del lato lungo della scatola (nel mio caso 6:2 = 3) e aggiungere questi centimetri (nel mio caso tre) ai due lati corti del modello, così:
Lavoretti per bambini – scatolina 8 x 4,5 x 2 cm
il cartamodello pronto:
scatola di fiammiferi 8×4,5×2
Lavorando coi bambini, il modo più semplice è di stampare il modello direttamente sulla carta colorata, oppure incollare il modello sul retro della carta decorativa:
Si ritaglia e si riveste il fondo della scatola con un rettangolo ritagliato dalla stessa carta:
Si fanno tutte le piegature seguendo le linee presenti sul modello:
Quindi si montano scatola e coperchio, incollando:
Lavoretti per bambini – scatolina con coperchio a linguetta cm 5 x 4 x 1 cm
il cartamodello pronto:
Lavoretti per bambini – scatole di fiammiferi
Lavoretti per bambini – scatola con fondo ricoperto 6 x 4,5 x 1,5 cm
Il modello pronto:
scatola con fondo ricoperto 6 x 4,5 x 1,5
Questo articolo fa parte dell’Album di Vita pratica:
…introduzione alla geometria Waldorf, attraverso un racconto che fa fare ai bambini l’esperienza artistica delle diverse qualità del cerchio e del quadrato…
C’erano una volta due forme a questo mondo, che erano diverse da ogni altra. Un giorno si incontrarono, divennero amiche, e cominciarono a raccontarsi i loro guai.
La prima disse: “Quando mi metto in piedi, non posso mai stare tranquilla. Devo subito muovermi, e mi arrabbio tanto perchè non riesco mai a stare ferma, nemmeno un attimo”.
L’altra rispose: “Ah, questo non è niente. Quando mi alzo in piedi io, non posso mai andare da nessuna parte. Io provo con tutte le mie forze, ma non appena ci provo resto incollata lì, e non ci riesco!”
“Bene” disse allora la prima, “Sarebbe bello per me essere capace di stare in piedi ferma, almeno per un momento. Sarebbe un bel cambiamento per me!”
La seconda rispose: “Io darei qualunque cosa per essere capace di alzarmi e fare un giretto!”
Come credete che fossero queste due forme? Provate ad immaginarvele.
(Diamo ai bambini carta e colori).
Molti di voi hanno avuto l’idea giusta!
(Alcuni bambini possono aver disegnato il triangolo invece del quadrato, quindi l’insegnante mostra un cerchio di cartoncino rosso che rotola, e un quadrato di cartoncino verde che non può correre e rotolare, e non riuscendoci si arrabbia).
Bene, sapete come va a finire la storia?
Il cerchio invita il quadrato ad entrare nella sua forma a fare una passeggiata.
(Mostriamo un cerchio con un quadrato incollato all’interno)
“Oh!”, disse il cerchio, dopo aver rotolato per un bel po’ “Ora sono stanco di girare, e vorrei tanto potermi fermare, almeno un momento!”
“Ma è facile, ti aiuterò io!” disse il quadrato, “Mi farò più grande, così tu potrai starmi dentro”.
Così il quadrato si allargò abbastanza da poter contenere in sè il cerchio, che finalmente potè stare un po’ fermo, senza dover sempre rotolare.
“Che bello!” disse il cerchio “Chiamami ogni volta che vorrai andare a fare un giretto!”
“Grazie!” disse il quadrato “Chiamami ogni volta che ti vorrai riposare!”
Waldorf geometry: The two forms (story for square and circle). Introduction to Waldorf geometry, through a story making do children the artistic experience of the different qualities of the circle and square.
Once there were two forms in this world, which were different from each other. One day they met, became friends, and they began to tell about their troubles.
The first said: “When I am standing, I can never be calm. I have to move right away, and so I get angry because I can never sit still, even for a moment.”
