Categoria: MATEMATICA MONTESSORI

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La marcia dei tre re

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Introduzione

Questa storia è legata a due materiali Montessori molto specifici: il Cubo del Trinomio e il Cubo del Trinomio Gerarchico.
Si tratta di materiali piuttosto complessi, ma la cui natura pratica li rende facili da usare, anche per i bambini in età prescolare.
Il primo cubo, il Cubo del Trinomio, è utilizzato dai bambini a partire dalla Casa dei Bambini, e viene generalmente utilizzato come puzzle tridimensionale.
Il secondo cubo, il Cubo del Trinomio Gerarchico, è uguale al primo, ma presenta colori diversi.
Entrambi i cubi presentano ventisette pezzi ed esprimono lo sviluppo del trinomio:

(a+b+c)³ = a³+3a2b+3a²c + 3ab² + 6abc + 3ac² + b³ + 3b²c + 3bc2 + c3

Ovviamente, si tratta di idee complesse, quindi una storia piacevole è l’ideale come introduzione.
Questa storia immagina che i tre piccoli pezzi a forma di cubo siano dei re. Ognuno di loro conduce il proprio seguito a fare una passeggiata. Durante la passeggiata, si trasformano tutti, i loro colori cambiano e, in alcuni casi, cambiano anche le loro alleanze.
Questo porta i bambini a passare dal cubo del trinomio al cubo del trinomio gerarchico, per poi tornare indietro.
La procedura inizia con il Cubo del Trinomio.

I suoi tre cubi, che rappresentano i tre re, guideranno il loro seguito dei restanti ventiquattro prismi verso un ponte immaginario che conduce alla Terra dei Numeri.
Si fermeranno lì, a riflettere, poi, un re alla volta, guideranno i loro seguaci attraverso il ponte.
Mentre i re conducono i loro seguaci attraverso il ponte, l’insegnante scambia i blocchi del primo set con quelli corrispondenti del set gerarchico.

(Questo è il contenuto del cubo del trinomio gerarchico. L’immagine mostra tutti i pezzi del Cubo del Trinomio Gerarchico smontato).

Cubo del Trinomio

Ecco come sono distribuiti i ventisette pezzi del Cubo del Trinomio:

. 1 cubo rosso 4 x 4 x 4 cm, chiamato il “Primo Re Rosso”;
. 6 prismi con le facce quadrate dipinte di rosso. Sono chiamati i “Servitori del Re Rosso” e sono divisi in due gruppi: 3 di loro misurano 4 x 4 x 3 cm; gli altri 3 misurano 4 x 4 x 2 cm;

. 1 cubo blu 3 x 3 x 3 cm chiamato il “Primo Re Blu”;
. 6 prismi con le facce quadrate dipinte di blu. Sono chiamati i “Servitori del Re Blu” e sono divisi in due gruppi: 3 di loro misurano 3 x 3 x 4 cm; gli altri 3 misurano 3 x 3 x 2 cm

. 1 cubo giallo 2 x 2 x 2 cm chiamato il “Re Giallo”;
. 6 prismi con le facce quadrate dipinte di giallo. Sono chiamati i “Servitori del Re Giallo” e sono divisi in due gruppi: 3 di loro misurano 2 x 2 x 4 cm; gli altri 3 misurano 2 x 2 x 3 cm;

. 6 prismi neri 4 x 3 x 2 cm. Sono chiamati le “Guardie del Corpo”.

Cubo del Trinomio Gerarchico

Ecco come sono distribuiti i ventisette pezzi del Cubo del Trinomio Gerarchico:

. 1 cubo blu 4 x 4 x 4 cm, chiamato il “Nuovo Re Blu”
. 3 prismi verdi 4 x 4 x 3 cm che diventano i “Primi Servitori del Nuovo Re Blu”
. 6 prismi marroni che diventano anch’essi “Servitori del Nuovo Re Blu” e sono divisi in due gruppi: 3 misurano 4 x 4 x 2 cm; 3 misurano 3 x 3 x 4 cm

. 1 cubo rosso 3 x 3 x 3 cm, chiamato il “Nuovo Re Rosso”
. 6 prismi rossi 4 x 3 x 2 cm, che diventano le “Guardie del Corpo del Nuovo Re Rosso”

. 6 prismi arancioni che diventano i “Servitori del Re Bianco” e sono divisi in due gruppi: 3 misurano 3 x 3 x 2 cm; 3 misurano 2 x 2 x 4 cm
. 3 prismi gialli 2 x 2 x 3 cm. Sono anche loro “Servitori del Re Bianco”
. 1 cubo bianco 2 x 2 x 2 chiamato il Re Bianco.

Il racconto: versione 1

Molto tempo fa, in un luogo al di là del mare, c’era un regno immenso. Nel regno c’era una foresta, al centro di quella foresta c’era una città, e al centro di quella città c’era uno splendido palazzo. E nello splendido palazzo vivevano tre Re.

Il palazzo in cui vivevano aveva una forma davvero insolita: era un cubo perfetto.

(Mostriamo ai bambini il cubo assemblato nella sua scatola).

Si racconta che ognuno dei tre Re fosse a sua volta un cubo, e che questi tre Re a forma di cubo fossero alleati e amici.
Lavoravano insieme e si aiutavano a vicenda, tuttavia, erano separati e ognuno aveva la propria personalità.

Il primo di questi Re era un grande e bel cubo rosso.
Il secondo Re era un bellissimo cubo blu medio.
Il terzo Re era un grazioso cubo giallo, piccolo e di bell’aspetto.

Questi tre Re governavano insieme il loro territorio cubico. Erano a capo di un vasto dominio. L’importanza di ciascuno dei tre Re era diversa, ed era determinata dalla sua dimensione.

(Indichiamo ogni Re nominandone la dimensione, il colore e le caratteristiche).

Il Re più grande, il Re rosso, era il più importante. E il Re rosso era anche il più avventuroso. (Indichiamo il Re rosso).
Dopo il Re rosso, veniva il Re blu, il secondo in ordine di importanza. Il Re blu amava la sicurezza e la protezione; amava essere circondato dagli altri, quindi era felice di essere proprio al centro, con tutti gli altri intorno a lui. (Indichiamo il Re blu).
Infine, c’era il Re giallo. Al Re giallo non gli piaceva mettersi troppo in mostra: gli piaceva arrivare per ultimo, perché era un po’ timido. (Indichiamo il Re giallo).

Capitava che, di tanto in tanto, i tre Re lasciassero il loro palazzo: magari andavano a un ballo, magari andavano in guerra, magari andavano a esplorare nuovi territori, o forse semplicemente andavano a fare una passeggiata.

Una delle regole dei tre Re era che dovevano sempre marciare con il loro seguito in un certo modo, secondo un certo schema, seguendo sempre lo stesso ordine: prima doveva venire il Re Rosso col suo seguito, poi il Re Blu col suo seguito e infine il Re Giallo col suo seguito.

II Re Rosso doveva sempre camminare davanti a tutti, subito dietro di lui aveva sei servitori che indossavano giacche abbinate ai colori del lore Re, e due guardie del corpo, che stavano sempre dietro ai servitori.

Dopo il Re Rosso, veniva sempre il Re Bu. Il Re Blu era il secondo in ordine di importanza. Il Re Blu amava la sicurezza e la protezione, e per questo preferiva camminare circondato dal suo seguito: non voleva che i suoi servitori lo seguissero, ma preferiva che gli camminassero tre daventi e tre dietro, mentre le due Guardie del Corpo dovevano sempre stargli a destra e a sinistra. Amava essere circondandolo da ogni lato ed era felice di trovarsi proprio al centro

Infine, veniva il Re Giallo. Il re giallo era timido e non gli piaceva mettersi in mostra: per questo si sentiva a suo agio camminando in coda al suo seguito; davanti a lui stavano le sue Guardie del Corpo, e davanti alle Guardie stavano i sei servitori.

Un giorno, il Re Rosso disse agli altri due Re: “Oggi esploreremo nuove terre. Andremo in altri luoghi alla ricerca di nuovi territori”.

Poiché era il capo, gli altri Re fecero come voleva.

Si schierarono: prima il Re Rosso col suo seguito:

poi il Re Blu col suo seguito:

e infine il Re Giallo col suo seguito:

Il Re Rosso si voltò indietro per assicurarsi che tutto fosse secondo la regola e chiese: “Siete tutti pronti?”. Il Re Blu disse che il suo gruppo era pronto, e anche il Re Giallo fece lo stesso, così iniziarono a marciare.

Marciarono su per le colline e giù per le valli, e finalmente arrivarono ai confini di un nuovo territorio, un luogo che non avevano mai visto prima.

Il confine era segnato da un fiume e per entrare nel nuovo territorio era necessario attraversare un ponte.

Il corteo si fermò ad osservare.

Sembrava che al di là del ponte il territorio fosse ricco di segni e simboli, forse numeri: una cosa molto insolita per i tre re, che di numeri non sapevano nulla.

Tutti guardarono di nuovo il ponte e si chiesero se attraversarlo o lasciar perdere.

Il Re Rosso avrebbe dovuto procedere per primo e, come sappiamo, era un tipo molto audace, forte ed eroico, e non ebbe un attimo di esitazione: voleva assolutamente entrare nella nuova terra. Gli altri due re, anche se erano più riluttanti, dovettero obbedire alla sua volontà.

Così il corteo si mosse, con il Re Rosso in testa.

Non appena il Re Rosso ebbe attraversato il ponte, accadde qualcosa di incredibile: nell’istante stesso in cui entrò nel nuovo territorio, il Re Rosso cambiò colore e diventò blu!
(Mentre parliamo, sostituiamo il Re Rosso del cubo del trinomio con il cubo blu congruente del cubo gerarchico).

Questo è il Nuovo Re Blu.

Erano tutti senza parole. Nessuno sapeva cosa pensare. Perché il Re Rosso ora era blu? Cosa era successo? Cosa poteva averlo reso blu? Stava bene?

Nessuno lo sapeva, ma tutti potevano vedere che era diventato blu.

I suoi tre servitori più grandi si avvicinarono al Nuovo Re Blu per cercare di aiutarlo, per fare qualcosa per salvarlo, se ne avesse avuto bisogno.

Ma non appena attraversarono il ponte, diventarono verdi.
Oh, mio Dio! Erano verdi! Non avevano nemmeno più giacche intonate al loro re, ora che erano diventate verdi!
(Mentre parliamo, sostituiamo i tre prismi del cubo del trinomio con i prismi verdi congruenti del cubo gerarchico).

I tre servitori più piccoli iniziarono ad attraversare il ponte, ed erano molto nervosi e preoccupati. Pensavano: “E adesso?Cosa ci succederà adesso?”.

Beh, non ci potrete credere, ma attraversando il ponte uno alla volta, diventarono marroni!
(Mentre parliamo, sostituiamo i tre prismi del cubo del trinomio con i prismi marroni congruenti del cubo gerarchico).

Il loro nuovo colore non si accordava più a quello del loro re, e nemmeno a quello dei tre servitori più grandi!

Arrivati a quel punto, le due Guardie del Corpo erano così spaventate che decisero di indietreggiare e non attraversare il ponte. Sì, dovremmo aspettarci più spirito di azione e coraggio da loro, invece non fu così. Le due Guardie del Corpo non attraversarono il ponte e rimasero semplicemente indietro a vedere cosa sarebbe successo.

Così arrivò il turno del Re Blu, che mandò avanti i suoi primi tre servitori.

Dritti per tutta la loro altezza, i tre servitori attraversarono il ponte, e non appena toccarono terra diventarono marroni.

Non appena diventarono marroni, si guardarono e si resero conto che la loro fedeltà non era più rivolta al vecchio Re Blu: si erano uniti al Nuovo Re Blu, il grande Nuovo Re Blu, il re che prima era rosso.

Il Nuovo Re Blu ora aveva nove servitori.

A questo punto, il primo re blu non aveva più nessuno davanti a sé, e dato che la strada era libera, pensò di attraversare il ponte.

Non appena lo fece, cambiò colore e divenne un re rosso. Si trasformò completamente in rosso. Era diventato il Nuovo Re Rosso.

(Mentre parliamo, sostituiamo il cubo blu del cubo del trinomio con cubo rosso congruente del cubo gerarchico).

Alla fine, le due Guardie del Corpo che erano rimaste indietro decisero che era il momento di andare a vedere cosa stava succedendo. Le altre quattro Guardie del Corpo si unirono a loro.

Attraversarono il ponte e, improvvisamente, divennero tutti e sei rossi.

Ora c’erano sei Guardie del Corpo rosse. E sapendo che il vecchio Re Blu, che ora era il Nuovo Re Rosso, amava la sicurezza e la protezione, si disposero intorno a lui in modo da circondarlo completamente.

Ciò rese molto felice il Nuovo Re Rosso, perché, a differenza del Nuovo Re Blu che non aveva servitori del suo stesso colore, lui aveva servitori rossi proprio identici a lui.

Naturalmente, il Re Giallo continuava a restare al suo posto, in attesa, perché gli piaceva arrivare sempre per ultimo: era un re timido e un po’ ansioso. Sapeva che prima o poi avrebbe dovuto anche lui attraversare il ponte, ma fece di tutto per rimandare quel momento.

Si guardò intorno e si rese conto che il vecchio Re Blu aveva lasciato indietro tre dei suoi servitori. I poverini non sapevano proprio cosa fare.

Così il Re Giallo disse: “Dovete attraversare il ponte, lo ordino io! Voglio portare la mia gente nel nuovo territorio e non posso farlo finché voi non avrete attraversato il ponte”.

I tre servitori blu obbedirono e al termine del ponte si trasformarono tutti e tre in arancioni.

Non si sa perché fossero diventati proprio arancioni, ma loro non se ne preoccuparono più di tanto, perché in fondo quel colore aveva un po’ di rosso e anche un po’ di giallo: erano una via di mezzo, e questo li faceva sentire a proprio agio.

A questo punto il Re Giallo si rivolse al suo seguito e disse: “Miei fedeli servitori, è il vostro momento. Potete procedere”.

I suoi primi tre servitori, quelli alti, andarono avanti e, con loro grande sorpresa, anche loro diventarono arancioni.

Venne quindi il turno degli ultimi tre servitori, quelli più piccoli. Erano molto spaventati. Era sicuro attraversare attraversare il ponte? E di che colore sarebbero diventati? Erano abituati a essere gialli, e non sapevano cosa sarebbe successo se fossero anche loro cambiati.

Con grande timore, iniziarono ad attraversare il ponte, e non appena la marcia fu conclusa, il loro colore divenne giallo uniforme. Erano ancora gialli, che gioia! Ma ora, invece di avere solo alcune facce gialle, erano gialli dappertutto! Che meraviglia!

Tutto questo rese molto felice il piccolo Re Giallo: capì che poteva continuare a essere giallo e che, una volta attraversato il ponte, si sarebbe riunito al suo seguito giallo e non ci sarebbero stati problemi.

Così, finalmente, si decise ad attraversare il ponte.

Ma indovinate un po’? Quando finalmente lo attraversò, perse il suo colore giallo e diventò tutto bianco!

Ora tutto il corteo al completo aveva varcato il ponte.

I tre re si guardarono intorno e videro che ora c’erano un Re Blu, un Re Rosso e un Re Bianco.

I tre re, esausti dopo la lunga marcia verso il nuovo territorio, decisero di tornare a casa. Si apprestarono a riattraversare il ponte, e fu così che scoprirono che i colori che avevano assunto nel nuovo territorio non andavano via: erano cambiati per sempre.

Si avviarono verso il loro palazzo cubico, e tornare ognuno alle proprie stanze. Ma che sorpresa! Persino il palazzo aveva cambiato colore!

Il primo a entrare, secondo la regola, fu il Nuovo Re Blu.

I suoi tre servitori verdi lo seguirono di corsa per proteggerlo, coprendolo completamente. Ora, nessuno poteva vederlo.

Subito si unirono a loro i servitori marroni attendenti marroni, per assicurarsi a loro volta che il posto fosse sicuro. Si disposero in modo tale da coprire tutti i servitori verdi.

Quando tutti i servitori marroni ebbero finalmente trovato il loro posto, il Nuovo Re Rosso notò che era stato preparato per lui un trono alto, un posto speciale dove avrebbe potuto sedersi. Evviva! Così, andò immediatamente a sedersi su quel trono, che era solo per lui.

Le sue Guardie del Corpo, tutte e sei rosse, accorsero immediatamente a proteggerlo e lo circondarono da ogni lato. Il Nuovo Re Rosso si sentiva importante e imponente perché era proprio nel mezzo, proprio al centro, proprio come piaceva a lui.

Il Re Bianco e tutto il suo seguito osservarono il palazzo. Il Re Bianco sperava davvero che ci fosse un trono tutto suo, ma dovette constatare che non ce n’era. A quanto pareva, essendo l’ultimo, non era abbastanza potente per averne uno… così, con profonda tristezza, ordinò ai suoi sei servitori arancioni di entrare a palazzo e prendere posto dove volevano.

I servitori arancioni entrarono nel palazzo e trovarono subito un posto dove sentirsi a casa, disponendosi attorno al Nuovo Re Rosso.

Poi, il Re Bianco diede ordine anche ai suoi servitori gialli, gli ultimi tre, di entrare a palazzo e trovarsi un posto dove stare. I servitori gialli erano i preferiti del Re Bianco perchè erano di un giallo brillante proprio come il suo prima della trasformazione.

Dunque entarono e si disposero in modo da poter accogliere al meglio il loro re. In effetti, i tre servitori gialli avevano creato un trono alto e bellissimo, perfetto per il Re Bianco.

Il re bianco ne fu così entusiasta che si unì immediatamente alla compagnia altri e completò la dimora cubica.

E per quanto ne sappiamo, i tre re con il loro seguito vivono ancora lì.

(Chiudiamo la scatola).

Ma qualcosa era cambiato per sempre, e non parlo solo dei colori: ora il re bianco era diventato audace e forte, al punto che adesso era sempre lui il primo ad uscire dal palazzo, e non più l’ultimo.

Fu così che il Cubo del Trinomio cambiò colore e si trasformò in Cubo Gerarchico, e i tre re con il loro seguito passarono dalla terra delle lettere a quella dei numeri.

Ma volete sapere una cosa interessante? Tutta questa storia si svolse in un solo pomeriggio!

Il racconto: versione 2

Molto tempo fa c’erano Tre Re. Ognuno di questi Re viveva separatamente nel proprio Regno, ma questi Regni erano così strettamente collegati che, insieme, formavano un unico grande Impero.

Ogni Re aveva un certo aspetto, una certa dimensione e un suo colore distintivo.

Il Re del Regno Rosso era completamente vestito di rosso,

il Re del Regno Blu era completamente vestito di blu

e il Re del Regno Giallo era completamente vestito di giallo.

Ogni re aveva i propri attendenti, che erano strettamente imparentati con gli attendenti degli altri re.

Nelle occasioni speciali, i re si riunivano e sfilavano in parata con il loro seguito.

Il Re del Regno Rosso era il più grande. Avanzava maestosamente in testa alla parata. I suoi sei attendenti lo seguivano; erano vestiti dello stesso colore del loro Re, sia davanti che dietro, e indossavano mantelli neri.

Poi arrivava il Re del Regno Blu, seguito dai suoi sei attendenti. Erano vestiti di blu davanti e dietro, e i loro mantelli erano neri.

Infine, arrivava il Re del Regno Giallo. Era seguito anche dai suoi sei attendenti. Davanti e dietro erano vestiti di giallo e indossavano mantelli neri.

C’erano anche sei guardie del corpo. Erano vestite di nero e ogni Re ne aveva due, che camminavano al loro fianco

Era davvero una sfilata bellissima, e ogni volta che uscivano, marciavano sempre allo stesso modo. L’ordine e l’armonia che mostravano era davvero uno spettacolo meraviglioso.

Un giorno, tuttavia, il Re del Regno Blu si stancò di questo particolare ordine. Non era più soddisfatto di stare sempre in mezzo alla parata. A suo avviso, meritava un posto migliore: voleva essere in prima fila.

Il Re Blu e il Re Giallo erano molto diversi tra loro. Pur adempiendo a tutti i suoi obblighi, il Re Giallo era molto modesto e riservato.

In questo giorno, il Re Blu diede inizio a una rivolta.

Ordinò a tre dei suoi attendenti di arrestare gli attendenti del Re Rosso.

Questa ribellione durò solo per un breve periodo, perché le guardie del corpo intervennero immediatamente per ripristinare l’ordine e circondarono il Re Blu.

Tre attendenti del Re Giallo si ritirarono e catturarono i tre attendenti rimasti del Re Blu. Anche gli altri tre attendenti del Re Giallo avanzarono per supportare gli altri. Il Re Giallo finì in fondo alla parata, e in questo modo la ribellione ebbe fine.

Il Re Rosso, che era in testa alla parata, quasi non si accorse di ciò che era successo, perché tutto avvenne molto velocemente.
Anche il Re Blu continuò il suo cammino, ora sorvegliato da sei guardie del corpo.
Il Re Giallo era molto contento di camminare in fondo al corteo. Non gli era mai piaciuto lo spettacolo.

Tuttavia, qualcosa era cambiato: i tre Regni erano diventati un Regno Unico.
I Re, i servitori e le guardie del corpo avrebbero presto indossato i colori dei loro Regni, secondo il valore posizionale del sistema decimale.