The other replied: “Ah, this is nothing. When I stand up I, I can not ever go anywhere. I try with all my strength, but as soon as I try rest glued there, and I can not! “
“Well,” said then the first form, “It would be nice for me to be able to stand up and not moving, at least for a time. It would be a nice change for me!”
The second replied, “I’d give anything to be able to get up and take a ride!”
How do you think they were these two forms? Try to imagine them.
(We give the children paper and colors).
In Waldorf schools we use the Stockmar beeswax crayons, but they are not essential:
Many of you have had the right idea!
(Some children may have drawn the triangle instead of a square, then the teacher shows a circle of red construction paper which rolls, and a square of green construction paper that can not run and roll, and failing gets angry).
Well, you know how it ends the history?
The circle invites the square to enter in its form for a walk.
(We show a circle with a square inside)
“Oh!” Said the circle, after It rolled for a while ” Now I’m tired of turn, and I would stop, at least for a moment!”
“But it’s easy, I’ll help you!” the square said, “I’ll do bigger, so you can stay inside of me.”
So the square widened enough to contain within itself the circle, which eventually could be a bit quiet, without always having to roll.
“How beautiful!” said circle “Call me any time you want to go for a ride!”
“Thank you!” said the square “Call me whenever you want to rest!”
Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori scaricabile gratuitamente in formato pdf, con cartellini ed istruzioni per la presentazione e l’uso coi bambini.
Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori è tradizionalmente utilizzato come materiale dell’area del linguaggio, per l’apprendimento della funzione dell’aggettivo in grammatica.
A questo scopo si presenta ai bambini a partire dai cinque anni. Naturalmente più avanti diventa un materiale molto utile anche per lo studio della geometria.
I set in commercio sono formati da un numero di triangoli che può essere 54, 63 o 72.
Il principio è che la serie deve comprendere triangoli rettangoli acutangoli ottusangoli, equilateri scaleni isosceli, di almeno tre colori diversi e tre dimensioni diverse per tipo.
nomenclature :
Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori nomenclature triangoli
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Come spiegato poi, il gioco può prevedere di rispondere ai cartellini questionario:
Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori – carte domanda
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I due file: – carte-domanda – nomenclature sono disponibili qui: MATERIALE STAMPABILE PER IL GIOCO DEI TRIANGOLI
Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori – Presentazione del materiale
Variante 1 – due giocatori: l’insegnante e un bambino
L’insegnante mostra al bambino il materiale, poi insieme dispongono tutti i triangoli sul tavolo. L’insegnante dice al bambino che giocheranno a indovinare a che cosa sta pensando, seguendo gli indizi.
Prende un foglietto e scrive “TRIANGOLO”, pone il foglietto a una certa distanza dai triangoli e chiede al bambino di trovare la cosa scritta e metterla sul foglietto. Il bambino metterà sul foglietto un triangolo qualunque.
L’insegnante dirà che no, non è proprio quello a cui stava pensando, perchè quello che vuole lei, ad esempio, è grande (scriverà “GRANDE” su un altro foglietto, lo metterà accanto alla parola TRIANGOLO per leggere ora TRIANGOLO GRANDE), dicendo al bambino: “Mi puoi trovare un triangolo uguale a quello che hai scelto prima, ma che sia anche grande?”.
Il bambino sostituirà quindi il triangolo con un altro uguale al primo, ma grande. Per fare il confronto si possono usare i triangoli di controllo delle dimensioni.
Fatto questo si tolgono dal tavolo tutti i triangoli che non sono grandi e si rimettono sul vassoio ( o nella scatola); l’insegnante dirà: “Sì, è proprio un triangolo grande, ma io lo avevo pensato blu e non giallo” (ad esempio), e scriverà su un foglietto la parola BLU da aggiungere ai precedenti per formare TRIANGOLO GRANDE BLU.
Il gioco proseguirà come descritto: si toglieranno tutti i triangoli che non sono blu e si aggiungerà ad esempio ACUTANGOLO: “TRIANGOLO GRANDE BLU ACUTANGOLO.