Il Re Rosso era diventato il cubo del milione nel Regno del Sistema Decimale, il Re Blu il cubo del mille e il Re Giallo il cubo dell’uno.
Gli attendenti derivano il loro valore dai loro Re e dai Re con cui erano imparentati.
Infine, le guardie del corpo derivano il loro valore da tutti e tre i Re.

Qual era il loro valore? E quali erano i loro nuovi colori? Scopriamolo!

Perché è successo tutto questo?
Qual è stata la causa del cambiamento nella sequenza?

Senza che i Re lo sapessero, avevano rinunciato ai loro regni e ora formavano il Regno Unico del Sistema Decimale.

Il racconto: versione 3

C’erano una volta, in una terra molto lontana, tre re davvero speciali.

Ogni re governava il proprio regno, ma tutti e tre i regni erano strettamente alleati tra loro e formavano un unico grande impero.

Sebbene ogni re avesse un ruolo importante e contribuisse in modo significativo alla pacifica esistenza dell’impero, le loro dimensioni variavano a seconda della loro importanza.

Ogni re aveva un proprio colore distintivo e indossava sempre le sue vesti regali, e anche tutti i suoi servitori e consiglieri indossavano abiti che richiamavano il colore del loro Re.

Ogni volta che c’era una grande occasione, i tre Re marciavano formando un grande corteo, accompagnati ciascuno dai propri attendenti, consiglieri e guardie reali.

Il Re Rosso, essendo il più grande, guidava fiero il corteo, insieme al suo seguito. Ogni consigliere indossava i colori del Re Rosso sul davanti e sul retro, per mostrare a chi apparteneva e che era un consigliere leale al proprio re.
Tre dei consiglieri del Re Rosso fungevano anche da ambasciatori del Re Giallo.
Tre dei consiglieri del Re Rosso fungevano anche da ambasciatori del Re Blu.

Il Re Blu col suo seguito, essendo il secondo re in ordine di grandezza, seguiva il Re Rosso. Ogni consigliere indossava i colori del Re Blu sul davanti e sul retro, per dimostrare a chi apparteneva e che era un consigliere leale al proprio re.
Tre dei consiglieri del Re Blu fungevano anche da ambasciatori del Re Giallo.
Tre dei consiglieri del Re Blu fungevano anche da ambasciatori del Re Rosso.

Il Re Giallo, essendo il re più piccolo, chiudeva la processione, seguito da sei fedeli consiglieri. Ogni consigliere indossava i colori del Re Giallo sul davanti e sul retro, per mostrare a chi apparteneva e che era un consigliere leale al proprio re.
Tre dei consiglieri del Re Giallo fungevano anche da ambasciatori del Re Blu.
Tre dei consiglieri del Re Giallo fungevano anche da ambasciatori presso il Re Rosso.

Oltre a tutti i consiglieri del re, c’erano anche sei guardie reali, tutte vestite di nero. Queste guardie erano fedeli non a un singolo re, ma a tutti e tre, e avevano ricevuto l’incarico per decreto reale di proteggere la pace e la sicurezza di tutti. Le sei guardie reali erano assegnate equamente ai tre re e si univano alla processione in modo di stare in due al fianco di ciascun re.

Ora, sebbene queste sei guardie reali avessero il compito di garantire protezione e mantenere l’armonia, per rispetto verso i re si assicuravano anche di non essere mai più alte del re che stavano proteggendo.

In tutto il paese regnavano l’armonia e l’ordine.

Un giorno, durante una delle tante parate che si svolgevano in una città, accadde qualcosa.

La processione procedeva da diversi minuti quando, all’improvviso, il Re Blu decise che ne aveva abbastanza. Iniziò a brontolare tra sé e sé, e più brontolava più si arrabbiava, finchè cominciò ad urlare: “Devo sempre marciare in mezzo al corteo! Non mi è mai permesso di marciare in prima fila! Perché c’è sempre il Re Rosso in prima fila, ogni giorno? Di sicuro non ci sarebbe niente di male a cambiare un po’ le cose!”

Il Re Blu era fermamente convinto di meritare di meglio che essere costantemente messo al centro, così diede il via a una ribellione.

Con una mossa sconsiderata, mandò rapidamente tre dei suoi consiglieri in avanti, nel tentativo di catturare tre consiglieri del Re Rosso.

Che confusione! All’inizio, nessuno riusciva a capire cosa stesse succedendo. Per un popolo così armonioso e pacifico, era una cosa inaudita e del tutto inaspettata.

Non appena ciò accadde, tutte le guardie del corpo reali circondarono il Re Blu.

Re Giallo osservava tutto ciò ed era veramente sotto shock. Era il più piccolo e molto modesto, e detestava fare scenate. Per riportare la pace nella processione, Re Giallo ordinò a tre dei suoi consiglieri di avanzare e bloccare i consiglieri del Re Blu.

Avendo ancora bisogno di ulteriore supporto, il Re Giallo mandò avanti i suoi tre consiglieri rimasti per creare una zona cuscinetto per sé, data la sua piccola statura. Questo fece sì che Re Giallo si trovò in fondo alla processione. A lui la cosa non dispiaceva affatto. Si posizionò con orgoglio in fondo alla fila, senza fare storie, chiudendo la fila in silenzio e con modestia.

Perché è successo tutto questo?

Perché il corteo ora si trovava in nuovo regno: il regno del sistema decimale!

I loro valori erano cambiati per sempre!

Il corteo si diresse nella direzione opposta e indovinate chi era in testa… Il Re delle Unità, il più piccolo di tutti! Ora lui marciava fiero in testa, guidando ordinatamente gli altri re attraverso lungo il cammino.

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I re del sistema decimale

C’erano una volta tre fratelli. Il destino era stato molto generoso con loro: ognuno aveva il proprio regno e ci viveva da re. Ovviamente tra i tre re c’erano molte differenze, come fra tutti i popoli della terra. E per questo meritano di essere presentati uno alla volta.

Il Re Unità viveva in un regno che non era potente e ricco e indossava un abito verde, il colore della terra. I suoi sudditi erano tipi molto solitari e si chiamavano Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.

Le cose erano un po’ diverse per il Re Decina. Questo re era più ricco e indossava un abito blu, ma anche i suoi sudditi si chiamavano Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.

Quando i due Re si incontravano, tutti davano per scontato che i sudditi blu dovevano mettersi davanti ai sudditi verdi, e che i sudditi verdi avrebbero sempre seguito i blu.

Il terzo fratello, il Re Centinaia, era il più ricco. Il suo abito era rosso, il colore del potere e della ricchezza, e siccome mangiava più dei sui fratelli, aveva un gran pancione. Ma la sua maggior ricchezza non cambiava il fatto che anche i suoi sudditi si chiamassero Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.

Quando i tre Re si incontravano, i sudditi rossi stavano naturalmente in prima fila, seguiti dai sudditi blu che stavano al centro, mentre i sudditi verdi occupavano l’ultima posizione.

Sebbene sembrassero tutti molto simili, la loro posizione nella fila determinava il potere e il valore di ciascuno. E affinchè lo si vedesse subito, anche i colori prevedevano una chiara distinzione: rosso per il Re Centinaia, blu per il Re Decina e verde per il Re Unità.

E’ interessante notare che non ci fu mai uno scontro tra i tre piccoli Re perchè tutti erano felici e contenti della loro posizione e del loro valore.

Questa situazione di pace e armonia rendeva molto felice il padre dei tre Re. La soddisfazione dei suoi figli gli dava la certezza che alla sua morte tutto l’impero avrebbe continuato ad essere prospero e pacifico. Perchè ovviamente era anche lui un Re e possedeva un regno più grande e potente di tutti i regni dei suoi tre figli messi insieme, e per questo era chiamato “Re Mille”. E come avrai già capito, anche i suoi sudditi si chiamavano Zero, Uno, Due, Tre, Quattro, Cinque, Sei, Sette, Otto e Nove.

Note

Materiale utile per la presentazione:
. i quattro Re del sistema decimale
. tappeto gerarchico
. cartelli dei numeri.

Indicazioni generali
Per questa narrazione è bello usare pupazzi che rappresentano unità, decine, centinaia e migliaia, anche se non ci sono dialoghi, ma è piuttosto il narratore che ne dà una descrizione.
La storia si basa sull’idea di Maria Montessori di creare un parallelo tra valore posizionale dei numeri e gerarchia sociale. Il posto, la posizione di un numero nel sistema decimale corrisponde al suo valore. “…bisognerebbe studiare solo la posizione del numero, la posizione che corrisponde al luogo e non al numero. Ad esempio, nella società c’è un re, un ministro, un governatore, un cittadino comune. Sono tutti uguali come esseri umani; è la posizione sociale che li distingue nel loro valore amministrativo. Così è per ciascuno dei nove numeri, che possono rappresentare numeri modesti o rappresentare milioni: il posto che occupano rivela il loro valore a seconda della loro posizione“. (Maria Montessori, Psicoaritmetica).

La storia dei Re del sistema decimale rientra nella grande cornice della quinta grande lezione, la “Storia dei numeri”.

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Il gioco del mancala

Anche se sembra un gioco semplice, il mancala non è un gioco di fortuna, ma piuttosto di pianificazione strategica, stima e calcolo delle quantità. Nelle versioni di mancala più complesse si inserisce anche l’elemento della velocità, dando un vantaggio a chi ha mente e dita abbastanza agili da superare l’avversario.

Mancala in realtà non è un gioco, ma piuttosto una famiglia di giochi che condividono alcune regole di base che possono variare notevolmente per complessità, tanto da poter essere paragonabili al go asiatico o agli scacchi. In questo articolo parlo del mancala giocato con le regole del kalah (o kalaha), il più adatto ai bambini.

Il mancala è uno dei giochi da tavolo per due giocatori più antichi al mondo. Le tavole mancala più antiche sono state trovate in Giordania in un insediamento neolitico e risalgono al 6000 aC circa, epoca in cui gli uomini stavano iniziando a padroneggiare l’agricoltura e l’allevamento. Antichissime tavole mancala sono state rinvenute in tutta l’Africa e in Iran. La rara scoperta di queste tavole dimostra che il mancala è uno dei giochi più antichi, se non il più antico conosciuto dall’umanità, ma non chiarisce dove e quando abbia avuto origine, considerando che può essere giocato semplicemente scavando buche temporanee nel terreno e utilizzando semi deperibili che non lasciano tracce archeologiche.

Qualunque variante si giochi, due giocatori, distribuiscono le “pedine” (sassi, conchiglie, semi o perfino palline di sterco animale) all’interno di file di fori (case o pozzi) disposti parallelamente, e in ​qualunque cultura si giochi, queste pedine sono chiamate “semi” e il loro movimento da un foro all’altro viene definito “semina”. Questo suggerisce quali potrebbero essere le origini del gioco: piantare semi nel terreno.

Oltre ad essere uno dei giochi più antichi del mondo, è probabilmente anche uno dei più giocati: anche se in Europa è poco conosciuto, è diffusissimo in tutto il continente africano, in Asia e nelle Americhe. In Africa pare ci siano tante varianti di regole di gioco quanti sono i gruppi etnici o addirittura le città.

Il mancala assume in Africa anche significati magici e metaforici. Spesso il tavoliere rappresenta il villaggio, dove ogni buca è una capanna. I semi singoli vengono chiamati donne o vedove, due semi vengono chamati sposi, poi ci possono essere i capi, i bambini, il bestiame, ecc.

Perchè proporre il mancala ai bambini

  • affina la motricità fine e la coordinazione occhio-mano, impegnando i muscoli di tutta la mano
  • permette di esercitare le abilità di conteggio in modo divertente, raccogliendo e distribuendo i semi
  • insegna ad attendere e rispettare i turni
  • permette di esercitare l’abilità di stima di quantità
  • aiuta a sviluppare la capacità di fare previsioni, mettere in atto strategie, il ragionamento astratto ipotetico-deduttivo. Giocare a mancala richiede il conteggio mentale e la previsione del movimento dei semi sul tavoliere
  • stimola le capacità di attenzione e concentrazione
  • porta all’intuizione delle proprietà della moltiplicazione.

Giochiamo a mancala

Come dicevo, la variante di mancala che propongo ai bambini è quella giocata con le regole del kalah.

Il tavoliere può essere acquistato, o meglio può essere costruito con i bambini. E’ composto da due file di sei buche disposte parallelamente. A destra e a sinistra si trovano due buche più grandi, i granai. Il nostro è fatto con fondi di bicchierini di plastica e ciotoline incollate su un rettangolo di cartone. I semi sono soia.

Preparazione
I giocatori siedono uno di fronte all’altro davanti al tavoliere. La fila di buche davanti ad ogni giocatore è la sua, e il suo granaio è quello alla sua destra.
In ogni buca si mettono 4 semi, mentre i granai restano vuoti.

Scopo del gioco
Vince chi al termine della partita ha collezionato il maggior numero di semi nel suo granaio.

Gioco

Il gioco procede in senso antiorario e si gioca a turno.

Semina

Quando è il suo turno, il giocatore prende in mano tutti i semi di una delle sue buche e li distribuisce in senso antiorario nelle buche successive, uno per buca.
Se dopo aver distribuito i semi nelle sue buche e nel suo granaio avanzano semi, può continuare a distribuire i semi nelle buche dell’avversario, uno per buca.
Se dopo aver distribuito i semi nelle sue buche, nel suo granaio e nelle buche dell’avversario avanzano semi, il giocatore continua la distribuzione tornando alle sue buche, ma non può mettere semi nel granaio dell’avversario. In altre parole la distribuzione continua finchè i semi non sono terminati, eventualmente saltando il granaio dell’avversario.

Tocca ancora a te

Se il giocatore riesce a depositare l’ultimo seme nel suo granaio, ha diritto ad un altro turno, può quindi prendere in mano tutti i semi di un’altra delle sue buche e distribuirli in senso antiorario nelle buche successive, uno per buca. Così tutte le volte che riuscirà a mettere l’ultimo seme di un mucchietto nel suo granaio.

Cattura

Se il giocatore riesce a mettere l’ultimo seme del suo mucchietto in una buca vuota della sua fila di buche, catturerà tutte le pietre dell’avversario che si trovano nella buca direttamente di fronte. Metterà quindi nel suo granaio i semi dell’avversario e il suo seme, e il turno passerà all’avversario.

Conclusione

Il gioco termina quando tutte le buche di uno dei due giocatori risultano vuote. Se l’altro giocatore ha ancora dei semi nelle sue buche, restano sue: può quindi prenderle e metterle nel suo granaio.

Un video può chiarire il tutto

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Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE scaricabili e stampabili in formato pdf con presentazioni ed esercizi per bambini della scuola d’infanzia e primaria.

Le tavole della divisione servono al bambino per lavorare con le divisioni i cui dividendi danno almeno una volta quozienti senza resto.

Presentazioni per la tavola forata della divisione qui:

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

La tavola I è quadrettata e contiene 36 dividendi dall’ 81 all’ 1 nella riga superiore. Le caselle dei numeri primi (7 5 3 2 1) sono colorate perchè si tratta di numeri primi.
I divisori da 9 a 1 si trovano disposti lungo il margine sinistro della tavola.
Nei quadretti interni si trovano i quoti.
La tavola I è essenzialmente una tavola di controllo, e può essere usata per verificare le divisioni esatte eseguite con la tavola forata, o quelle eseguite con la tavola II.

La tavola II è identica alla tavola I, ma i quadretti interni sono vuoti. I quoti infatti sono scritti su cartellini quadrati e si conservano in una scatolina separata per eseguire l’esercizio;

in un’altra scatolina ci saranno le 81 divisioni esatte o complete (cioè quelle senza resto) da eseguire.

Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Il materiale pronto per la stampa e il download è a disposizione degli abbonati:

L’uso delle tavole permette ai bambini di ripetere in modo vario le divisioni, facilitando la memorizzazione delle combinazioni. Gli esercizi con le due tavole della divisione, che si propongono ai bambini attorno ai 6 anni, concludono il capitolo sulla memorizzazione delle combinazioni fondamentali.

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Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Presentazione 1 – uso della tavola I come tavola di controllo per le divisioni senza resto

Materiale:
– cartellini delle divisioni da svolgere
– tavola I della divisione.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi dicendo: “Oggi vorrei mostrarti la prima tavola della divisione”
– portiamo il materiale al tavolo
– esaminiamo la tavola I della divisione con i bambini, facendo notare i dividendi:

facciamo anche notare i numeri che si trovano nelle caselle colorate, che sono numeri primi.

I divisori scritti in diagonale sul margine sinistro:

I quozienti:

– scegliamo un cartellino di una divisione  da svolgere (senza resto) ed eseguiamola con la tavola forata


– copiamo la divisione sul quaderno, col quoziente che abbiamo trovato
– con l’indice destro troviamo il dividendo nella riga in alto


– con l’indice sinistro troviamo il divisore lungo la diagonale sinistra


– facciamo scorrere l’indice destro verso il basso e l’indice sinistro verso destra finché non si incontreranno nella casella del quoziente


– in questo modo avremo usato la tavola per verificare il risultato trovato con la tavola forata della divisione
– dopo questo primo controllo, controlliamo anche con la tavola di controllo I

– ripetiamo altre due volte, poi invitiamo il bambino a provare ad usare le sue dita per trovare i quozienti, e poi a verificare con la tavola di controllo.

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Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Presentazione 2
Uso della tavola I con la tavola II

Materiale:
– tavola della divisione I
– tavola della divisione II completa di cartellini dei quoti e cartellini delle divisioni senza resto da svolgere

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi dicendo: “Oggi vorrei mostrarti la seconda tavola della divisione”
– portiamo al tavolo le due tavole, la scatola coi cartellini dei quoti (o tombolini) e la scatola con le divisioni da svolgere
– esaminiamo la tavola II che è uguale alla tavola I, ma le caselle interne sono vuote
– smistiamo i quoti e impiliamoli in 9 gruppi da 1 a 9
– il bambino prende un’operazione dal cestino e la trascrive sul quaderno
– individua sulla tavola I i termini della divisione, ricercandone il risultato
– individua i termini della divisione sulla tavola II e vi colloca il cartellino appropriato.

In un secondo tempo il bambino potrà calcolare il risultato mentalmente, senza cercarlo sulla tavola I, ed usarla invece solo come tavola di controllo.

Maria Montessori ricorda sempre di richiamare l’attenzione del bambino sui dividendi che si trovano nelle caselle colorate delle due tavole, per dare una prima intuizione del concetto di numero primo.

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Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Presentazione 3
Uso della tavola I con la tavola II

Materiale:
– tavola della divisione I
– tavola della divisione II completa di cartellini dei quoti e cartellini delle divisioni senza resto da svolgere

Presentazione:
– portiamo al tavolo le due tavole, la scatola coi cartellini dei quoti (o tombolini) e la scatola con le divisioni da svolgere
– smistiamo i quoti e impiliamoli in 9 gruppi di 9 quoti uguali ciascuno


– il bambino prende un’operazione dal cestino e la trascrive sul quaderno
– individua sulla tavola I i termini della divisione, ricercandone il risultato
– individua i termini della divisione sulla tavola II e vi colloca il cartellino appropriato.

In un secondo tempo il bambino potrà calcolare il risultato mentalmente, senza cercarlo sulla tavola I, ed usarla invece solo come tavola di controllo. Questo permetterà di passare dal concetto di divisore di un numero ai numeri primi, preparando indirettamente alla ricerca di massimo comune divisore e minimo comune multiplo.

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Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Presentazione 3
Uso della tavola I come tavola di controllo col libretto delle divisioni
(anche per divisioni con resto)

Materiale:
– tavola forata per la divisione
– libretto delle divisioni

Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Il materiale pronto per la stampa e il download è a disposizione degli abbonati:

– tavola I della divisione

Presentazione:
– esaminiamo il libretto coi bambini
– scegliamo un dividendo
– stabiliamo il dividendo contando le perle e mettendole nella ciotola

– leggiamo la prima divisione, ad esempio 5:5=. Mettiamo sulla tavola i 5 birilli che rappresentano il divisore  le perle tra i birilli
– sotto a ogni birillo c’è una perla, quindi possiamo registrare il quoziente 1 sul libretto. Nella ciotola non avanzano perle, quindi il resto è 0. Ricordiamo al bambino che sottolineiamo sempre le divisioni senza resto nel nostro libretto
– rimettiamo le perle nella ciotola

– leggiamo la divisione successiva: 5:4=
– togliamo un birillo e distribuiamo le 5 tra i 4 birilli. Ogni birillo riceve una perla e ne avanza una nella ciotola.
– registriam0: 5:4=1 resto:1

– procediamo con le restanti divisioni presenti sulla pagina


– controlliamo sulla tavola della divisione I, dove troveremo i quozienti senza resto

Con questo procedimento il bambino può trovare sulla tavola I i risultato delle divisioni senza resto.