Poi si toglieranno tutti i triangoli non acutangoli, si aggiungerà ad esempio la parola SCALENO ed a questo punto sul tavolo resterà solo il triangolo descritto, nell’esempio un TRIANGOLO GRANDE BLU ACUTANGOLO SCALENO.
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Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori
Variante 2 – Un giocatore – cartellini singoli degli aggettivi
Il bambino posiziona il cartellino TRIANGOLO e via via aggiunge lui stesso gli aggettivi (scelti da lui o pescati a caso da una busta Materiali.
Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori
Variante 3 – un gruppo di bambini
Si distribuiscono i cartellini contenuti nella busta delle domande, in modo che non ne avanzino, e si dispongono al centro del tavolo tutti i triangoli.
I bambini cercano ognuno i propri triangoli e il gioco termina quando al centro del tavolo non resta nemmeno un triangolo.
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Utilizzando lo stesso principio, è possibile inventare giochi simili con altri oggetti, ad esempio coi bottoni:
Triangoli blu Montessori con tutorial per realizzarli in proprio, modelli gratuiti, istruzioni per la presentazione e l’uso con i bambini. Il set dei triangoli blu è composto da 12 triangoli rettangoli scaleni, che misurano 14 cm di base e 8 cm di altezza. Con questo materiale si realizzano varie figure geometriche.
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Come già detto per i triangoli costruttori, si tratta di un materiale per lo sviluppo sensoriale proposto nelle scuole d’infanzia, ma che risulta utilissimo anche coi bambini più grandi a sostegno dello studio della geometria e per aiutare i bambini con problemi di dislessia.
In questo sito trovate gli schemi per la costruzione delle varie forme. C’è anche il cartamodello per la realizzazione dei triangoli, ma non è molto utile…
Io li ho realizzati così:
Dopo aver costruito i dodici triangoli, ho preparato anche dei cartellini per le nomenclature e delle schede che illustrano le forme realizzabili coi triangoli blu:
Cofanetto delle figure geometriche piane Montessori presentazione ed esercizi – I cofanetti in commercio hanno 5 o 6 cassetti e contengono da 35 a 39 figure geometriche in tutto. Ogni figura ha una piccola manopola al centro. Le dimensione del cofanetto sono di 52 cm x 40 cm x 28 cm.
vassoio di presentazione (facoltativo): è diviso in sei scomparti e contiene tre spazi vuoti e tre spazi occupati da un cerchio, un quadrato ed un triangolo equilatero.
ognuna di queste figure è estraibile dalla relativa cornice per mezzo di una manopola inserita al centro della figura.
Il quadrato misura 10 x 10 cm, il cerchio ha un diametro di 10 cm, e il triangolo equilatero presenta 10 cm di lato.
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vassoio 1: contiene 6 cerchi, ognuno inserito in una cornice quadrata in legno. I cerchi sono disposti in ordine di grandezza.
Essi hanno un diametro di 10 cm, 9 cm, 8 cm, 7 cm, 6cm, 5 cm, rispettivamente. Così, essi variano in dimensioni in modo regolarecon una differenza di 1 cm di diametro tra due in successione.
vassoio 2: contiene primo quadrato 10 x 10 cm e cinque rettangoli in ordine di grandezza, ognuno inserito in una cornice di legno. I rettangoli misurano 9 x 10 cm, 8 x 10 cm, 7 x 10 cm, 6 x 10 cm e 5 x 10 cm.
vassoio 3: contiene sei triangoli, tre scaleni nella prima riga ( un ottusangolo, un rettangolo e un acutangolo), e tre isosceli nella seconda (un ottusangolo, un rettangolo e un acutangolo). I triangoli sono ordinati in base ai lati e agli angoli.
Contando il triangolo equilatero nel vassoio di presentazione, ci sono nel cofanetto sette triangoli in tutto.
vassoio 4: contiene sei poligoni regolari: pentagono, esagono, ettagono, ottagono, ennagono e decagono.