Per le 120 divisioni con “quoziente incompleto” che si trovano nel libretto possiamo usare la tavola I per calcolare quoziente e resto.
Queste combinazioni vanno da 64:9 a 3:2

Poiché la casella che si trova nel punto di incontro del dividendo verticale col divisore orizzontale è una casella vuota, il bambino cercherà il quoziente sulla stessa riga nella prima casella successiva in cui compare un numero: quello sarà il quoziente. Facendo l’esempio della pagina del 5, per cercare il risultato di 5:2 sulla tavola avremo 5:2=2

Per calcolare il resto basterà sottrarre al dividendo della nostra divisione il dividendo che corrisponde alla prima casella occupata che abbiamo usato come quoziente. Nel nostro esempio 5:2=2; resto = (5-4) 1

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Matematica Montessori LE TAVOLE DELLA DIVISIONE

Tavole della divisione

Scopo:
– memorizzare le combinazioni delle divisioni
– acquisire familiarità con i modi in cui i numeri possono essere divisi
– sperimentare a livello sensoriale la relazione inversa tra divisione e moltiplicazione
– preparare il bambino a trovare il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo.

Controllo dell’errore:
– la tavola di controllo
– la tavola I della divisione.

Età:
– dai 6 anni.

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Psicoaritmetica Montessori – Perle dorate: formazione dei grandi numeri

Psicoaritmetica Montessori – Perle dorate: formazione dei grandi numeri. Un esercizio che si fa coi bambini utilizzando perle dorate e cartelli dei numeri consiste nella composizione di grandi numeri. Tutte le esperienze sul sistema decimale qui illustrate si possono riferire ad un’età compresa tra i 4 ed i 5 anni. Per le presentazioni ho utilizzato le mie perle auto prodotte (trovi il tutorial qui),

Perle dorate Montessori: presentazione e tutorial per costruirle in proprio

i cartelli stampabili Lapappadolce e i cartelli prodotti da Montessori 3D di Boboto.
Trovi altri esercizi e presentazioni relative alla formazione di grandi numeri qui:

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi con le perle dorate e i cartelli dei numeri

Quando vogliamo leggere un numero, ad esempio 32.457.891, lo dividiamo in gruppi formati da tre elementi alla volta (centinaia, decine ed unità) a partire da destra, ed in questo modo leggere il numero diventa molto semplice:

“trentadue milioni, quattrocento cinquanta sette mila, ottocento novantuno.”


Presentazione coi cartelli dei numeri per formare i numeri da 1 a 9999

Materiale:
– il set completo dei cartelli dei numeri.

Presentazione:
invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio
– chiediamogli di srotolare un tappeto e andiamo allo scaffale a prendere il vassoio con la scatola dei cartelli dei numeri
– mettiamo la scatola dei cartelli sul tappeto in basso, davanti a noi
– mettiamo il materiale sul tappeto e disponiamolo secondo le gerarchie: unità a destra dall’1 al 9, decine a sinistra delle unità dall’1 al 9, poi centinaia e infine migliaia. Mentre mettiamo ogni cartello leggiamo il numero in questo modo: “Una unità, uno… 9 unità, nove. Incoraggiamo il bambino a contare con noi
– arrivati a 9 chiediamo: “Cosa viene dopo il 9?” Il bambino risponde e cominciamo a comporre la colonna delle decine. Continuiamo a contare col bambino:  … 4 decine, quaranta… 7 centinaia, settecento… 9 migliaia, novemila. Chiediamo al bambino: “Quale numero viene dopo?” arrivati a 90 e a 900. Incoraggiamo sempre il bambino a contare con  noi


– osserviamo lo schema e leggiamo col bambino i numeri 1, 10, 100 e 1000 facendo notare ai bambini quanti zeri ha ognuno. Possiamo continuare a leggere anche le altre righe, sempre da destra a sinistra
– indichiamo un cartello al bambino, leggiamo insieme il numero e notiamo quanti zeri ha
– per verificare che il bambino abbia chiaro lo schema possiamo mescolare i cartelli e chiedere al bambino di ricomporli in colonne per unità, decine, centinaia e migliaia
– quando lo schema è composto scegliamo due cartelli presi da gerarchie adiacenti (unità e decine, decine e centinaia, centinaia e migliaia)
– mettiamo il cartello delle unità sul cartello della decina, allineato a sinistra
– facciamo scivolare il cartello dell’unità verso destra, orizzontalmente o meglio mettendo i cartelli in verticale di modo che il più corto scivoli verso il basso,  a coprire lo zero delle decine (se preferite in modo che i cartelli siano allineati lungo il bordo destro)


– posiamo il numero sul tappeto e leggiamolo dicendo: “Quattro decine e due unità”
– chiediamo al bambino di ripetere con noi
– leggiamo nuovamente il numero, ma questa volta dicendo: “Quarantadue”
– chiediamo al bambino di rimettere i cartelli nello schema
– continuiamo con altri cartelli scelti tra gerarchie adiacenti, poi passiamo a tre, sempre seguendo la stessa procedura

– infine usiamo le quattro gerarchie


– rimettere i cartelli correttamente all’interno dello schema
– rimettere i cartelli nella loro scatola
– rimettere la scatola sul vassoio
– riportare la scatola sullo scaffale.

Scopo:
– rinforzare il concetto di gerarchie dei numeri nel sistema decimale
– rinforzare ed esercitare la capacità di lettura dei numeri da 1 a 9999, che il bambino sa già comporre per quantità di perle dorate
– dare una visione globale dei numeri all’interno del sistema decimale ai bambini
– comprendere che è la posizione di un numero a determinarne il valore: i numeri sono soltanto 9 in tutto, ed è lo zero a determinare la loro posizione e quindi il loro valore
– comprendere che lo zero all’interno di un grande numero, in qualsiasi posizione, indica semplicemente la mancanza di quantità di quella particolare gerarchia: ad esempio nel numero 5407 mancano le decine.

Età:
– dai 4 anni e mezzo.

Controllo dell’errore: l’insegnante. Coi soli cartelli dei numeri non è possibile verificare la correttezza della composizione. Per farlo occorre lavorare coi cartelli dei numeri e le perle dorate insieme.

Varianti:
– possiamo eseguire questa presentazione coinvolgendo un gruppo di bambini (3 o 4).

Presentazione con le perle dorate e i cartelli

Per prima cosa poniamo sul tappeto il materiale in questo ordine, formando il “quadro del sistema decimale“:

Non si tratta di contare, ma di portare l’attenzione del bambino sul concetto che in ogni gerarchia esistono unicamente 9 cifre che non possono essere rappresentate semplicemente dai numeri 1 2 3 4 5 6 7 8 9, dal momento che essi indicano soltanto unità semplici; in altre parole possiamo dire che le cifre significative sono sempre e soltanto nove:

Con i bambini proporremo i primi esercizi utilizzando un solo cubo delle migliaia, cioè formando grandi numeri entro il 1999. Potremo così proporre molti esercizi di associazione tra cartelli dei numeri e perle dorate (cioè tra simbolo e quantità).

Naturalmente lavoreremo prima all’associazione di un solo cartello dei numeri, ad esempio 600, 8, ecc…

Quando poi il bambino avrà acquisito familiarità con le categorie separate, possiamo passare a consegnargli contemporaneamente due o più cartelli di differenti gerarchie, ad esempio 1000 400 50 8,

chiedendogli di portare la quantità corrispondente a ciascun cartello.

Poi possiamo mostrargli come avviene la formazione di un grande numero: sul cartello più lungo collochiamo via via quelli più corti, allineandoli prima sulla sinistra

e facendoli scorrere poi verso destra

Alla fine, leggeremo al bambino: mille-quattrocento-cinquant-otto.

Un altro esercizio consiste nel dire un numero, ad esempio ottocentoquarantasette, ed il bambino dovrà scegliere dal quadro del sistema decimale le quantità corrispondenti, cioè 8 quadrati di perle, 4 bastoncini e 7 perle sciolte.

Per quanto riguarda i cartelli dei numeri, la scelta sarà per il bambino ancora più semplice. Se poi si sovrappongono i cartelli 800 40 e 7

 si avrà il  numero: 847

I bambini, in questo modo, si esercitano nella composizione e scomposizione di grandi numeri, sia per quanto riguarda le quantità, sia per quanto riguarda i loro simboli numerici. I numeri si scompongono separando le migliaia, le centinaia, le decine e le unità: ogni grande numero è una somma di gruppi, ciascuno dei quali è rappresentato dalle cifre che stanno una accanto all’altra.

Questa, ad esempio, la composizione del numero 1235 con il materiale:

e questa con i cartelli dei numeri:

Si può iniziare a giocare coi grandi numeri molto presto: i bambini ne saranno entusiasti. Il fatto di poter comporre e analizzare i numeri muovendo oggetti stimola la ripetizione. Presentato nel suo insieme, il sistema decimale è una specie di trama fondamentale sulla quale si sviluppano un po’ per volta i dettagli che chiariscono e facilitano, ogni volta un po’ di più, il suo studio.

L’esercizio della “visione a volo d’uccello del sistema decimale“, ad esempio, consiste nell’appaiare a ciascuno dei cartelli dei numeri la corrispondente quantità di perle. Questo risponde al principio di globalità, un punto fondamentale della didattica montessoriana che consiste nel cominciare sempre, al ogni livello, dalla presentazione di una situazione generale, precisando poi i dettagli.

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi con le perle dorate e i cartelli dei numeri

Lo studio dei dettagli può essere condotto con più dettagli contemporaneamente. Una sistematizzazione non è necessaria, mentre è necessario studiare “tutti” i dettagli. Gli esercizi coi dettagli che si riferiscono al sistema decimale non hanno necessità di precedenza, essendo già guidati da un insieme prestabilito. La Montessori chiama questi esercizi “esercizi paralleli“, e si tratta di giochi che vanno dalle tavole di Seguin, alle catene di 100 e di 1000, al serpente dell’addizione, ai vari giochi per le operazioni aritmetiche…

Presentazione 1

(trovi altri esercizi qui)

Materiale:
1 perla delle unità,
1 barretta delle decine,
1 quadrato delle centinaia,
1 cubo delle migliaia;
i cartelli dei numeri 1 10 100 e 1000.

Scopo:
– appaiare le quantità di perle ai relativi simboli numerici

Presentazione:
Portare la scatola dei cartelli grandi dei numeri sul tappeto, e mettere sul tappeto i cartelli 1 10 100 e 1000. Posizionare i cartelli uno sotto l’altro, facendoli nominare dal bambino.

Portare al tavolo la quantità di perle corrispondente,

quindi comporre il numero 1111.

Presentazione 2 (esercizio di gruppo per due o tre bambini)

Materiale: 9 perle delle unità, 9 barrette delle decine, 9 quadrati delle centinaia, 1 cubo delle migliaia; il set completo dei cartelli grandi dei numeri (senza i cartelli dal 2000 al 9000); un vassoio vuoto per ognuno dei bambini partecipanti e due tappeti

Scopo dell’esercizio: esercitarsi ed acquisire familiarità con le diverse categorie di numeri, soprattutto per quanto riguarda la lettura dei simboli scritti; imparare a leggere correttamente i grandi numeri; preparazione al lavoro con il valore posizionale delle cifre.

Esercizio:

Stendere i due tappeti sul pavimento e disporre con l’aiuto dei bambini in uno i cartelli dei numeri e nell’altro le perle dorate, in questo modo:

contando il materiale via via che viene disposto.

(in questa prima fase sarà sufficiente disporre solo il cartello del 1000, in relazione al solo cubo delle migliaia presente)

Ogni bambino riceve un vassoio con una ciotolina per contenere le unità

mettiamo sul vassoio di ogni bambino un cartello diverso,

e chiediamo loro di identificarlo e di portarci la quantità di perle corrispondente.

Quando il bambino torna, si legge la carta e si contano insieme le perle che ha portato. Quindi si rimettono al loro posto sia le perle, sia il numero.

Dopo un po’ di esercizi con una sola categoria, possiamo passare a mettere due cartelli diversi sui vassoi, relativi a due categorie adiacenti.

Mostriamo sempre al bambino, dopo che ci ha portato il corrispondente quantitativo di perle, come sovrapporre  i due cartelli e come leggere il numero formato,

dicendo ad esempio: “quattro decine e sei unità… quarantasei”.

Passeremo poi ad utilizzare tre, ed infine quattro categorie.

Presentazione 3 (esercizio di gruppo)

Materiali:
– il set completo delle perle dorate (9 elementi per categoria),
– il set completo dei cartelli grandi dei numeri,
– un vassoio per ogni bambino partecipante,
– tre tappeti e un vassoio

Scopo dell’esercizio:
– combinare i simboli scritti con le quantità corrispondenti
– familiarizzare con le diverse categorie di numeri, soprattutto per quanto riguarda la lettura dei simboli
– esercitare la composizione, scomposizione e la lettura dei grandi numeri
– comprendere il valore posizionale delle cifre all’interno di un numero.

Esercizio:
Allestiamo i tre tappeti, con l’aiuto dei bambini, in questo modo:

Come nella presentazione precedente, scegliamo un cartello e diamolo al bambino, perchè possa metterlo sul suo vassoio e chiediamogli di andare a prendere la quantità di perle corrispondenti.

Contiamo insieme a lui, mentre trasferisce il materiale scelto dal suo vassoio al tappeto piccolo. Terminato il controllo, chiediamo al bambino di rimettere tutto il materiale a posto, quindi ripetiamo l’esercizio con un altro cartello dei numeri. Ripetiamo questi esercizi almeno un paio di volte.

Quando il bambino esegue con sicurezza l’esercizio, possiamo iniziare a dare al bambino due cartelli dei numeri alla volta, ad esempio 50 e 4.

In fase di controllo, sul tappeto piccolo, chiamiamo sempre il numero formato dai due cartelli: ” 5 decine e 4 unità… Cinquantaquattro”.

Ripetiamo l’esercizio con numeri diversi, poi inseriamo prima anche le centinaia, ed infine anche le migliaia.

Ripetiamo gli esercizi anche invertendoli, cioè dando al bambino una certa quantità di perle, e chiedendogli di portarci i cartelli dei numeri corrispondenti.

Presentazione 4

Materiali:
– il set completo delle perle dorate (9 elementi per categoria),
– il set completo dei cartelli grandi dei numeri,
– un vassoio per ogni bambino partecipante,
– tre tappeti e un vassoio.

Scopo dell’esercizio:
– combinare i simboli scritti con le quantità corrispondenti;
– familiarizzare con le diverse categorie di numeri, soprattutto per quanto riguarda la lettura dei simboli;
– esercitare la composizione, scomposizione e la lettura dei grandi numeri;
– comprendere il valore posizionale delle cifre all’interno di un numero;
– comprendere che, siccome i grandi numeri sono composti da più categorie, lo zero mostra semplicemente un posto vuoto, cioè che mancano elementi di una o più categorie (ad esempio che nel 1304 mancano le decine).

Esercizio:
Allestiamo i tre tappeti, con l’aiuto dei bambini, in questo modo:

 

Prepariamo una cifra coi cartelli dei numeri per ogni bambino, all’inizio utilizzando categorie adiacenti, ad esempio 1436…

Chiediamo ad ogni bambino di portarci le perle corrispondenti alla cifra assegnata, e di trasferire correttamente il materiale sul tappeto, ordinando correttamente sia le perle, sia i cartelli dei numeri.

Mostriamo sempre come posizionare correttamente i cartelli dei numeri.

Per farlo il bambino dovrà sovrapporre i cartelli uno sull’altro sul margine destro

raccogliere le carte, ruotarle in verticale e far scorrere tutti i cartelli sul margine sinistro e poi verso il basso sul lato inferiore

quindi posare il numero composto correttamente sul tappeto.

Leggere sempre il numero: “1 migliaio, 4 centinaia, 2 decine e 6 unità… mille quattrocento venti sei”

Chiedere al bambino di rimettere tutto il materiale al suo posto prima di ripetere l’esercizio anche invertito (cioè preparando un certo quantitativo di perle dorate, e chiedendogli di portarci i cartelli dei numeri corrispondenti e chiedendogli di comporre correttamente la cifra).

Quando i bambini si muovono con sicurezza, passiamo a preparare per loro cifre composte da categorie non adiacenti, chiedendo loro di portarci la quantità di perle corrispondente; ad esempio 2034:  lo zero mostra semplicemente un posto vuoto, cioè che mancano elementi di una o più categorie ( in questo caso mancheranno le centinaia).

Ripetiamo gli esercizi invertendo le azioni, cioè preparando una certa quantità di perle dorate (ad esempio 1036) nella quale manchino uno o più categorie, e chiedendo al bambino di portarci i cartelli dei numeri corrispondenti e di comporre correttamente la cifra.

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Esercizi con le barrette di perle colorate Montessori e i cartelli dei numeri

Esercizi con le barrette di perle colorate Montessori e i cartelli dei numeri. Una raccolta di esercizi per aiutare il bambino a memorizzare i numeri ed abbinarli alle relative quantità. Per le presentazioni ho utilizzato i cartelli stampabili e le perle prodotte in proprio Lapappadolce, e i cartelli prodotti da Montessori 3D di Boboto.

Trovi il tutorial per preparare il materiale in proprio qui:

Costruire il materiale delle perle colorate Montessori

e qui poi, se desideri, scaricare e stampare gratuitamente il materiale in formato “virtuale”:

Perle colorate Montessori – download

 

Sfogliando la Guida didattica puoi trovare molti altri esercizi e giochi che utilizzano le perle colorate.

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Esercizio 

Per familiarizzare con le barrette colorate, si danno al bambino le schede dei numeri da 1 a 9.

Il bambino mette le carte in ordine crescente sul tavolo, e poi su ogni carta pone la barretta colorata corrispondente alla cifra.

Il materiale deve essere riposto in un luogo accessibile, in modo che il bambino possa prenderlo ogni volta che lo desidera.

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Psicoaritmetica Montessori – Esercizi con le perle dorate e i cartelli dei numeri

Psicoaritmetica Montessori  – Esercizi con le perle dorate e i cartelli dei numeri per bambini della scuola d’infanzia. Dopo aver lavorato col materiale dei cartelli dei numeri

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri

e con quello delle perle dorate,

Le perle dorate Montessori e il sistema decimale

approfondiamo la conoscenza del sistema decimale con questi esercizi.

Trovi altre indicazioni teoriche e presentazioni relative a questa attività qui: formazione dei grandi numeri

Psicoaritmetica Montessori – Perle dorate: formazione dei grandi numeri

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Presentazione 1 

Materiale:
– 9 perle delle unità,
– 9 barrette delle decine,
– 9 quadrati delle centinaia
– 9 cubi delle migliaia
– il set completo dei cartelli grandi dei numeri
– tre tappeti e un vassoio.

Scopo dell’esercizio:
– dare una visione generale del sistema decimale;
– lavorare al concetto base per cui, arrivati al nove, in qualsiasi gerarchia, si passa all’uno della gerarchia immediatamente superiore.

Esercizio:

Disponiamo su due tappeti separati tutto il materiale delle perle dorate e tutto il materiale dei cartelli grandi dei numeri, in questo modo:

Prepariamo un certo quantitativo di perle sul terzo tappetino, ad esempio 3158

quindi chiediamo al bambino: “Riesci a trovare il numero che indica queste perle?”

Il bambino va al tappeto e compone il  numero sul vassoio, quindi ce lo porta.

Controlliamo insieme la corrispondenza tra la cifra e le perle, quindi il bambino riordina i cartelli dei numeri, e noi possiamo preparare un secondo quantitativo di perle

Presentazione 2 

Materiale:
– 9 perle delle unità
– 9 barrette delle decine
– 9 quadrati delle centinaia
– 9 cubi delle migliaia
– il set completo dei cartelli grandi dei numeri
– tre tappeti e due vassoi (uno piccolo per i cartelli dei numeri e uno più grande per le perle dorate)

Scopo dell’esercizio:
– dare una visione generale del sistema decimale
– lavorare al concetto base per cui, arrivati al nove, in qualsiasi gerarchia, si passa all’uno della gerarchia immediatamente superiore.

Esercizio:

Disponiamo su due tappeti separati tutto il materiale delle perle dorate e tutto il materiale dei cartelli grandi dei numeri, in questo modo:

prepariamo sul terzo tappetino una certa cifra utilizzando i cartelli dei numeri, ad esempio 6524

quindi chiediamo al bambino:  “Riesci a trovare le perle che corrispondono a questo numero?” Il bambino va al tappeto e raccoglie le perle richieste sul vassoio, quindi le porta sul tappeto.

Controlliamo la quantità insieme al bambino,

quindi mentre il bambino riordina le perle, possiamo preparare per lui una seconda cifra coi cartelli dei numeri.

Presentazione 3

Visione “a volo d’uccello” del sistema decimale

Materiale: 45 perle delle unità, 45 barrette delle decine, 45 quadrati delle centinaia e 45 cubi delle migliaia; il set completo dei cartelli grandi dei numeri; 9 piccoli contenitori per le unità (facoltativi)

Il gioco può essere condotto anche più semplicemente con 45 perle delle unità, 45 barrette delle decine, 45 quadrati delle centinaia e un solo cubo delle migliaia e il set completo dei cartelli dei numeri (togliendo i cartelli da 2000 a 9000)

Scopo dell’esercizio: rafforzamento degli esercizi precedenti con le perle dorate e i cartelli dei numeri; fare pratica nell’organizzare le quantità ed i numeri; offrire al bambino una visione globale del sistema decimale, sia per quantità sia per i rispettivi simboli numerici.

Esercizio:

Disponiamo i nove contenitori per le unità lungo il lato destro del tappeto

e  i cartelli dei numeri delle unità in ordine sparso

Apriamo la piccola scatolina che contiene le 45 perle delle unità. Prendiamo dalla scatolina una perla e poniamola nel primo contenitore in alto a destra, contando ad alta voce: “Uno”

e chiediamo al bambino di trovare il cartello del numero corrispondente, che andrà posto a sinistra del contenitore.

Continuare allo stesso modo fino a completare l’intera serie delle unità da 1 a 9.

Arrivati al nove, naturalmente, possiamo ricordare al bambino che se avessimo una perla in più, le perle sarebbero 10, quindi passiamo alla serie delle barrette delle decine,

operando come abbiamo fatto con le unità, fino ad arrivare al 90.

Procediamo allo stesso modo con i quadrati delle centinaia

e con i cubi delle migliaia.

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Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri per bambini della scuola d’infanzia. Per le presentazioni ho utilizzato i cartelli stampabili Lapappadolce e i cartelli prodotti da Montessori 3D di Boboto.

Il materiale a disposizione dei bambini per comprendere il sistema decimale è triplice, essendo costituito di oggetti, numeri e parole. Gli oggetti sono le perle, mentre per i numeri ed i loro nomi abbiamo molti materiali, tra i quali i cartelli dei numeri.

Si tratta di una serie di cartelli, le cui dimensioni sono proporzionali alle gerarchie dei numeri e i cui colori sono i seguenti:
– verde per la serie da 1 a 9 e da 1000 a 9000


– blu per la serie da 10 a 90


– rosso per la serie da 100 a 900.

I cartelli per le nove unità sono uguali tra loro, e simili a quelli usati per la prima numerazione con le aste numeriche.
I cartelli per le nove decine sono di grandezza doppia, perchè necessitano di spazio per contenere lo zero.
I cartelli per le centinaia hanno una lunghezza tripla di quelli delle unità per lasciar spazio per due zeri.


I cartelli per le migliaia, che hanno bisogno di uno spazio per tre zeri, hanno una lunghezza quadrupla di quelli delle unità.

Di seguito trovate qualche esercizio che è possibile fare con i bambini utilizzando i cartelli dei numeri, in preparazione del loro utilizzo con le perle dorate:

Le perle dorate Montessori e il sistema decimale

Potere scaricare e stampare i cartelli dei numeri qui:

Cartelli dei numeri Montessori

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri
Presentazione 1

Materiale: i cartelli grandi dei numeri 1, 10, 100 e 1000

Età: dai quattro ai cinque anni

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri
Lezione in tre tempi

Primo tempo:  Poniamo sul tavolo, di lato, i cartelli dei numeri, in questo modo:

Mostriamo al bambino la carta dell’unità ripetendo più volte il nome del numero: “Uno… uno… Questo è il nostro modo di scrivere uno”

Sostituiamo con il numero 10, nominandolo più volte e facendolo ripetere al bambino.

Sostituiamo quindi col cartello del 100

e infine col cartello del 1000. “Questo è il modo in cui scriviamo un centinaio.” Lei poi lo mette al suo fianco e mostra al bambino la carta “1000” e dice: “Questo è il modo in cui scriviamo mille.”

Secondo tempo: disponiamo le carte davanti al bambino in ordine casuale, e chiediamo: “Indicami il cento”, “Qual è il mille?”, Mostrami il dieci”, ecc… Ripetiamo più volte, cambiando di tanto in tanto l’ordine dei cartelli.

Terzo tempo: quando il bambino ha compreso l’esercizio e lo esegue facilmente e senza errori, poniamo i cartelli dei numeri a un lato del tavolo,  fuori dalla vista del bambino. Poniamo un numero davanti al bambino e chiediamogli di dircene il nome:  “Che numero è questo?”. Il bambino risponde. Rimettiamo a lato il numero, e proponiamogli via via gli altri.

Ricapitolazione: al termine della lezione, mettiamo tutti i cartelli a lato del tavolo. Quindi mettiamo il 1000 davanti al bambino e diciamo: “Oggi abbiamo imparato che questo è modo di scrivere mille”. Poi sostituiamo col cartello del 100 e diciamo “Questo è il modo di scrivere cento”, e continuiamo così con il cartello del dieci e quello dell’uno.

Infine prendiamo uno alla volta i cartelli dei numeri a partire dal 1000, sovrapponendoli e dicendo : “Mille, cento, dieci, uno.”, e sovrapponendoli così:

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Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri
Presentazione 2

Materiale: il set completo dei cartelli grandi dei numeri

Età: a partire dai quattro anni

Scopo dell’esercizio:  comprendere che ogni volta che viene raggiunto il nove, si passa all’uno della gerarchia immediatamente superiore; saper leggere i simboli scritti

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri
Esercizio:

Portiamo il materiale al tavolo del bambino e sediamoci accanto a lui. Prendiamo una alla volta i cartelli delle unità, e chiediamo al bambino di nominarle.

Poniamo sul tavolo l’1 in alto a destra, e le unità successive in una colonna verticale, una sotto l’altra, fino al 9.

Prendiamo quindi i cartelli delle decine, a partire dal 10.

Poniamo il 10 a sinistra dell’1, parallelo ad esso.

Il bambino nomina una ad una le decine, che vengono disposte in ordine sotto al 10. (I nomi venti, trenta, fino a novanta verranno insegnate in una lezione successiva. In questo esercizio diremo semplicemente una decina, due decine, nove decine…)

Prendiamo poi i cartelli delle centinaia. Poniamo il 100 a sinistra del 10, parallelo ad esso. Formiamo la colonna delle centinaia, mentre il bambino  nomina i vari cartelli: “100, 200, 900 …”.

Infine prendiamo i cartelli delle migliaia. Poniamo il cartello del 1000 a sinistra del 100 e parallelo ad esso. Disponiamo quindi la colonna delle migliaia successive, mentre il bambino le nomina: “Mille, duemila…novemila…”.

Osserviamo il risultato insieme al bambino. Abbiamo una chiara impressione visiva della successione dei numeri da 1 a 9 per ognuna delle gerarchie. E’ bene ripetere questo esercizio per più giorni successivi. Teniamo quindi il materiale sullo scaffale, a disposizione del bambino.

Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri
Presentazione 3 (un gioco di gruppo)

Materiale: il set completo dei cartelli grandi dei numeri, un vassoio

Materiale: il set completo dei cartelli grandi dei numeri, un vassoio

Età: a partire dai 4 anni e mezzo

Scopo dell’esercizio: fare pratica nella composizione e nella lettura dei numeri da 1 a 9999.

Esercizio: si tratta di un esercizio che può essere condotto da un gruppo di 3 – 5 bambini.

Disponiamo con l’aiuto dei bambini tutti i cartelli dei numeri sul tappeto, in questo modo:

I bambini staranno sul lato del tappeto che consente loro di vedere sempre i cartelli dal verso giusto, mentre noi possiamo metterci sul lato opposto.

Mettiamo un cartello sul vassoio, e chiediamo: “Chi sa di che numero si tratta?” I bambini rispondono. Rimettiamo quindi il cartello al suo posto e mettiamone via via altri. In questa prima fase metteremo sul vassoio un solo cartello alla volta.

Nei giorni successivi possiamo anche invertire l’esercizio, e chiedere ai bambini di mettere sul vassoio una certa cifra, dicendo ad esempio: “Chi vuole mettere mettere 300 sul vassoio?” “Chi vuole trovare il 6000?” ecc…

E’ importate fare molti di questi esercizi, per un certo periodo di tempo. Quando i bambini riescono facilmente a riconoscere le cifre, possiamo comporre numeri formati da due, tre, quattro gerarchie differenti, ed i bambini impareranno a leggerli.

Ad esempio potremo preparare sul vassoio il numero 3800.

Se i bambini mostrano qualche difficoltà, all’inizio, possiamo separare i due cartelli ponendoli in colonna uno sotto l’altro,dicendo: “Questo è tremila, e questo è ottocento”

e poi sovrapporli nuovamente, dicendo: “Così li mettiamo insieme per fare il tremilaottocento”.

Ripetiamo l’esercizio nei giorni successivi, aumentando gradualmente la complessità, finchè i bambini non saranno in grado di leggere e comporre qualsiasi numero da 1 a 9999.

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Psicoaritmetica Montessori – Esercizi coi cartelli dei numeri

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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri per bambini della scuola d’infanzia e primaria. Le perle fotografate nelle presentazioni sono di Montessori 3D di Boboto.

Il materiale dello scaffale delle perle colorate comprende, per ciascuno dei dieci numeri:
– il bastoncino che lo rappresenta (prima potenza);
– tanti quadrati del numero quante sono le unità costituenti la base (seconda potenza),
– un cubo formato di tanti quadrati quante sono le unità costituenti la base (terza potenza);
– una catena fatta di tante perle quante sono quelle del quadrato, in cui risultano distinti i diversi bastoncini costituenti il quadrato
– una catena corrispondente al cubo: in essa si distinguono le catene dei quadrati e, nell’ambito di queste ultime, i bastoncini rappresentanti le basi.

Per saperne di più:
– presentazione generale dello scaffale delle perle colorate
– catena del 100
– catena del 1000
– catene dei quadrati dei numeri (o catene corte)
– catene dei cubi dei numeri (o catene lunghe).

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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività 1 – forme geometriche con le catene corte

Materiale:
– catene corte
– tappeto.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Descrizione dell’attività:
– mettiamo le catene corte sul tappeto
– prendiamo la catena del tre e formiamo il triangolo
– chiediamo al bambino di identificare la forma
– proseguiamo in ordine con le altre catene, componendole in fila sul tappeto; possiamo anche chiedere al bambino di prevedere la forma successiva prima di comporla.

Età: dai 4 anni.

Scopo: oltre a familiarizzare con le catene corte dello scaffale, il bambino impara che c’è un collegamento tra i numeri e la geometria. Rinforza inoltre la nomenclatura relativa alle forme geometriche.

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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività 2 – forme geometriche concentriche con le catene corte

Materiali:
– catene corte
– tappeto.

Descrizione dell’attività:
– con la catena del 3 formiamo sul tappeto il triangolo, poi con la catena del 4 costruiamo in quadrato attorno al triangolo e proseguiamo così con tutte le altre catene. Ogni volta verbalizziamo quello che abbiamo fatto dicendo, ad esempio: “Il triangolo è inscritto nel quadrato”, “Il quadrato circoscrive il triangolo ed è inscritto nel pentagono” e così via.

Età: dai 4 anni.

Scopo: oltre a familiarizzare con le catene corte dello scaffale, il bambino impara che c’è un collegamento tra i numeri e la geometria. Rinforza inoltre la nomenclatura relativa alle forme geometriche.

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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività 3 – esplorazione del quadrato

Materiale:
– cartellini in bianco e matita
– catene corte di ogni numero
– quadrati di ogni numero.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Descrizione dell’attività:
– prendiamo ad esempio la catena corta del 5, distendiamola sul tappeto, quindi ripieghiamola in modo da formare il quadrato. Chiediamo: “Che cosa abbiamo fatto?”. Il bambino risponderà: “Un quadrato”
– indichiamo la base del quadrato e diciamo: “Per base abbiamo cinque perle”. Scriviamo su un cartellino 5
– indichiamo il lato e diciamo: “Per lato abbiamo 5 perle”. Scriviamo 5 su un altro cartellino

– diciamo: “Questa forma è un quadrato, possiamo verificarlo confrontandolo col quadrato del 5”
– compariamo la catena ripiegata col quadrato del 5
– diciamo: “Quando parliamo di questo quadrato possiamo dire che si tratta di cinque per cinque volte, che formano il quadrato del cinque. In matematica per scrivere cinque al quadrato facciamo così”

– prendiamo un terzo cartellino e scriviamo 5² dicendo: “Prima si scrive 5, e poi 2 in alto e a destra del numero”
– diciamo: “Ora siamo in grado di dire che cinque preso cinque volte mi dà cinque alla seconda”
– scriviamo su due cartellini i segni dell’operazione e componiamo 5 x 5 = 5²


– continuiamo allo stesso modo con altre catene.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività 4 – esplorazione del quadrato

Materiale:
– cartellini bianchi e matita
– catene corte
– quadrati dei numeri.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Descrizione dell’attività:
– mettiamo la catena del quadrato dell’1 sul tappeto, a sinistra, e chiediamo: “Cosa abbiamo qui? Abbiamo 1 preso 1 volta”. Scriviamo su un cartellino 1 x 1. Diciamo: “Il risultato dell’operazione è 1²”. Scriviamo 1² su un cartellino ed affianchiamolo al primo.  Chiediamo: “Qual è il suo valore? Il suo valore è 1”. Scriviamo 1 su un altro cartellino e affianchiamolo al secondo

mettiamo la catena corta del 2 sotto alla prima e ripieghiamola. Diciamo: “Qui abbiamo 2 preso 2 volte”. Scriviamo 2 x 2. Diciamo: “Si tratta del quadrato del 2, cioè due al quadrato, che si scrive così”. Scriviamo 2² su un altro cartellino. Chiediamo: “Qual è il valore di 2². Il valore è 4”. Scriviamo 4 su un altro cartellino.
Continuiamo così fino alla catena corta del 10.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri

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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività 5 – esplorazione del cubo

Materiale:
– cartellini bianchi e matita
– catene lunghe
– quadrati e cubo dei numeri.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Descrizione dell’attività:
– prendiamo ad esempio la catena lunga del 5 e disponiamola in linea retta sul tappeto, quindi ripieghiamola per formare i quadrati. Chiediamo ai bambini: “Cosa abbiamo fatto? Abbiamo ottenuto un quadrato di 5 preso 5 volte”
– sovrapponiamo un quadrato su ogni quadrato formato dalla catena ripiegata

– raccogliamo i quadrati e impiliamoli uno sull’altro per formare un cubo


– indichiamo i 5 quadrati sovrapposti e chiediamo: “Quale forma abbiamo ottenuto? Un cubo”.
– scriviamo su un cartellino 5 x 5. Indichiamo il primo quadrato e mettiamo su di esso il cartellino che abbiamo scritto

– diciamo: “5 x 5 è il quadrato di cinque, che possiamo anche scrivere 5²”. Scriviamo il cartellino, mettiamo 5 x 5 sul tappeto e 5² sul primo quadrato


– ricontiamo i quadrati, che sono cinque, e diciamo “Il cubo è formato da 5 x 5 per 5 volte”
– prendiamo il cubo del 5 per confrontarlo con quello formato dai quadrati. Si tratta proprio di un cubo.  Indichiamo il primo quadrato, poi contiamolo con i rimanenti quadrati: “Il cubo è formato da 5 quadrati”. Scriviamo su un nuovo cartellino il numero 5 e posizioniamolo in verticale lungo uno spigolo del cubo. Diciamo: “Il cubo è formato da 5 x 5 x 5”. Aggiungiamo x 5 al 5 x 5 al cartellino sul tappeto e togliamo il 5 dal cubo


“Per indicare 5 x 5 x 5, che è anche 5² x 5 scriviamo 5³. Cinque alla terza è il cubo del cinque”
– mettiamo il cartellino a fianco del primo cartellino sul tappeto: 5² x 5 = 5 × 5 x 5 = 5³
– contando la catena possiamo anche conoscere il valore del cubo

– continuiamo queste esplorazioni con altre catene.

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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività 6 – esplorazione del cubo

Materiali:
– cartellini bianchi e matita
– catene lunghe, quadrati e cubi dei numeri.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Descrizione dell’attività:
– portiamo il materiale sul tappeto
– prendiamo la perla dell’1 che rappresenta il numero 1, il quadrato di 1 e il cubo di 1.
– diciamo: “Uno preso una volta è 1 x 1, cioè 1². Qual è il suo valore? 1.”. Scriviamo su un cartellino 1 x 1 = 1² = 1 e mettiamolo sul tappeto. Diciamo: “Il suo cubo è 1² x 1, cioè 1³. Qual è il suo valore? Sempre 1”. Scriviamo su un altro cartellino 1 x 1 x 1 = 1³ = 1 e mettiamolo sul tappeto.
– prendiamo i due quadrati del 2 e mettiamoli uno sull’altro. Diciamo: “Questo è un quadrato del 2 preso due volte, che insieme formano il cubo del 2”. Confrontiamo col cubo del 2. Scriviamo su un cartellino 2² x 2.  Diciamo “Due al quadrato per due è come dire 2 x 2 x 2, che è come dire due al cubo”. Scriviamo su un altro cartellino 2 x 2 x 2 = 2³ e chiediamo: “Qual è il suo valore?”. I bambini rispondono contando le perle o se serve utilizzando la catena lunga del 2 e noi completiamo il cartellino: 2 x 2 x 2 = 2³ = 8
– prendiamo tre quadrati del 3 e mettiamoli uno sull’altro. Diciamo: “Questo è un quadrato del 3 preso 3 volte, che insieme formano il cubo del 3”. Confrontiamo col cubo del 3. Scriviamo su un cartellino 3² x 3.  Diciamo “Tre al quadrato per tre è come dire 3 x 3 x 3, che è come dire tre al cubo”. Scriviamo su un altro cartellino 3 x 3 x 3 = 3³ e chiediamo: “Qual è il suo valore?”. I bambini rispondono a memoria, o contando le perle o se serve utilizzando la catena lunga del 3 e noi completiamo il cartellino: 3 x 3 x 3 = 3³ = 27
– proseguiamo allo stesso modo con tutti i cubi fino a 10 x 10 x 10

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Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività 7 – forme geometriche con le catene lunghe

Materiale:
– catene lunghe
– quadrati e cubi.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Descrizione dell’attività:
– prendiamo una catena lunga e componiamo con essa una versione più grande della stessa forma che avevamo creato con la catena corta corrispondente (ad esempio il triangolo per quella del 3)

poniamo un quadrato ad ogni angolo della forma, ed in cubo nel centro.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività – la piramide dei quadrati dei numeri

Materiali:
-i quadrati dei numeri.

Descrizione dell’attività:

– mettiamo i quadrati uno sull’altro a formare una piramide, dal quadrato del 10 a quello dell’1

– diciamo al bambino: “Oggi calcoleremo il valore di questa piramide”

– cominciando dal quadrato dell’1 procediamo nei conteggi:

1² = 1
2² = 4
3² = 9
4² = 16
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100

1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri
Attività – la torre dei cubi

Materiali:

tutti i cubi.

Descrizione dell’attività:

mettiamo i cubi uno sull’altro a formare una torre, dal cubo del 10 a quello dell’1

diciamo al bambino: “Oggi calcoleremo il valore di questa torre”

  • cominciando dal cubo dell’1 procediamo nei conteggi:
    1³ = 1
    2³ = 8
    3³ = 27
    4³ = 64
    5³ = 125
    6³ = 216
    7³ = 343
    8³ = 512
    9³ = 729
    10³ = 1000

1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343 + 512 + 729 + 1000 = 3025

Se paragoniamo la torre dei cubi di perle con la torre rosa, sapendo che il cubo dell’ 1 misura 1 centimetro cubo, diremo che la torre rosa misura 3025 cm³.

Perle colorate Montessori: altre attività coi quadrati e i cubi dei numeri

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Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi

Cubi e catene di perle colorate presentazioni ed esercizi. Le catene dello scaffale delle perle colorate si usano per dare ai bambini una rappresentazione concreta delle numerazioni per 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 (tabelline), del quadrato e del cubo dei numeri. Nelle presentazioni che seguono il materiale fotografato è di Montessori 3D di Boboto.

Il materiale viene proposto nella Casa dei Bambini (dai 5 anni d’età circa) per dimostrare a livello sensoriale il concetto che sta alla base del conteggio lineare e del procedere della numerazione nel sistema decimale. Questo avviene prima con la catena del 100,

La catena del 100 Montessori: presentazioni ed esercizi

poi con la catena del 1000,  

La catena del 1000 Montessori: presentazioni ed esercizi

poi con le catene corte di perle colorate (catene del quadrato)

Quadrati e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi

e infine con le catene lunghe (catene del cubo).


Oltre alla possibilità di esercitarsi con le numerazioni, il materiale delle perle colorate fornisce una rappresentazione concreta di concetti matematici astratti che, anche se i bambini non sono in grado di verbalizzare, sono in grado di rappresentare.

Grazie al materiale dello scaffale delle perle colorate si ha la dimostrazione concreta delle varie numerazioni, del concetto di multiplo di un numero, del concetto di quadrato e cubo di un numero e quindi di potenza.
Questo apprendimento concreto apre la strada per le future scoperte scientifiche che avverranno nella scuola primaria.  Sarà allora che il bambino guarderà a questo materiale con occhi nuovi e dirà: “Ho già lavorato con questo materiale quando ero piccolo, ma adesso ho capito!”. Nella scuola primaria, infatti, il bambino costruirà sulle sue esperienze precedenti la conoscenza delle potenze, dei multipli e delle regole di divisibilità.

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Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione 1

Materiali:
– catena lunga di un numero
– quadrati del numero
– cubo del numero.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione:
– portiamo sul tappeto la catena, i quadrati e il cubo
– il bambino piega la catena in modo da formare il primo quadrato e lo affianca ad un quadrato
– prosegue allo stesso modo fino a completare la catena

– al termine raccoglie tutti i quadrati

– li mette uno sull’altro a formare un cubo e lo paragona al cubo del numero

Questa presentazione serve a dimostrare che la catena lunga è la rappresentazione lineare del cubo di un numero.