Tutti e sei questi poligoni sono iscrivibili all’interno di un cerchio di 10 cm di diametro.
vassoio 5: contiene un parallelogramma, un rombo, un ellisse, un trapezoidale, un trapezio e un ovale.
vassoio 6: forme curve quali quadrifoglio, triangolo curvo, l’ellissi e l’ovale
Il cofanetto nel suo insieme contiene tutte le figure piane regolari e permette al bambino di classificare ogni forma presente nel proprio ambiente.
Per costruirli in proprio, se ti può interessare vai qui:
Scopo: – Conoscenza visiva e tattile delle forme geometriche. – Consapevolezza e osservazione delle forme geometriche nell’ambiente. – Movimento fluido e coordinato. – Le manopole migliorano la presa della matita.
Il materiale inoltre getta le prime basi sensoriali per lo studio della geometria, che il bambino affronterà più tardi. E’ inoltre un ottimo esercizio di prescrittura, che consente al bambino di sperimentare linee curve e linee rette: le forme sono simili alle lettere dell’alfabeto e alle cifre numeriche.
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Il vassoio di presentazione
Questo è il vassoio che può essere utilizzato per una prima presentazione del quadrato, del cerchio e del triangolo ai bambini più piccoli, che presto acquisiscono grande familiarità con i nomi e le proprietà di queste forme e altrettanto presto chiederanno di esplorare il contenuto degli altri vassoi del cofanetto.
Per questo motivo, uno dei modi migliori per presentare questo nuovo materiale in classe è quello di attendere che i bambini ci chiedano di mostrare loro come si usa.
Inoltre, siccome il materiale è conservato sugli scaffali e i bambini più grandi già lo utilizzano liberamente, i bambini più piccoli sono molto attratti dai vassoi, soprattutto dagli esercizi più complessi che vedono eseguire dai compagni più grandi, e questa è una parte molto importante del processo educativo.
Presentazione
1. Prendete il vassoio e portatelo al tavolo del bambino.
2. Rimuovete ogni figura e mettetela negli spazi vuoti del vassoio; avrete così due forme identiche per ognuna delle tre figure geometriche.
3. Mostrate al bambino come sentire con le dita ilbordo di ogni inserto e come prendere correttamente le forme dal pomello centrale.
4. Incoraggiate il bambino a ripetere l’esercizio.
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Altri esercizi
Quando il bambino ha acquisito familiarità con le tre figure nel vassoio di presentazione, possiamo scegliere per lui via via altre forme presenti nel cofanetto, da sositituire al quadrato, il triangolo e il cerchio. L’importante è scegliere sempre forme in forte contrasto tra loro.
Dopo aver presentato tutte le forme a tre a tre, si può poi passare alla presentazione a sei a sei. Le forme possono essere messe in ordine sparso sul tavolo, e il bambino dovrà trovare la loro corretta collocazione all’interno del vassoio.
A questo punto il bambino è pronto per lavorare su un singolo vassoio alla volta. Prendere uno dei cassetti contenenti figure simili che possono essere classificate in base alle dimensioni. I cerchi sono i più facili. Rimuovere le forme, mescolare sul tavolo, sentendo bene ogni inserto con le dita. Il bambino può proseguire l’esercizio e scegliere qualsiasi altro vassoio desideri esplorare.
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Nomenclatura
Al momento opportuno si potranno insegnare al bambino i nomi delle forme, utilizzando le lezione in tre tempi e presentando tre forme diverse alla volta.
Successivamente le figure geometriche possono essere confrontate tra loro per quello che riguarda le loro proprietà, e possono essere fatte le prime deduzioni geometriche, ad esempio si possono iscrivere i poligoni nei cerchi.
Forme – le cose rotonde, il quadrato, il rettangolo, il triangolo ed i cubo. Materiale didattico e spunti per l’insegnamento in prima classe secondo il metodo globale.