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Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione 2

Materiale:
– catena lunga di un numero
– quadrati del numero
– cubo del numero
– frecce per contare le catene
– tappeto.

 frecce per contare le perle colorate Montessori BIANCO E NERO (da stampare su fogli colorati)


frecce per contare le perle colorate Montessori COLORE (per stampanti a colori)

Il materiale pronto per la stampa e il download è a disposizione degli abbonati:

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi


Presentazione:
– invitiamo un bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare un tappeto
– andiamo allo scaffale delle perle colorate e scegliamo la catena lunga di un numero
– stendiamola sul tappeto
– mettiamo in alto il cubo e i quadrati del numero


– ripieghiamo la catena in quadrati


– confrontiamo la catena ripiegata coi quadrati e col cubo


– mettiamo da parte quadrati e cubi e distendiamo nuovamente la catena
– disponiamo le frecce per contare formando delle colonne sul tappeto
– contiamo la catena come abbiamo imparato a fare, utilizzando le frecce. Conteremo una ad una le perle della prima barretta, poi a gruppi mettendo una freccia sull’ultima perla di ogni barretta
– ogni volta che abbiamo raggiunto il quadrato del numero, poniamo sulla barretta anche un quadrato


– sull’ultima barretta mettiamo il cubo
– al termine del conteggio raccogliamo cubo e quadrato per verificare l’equivalenza
– partendo dalla prima, contiamo nuovamente le barrette dalla prima all’ultima e dall’ultima alla prima.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Estensioni dell’esercizio:


– dopo aver contato la catena, raccogliamo le frecce e mettiamole sul tappeto. Poi prendiamo una freccia qualsiasi e chiediamo al bambino di porla sulla perla corrispondente


– togliamo la catena dal tappeto lasciando soltanto le frecce in ordine sparso. Chiediamo al bambino di ordinare le frecce dal minore al maggiore.

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Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione 3

Materiali:
– catene dei cubi
– cubi dei numeri
– frecce per contare
– quadrati dei numeri.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione:
– invitiamo un bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare un tappeto
– andiamo allo scaffale delle perle colorate e scegliamo la catena lunga di un numero. Di solito si scelgono la catena del 5 o del 6 per la prima presentazione del materiale
– prendiamo la catena scelta dallo scaffale sganciando uno ad uno i ripiegamenti  con la mano dominante. Se la lunghezza della catena lo permette prendere l’altro capo della catena con la mano non dominante, altrimenti mettiamo la mano non dominante col palmo verso l’alto e infiliamo i ripiegamenti tra le dita della mano
– trasportiamo la catena con cura e attenzione
– arrivati al tappeto posiamo la catena a zig zag quindi distendiamo la catena verticalmente sul tappeto tirando l’estremità a destra
– portiamo al tavolo anche i quadrati della catena, il cubo e le frecce per contare
– mettiamo i quadrati impilati uno sull’altro in alto, sopra alla catena, poi mettiamo il cubo a destra della pila di quadrati e disponiamo le frecce per contare in colonne per grandezza. Leggiamo le frecce in sequenza


– con movimenti lenti ed accurati ripieghiamo la catena, partendo dalla prima barretta in alto, per formare il primo quadrato


– prendiamo un quadrato e mettiamo sopra a quello formato dalla catena ripiegata
– continuiamo allo stesso modo con le restanti barrette ed i restanti quadrati


– spostiamo i quadrati a destra di quelli formati dalla catena ripiegata. In questo modo formeremo due lunghi rettangoli, uno di barrette e uno di quadrati


– chiediamo: “Quanti quadrati abbiamo?”
– cominciando dall’ultimo quadrato, contiamoli. Mentre li contiamo impiliamoli di nuovo uno sull’altro. Quando con i quadrati avremo formato un cubo, ad esempio del 4, diciamo: “Quattro quadrati sono uguali a un cubo”


– con movimenti lenti e curati distendiamo di nuovo la catena
– mettiamo le frecce in ordine sul tappeto
– contiamo le perle della catena, cominciando dalla prima in alto e mettendo a fianco le frecce corrispondenti
– proseguiamo fino a completare la catena


– ripercorriamo la catena leggendo le frecce in sequenza dalla prima all’ultima
– arrivati all’ultima, rileggiamo dall’ultima alla prima.

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Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione 4

Materiali:
– tutte le catene lunghe
– frecce per contare.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione:
– scegliamo la catena del cubo dell’uno. Mettiamola sul tappeto in alto a sinistra e contiamola con la freccia appropriata
– prendiamo la catena del cubo del 2. Disponiamola verticalmente a destra della prima. Contiamola con le frecce appropriate
– continuiamo con tutte le altre catene, fino a quella del cubo del 10
– quando abbiamo completato i conteggi, notiamo la differenza di lunghezza tra le catene dei cubi
– notiamo poi se ci sono numeri che ricorrono in più catene

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Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione 4
memorizzazione della moltiplicazione

Materiali:
– catene lunghe
– barrette colorate
– catene corte
– cubi dei numeri
– quadrati dei numeri.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi
Presentazione 1
– prendiamo  la barretta del 4, la catena del quadrato del 4, il quadrato del 4, la catena del cubo del 4 e  il cubo del 4
– indichiamo la barretta  e diciamo: “Questo è il numero quattro”
– indichiamo la catena corta e diciamo: “Questa è la catena del quadrato del numero”
–  indichiamo il quadrato e diciamo: “Questo è il quadrato del numero”
– indichiamo la catena lunga e diciamo: “Questa è la catena del cubo del numero”
– indichiamo il cubo e diciamo: “Questo è il cubo del numero”
– col metodo della lezione in tre tempi e la partecipazione dei bambini, se serve, ripetiamo la nomenclatura
– prendiamo ora la catena corta e distendiamola sul tappeto
– mettiamo il quadrato corrispondente in alto


– con movimenti lenti e accurati ripieghiamo la catena per formare un quadrato
– sovrapponiamo il quadrato a quello formato dalla catena ripiegata


– distendiamo nuovamente la catena, e contiamo le perle utilizzando le frecce


– mettiamo il quadrato accanto all’ultima barretta, la cui freccia indica il quadrato del numero
– ripercorriamo la catena contando in sequenza dall’alto verso il basso e poi dal basso verso l’alto
– prendiamo ora la catena del cubo e distendiamola sul tappeto
– mettiamo in alto i quadrati del numero, impilati uno sull’altro


– mettiamo il cubo a destra della pila di quadrati
– con movimenti lenti e curati ripieghiamo la catena per formare il primo quadrato, a partire dalle barrette in alto
– sovrapponiamo un quadrato a quello formato dalla catena ripiegata
– spostiamo il quadrato a destra del quadrato formato dalla catena ripiegata


– chiediamo: “Quanti quadrati di perle abbiamo?”
– cominciando dall’ultimo contiamo i quadrati, e man mano che li contiamo impiliamoli uno sull’altro
– quando avremo formato un cubo diciamo, nel caso della catena del 4: “Quattro quadrati sono uguali a un cubo”


– con movimenti lenti ed accurati distendiamo nuovamente la catena, mettiamo sul tappeto le frecce ed usiamole per contare le perle della catena


– al termine ripercorriamo la catena leggendo le frecce dalla prima all’ultima e poi dall’ultima alla prima
– dopo aver contato la catena corta e la catena lunga, prendiamole e spostiamole su un altro tappeto
– distendiamole parallelamente sul tappeto e contiamole  di nuovo usando le frecce che andremo a prendere dal primo tappeto
– compariamo le due catene fra loro.

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Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi

Controllo dell’errore:
– insito nel materiale: grazie alle frecce il bambino può vedere chiaramente, al termine dell’esercizio, se ha commesso errori nel contare le barrette.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi – Scopo:
– sperimentare il conteggio lineare dei numeri
– migliorare la capacità di contare. Il contare è un’attività riposante e tende a diventare un’azione meccanica. Attraverso la ripetizione, il bambino assorbe i meccanismi di questi conteggi
– esercitarsi con le numerazioni e quindi prepararsi alla moltiplicazione
– memorizzare le tabelline (contando per 2, 3, 4, 5 ecc.)
– preparazione indiretta al concetto di multiplo di un numero

Età:
– dai 5 anni e mezzo ai 6 anni.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi – Note:


– non occorre mostrare al bambino tutte le catene. Dopo la presentazione di una catena, il bambino può lavorare in modo indipendente con qualsiasi catena
– con questi esercizi il bambino sperimenta la differenza di quantità tra quadrato e cubo di un numero. Anche se non diamo il concetto di potenza e aumento esponenziale dei numeri, il conteggio delle perle permette di dimostrargli a livello sensoriale questa differenza tra cubo e quadrato di un numero, per la diversa lunghezza delle catene;
– il materiale permette anche di fare l’esperienza sensoriale delle differenze di quantità tra i vari quadrati, i vari cubi e le varie catene tra loro.
– se il bambino chiede cosa si intende per 6² o il 6³ basterà prendere il quadrato del sei e indicarli base a altezza del quadrato dicendo “Sei per sei” e poi “Prima, seconda” e poi “Sei per sei o sei alla seconda è il quadrato di 6”; poi prendere il cubo e indicare larghezza, altezza e profondità dicendo “Sei per sei per sei” e poi “Prima, seconda, terza”, e poi “Sei per sei per sei, o sei alla terza è il cubo di 6”.

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi

Pubblicato il

Quadrati e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi

Quadrati e catene di perle colorate Montessori: presentazioni ed esercizi per bambini della scuola d’infanzia e primaria. Le perle fotografate nelle presentazioni sono di Montessori 3D di Boboto.

Tra i materiali presenti in una classe Montessori, lo scaffale delle perle colorate è uno dei più attraenti per i bambini, che ne apprezzano la bellezza, la semplicità e l’eleganza. Tutti i bambini aspirano ad utilizzarlo, ed i più piccoli, che ancora non sono pronti per l’attività, spesso guardano con stupore ed ammirazione i compagni più grandi impegnati negli esercizi con le perle colorate. Le perle organizzate nello scaffale sono bellissime ed i bambini più grandi, d’altra parte, attendono con ansia la loro disponibilità per iniziare a disporre e contare ogni catena.

Mentre l’adulto riconosce facilmente il valore concreto delle attività, conoscendo già i concetti di quadrato e cubo di un numero, per il bambino si tratta di un’esperienza diversa.
Per ogni numero lo scaffale contiene catene corte, quadrati che corrispondono alle catene corte, catene lunghe e cubi che corrispondono alle catene lunghe.

L’uso del materiale permette il raggiungimento di diversi scopo diretti e indiretti; con i bambini più piccoli il primo scopo è quello di imparare a contare e accompagnare verso l’astrazione. La transizione verso l’astratto, cioè il passaggio dagli oggetti tangibili (le perle) ai soli numeri, richiede molta pratica, e lo scaffale delle perle colorate offre la possibilità di fare tantissimi esercizi interessanti.

Lavorando con questo materiale i bambini sono continuamente rassicurati dai loro progressi. Lavorando in modo indipendente, vedono la conferma che i numeri scritti corrispondono al numero di perle che possono contare  fisicamente. Quando saranno pronti per farlo, lasceranno il materiale per risolvere problemi direttamente sulla carta.

Attraverso il loro impegno in questo lavoro che è protratto nel tempo e che richiede una grande quantità di spazio fisico, pazienza, concentrazione e determinazione, i bambini arrivano ad apprezzare il concetto di moltiplicazione ed a capire cosa significa quadrato di un numero e cubo di un numero. E’ un materiale che richiede al bambino abilità manuali, senso dell’ordine e tenacia, e quando arriva a fare l’associazione tra concreto ed astratto si può davvero vedere la gioia della scoperta nei suoi occhi.

Trovi una presentazione generale del materiale qui:

Lo scaffale delle perle colorate Montessori: presentazione generale

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 1 – scala di perle

Materiali:
– numeri da 1 a 9 scritti su pezzetti di carta
– un contenitore per i numeri
– un contenitore per le perle
– tappeto
– vassoio
– scala di perle. La scala di perle è formata da 9 barrette:
– 1 rossa composta da 1 perla
– 1 verde composta da 2 perle
– 1 rosa composta da 3 perle
– 1 gialla composta da 4 perle
– 1 azzurra composta da 5 perle
– 1 lilla composta da 6 perle
– 1 bianca composta da 7 perle
– 1 marrone composta da 8 perle
– 1 blu composta da 9 perle.
Se intendete realizzare il materiale in proprio, tenete presente che le perle devono essere sferiche e avere un diametro di 7-8 mm.

Questa attività aiuta il bambino ad associare le quantità da uno a 9 con le relative cifre. Introduce inoltre all’uso del materiale contenuto nello scaffale delle perle colorate (catene corte, quadrati, catene lunghe e cubi), ed alle addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni con le perle colorate.

Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione:
– portiamo il materiale sul tavolo o sul tappeto


– spargiamo le barrette sul tappeto:


– cerchiamo la barretta dell’1 e mettiamola lungo il margine inferiore del tappeto


– cerchiamo la barra del 2 e mettiamola sopra a quella dell’uno. Proseguiamo con le altre allo stesso modo



– poniamo i cartellini dei numeri in ordine sparso lungo il margine inferiore del tappeto, accanto al triangolo delle barrette colorate


– prendiamo la barretta dell’uno e mettiamola in alto a sinistra. Indichiamola e diciamo: “Questo è 1”
– prendiamo il cartellino dell’uno e mettiamolo a destra della barretta. Indichiamolo e diciamo: “Questo è 1”


– presentiamo allo stesso modo le altre barrette e gli altri numeri, prendendoli in ordine crescente


Età:
– dai 3 anni e mezzo ai 4 anni.

Prerequisiti:
– il bambino deve saper contare fino a 10
– il bambino deve saper leggere i numeri da 1 a 10.

Controllo dell’errore:
– il triangolo che si forma ponendo correttamente le perle colorate.

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 2

Materiali:
– catene corte
– quadrati dei numeri
– frecce per contare.

Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione:
– invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di stendere un tappeto
– andiamo allo scaffale delle perle colorate e scegliamo una catena. Per la prima presentazione di solito si usano quella del quattro o quella del sei
– portiamo con grande cura la catena sul tappeto, tenendola con due mani per i due estremi, poi portiamo il quadrato e le frecce per contare
– disponiamo la catena sul tappeto e mettiamo il quadrato più in alto


– con movimenti lenti ed accurati, partendo dalla prima barretta in alto, ripieghiamo la catena per formare un quadrato
– sovrapponiamo il quadrato alla catena ripiegata
– rimettiamo il quadrato il alto e distendiamo nuovamente la catena
– mettiamo le frecce in ordine a destra della catena

– contiamo le perle, cominciando dalla prima in alto e mettendo le frecce corrispondenti
– dopo aver posizionato l’ultima freccia, che indica il quadrato della catena, mettiamo il quadrato a destra della barretta corrispondente

– ripercorriamo la catena contando in sequenza dalla prima barretta all’ultima
– arrivati all’ultima contiamo a ritroso per tornare alla prima.

Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Estensione dell’esercizio

– dopo aver completato la prima catena, portarne al tappeto una seconda e distenderla accanto alla prima, con il suo quadrato e le sue frecce
– chiedere al bambino di contare anche la seconda catena

– al termine chiedere al bambino di individuare un certo numero in entrambe le catene (ad esempio il 12)
– possiamo aggiungere altre catene allo stesso modo.

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 3 – contare le catene corte (o catene dei quadrati)

Questa attività insegna al bambino a contare per raggruppamenti di numeri, quindi si tratta di un materiale utile a preparare per la moltiplicazione. Indirettamente prepara anche alla comprensione del concetto di quadrato dei numeri.

Materiali:
– catena corta di un numero
– quadrato dello stesso numero
– frecce per contare la catena scelta
– tappeto.

 frecce per contare le perle colorate Montessori BIANCO E NERO

frecce per contare le perle colorate Montessori COLORE

Il materiale pronto per la stampa e il download è a disposizione degli abbonati:

Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione:
– distendiamo la catena scelta sul tappeto orizzontalmente
– mettiamo il quadrato accanto alla catena, a destra
– mettiamo le frecce per contare a destra del quadrato, ordinate per colonne

– ripieghiamo la catena per formare il quadrato


– compariamo i due quadrati tra loro


– distendiamo nuovamente la catena, contiamo ed etichettiamo le perle con le frecce

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 4 – contare le catene corte (o catene dei quadrati)

Contare le catene di perle Montessori è un’attività molto più strutturata rispetto al classico esercizio di numerazione (per 2, 3, 5, ecc.) che si pratica normalmente nelle nostre scuole, perchè le catene di perle rappresentano esattamente il quadrato e il cubo del numero, dando così una visione complessa dell’insieme che viene prima percepita attraverso la manipolazione, ed evolve poi in concetti matematici astratti.

Materiale:
– catene corte
– frecce per contare le catene corte

Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione:
– scegliamo la catena del 3 e distendiamola sul tappeto. Mettiamo le frecce relative
– indicando le relative barrette rileggiamo: “Tre, sei, nove”

– ripieghiamo la catena per formare il quadrato e diciamo: “Se ripieghiamo la catena così, otteniamo tre serie di tre, che è come dire 3 x 3 volte, che è come dire 3² cioè tre al quadrato. Sono sempre 9 perline”
– proviamo con un numero maggiore, ad esempio con la catena del 6
– contiamo utilizzando le frecce, e dopo averlo fatto rileggiamo il conteggio: “Sei, dodici, diciotto, ventiquattro, trenta, trentasei”

– ripieghiamo la catena per formare il quadrato e diciamo: “Se ripieghiamo la catena così, otteniamo sei serie di sei, che è come dire 6 x 6 volte, che è come dire 6², cioè sei al quadrato. Sono sempre 36 perline”

– ripetiamo l’esercizio con tutte le catene:

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 5 – contare le catene corte (o catene dei quadrati)

Materiali:
– catene corte
– quadrati
– frecce per contare
– moduli da compilare. Il materiale pronto per la stampa e il download è a disposizione degli abbonati:

Presentazione:
– scegliamo una catena, ad esempio quella del 7, e il relativo quadrato
– distendiamo la catena sul tappeto e mettiamo più in alto il quadrato


– ripieghiamo la catena per formare il suo quadrato


– confrontiamo i due quadrati tra loro
– distendiamo nuovamente la catena
– mettiamo sul tappeto le frecce per contare, ordinate per colonne
– contiamo una ad una le perle della prima barretta e mettiamo le frecce relative


– contiamo le rimanenti barrette sette a sette e mettiamo le frecce relative, spostando di volta in volta il quadrato


– quando la catena è completa ricontiamo le perle a sette e sette da 7 a 49 e da 49 a 7 e prendiamo il modulo da completare

– compiliamo il modulo


– apriamo il modulo per controllare il conteggio.

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 6 – contare le catene corte (o catene dei quadrati)

– il bambino conta tutte le catene dei quadrati contemporaneamente:

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 7 – contare le catene corte (o catene dei quadrati)

– il bambino costruisce la piramide dei quadrati e conta le catene

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Presentazione 8
forme geometriche  con le catene corte

Materiale:
– catene corte
– tappeto.
Oltre a familiarizzare con le catene corte dello scaffale, il bambino impara che c’è un collegamento tra i numeri e la geometria. Rinforza inoltre la nomenclatura relativa alle forme geometriche.

Quadrati e catene di perle colorate Montessori
Descrizione dell’attività:
– mettiamo le catene corte sul tappeto
– prendiamo la catena del tre e formiamo il triangolo
– chiediamo al bambino di identificare la forma
– proseguiamo in ordine con le altre catene, componendole in fila sul tappeto; possiamo anche chiedere al bambino di prevedere la forma successiva prima di comporla.

Invece di partire dal triangolo possiamo partire dall’uno (punto), poi il due (angolo) e poi il 3 (triangolo)

Quadrati e catene di perle colorate Montessori – Variante


–  comporre le forme una nell’altra:

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori

Età:
– dai 4 anni e mezzo ai 5 anni.

Prerequisiti:
– il bambino deve aver già lavorato con le tavole di Seguin, la tavola del 100, le catene del 100 e del 1000.

Controllo dell’errore:
– insito nel materiale: grazie alle frecce il bambino può vedere chiaramente, al termine dell’esercizio, se ha commesso errori nel contare le barrette.

Quadrati e catene di perle colorate Montessori – Scopo:
– sperimentare il conteggio lineare dei numeri
– migliorare la capacità di contare. Il contare è un’attività riposante e tende a diventare un’azione meccanica. Attraverso la ripetizione, il bambino assorbe i meccanismi di questi conteggi
– esercitarsi con le numerazioni e quindi prepararsi alla moltiplicazione
– memorizzare le tabelline (contando per 2, 3, 4, 5 ecc.)
– preparazione indiretta al concetto di multiplo di un numero.

Quadrati e catene di perle colorate Montessori – Note:
– non occorre mostrare al bambino tutte le catene. Dopo la presentazione di una catena, il bambino può lavorare in modo indipendente con qualsiasi catena
– il materiale permette anche di fare l’esperienza sensoriale delle differenze di quantità tra i vari quadrati e le varie catene tra loro.
– se il bambino chiede cosa si intende per 6² basterà prendere il quadrato del sei e indicarli base a altezza del quadrato dicendo “Sei per sei” e poi “Prima, seconda” e poi “Sei per sei o sei alla seconda è il quadrato di 6”; poi prendere il cubo e indicare larghezza, altezza e profondità dicendo “Sei per sei per sei” e poi “Prima, seconda, terza”, e poi “Sei per sei per sei, o sei alla terza è il cubo di 6”.

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Quadrati e catene di perle colorate Montessori

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Lo scaffale delle perle colorate Montessori: presentazione generale

Lo scaffale delle perle colorate Montessori: presentazione generale. In questo materiale troviamo i numeri da 1 a 9. A questi si aggiunge il quadrato del 10, che i bambini hanno già incontrato col materiale del sistema decimale (perle dorate).  Nello scaffale delle perle colorate avremo quindi 1 x 1 – 2 x 2 – 3 x 3 – 4 x 4 – 5 x 5 – 6 x 6 – 7 x 7 – 8 x 8 – 9 x 9 – 10 x 10. 

Nelle presentazioni che seguono il materiale fotografato è di Montessori 3D di Boboto.

Oltre al quadrato, abbiamo anche per ogni numero la sua rappresentazione moltiplicata per tre volte, cioè il suo cubo. Avremo quindi le rappresentazioni di: 1 x 1 x 1 – 2 x 2 x 2 – 3 x 3 x 3 – 4 x 4 x 4 – 5 x 5 x 5 – 6 x 6 x 6 –  7 x 7 x 7 – 8 x 8 x 8 – 9 x 9 x 9 – 10 x 10 x 10.

I bambini hanno già incontrato il quadrato e il cubo del 10 col materiale delle perle dorate, dove hanno imparato a conoscere il quadrato formato da 10 x 10 =  100 e il cubo formato da 100 x 10 = 1000 perle:

Quadrato di un numero è il nome che usiamo per la seconda potenza e cubo quello per la terza potenza. I nomi (quadrato e cubo) e la forma che il materiale permette di mostrare anche a livello sensoriale permettono di considerare i numeri da un punto di vista geometrico.

Con questo materiale possiamo visualizzare ogni numero alla prima potenza:

elevato alla seconda potenza (quadrato):

ed elevato alla terza potenza (cubo):

Ogni numero, dalla prima alla terza potenza, ha lo stesso colore delle barrette di perle che i bambini usano anche per il Serpente per la ricerca del 10

Il serpente dell’addizione Montessori

e la numerazione da 11 a 19

Esercizi con le perle colorate Montessori

Lo scaffale delle perle colorate Montessori

Nello scaffale delle perle per ogni numero, da 1 a 10, abbiamo:
– la barretta che lo rappresenta (prima potenza);
– i quadrati del numero (seconda potenza), ripetuti il numero stesso, di modo che se sovrapposti possano formare il suo cubo
– un cubo unito (terza potenza);
– una catena fatta di tante perle quante sono quelle del quadrato
– una catena corrispondente al cubo.

Questo materiale permette di studiare separatamente i numeri nella loro prima, seconda e terza potenza, e di svolgere numerosi esercizi che portano il bambino a fare comparazioni.

La rappresentazione in forma di quadrato permette la sovrapposizione dei diversi quadrati e tutta una serie di esercizi che rendono evidenti al bambino le relazioni numeriche e geometriche tra i quadrati stessi:

Confrontando i cubi rigidi e le catene lunghe i bambini posso vedere la grandissima differenza che c’è tra quadrato e cubo di un numero, la lunghezza del quadrato e del cubo e la loro progressione passando dalla catena di un numero e quella di un altro.

Confrontando poi quadrati e cubi il bambino fa l’esperienza sensoriale di come, sovrapponendo i quadrati, si sviluppa la terza dimensione.
Per ogni numero abbiamo, come detto, il numero di quadrati che serve per formare il cubo, e questo permette la scomposizione del cubo stesso. Il bambino veder che il numero di perle che costituisce il cubo è uguale a quello del cubo formato sovrapponendo i quadrati dello stesso colore. Con la catena poi vede che il quadrato è formato da tante barrette quante sono quelle presenti nella catena.

Prendiamo ad esempio il numero 5. I tre numeri 5 x 5 x 5 rappresentano il numero delle perle che si possono contare nei tre spigoli uscenti da uno stesso vertice del cubo

La geometria acquista così un substrato numerico rendendo, nello stesso tempo, più chiaro il concetto del valore del cubo.

Se sovrapponiamo i dieci cubi uno all’altro, dal più grande al più piccolo, otteniamo una torre simile alla torre rosa, che i bambini hanno imparato a conoscere già nella Casa dei Bambini
La cosa interessante è che le due torri si possono mettere in relazione tra loro. Questo permette di mettere in relazione un dato geometrico (la torre rosa) con un dato aritmetico (la torre di perle), perchè i cubi della Torre Rosa misurano da 1 cm³  a 10 cm³ e la torre di perle è formata da 1³ a 10³ perle:

E’ quindi possibile calcolare quanti cm² misura la faccia di ogni cubo della torre rosa: 10² = 100 / 9² = 100 / 8² = 100 / 7² = 100 / 6² = 100 / 5² = 100 / 4² = 100 / 3² = 100 / 2² = 100 / 1² = 100

Ed è anche possibile calcolare il volume di ogni cubo della torre rosa:  10³ = 100 / 9³ = 100 / 8³ = 100 / 7³ = 100 / 6³ = 100 / 5³ = 100 / 4³ = 100 / 3³ = 100 / 2³ = 100 / 1³ = 100.

Possiamo anche dire, quindi, che il cubo più grande della torre rosa è formato da 1000 dei cubi più piccoli. Il cubo più piccolo è, nella torre rosa, l’unità del sistema.

Tra le principali attività che i bambini possono svolgere con le catene (lunghe e corte) c’è quella del conteggio lineare, che  consiste nel contare e numerare le perle a una a una o per raggruppamenti (tabelline):

Maria Montessori riporta così la sua esperienza: “Tali catene di perle dai colori così brillanti esercitano sui bambini un fascino straordinario, suscitando in essi un’attività instancabile di conteggio. Sono particolarmente interessati dalla catena del 1000, la più lunga: si vedono i bambini contare le perle a una a una fino alla fine. Siccome tale lavoro è faticoso e i bambini non possono portarlo a termine in una sola giornata, vi ritornano il giorno dopo, continuando l’operazione da dove l’avevano interrotta”.

Lo scaffale delle perle colorate Montessori

Le prime catene che i bambini contano (per 10) per iniziare sono quelle del 100 e del 1000. Infatti contare la catena del 100 e contare per gruppi la catena del 1000, ricorda al bambino le attività svolte con le perle dorate del sistema decimale:

Questo esercizio di conteggio per raggruppamenti di numeri diventa un esercizio di memorizzazione delle tabelline quando si lavora alle altre catene.

Esiste, in relazione alle catene, un materiale di piccole frecce di cartoncino dello stesso colore delle perle.

frecce per contare le perle colorate Montessori per stampante bianco/nero

frecce per contare le perle colorate Montessori (per stampante a colori)

Le frecce in genere si  mettono  accanto a ciascuna perla della prima barretta, e poi accanto alla perla che conclude ogni barretta.

Il fatto che le catene siano snodate, rende possibile ripiegarle in modo da formare un quadrato, o ottenere una serie di tanti quadrati quante sono quelle che occorrono a formare un cubo.

L’aumento di  quantità che il bambino sperimenta contando per raggruppamenti fino al cubo di ogni numero, lo sostiene nella formazione del concetto astratto di “potenza”  e di “multiplo” di un numero.

Lo scaffale delle perle colorate Montessori

La grande importanza di questo materiale sta nel fatto che permette al bambino di comprendere “la costruzione creata artificialmente dall’uomo attorno ai numeri”. I numeri infatti seguono una regola comune: l’obbedienza alla legge del gruppo. Ogni numero è formato da singole unità (il 4 è formato da quattro elementi), e quando gli elementi si organizzano in gruppo, obbediscono alle sue leggi. “In ogni gruppo (la linea rappresentata dalla barretta) è presente, in misura diversa, il cittadino comune che è l’unità, il gradino iniziale necessario alla formazione delle successive classi sociali. E il cittadino comune è l’espressione della potenza zero di ogni numero.
Il secondo rango di nobiltà è dato dal ripetersi del bastoncino tante volte quante sono le unità del gruppo: la seconda potenza del 4 sarà il quadrato del 4.
Il terzo rango risulta formato di 4 volte il secondo rango: otteniamo il cubo del 4, che è possibile con la dignità propria del re.
Ma ci sono differenti nazioni, e quindi differenti re: è evidente che il re di un piccolo Stato è re allo stesso modo di quelli di nazioni più importanti. Infatti, la terza potenza è sempre un cubo. Nel primo caso la nazione è minuscola (l’unità è il re), nell’ultimo caso la nazione è grande (dieci).
A qualsiasi nazione il re appartenga, deve comunque uniformarsi alla legge del paese, che è poi la legge del gruppo.
E’ il primo rango di nobiltà ciò che caratterizza il gruppo e che dà, nel contempo, la legge. Cosicché tutte le potenze zero sono punti (perle sciolte), tutte le prime potenze sono linee (bastoncini), tutte le seconde potenze sono quadrati e infine tutte le terze potenze sono cubi.
Questo ritmo nella successione geometrica è comune a tutti quanti i numeri.”

Un ulteriore collegamento visibile fra aritmetica e geometria si può realizzare costruendo forme geometriche con le catene. Per esempio, con la catena corta del 9 si costruiscono ennagono e triangoli regolari, con quella lunga del 6 si costruiscono sette poligoni regolari (di 36 lati, di 18 lati, dodecagono, ennagono, esagono, quadrato, triangolo). Queste esperienze, a livello più avanzato, si ricollegano allo studio dei multipli.

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Lo scaffale delle perle colorate Montessori

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La catena del 1000 Montessori: presentazioni ed esercizi

La catena del 1000 Montessori: presentazioni ed esercizi per bambini della scuola d’infanzia e primaria.

Come spiegato meglio qui

La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri

 la catena del 1000 rappresenta la scomposizione lineare del cubo del 1000. Il cubo di 1000 perle può essere scomposto in dieci quadrati e ciascuno di essi in dieci bastoncini, ognuno di dieci perle. Lasciando questi uniti soltanto per le estremità, otterremo una catena lunghissima che ci darà l’impressione della quantità, il migliaio, più esatta di quella che ci viene fornita dal cubo.
La catena del 1000 è formata da 10 catene del 100 legate tra loro attraverso un anello più grande.

Le perle fotografate nelle presentazioni sono di Montessori 3D di Boboto.

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La catena del 1000 Montessori
Presentazione 1

Materiale:
– catena del 1000
– 1 cubo del 1000
– 10 quadrati del 100
– una lunga striscia di tessuto o carta. Quelle in commercio misurano 900 x 23  cm e costano circa 40 euro. Questa è di leaderjoyysa.com:

– un vassoio
– frecce per contare la catena del 1000 contenute in una busta (verdi da 1 a 9, blu da 10 a 990, rosse da 100 a 900, verde per il 1000):


frecce per contare le catene del 100 e del 1000 bianco e nero

frecce per contare le catene del 100 e del 1000 colore

pdf qui:

La catena del 1000 Montessori – Presentazione:
– invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare il lunghissimo tappeto che avremo predisposto (possiamo anche preparare una lunga striscia di carta se non abbiamo il tappeto apposito)
– andiamo allo scaffale delle perle e indichiamo il materiale dicendo: “Oggi lavoreremo con una catena ancora più lunga della catena del 100”
– mostriamo al bambino come trasportare la catena , tenendola fra le dita di una mano in questo modo, col palmo rivolto verso l’alto. Mentre noi trasportiamo la catena, chiediamo al bambino di portare il vassoio con la busta delle frecce, i quadrati e il cubo

–  posiamo la catena a zig zag sul tappeto e partendo da un estremo cominciamo a ripiegare la catena ogni 10 barrette, in modo da formare 10 quadrati identici dicendo al bambino: “Ora cercheremo di piegare questa lunghissima catena come abbiamo fatto con la catena del 100”
– formiamo un quadrato alla volta, fino a ripiegare tutta la catena. Dopo aver formato il primo chiediamo al bambino: “Cosa abbiamo ottenuto?”. Un quadrato

– se il bambino lo desidera può naturalmente aiutarci a piegare la catena
– compariamo i dieci quadrati che si sono formati con la catena con 10 quadrati del 100

– compariamo col bambino i dieci quadrati con i 10 quadrati che compongono il cubo del 1000
– chiediamo al bambino di distendere la catena, tirandola lentamente per l’estremità più lontana facendo percorrere alla catena tutta la lunghezza del tappeto
– chiediamo al bambino di tornare da noi, apriamo la busta delle frecce e mettiamole in colonna sul vassoio, con la collaborazione del bambino. Mettiamo accanto alla catena, all’inizio del percorso, il vassoio con le frecce per contare


– contiamo le perle che compongono la prima barretta e contrassegniamo ogni perla con una freccia verde, da 1 a 9

– arrivati al 10 mettiamo la freccia blu del 10
– continuiamo a contare a 10 a 10 fino a 90 mettendo la freccia blu corrispondente sull’ultima perla della barretta


– arrivati al 100 usiamo la freccia rossa delle centinaia e mettiamo a lato della catena un quadrato di perle
– proseguiamo così fino a 999. Accanto al 900 mettiamo un quadrato

– Arrivati al 1000 usiamo la freccia verde grande del 1000 e chiudiamo la catena col cubo


– torniamo all’inizio della catena e contiamo nuovamente aiutandoci con le frecce: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 , 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000
– possiamo contare così più volte, ed anche dal 1000 all’1: 1000, 900, 800, 700, 600, 500, 400, 300, 200, 100 … 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.

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La catena del 1000 Montessori
Presentazione 2 (una variante)

Questa attività insegna al bambino a contare per gruppi, in preparazione alla moltiplicazione. Rappresenta inoltre un esercizio di preparazione indiretta allo studio del cubo dei numeri.

La catena del 1000 Montessori – Materiali:
– catena del 1000
– 10 quadrati del 100
– un cubo del 1000
– frecce per contare la catena del 1000
– una lunga striscia di tessuto o di carta
– vassoio.

La catena del 1000 Montessori – Presentazione:
– mostriamo al bambino come trasportare la catena, tenendo i segmenti tra le dita


– mettiamo la catena sul tappeto ordinata per segmenti di 10 barrette

– portiamo accanto al tappeto un cubo del 1000, 10 quadrati del 100 e le frecce per contare la catena del 1000
– chiediamo a un bambino di tenere fermo un capo della catena, prendiamo il capo opposto e facciamo strisciare la catena lungo il tappeto per distenderla completamente in tutta la sua lunghezza
– ripieghiamo nuovamente la catena, ma questa volta formando 10 gruppi di 10 barrette in questo modo:

– compariamo i 10 quadrati che abbiamo formato con la catena con i 10 quadrati del 100 e col cubo del 1000

– distendiamo nuovamente la catena e organizziamo le frecce per contare in colonne per unità, decine, centinaia, migliaia
– contiamo le unità della prima barretta da 1 a 9 con le frecce verdi
– dal 10 al 90 usiamo le frecce blu
– al 100 usiamo la freccia rossa e poniamo accanto alla barretta corrispondente un quadrato del 100


– proseguiamo così dal 110 al 990 usando le frecce blu e rosse


– arrivati al 1000 usiamo la freccia verde e poniamo accanto alla barretta il cubo del 1000

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La catena del 1000 Montessori
Presentazione 3

La catena del 1000 Montessori – Materiali:
– catena del 1000
– un cubo del 1000 e 10 quadrati del 100
– frecce per contare la catena del 1000.

La catena del 1000 Montessori – Presentazione:
– portiamo la catena sul tappeto e distendiamola in tutta la sua lunghezza, enfatizzandola coi bambini
– mettiamo i 10 quadrati del 100 accanto alla catena
– mettiamo il cubo del 1000 a destra dei dieci quadrati
– con movimenti lenti ed accurati raggruppiamo le prime dieci barrette della catena a formare un quadrato
– sovrapponiamo un quadrato del 100 alle barrette raggruppate
– ripetiamo con tutte le barrette che formano la catena del 1000
– mettiamo i quadrati del 100 che abbiamo usato per la comparazione a parte e indicando i quadrati: “Quanti quadrati abbiamo?”
– prendiamo i quadrati uno ad uno e contiamoli sovrapponendoli uno all’altro; arrivati al nono affianchiamoli al cubo del 1000, mettiamo il 10 quadrato e diciamo: “Dieci quadrati sono uguali a un cubo”
– distendiamo la catena del 1000 in tutta la sua lunghezza
– mettiamo le frecce per contare in ordine su un tappetino o un vassoio accanto alla catena del 1000 distesa
– contiamo le perle della prima barretta una ad una, utilizzando le frecce verdi fino al 9
– al 10 usiamo la freccia blu del 10


– proseguiamo dal 10 al 90 con le frecce blu


– al 100 usiamo la freccia rossa del 100 e mettiamo accanto alla barretta un quadrato del 100
– proseguiamo così fino al 990, usando le frecce blu e rosse
– arrivati al 1000 usiamo la freccia verde del 1000 e mettiamo accanto alla barretta il cubo del 1000


– torniamo all’inizio della catena e ripercorriamola contando da 10 a 1000
– arrivati al mille torniamo al punto di partenza contando da 1000 a 10.

Dopo l’esercizio possiamo proseguire in questi modi:
– nominiamo al bambino una data quantità, ad esempio 549 e chiediamo di indicarci la perla del 549 lungo la catena
– puntiamo con l’indice o con una bacchetta una perla lungo la catena e chiediamo al bambino di dirci quale quantità rappresenta.

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La catena del 1000 Montessori
Presentazione 4

Dopo aver lavorato separatamente prima con la catena del 100 e poi con la catena del 1000, possiamo presentare i due materiali insieme.

La catena del 1000 Montessori – Materiali:
– catena del 100 e frecce per contare la catena del 100
– catena del 1000 e frecce per contare la catena del 1000.

Presentazione:
– procediamo a contare le perle della catena del 100 utilizzando le frecce verdi, blu e la freccia rossa del 100
– distendiamo a fianco della catena del 100 quella del 1000, parallelamente,  e utilizzando le frecce verdi, blu, rosse e la freccia verde del 1000 contiamo le perle
– dopo aver completato il conteggio delle perle delle due catene, compariamole tra loro permettendo al bambino di fare le proprie osservazioni.

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La catena del 1000 Montessori

Età: dai 5 anni.

Controllo dell’errore: le frecce per contare.

Punti di interesse:
– la lunghezza della catena
– i diversi colori delle frecce.

Età:
dai 4 anni  e mezzo ai 5 anni.

La catena del 1000 Montessori – Scopo:
– comprendere il valore relativo di 1, 10, 100 e 1000 in forma lineare (prima ha lavorato solo col materiale del sistema decimale)
– esercitarsi nel contare
– imparare a contare per gruppi di numeri e non uno ad uno
– sviluppare le abilità necessarie all’apprendimento della moltiplicazione
– imparare i numeri da 1 a 1000 e da 1000 a 1
– imparare a contare da 1 a 1000 e da 1000 a 1 dieci a dieci, o anche cento a cento
– visualizzare la differenza di quantità tra 100 e 1000, comparando le due catene. Quando le catene del 100 e del 1000 vengono disposte parallele l’una all’altra, si mostra al bambino, a livello sensoriale, l’aumento esponenziale tra 10² e 10³
– contare è un’attività riposante e tende a diventare meccanica. Attraverso la ripetizione, il bambino interiorizza il meccanismo
– preparare indirettamente allo studio delle potenze

La catena del 1000 Montessori – Controllo dell’errore
– poiché le etichette devono essere posizionate alla fine di ciascuna barretta, il bambino percepisce facilmente se ha commesso un errore nel conteggio
– se mentre conta, il bambino ci chiama in aiuto perchè manca una freccia, possiamo rispondergli che possiamo fargliene una nuova, ma prima bisognerà ricontrollare il conteggio. Se si scopre che la freccia mancante è stata messa per errore accanto a una barretta, possiamo dire che siamo contenti di averla ritrovata, perchè per rifare una freccia ci vuole molto lavoro. In questo modo evitiamo di correggere il bambino dicendogli dall’esterno che ha sbagliato.

La catena del 1000 Montessori
Note:
– è importante permettere al bambino di disporre la catena del 1000 per tutta la sua lunghezza per dare l’impressione di linearità
– in mancanza di spazio o se il bambino desidera ripetere l’esercizio dopo averglielo già presentato in assetto lineare, possiamo scegliere di disporre la catena a spirale:

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La catena del 1000 Montessori

Pubblicato il

La catena del 100 Montessori: presentazioni ed esercizi

La catena del 100 Montessori: presentazioni ed esercizi per bambini della scuola d’infanzia e primaria. 

Come già spiegato qui  

La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri

la catena del 100 mostra ai bambini la scomposizione lineare del quadrato del 10. L’esercizio, che consiste nel contare per gruppi di perle, è una preparazione alla moltiplicazione e allo studio del quadrato dei numeri. 

Le perle usate nelle presentazioni sono di  Montessori 3D di Boboto.

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La catena del 100 Montessori
Presentazione 1

La catena del 100 Montessori
Materiali:
– catena del 100
– quadrato del 100
– tappeto
– frecce per contare la catena del 100 in una busta
– vassoio.