Le cose rotonde
La palla, il cerchio, la ruota, la luna piena, il sole, il disco. E ancora: la mela, l’orlo del bicchiere. Rotonda è anche la terra di cui possiamo vedere la rappresentazione nel mappamondo. E’ difficile fare un cerchio perfetto, come insegna l’episodio di Giotto.
Prepariamo una scheda sulla quale scriveremo, volta a volta, il nome delle cose rotonde che ci capiterà di vedere.
Il quadrato e il rettangolo
Che cos’è che ha forma quadrata? Il fazzoletto, il tovagliolo, il quadretto del quaderno, la mattonella del pavimento.
Che cos’è che ha forma rettangolare? Il libro, il quaderno, il quadro, il vetro, il piano del tavolo, il piano del banco, il pavimento… Troviamo le differenze e le somiglianze tra rettangolo e quadrato.
Prepariamo una scheda per scrivere i nomi delle cose che hanno forma quadrata e una per la forma rettangolare, da compilare man mano che ci imbattiamo in cose di queste forme.
Il triangolo
Che cos’è che ha la forma di un triangolo? Metà di un quadrato, di un rettangolo, una squadra, la sagoma di un campanile, di un albero di Natale, la bandierina di segnalazione, la sagoma di un tetto, la vela della barca.
Prepariamo la scheda del triangolo. Vi disegneremo, come già abbiamo fatto le altre volte, la figura. Man mano vi scriveremo il nome delle cose fatte a triangolo e faremo il relativo disegno.
Il cubo
Che cos’è che ha la forma di un dado: una cassa quando le facce sono quadrate, una stanza quando le pareti sono quadrate, una casetta, una scatola, ecc…
Che cosa possiamo misurare di una scatola che ha la forma di un dado? Facciamo una scoperta: tutti gli spigoli sono uguali. Basta misurarne uno.
Predisponiamo una scheda con la figura del dado. Vi scriveremo via via i nomi delle cose che hanno questa forma.
La geometria euclidea. Lui era un eccentrico matematico, ingegnere civile meccanico e militare che lavorò come geometra della Regina Vittoria alle Isole Falkland. Ma scrisse anche Freedom to Ireland (da protestante), pubblicato a Boston.
Fu anche inventore di apparecchiature meccaniche quali il byrnegrafo, uno strumento per moltiplicare, dividere e comparare linee, angoli, figure piane e solidi.
Si trova nel web (diritti d’autore scaduti) qui , oppure si può comprare la ristampa (cofanetto di velluto nero della Taschen), anche in formato ebook.
E’ un superbo esempio di book design vittoriano, notevole per il suo approccio sperimentale al colore e al disegno, usati al posto delle lettere nelle dimostrazioni: come recita il titolo stesso si tratta dei “Primi sei libri degli elementi di Euclide, nei quali diagrammi colorati e simboli sono usati al posto delle lettere per facilitare l’apprendimento”.
Colori e forme si sostituiscono al linguaggio tradizionale della geometria. Oliver Byrne concepì questa edizione di Euclide come un sistema completamente nuovo per imparare la geometria e determinò che usando i colori invece delle lettere uno studente può imparare le teorie di Euclide in meno di un terzo del tempo.
Byrne era anche un insegnante, e il libro, trattando dei primi sei volumi degli “Elementi di geometria” di Euclide, copriva tutti gli argomenti del curriculum di studi matematici di base degli studenti del tempo. In realtà c’è della poesia nel fatto che da un punto di vista di didattica della matematica è un libro assolutamente inutile, e da un punto di vista più generale pure anacronistico, venuto già dopo Lobacevskij e Janos Bolyai.
Lo scopo dichiarato del libro era quello di ridurre al minimo il testo scritto, e dare una forma visuale alle informazioni.
Il risultato? Composizioni geometriche sorprendentemente moderne: una combinazione di blu brillante, rosso, giallo completamente integrati col nero della stampa in tutto il libro.
Gli unici elementi che possono riportare alla sua vera età, in alcune pagine, sono le lettere iniziali dei paragrafi, tipicamente di epoca vittoriana.
Colpisce oggi perchè appare come un precursore del De Stijl, ad esempio.
E’ il primo caso, così possiamo dire oggi, di uso sofisticato della metafora visuale per trasmettere informazioni.
Riflette anche i grandi progressi della stampa nel diciannovesimo secolo, un periodo nel quale l’uso dei colori si è notevolmente incrementato grazie alle numerose innovazioni tecnologiche e produttive.
Realizzato alla Chiswick Press per William Pickering, il libro deve moltissimo anche all’abilità di un grandissimo stampatore, Charles Whittingham. Uno bravo.
Il registro di stampa dei colori primari è privo di difetti e la composizione su ogni singola pagina è da considerarsi unica nel panorama editoriale del tempo.
Il processo di stampa è stato molto complicato, se si considerano non solo le aree di colore, ma anche tutti i particolari interni ad esse, ed il fatto che era assolutamente necessario che il posizionamento dei blocchi per le stampe successive fossero registrati in modo perfetto, così che angoli e linee combaciassero senza difetti.
E Whittingham non solo realizzò tutto questo, ma anche compose pagine elegantissime ed equilibrate.
Il libro è stato riscoperto grazie all’interesse di studiosi come Mc Lean (Victorian book design’ del 1963) e Tufte (‘Envisioning Information’ del 1990).
Un libro davvero insolito. E davvero bello, Euclide a parte. Di fatto precorre i tempi dell’arte. E basta guardarlo. Anche se si è trattato di un incidente.
Augustus De Morgan, matematico, scrisse di Byrne una critica ferocissima (A Budget of Paradoxes) descrivendolo come una sorta di fachiro, inventore di macchine fraudolente, persona dedita alla quadratura del cerchio, scrittore di libri sulle macine e inutili testi di matematica. Al meglio, secondo De Morgan, l’Euclide di Byrne è un libro curioso.
Ma inutile e curioso, non significa certo che non possa essere attraente e bellissimo, e il libro di Byrne potrebbe essere candidato come peggior libro di geometria e libro più bello.
L’approccio che Byrne tentò fu in fondo quello di semplificare la geometria attraverso l’arte. Piet Mondrian, che fu uno dei primi a praticare un’arte non rappresentativa, usò disegni geometrici per riclassificare tutti i dati dell’esperienza all’interno delle sensazioni suscitate dai colori e dalle forme.
Mondrian utilizzò strumenti per re-identificare la natura che sono gli stessi che Euclide sviluppò per classificare la struttura del mondo.
Questo è il suo “Composizione con rosso, giallo e blu” del 1930, ma prima di lui altri artisti furono pionieri della non-rappresentazione e creatori di un’estetica matematica rivolta alla liberazione degli oggetti: citiamo primo fra tutti Kandinsky, ma anche Umberto Boccioni (1912), Frank Kupka (1913), Olga Rozanova (1913), Liubov Popova (1914), Felix del Marle (1914). Ma soprattutto Kasimir Malevich.
Malevich comincia questo lavoro intorno al 1910, e risalgono al 1913 opere quali “Samovar”, nel quale l’oggetto è sezionato e si muove in luoghi diversi.
Ma è nel 1915 che, con “Black and red Square” arriviamo alla totale rimozione della rappresentazione dell’oggetto.
Arriviamo all’invisibilità, all’arte di scegliere intenzionalmente di oscurare il soggetto noto.
“Il mio lavoro non ha uno scopo meramente illustrativo” scrive Byrne , ” e i colori non sono introdotti con propositi di intrattenimento, ma per assistere la mente nell’atto di cercare la verità, per incrementare l’immediatezza della comprensione e il consolidamento delle conoscenze.”
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