La catena del 100 Montessori
Presentazione:
– invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare il tappeto lungo
– andiamo allo scaffale delle perle colorate, indichiamo la catena del 100 e diciamo: “Oggi lavoreremo insieme con la catena del 100”
– portiamo la catena sul tappeto tenendola con due mani per le due estremità
– chiediamo al bambino di portare il vassoio col quadrato del 100 e la busta delle frecce
– posiamo la catena sul tappeto quindi distendiamola in tutta la sua lunghezza
– mettiamo sul tappeto le frecce per contare, con l’aiuto del bambino, raggruppate in unità, decine e centinaia


– lentamente raccogliamo la catena del 100 per formare un quadrato e chiediamo al bambino: “Lo riconosci? Sembra il quadrato del 100
– mettiamo accanto alla catena del 100 piegata il quadrato del 100


– compariamo i due quadrati, di modo che il bambino possa verificare che si tratta dello stesso numero di perle


– distendiamo di nuovo la catena e cominciamo a contare le perle, aggiungendo  le frecce

– per la prima barretta contiamo le perle una ad una mettendo una freccia per ogni perla


– dopo continuiamo a contare a gruppi di 10, mettendo una sola freccia sull’ultima perla della barretta.

– diciamo: “Oggi abbiamo contato fino a 100!”
– togliamo le frecce verdi e leggiamo le frecce da 10 a 100 e da 100 a 10, più volte
– giriamo sul rovescio le frecce blu. Chiediamo al bambino di contare a 10 a 10 e di girare ogni volta che ha nominato un numero la freccia blu
– al termine dell’esercizio riponiamo le frecce nella busta, mettiamo quadrato e busta sul vassoio e riportiamo il materiale allo scaffale; prendiamo la catena del 100 tenendola con due mani per le estremità e riportiamola allo scaffale.

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La catena del 100 Montessori
Presentazione 2

La catena del 100 Montessori
Materiali:
– catena del 100
– quadrato del 100
– tappeto
– frecce per contare la catena del 100 (verdi piccole per le unità da 1 a 9, blu medie per le decine da 10 a 90 e una rossa grande per il 100). Puoi stamparle (insieme a quelle che servono per la catena del 1000) qui:

frecce per contare le catene del 100 e del 1000 bianco e nero

frecce per contare le catene del 100 e del 1000 colore

pdf qui:

La catena del 100 Montessori
Presentazione:
– invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio e chiediamogli di srotolare il tappeto lungo
– andiamo allo scaffale delle perle colorate, indichiamo la catena del 100 e diciamo: “Oggi lavoreremo insieme con la catena del 100”
– portiamo la catena sul tappeto tenendola con due mani per le due estremità
– chiediamo al bambino di portare il vassoio col quadrato del 100 e la busta delle frecce
– posiamo la catena sul tappeto quindi distendiamola in tutta la sua lunghezza
– mettiamo il quadrato del 100 accanto alla catena, a destra


– con movimenti lenti ed accurati componiamo la catena in modo da formare un secondo quadrato


– col bambino confrontiamo i due quadrati tra loro


– indichiamo il quadrato del 100 e chiediamo: “Quante perle ci sono in questo quadrato?”. Cento. “Quante decine ci sono in questo quadrato?”. Dieci.


– indichiamo il quadrato formato dalla catena del 100 ripiegato e chiediamo: “Quante perle ci sono in questa catena?”. Cento. “Quante decine ci sono in questa catena?”. Dieci.


– diciamo: “La catena e il quadrato sono esattamente uguali”
– distendiamo nuovamente la catena
– mettiamo le frecce per contare a sinistra della catena, ordinate in colonna per unità, decine e centinaia


– cominciamo a contare le perle, iniziando dall’alto e mettendo la freccia appropriata accanto alle perle della prima barretta. Fino al 9 le frecce saranno verdi

– al 10 posizioneremo la prima freccia blu


– il conteggio delle perle può procedere contandole una ad una oppure contandole 10 a 10


– dopo aver contato le perle, una ad una o dieci a dieci, mettiamo la freccia rossa del 100 accanto all’ultima perla della catena. Diciamo: ” “Abbiamo appena contato fino a 100.”


– dopo aver contato facciamo scorrere il dito e ripetiamo i numeri dal 10 al 100
– chiediamo al bambino: “Quante perle ci sono in questa catena?”. Il bambino risponderà che ce ne sono 100
– indichiamo il quadrato e diciamo: “Quante perle ci sono in questo quadrato?”. Il bambino risponderà che ce ne sono cento
– diciamo un numero al bambino, ad esempio: “64!” e chiediamogli di indicarcelo lungo la catena


– indichiamo una perla lungo la catena e chiediamo al bambino di dirci a che numero corrisponde.

– per stimolare la curiosità e la capacità di osservazione dei bambini potremmo chiedere, ad esempio: “Se invece di fare una catena di 100 perle avessimo fatto una catena con 100 arance, sarebbe uguale?”. No, sarebbe più lunga perchè le arance occupano più spazio delle perle
–  togliamo tutte le frecce e mettiamole in ordine sparso sul tappeto, poi diamone una al bambino e chiediamogli di contare 10 a 10 per mettere la freccia al suo posto
– togliamo la catena del 100 e chiediamo al bambino di mettere le frecce in ordine dall’1 al 100
– per preparare alla moltiplicazione, con i bambini più grandi, possiamo scrivere coi bambini i cartellini dell’operazione da mettere accanto ad ogni decina (10×1= 20×2= ecc.)

– al termine dell’esercizio riponiamo le frecce nella busta, mettiamo quadrato e busta sul vassoio e riportiamo il materiale allo scaffale; prendiamo la catena del 100 tenendola con due mani per le estremità e riportiamola allo scaffale.

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La catena del 100 Montessori

Scopo:
– avere la visione lineare del centinaio
– imparare i numeri da 1 a 100
– imparare a contare i numeri 10 per 10
– memorizzare la numerazione del 10 da 1 a 100 e da 100 a 1
– consolidare la capacità di contare
– avere una visione lineare della sequenza dei numeri, dopo aver lavorato col sistema decimale
– contare è un’attività riposante e tende a diventare meccanica. Attraverso la ripetizione, il bambino interiorizza il meccanismo del contare.

Controllo di errore
– le frecce per contare.

Età:
– dai 5 anni ai 5 anni e mezzo.

Nota:
– se il bambino non desidera utilizzare le frecce mentre conta la catena, significa che non ne ha bisogno.

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La catena del 100 Montessori

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Aste numeriche Montessori – Esercizi con i cartelli dei numeri e le aste

Aste numeriche Montessori – Esercizi con i cartelli dei numeri e le aste. Ciò che rende davvero interessanti  le Aste numeriche Montessori, non è soltanto la possibilità di contare, ma anche la possibilità di riconoscere le relazioni che intercorrono fra le differenti quantità, e per questo è importante, ad un certo punto, unire alle Aste numeriche Montessori la conoscenza dei numeri.

Per farlo si utilizzano le cifre smerigliate.

Come spiegato meglio qui 

Costruire i numeri tattili montessoriani

si tratta di dieci cartellini lisci su ciascuno dei quali  è incollata una cifra in carta vetrata: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. 

Come spiegato meglio qui,

Cifre smerigliate Montessori: presentazione ed esercizi

le cifre smerigliate servono ad imparare i simboli numerici. Il bambino tocca ripetutamente le cifre ruvide muovendo due dita unite (indice e medio) nel senso della scrittura e dicendone il nome a voce alta, ed in questo modo memorizza la forma della cifra scritta in relazione al suo numero. Oltre a questo, l’esercizio ha anche il vantaggio di esercitare la mano a riprodurre il segno, in preparazione della scrittura.

Insieme alle Aste numeriche Montessori e alle cifre smerigliate, ci sono anche i cartelli dei numeri da 1 a 10. Puoi stamparli qui:

Cartelli dei numeri Montessori

E’ importante notare che con questo materiale i bambini hanno la possibilità di appaiare una quantità rappresentata da un unico oggetto (l’asta) con un numero che ne è l’unico segno. Questo rende chiaro ed evidente alla mente del bambino l’associazione fra simbolo numerico e quantità.
Il bambino dovrà semplicemente mettere il numero accanto all’asta corrispondente (come mostrato negli esercizi che seguono) per memorizzarne rapidamente la relazione tra quantità e segno.

Le Aste numeriche Montessori permettono si svolgere svariate attività di composizione, scomposizione e confronto di quantità purché si resti all’interno della decina, cioè non si superi mai la lunghezza dell’asta più lunga. Questa è una nota importante, perchè come dice Maria Montessori “in questa fase potrebbe generare nel bambino complicazioni più che progressi“.

Un esercizio che piace molto ai bambini, è quello di ricercare due aste che unite fra loro possano formare la lunghezza di un’asta più lunga. Ad esempio l’asta del 4 con l’asta del 3 formano la stessa lunghezza dell’asta del 7 (4+3=7). Quando poi separiamo l’asta del 4 da quella del tre abbiamo 7-3=4 oppure 7-4=3.
Possiamo dire, quindi, che uniamo tra loro due aste, in realtà stiamo eseguendo un’addizione, come ogni volta che separiamo due aste stiamo eseguendo una sottrazione.

Uno dei primi esercizi con le aste numeriche che presentiamo ai bambini  consiste nel formare tutte le composizioni che danno 10, unendo prima l’asta dell’1 a quella del 9,

poi l’asta del 2 a quella dell’8,

poi l’asta del 3 a quella del 7 e infine l’asta del 4 con quella del 6 (cioè 9+1=10, 8+2=10, 7+3=10 e 6+4=10).
E’ chiaro che questo esercizio ci mette di fronte a un limite perchè con le aste non possiamo ottenere che queste quattro combinazioni, e al termine dell’esercizio avanzeranno sul tappeto l’asta del 10 e l’asta del 5. :e quella del 5.

Come Maria Montessori spiega nel suo trattato di Psicoaritmetica, l’uso di queste  aste è molto interessante, non solo per i bambini. Una delle caratteristiche essenziali e comuni a gran parte del materiale Montessori consiste infatti nella sua polivalenza, che si manifesta sotto due aspetti: da un lato questo significa che un materiale (ad esempio le aste numeriche) ha un suo scopo primario, ma può essere ripreso a livelli diversi dal bambino stesso; d’altro canto lo stesso materiale può essere oggetto di considerazioni superiori da parte dell’adulto (non necessariamente con formazione montessoriana).
Sotto questo secondo aspetto, nelle aste numeriche possiamo notate che raggruppando le aste in modo che esse formino tutte la lunghezza 10, abbiamo 5 aste che misurano 10 e avanza un’asta che misura 5, abbiamo cioè:

10 x 5 + 5 = 55

E’ un procedimento davvero interessante per calcolare la somma di tutte le unità contenute nella serie: moltiplicare il numero maggiore per la sua metà, poi aggiungervi detta metà.

In termini algebrici, chiamando n un numero qualunque, la somma delle unità contenute nei numeri compresi tra 1 e n sarà:

Infatti, in una serie di numeri che aumentano di uno in uno, si possono comporre gruppi tutti uguali al maggiore con lo stesso procedimento che abbiamo usato con le aste numeriche, cioè collocando l’uno accanto al penultimo, il due accanto al terzultimo, il tre al quartultimo, ecc…

Lo stesso concetto può essere espresso anche dicendo  “la somma della serie naturale dei numeri interi è uguale alla semisomma fra il quadrato dell’ultimo numero e l’ultimo numero”

oppure dicendo “la somma della serie naturale dei numeri interi è uguale al prodotto della metà dell’ultimo numero aumentato di 1”:

Le due formule risultano uguali.

Questo esercizio, che è possibile dimostrare coi bambini più grandi, sempre utilizzando le aste numeriche, è denominato SOMME DA PROGRESSIONI ARITMETICHE (vedi qui).

Aste numeriche Montessori – SOMME DI PROGRESSIONI ARITMETICHE

Questo esercizio, che consiste nel formare con due aste tutte le combinazioni del dieci, ricorda il compito assegnato dal maestro al piccolo Karl Friedrich Gauss: addizionare tutti i numeri interi da 1 a 100. Egli raggiunse il risultato applicando il metodo analitico: 100, 1+ 99, 2+ 98, 3+ 97, 4+ 96, ecc., fino a  49+51 (otterremo la somma 100 per 49 volte), 50.
Quindi:
100 + (100×49) + 50 = 5050
che è la somma dei primi cento numeri interi.

Tutto questo dimostra come sia indispensabile servirsi di materiali semplici ed esatti, grazie ai quali l’intelligenza può svilupparsi e giungere a nuove scoperte.

Nella loro apparente semplicità le aste presentano inoltre il sistema decimale e il sistema metrico decimale insieme, perchè l’asta del 10 misura 1 metro in lunghezza e ogni segmento misura 1 decimetro. “Questi particolari non sono ancora accessibili al bambino, eppure già si trovano nel materiale. Con lo sviluppo mentale e le acquisizioni culturali il bambino saprà poi scoprire e utilizzare ciò che nella prima infanzia è passato inosservato”.

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Aste numeriche Montessori
Esercizi con le aste numeriche – Materiale

Materiale:
– aste numeriche montessoriane
–  cartelli dei numeri da 1 a 10, oppure cifre smerigliate da 1 a 10
– un grande tappeto (Maria Montessori consigliava il verde).


Aste numeriche Montessori – Scopo delle attività proposte:
– associare i numeri da 1 a 10 alle relative quantità
– vedere le cifre da 1 a 10 in sequenza.

Età:
– da 3 anni in poi.

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Aste numeriche Montessori – Esercizio 1

Questo è un esercizio che può essere presentato a un gruppo di 3 o 4 bambini insieme.
– disponiamo sul tappeto le aste numeriche sul pavimento, parallele tra di loro e col rosso sempre a sinistra, ma non in ordine di grandezza
– disponiamo sul tappeto i cartelli dei numeri o le cifre smerigliate  non in ordine di grandezza, ma  in file e dal verso giusto
– raccogliamo un’asta, per esempio il “sei”, mostriamola ai bambini e chiediamo: “Chi sa quanto vale questa?”
– se un bambino risponde “Sei”, diremo: “Sì, puoi contare per vedere se è proprio il sei?”
– quando il bambino ha contato i segmenti, chiediamo ai bambini: “Chi mi può trovare il numero 6?”, e quando uno dei bambini ha trovato il numero tra i cartelli che si trovano sul tappeto e ce lo ha indicato, prendiamo il numero e mostrando l’asta diciamo: “Si tratta del sei”, poi mostriamo il numero e diciamo“Questo è il nostro modo di scrivere 6, e adesso possiamo metterli insieme”
– quindi poniamo il cartello del numero sul sesto segmento dell’asta
– l’esercizio continua in questo modo finché ogni asta con il suo cartello non si troverà sul tappeto.

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Aste numeriche Montessori
Esercizio 2

Questo esercizio può essere presentato il giorno successivo al primo esercizio.
– mostriamo il cartello di un numero (o la cifra smerigliata)
– i bambini devono trovare la quantità corrispondente, scegliendo l’asta numerica giusta
– poi asta e numero vengono posti sul tappeto.

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Aste numeriche Montessori
Esercizio 3

Questo è un esercizio individuale.
– si dispongono sul tappeto , in alto, le aste numeriche non in sequenza, e i cartelli dei numeri in basso a destra
– chiediamo al bambino di trovare l’asta del numero 1, il bambino ce la porge e noi la mette sul tappeto in basso a sinistra
– poi chiediamo al bambino di trovare anche il cartello del numero 1, il bambino ce la porge e noi gli mostriamo come appoggiarla all’asta
– passiamo quindi al 2, al 3 ecc… rispettando l’ordine crescente della numerazione. E’ importante mostrare bene come posizionare le aste sul tappeto (col segmento rosso sempre a sinistra e ben allineate), e come mettere i cartelli dei numeri (sempre sull’ultimo segmento di ogni asta)
– quando il bambino ha compreso l’esercizio, può essere lasciato da solo per continuarlo
– quando l’esercizio è terminato, i numeri scritti appaiono in sequenza corretta da sinistra a destra:

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Aste numeriche Montessori
Esercizio 4

Questo esercizio aiuta i bambini ad associare quantità e numeri. Al termine dell’esercizio, avremo le aste numeriche sistemate in ordine sparso sul tappeto, e ognuna sarà associata ad una carta posizionata alla propria destra. Le aste non si toccheranno l’una con l’altra. Bisogna notare che la carta del numero 10 è più larga delle carte dei numeri formati da una sola cifra:
-invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio,
– il bambino srotola il tappeto sul pavimento e  noi portiamo al tappeto i cartelli dei numeri e li mostriamo al bambino, facendogli notare che il cartello del numero 10 è più largo degli altri
– chiediamo al bambino di andare a prendere dallo scaffale l’asta numerica più lunga della serie
– il bambino la porta e la posiziona sul tappeto con la parte rossa a sinistra
– abbiniamo il cartello più lungo all’asta più lunga
– consegniamo al bambino un cartello preso a caso e chiediamogli di andare allo scaffale a prendere l’asta numerica corrispondente. Prima che vada allo scaffale, chiediamogli di identificare il numero sulla carta
–  quando il bambino ritorna, chiediamogli: “Che asta hai preso?” e invitiamolo a contare i segmenti dell’asta che ha scelto

– se il bambino ha commesso un errore, contando i segmenti se ne renderà conto da solo, e andrà allo scaffale a prendere l’asta giusta, quindi di nuovo l’insegnante gli chiederà che asta ha preso, e il bambino di nuovo conterà i segmenti dell’asta scelta,
– a questo punto l’asta verrà messa sul tappeto

– e chiederemo al bambino di posizionare il cartello del numero sull’ultimo segmento a destra dell’asta in questione
– consegniamo al bambino un po’ di altre carte dei numeri, e il bambino proseguirà da solo l’esercizio.

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Aste numeriche Montessori
Esercizio 5

In questo esercizio i bambini prima leggono il numero, poi contano i segmenti.

– mettiamo tutte le aste numeriche su un tappeto, e tutti i cartelli dei numeri su un altro
– invitiamo due o tre bambini e mostriamo ad ogni bambino una carta, mettendola poi sul tappeto
– ogni bambino va a prendere l’asta corrispondente al proprio cartello
– chiediamo ad ogni bambino: “Che cosa hai portato per il tuo cartello?”.  Ogni bambino dice il numero e poi conta i segmenti dell’asta scelta,
– ogni bambino posiziona sul tappeto la sua asta e il cartello relativo.

Nota: si può anche provare, in alternativa a questo esercizio, a partire dando ad ogni bambino un’asta e chiedendo di trovare la carta corrispondente. In questo caso, il bambino prima conterà i segmenti, poi leggerà il numero.

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Aste numeriche Montessori
Esercizio 6

Lo scopo di questo esercizio è che il bambino posizioni le aste sul tappeto in ordine crescente e quindi posizioni le carte corrispondenti sull’ultimo segmento a destra di ogni asta. Questo esercizio è molto importante, perchè ci assicura che il bambino ha davvero compreso i concetti di quantità e il valore delle cifre scritte.

– invitiamo il bambino a posizionare sul tappeto le aste numeriche in ordine crescente


– consegniamogli un cartello preso a caso e chiediamogli di metterlo sull’ultimo segmento a destra dell’asta corrispondente


– consegniamo poi tutte i cartelli rimanenti e il bambino prosegue da solo l’esercizio.

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Aste numeriche Montessori
Esercizio 7

– disponiamo sul pavimento tre tappeti in linea orizzontale: nel tappeto a sinistra mettiamo le aste numeriche in ordine crescente; lasciamo libero il tappeto centrale; mettiamo i cartelli dei numeri sul tappeto a destra.
– diamo al bambino un cartello (o un’asta) e chiediamo di prendere l’asta (o il cartello) che gli corrisponde.

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Aste numeriche Montessori – Scopo:
– mettere in relazione simboli e quantità
– introdurre la sequenza dei simboli
– preparare all’addizione, alla sottrazione e alla moltiplicazione
– fare esperienze con la sequenza di numeri da 1 a 10
– imparare a misurare per unità più piccola
– dare al bambino un’impressione sensoriale delle quantità
– imparare a nominare in successione le quantità
– introduzione alla misurazione e al sistema decimale

Aste numeriche Montessori – Varianti:
– mettere le aste su un secondo tappeto lontano da quello in cui si trova quello con i cartelli e chiedere al bambino di portarci l’asta corrispondente a un dato numero
– indicare un’asta e chiedere al bambino di portarci l’asta più piccola di uno (sottrazione) o più grande di uno (addizione).

Aste numeriche Montessori – Controllo dell’errore
– controllo visuale: le bande di colore
– la lunghezza delle aste
– il numero di bande.

Età:
– dai 4 anni in poi, dopo aver presentato le cifre smerigliate.

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Trovi qui gli esercizi preliminari con le aste numeriche:

Aste numeriche Montessori: esercizi per imparare il nome dei numeri da uno a dieci

e qui il tutorial per realizzarle in proprio:

Aste numeriche Montessori – come costruirle

Aste numeriche Montessori

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione. Presentazioni ed esercizi per bambini della scuola primaria. 

Per le presentazioni che seguono ho fotografato il materiale prodotto da Montessori 3D di Boboto.


Per poter lavorare con la tavola forata della divisione i bambini devono avere una solida conoscenza dei meccanismi dell’addizione, della sottrazione e della moltiplicazione, perchè la divisione è un’operazione che ha in sé tutte le altre. E’ soprattutto importante che il bambino sappia lavorare con sicurezza con la tavola per la memorizzazione della moltiplicazione.

Trovi tutto il materiale stampabile pronto:
– moduli della divisione versione 1
– moduli della divisione versione 2
– cartellini delle divisioni da svolgere
– tabella di controllo I della divisione
qui:

 

Gli esercizi collettivi ed i giochi organizzati con le perle dorate danno al bambino una prima rappresentazione materiale della funzione della divisione. Queste attività introduttive vengono poi sostituite con esercizi paralleli svolti con un altro tipo di materiale. Questo materiale si presta all’attività individuale e prepara all’esecuzione dell’operazione scritta. Si tratta di:
– memorizzazione della divisione:
1. attività con la Tavola Forata
2. le tavole della Divisione
– divisione di grandi numeri:
1. struttura dell’operazione (tavole di distribuzione, borsa del quoziente)
2. la grande divisione col divisore di una cifra: (analisi della distribuzione e esecuzione col materiale)
– la grande divisione col divisore di due o più cifre
– la prova della divisione
– calcolo e scrittura della divisione.

Nella pratica della scuola, la divisione coi numeri interi viene esaminata a diversi livelli:
– sistema decimale: funzione della divisione per partizione: dividendo di più cifre e divisore di una o più cifre (gioco del decurione, ecc…)
– gioco dei francobolli: passaggio all’astrazione ed esecuzione dell’operazione, tanto della divisione per partizione quanto della divisione per contenenza; dividendo di più cifre e divisore di una o più cifre; anche divisore con la presenza della cifra zero (203, 230)
– memorizzazione: conoscenza delle combinazioni necessarie e sufficienti; massimo dividendo è 81 e massimo divisore è 9
– divisione col materiale gerarchico: ulteriore passaggio all’astrazione; dividendo di più cifre e divisore di una cifra (piccola divisione o divisione corta) o di più cifre (grande divisione o divisione lunga).

Le divisioni di piccoli numeri (numeri compresi tra 1 e 81) per una cifra (divisore compreso nel limite delle 9 unità semplici), costituiscono il primo degli esercizi paralleli della divisione, accessibile anche ai bambini piccoli.

Per la prima presentazione si usa una tavola forata simile alla Tavola della Moltiplicazione, ma munita di 81 fori invece di 100 (la massima divisione da memorizzare è 81:9=9). Abbiamo inoltre 81 perle verdi (per il dividendo) e una serie di 9 birillini verdi (per il divisore).

La tavola è accompagnata dai Moduli della Divisione, dei foglietti che portano il titolo “Divisione”, e che sono suddivisi in quattro colonne corrispondenti a dividendo, divisore, quoziente e resto. Orizzontalmente il modulo è suddiviso in nove righe: tante quante il numero massimo di divisioni possibili dove il dividendo è nel limite di 81 e divisore e quoziente non superano il 9.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Moduli della Divisione versione 1

Una seconda versione di questi moduli prevede nella seconda colonna l’elenco in ordine decrescente di tutti i divisori possibili (da 9 a 1).

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Moduli della Divisione versione 2

La differenza tra le due versioni di moduli risiede nel fatto che con la prima il bambino costruisce le divisioni e si arresta su quella il cui quoziente sarà maggiore di 9. Con la seconda il bambino compila le parti mancanti solamene di quelle divisioni il cui quoziente non supera il 9, mentre cancella quelle che non sono utilizzabili per il suo lavoro.

Ogni bambino dispone di 81 moduli, raccolti in una busta o rilegati in forma di libretto.

Si comincia prendendo in considerazione le 81 perle verdi nella loro scatola e i 9 birillini che si dispongono lungo la striscia verde che in alto limita la tavola. Spiegheremo ai bambini che ogni birillo deve ricevere la stessa quantità di perle.

L’operazione inizia assegnando una perla a ciascun birillo e, conclusa una prima distribuzione, si continuerà fino all’esaurimento del dividendo.

Poi si conta il numero delle righe di 9 perle ciascuna che si sono potute organizzare: ce lo indicherà anche il corrispondente numero, scritto sulla colonna a sinistra della tavola.

Il bambino, sul modulo, sotto la parola dividendo scriverà 81, sotto la parola divisore 9, sotto quoziente ancora 9 e sotto resto 0. I termini dell’operazione, ogni volta che ci si imbatte in una divisione esatta, vengono evidenziati sottolineandoli con un colore brillante.

Dopo aver dato al bambino l’indicazione che  nessun quoziente e nessun divisore possono essere maggiori di 9, e che nessun resto può essere maggiore o uguale al divisore. Così, dopo aver completato la tavola, il bambino si accerta che con 81 perle non può organizzare nessun’altra divisione.

Rimuoviamo una perla, riducendo il dividendo a 80, e ripetiamo la distribuzione.

Il bambino calcola che 80:9 è uguale a 8, ma gli rimangono 8 perle. Scrive sul modulo. A questo punto rimuove un birillino, riducendo così a 8 il divisore.

Ripetendo la distribuzione scopre che, nonostante abbia dato 9 perle ad ognuno degli 8 birillini, gliene rimangono ancora 8, che è una quantità di perle uguale al divisore. Per questo non si può, con 80 perle, procedere oltre.

L’esercizio riprende, rimuovendo una perla (ora sono 79), ma ricollocando al suo posto il nono birillino. E così via.

Il procedimento seguito si può così riassumere:
– partendo da un dividendo di 81 perle, suddividerlo successivamente per tutti i divisori possibili da 9 a 1, al fine di ottenere quozienti non superiori a 9
– poi, togliere una perla e suddividere il nuovo dividendo come sopra
– procedere così togliendo sempre una perla e suddividendo tutti i nuovi dividendi per tutti i divisori da 9 a 1.

A conclusione dell’esplorazione, il bambino avrà organizzato moltissime divisioni, delle quali è necessario memorizzare soltanto quelle esatte (che saranno in totale 81).

Ogni volta il bambino scrive sui moduli come già spiegato, ma tenendo presente che per ogni nuovo dividendo si usa un nuovo modulo.

Sempre riguardo ai moduli, usando quelli presentati come seconda versione si hanno tre casi:
– il modulo risulta riempito completamente: col dividendo 9 ed è l’unico caso (da 9:9 a 9:1)
– il modulo risulta riempito soltanto nella parte superiore: cioè là dove i divisori sono alti; per esempio col dividendo 56 (da 56:9 a 56:6)
– il modulo risulta riempito soltanto nella parte inferiore: cioè là dove i divisori sono bassi; per esempio col dividendo 5 (da 5:5 a 5:1)

Usando invece i moduli nella prima versione, il bambino, per ogni dividendo, prende in considerazione soltanto i possibili divisori. E, per questo, è la versione di moduli che si preferisce utilizzare.

Tutti gli altri esercizi che derivano da questa presentazione si sviluppano su punti di coscienza successivi da porre all’attenzione del bambino:
– dalle sole divisioni esatte o complete, alla divisione come operazione inversa della moltiplicazione
– dai divisori possibili di un numero fino al concetto di divisibilità.

L’età per questo genere di attività si situa intorno ai 6 anni.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Presentazione 1 – eseguire divisioni con la tavola forata

Materiali:
– tavola forata per la memorizzazione della divisione
– una ciotola
– cartellini delle divisioni da svolgere (o cartellini bianchi e penna nera) in una scatolina
– tavolo o tappeto.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
cartellini delle divisioni da svolgere

Presentazione:
– invitiamo il bambino ad unirsi a noi nell’esercizio dicendo: “Oggi ti mostrerò un nuovo modo per fare le divisioni” e chiediamogli di srotolare un tappeto
– andiamo allo scaffale della matematica, indichiamo il materiale e diciamo: “Questa è la tavola forata della divisione”
– portiamo il materiale al tappeto
– mettiamo la tavola al centro del piano di lavoro ed esaminiamola col bambino
– indichiamo i fori lungo il margine superiore che servono per i birilli e che ci indicano il divisore
– indichiamo i fori più piccoli sulla tavola, dove metteremo le perle che indicano il dividendo
– scegliamo una divisione tra i cartellini delle divisioni pronte, oppure scriviamola su un cartellino bianco


– diciamo al bambino che per questo esercizio abbiamo due regole: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore
– contiamo le perle verdi che rappresentano il dividendo e mettiamole in una ciotola
– mettiamo i birilli che rappresentano il divisore lungo il margine superiore della tavola


– distribuiamo le perle procedendo sempre da sinistra a destra sotto ai birilli

– poi distribuiamo la seconda fila di perle

– e continuiamo in questo modo finché tutte le perle non saranno distribuite equamente sotto ad ogni birillo


– chiediamo: “Quante perle ha ricevuto ogni birillo?”
– il bambino risponde e registra l’operazione e il risultato sul quaderno

– chiediamo al bambino di prendere una nuova divisione da svolgere e di leggerla a voce alta
– ripetiamo il processo
– al termine chiediamo al bambino se gli piacerebbe fare una divisione da solo, quindi prendiamo una divisione da svolgere e leggiamola a voce alta
– il bambino completa il processo.

Note:
– per i primi esercizi è meglio scegliere divisioni senza resto.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Presentazione 2 – moduli per la divisione

Materiale:
– tavola forata per la divisione
– moduli per la divisione sciolti o rilegati in forma di libretto
– tavolo o tappeto
– una ciotola.

Presentazione:
– esaminiamo col bambino i moduli. Indichiamo l’intestazione, su cui è scritta la parola ‘divisione’ e le intestazioni delle quattro colonne: dividendo, divisore, quoziente, resto
– prendiamo un modulo e scriviamo come intestazione 81
– chiediamo al bambino di contare 81 perle e di metterle nella ciotola
– diciamo al bambino che vogliamo distribuire le 81 perle tra 9 birilli
– ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore
– mettiamo i 9 birilli lungo il margine superiore della tavola
– scriviamo sul modulo la prima divisione, cioè 81 (dividendo) 9 (divisore)
– distribuiamo le 81 perle sulla tavola procedendo sempre da sinistra a destra per completare le file e scendendo poi alla fila successiva
– indichiamo la tavola: distribuendo 81 perle tra 9 birilli, ogni birillo ha ricevuto 9 perle
– scriviamo 9 nella colonna quoziente e rileggiamo per intero l’operazione che abbiamo scritto sul modulo
– la ciotola delle perle è vuota: questo significa che il resto è 0, quindi scriviamo 0 sul modulo
– diciamo al bambino che le divisioni senza resto sono le più importanti di tutte, e che per ricordarle possiamo sottolineare sul modulo

– togliamo le 81 perle dalla tavola e rimettiamole nella ciotola
– diciamo al bambino che ora proveremo a distribuire le 81 perle tra 8 birilli invece che 9, quindi togliamo un birillo dalla tavola
– ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore
– distribuiamo le perle tra gli otto birilli, come abbiamo già fatto nella divisione precedente

– contiamo le perle avanzate nella ciotola: sono 9! Siccome 9 supera il divisore, che è 8, e siccome non abbiamo spazio sulla tavola per queste perle avanzate, non possiamo eseguire questa divisione con la tavola
– rimettiamo le 81 perle nella ciotola e proviamo a dividerle per 7, poi ripetiamo anche dividendole per 6 e se il bambino lo desidera per gli altri numeri inferiori
– osserviamo coi bambini che il resto diventa sempre più grande se il dividendo diventa sempre più piccolo
– per questo motivo sul modulo dell’81 possiamo scrivere soltanto 81:9=9, resto 0
– liberiamo la tavola, prendiamo un nuovo modulo e scriviamo nell’intestazione 80
– contiamo 80 perle e mettiamole nella ciotola
– diciamo al bambino che vogliamo distribuire le 80 perle tra 9 birilli
– ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore
– mettiamo i 9 birilli lungo il margine superiore della tavola
– scriviamo sul modulo la prima divisione, cioè 80 (dividendo) 9 (divisore)
– distribuiamo le 80 perle sulla tavola procedendo sempre da sinistra a destra per completare le file e scendendo poi alla fila successiva
– indichiamo la tavola: distribuendo 80 perle tra 9 birilli, ogni birillo ha ricevuto 8 perle
– scriviamo 8 nella colonna quoziente e rileggiamo per intero l’operazione che abbiamo scritto sul modulo
– la ciotola delle perle ne contiene 8: questo significa che il resto è 8, quindi scriviamo 8 sul modulo
– anche con l’80 non possiamo continuare oltre il 9 perchè il resto supererebbe il 9
– liberiamo la tavola, prendiamo un nuovo modulo e scriviamo nell’intestazione 79
– contiamo 79 perle e mettiamole nella ciotola
– diciamo al bambino che vogliamo distribuire le 79 perle tra 9 birilli
– ricordiamo le due regole della tavola forata: il risultato non può essere più grande di 9, e il resto non può essere uguale o più grande del divisore
– mettiamo i 9 birilli lungo il margine superiore della tavola
– scriviamo sul modulo la prima divisione, cioè 79 (dividendo) 9 (divisore)
– distribuiamo le 79 perle sulla tavola procedendo sempre da sinistra a destra per completare le file e scendendo poi alla fila successiva
– indichiamo la tavola: distribuendo 79 perle tra 9 birilli, ogni birillo ha ricevuto 8 perle
– scriviamo 8 nella colonna quoziente e rileggiamo per intero l’operazione che abbiamo scritto sul modulo
– la ciotola delle perle ne contiene 7: questo significa che il resto è 7, quindi scriviamo 7 sul modulo
– anche col 79  non possiamo continuare oltre il 9 perchè il resto supererebbe il 9


Note:
– dopo aver dato queste indicazioni, il bambino continua a lavorare col materiale e gli altri dividendi, registrando sempre il suo lavoro e sottolineando sempre le divisioni senza resto
– non è necessario che lavori con tutti i dividendi, ciò che importa è che  comprenda il procedimento
– se il bambino non lo ha notato da solo, dopo aver svolto un certo numero di esercizi con i moduli possiamo attirare la sua attenzione sui rapporti tra dividendo, divisore e quoziente, ad esempio:
12 : 4 = 3 e 12 : 3 = 4.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
Presentazione 3 – tavola di controllo della divisione

Materiale:
– tavola forata per la divisione
– cartellini delle divisioni da svolgere
– tabella di controllo I della divisione.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione
 tabella di controllo I della divisione

Presentazione:
– scegliamo una divisione,
– copiamo la divisione sul quaderno


– stabiliamo il dividendo contando le perle verdi e mettendole nella ciotola
– stabiliamo il divisore mettendo sulla tavola i birilli verdi corrispondenti


– distribuiamo il dividendo
– registriamo  il numero di perle assegnate a ogni birillo (quoziente)


– controlliamo il risultato sulla tavola di controllo


– togliamo i birilli e le perle
– scegliamo un’altra divisione
– eseguiamola come fatto con la prima
– controlliamo sulla tavola di controllo il risultato.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

Esercizi con la tavola forata della divisione

Scopo:
– memorizzare le divisioni
– acquisire familiarità con i modi in cui i numeri possono essere divisi
– dimostrare che ogni numero è divisibile e solo per alcuni numeri
– mostrare la relazione tra moltiplicazione e divisione
– fare esperienze concrete con la divisione utilizzando come divisore massimo il 9
– sperimentare a livello sensoriale la relazione inversa tra divisione e moltiplicazione.

Controllo dell’errore:
– i birilli e i fori per le perle possono fungere da controllo dell’errore
– la tavola di controllo
– la tavola I della divisione.

Età:
– dai 5 e mezzo agli 8 anni.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

DIY

Questo è un esempio di tavola stampabile usata con i Lego:

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della divisione

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Cesto dei solidi geometrici Montessori

Cesto dei solidi geometrici Montessori: presentazioni ed esercizi per bambini del nido e della scuola d’infanzia. 

Con la cesta dei solidi geometrici si introducono nuovi vocaboli, incoraggiando al contempo l’esplorazione tattile e l’esperienza pratica.

Cesto dei solidi geometrici Montessori comprende dieci forme:
– cubo: ogni lato misura 6 cm
– sfera: diametro di 6 cm
– cono: il diametro della base è 6 cm e l’altezza 10 cm
– cilindro: il diametro della base è 6 cm e l’altezza 10 cm
– parallelepipedo (prisma a base rettangolare) i lati misurano cm 10 e cm 6
– prisma a base triangolare: i lati delle basi misurano 6 cm e le altezze 10 cm
– ovoidale: asse maggiore 10 cm e minore 6 cm
– ellissoide: asse maggiore 10 cm e minore 6 cm
– piramide a base quadrata: i lati della base misurano cm 6 e l’altezza è 10 cm
– piramide a base triangolare: i lati della base misurano cm 6 e l’altezza è 10 cm.

Coi bambini più piccoli si possono tra queste selezionare sette solidi soltanto: cubo, cilindro, prisma a base triangolare, prisma a base rettangolare, piramide a base quadrata, piramide a base triangolare e cono.

“Il grande piacere che i bambini provano nel riconoscimento degli oggetti per mezzo del tocco della loro forma, corrisponde per sé stesso ad un esercizio sensoriale.
Molti psicologi hanno parlato del senso stereognostico, cioè della capacità di riconoscere forme per il movimento dei muscoli della mano, che segue i contorni degli oggetti solidi. Questo senso non consiste nel solo senso del tocco, perché la sensazione tattile è soltanto quella per la quale noi percepiamo differenze in qualità di superfici (ruvido o liscio).
Le percezioni di forma vengono dalla combinazione di due sensazioni, tattile e muscolare, cioè da sensazioni di movimento… quello che noi chiamiamo nei ciechi senso tattile, è in realtà, molto spesso, il senso stereognostico; cioè, essi percepiscono per mezzo delle loro mani le forme dei corpi.
E’ la speciale sensibilità muscolare del bambino da tre a sei anni di età, quella che forma la sua propria attività muscolare, che stimola in lui l’uso del senso stereognostico. Quando il bambino spontaneamente si benda gli occhi per riconoscere i diversi oggetti, come gli incastri solidi e piani, egli esercita questo senso. Vi sono molti esercizi che il bambino può fare ad occhi chiusi.
Nel materiale di sviluppo vi sono anche solidi geometrici dipinti in turchino chiaro.
La maniera più divertente per insegnare al bambino a riconoscere queste forme, è di fargliele palpare ad occhi chiusi, invitandolo a indovinare il loro nome: questo sarà insegnato con apposite lezioni in tre tempi. Dopo un esercizio di tal genere il bambino, quando ha gli occhi aperti, osserva le forme con un interesse più vivo.
Un’altra maniera di interessarlo ai solidi geometrici, è di farli muovere. La sfera rotola in tutte le direzioni; il cilindro rotola in una sola direzione; il cono rotola intorno a se stesso; il prisma e la piramide, in qualunque maniera, poggiano stabilmente ma il prisma cade più facilmente che non la piramide.
Basterà un accenno per far rilevare delle analogie nell’ambiente. Come l’analogia del cilindro con una colonna, della sfera colla testa umana, ecc., e si resterà stupiti della capacità che hanno i bambini nel trovare da sé simili analogie”.
Maria Montessori –  Manuale di pedagogia scientifica.

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Cesto dei solidi geometrici Montessori
Presentazione 1 – lezione in tre tempi per imparare i nomi dei solidi geometrici

Materiale:
– dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio (con i bambini più piccoli meglio usare 7 solidi e non 10)
– tappeto o tavolo.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi, ad esempio dicendo: “Ti piacerebbe stare un po’ con me per imparare delle parole nuove?” e chiediamogli di srotolare il tappeto
– andiamo allo scaffale del materiale sensoriale e diciamo: “Oggi lavoreremo con i solidi geometrici”. Mostriamo al bambino dove si trova il materiale sullo scaffale e chiediamogli di ripetere con noi “Solidi geometrici”. Chiediamo: “Mi passeresti i solidi geometrici?”. Il bambino ce li porge, e  noi gli mostriamo come trasportarli e posarli sul tappeto.
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo e chiediamo: “Come si chiama questo materiale?”. Il bambino risponde che si tratta dei solidi geometrici
– scegliamo tre solidi e mettiamoli al centro del piano di lavoro, quindi procediamo con la lezione in tre tempi per impararne i nomi


– primo tempo. Nel primo tempo isoliamo i vocaboli (cubo, sfera, cilindro). Per l’associazione della sensazione col nome diciamo: “Questa è una sfera… vuoi ripetere la parola sfera?”. Prendiamo in mano la sfera, facciamola roteare tra le mani, accarezziamola con la punta delle dita, poi diamola al bambino perchè anche lui possa sentirla, ripetendo se serve la parola “sfera”.  Seguiamo la stessa procedura con altre due forme


– secondo tempo: per il riconoscimento dell’oggetto in base al nome, chiediamo al bambino di compiere azioni con la forma che nominiamo, ad esempio dicendo: “Indicami il cilindro”, “Per favore metti la sfera qui?”, “Per favore metti il cubo al centro del tavolo”, “Passami il cilindro”, “Fai rotolare la sfera” ecc. Quando il bambino risponde in modo corretto e con sicurezza si passa al terzo tempo. Il secondo tempo della lezione è quello più delicato perchè ci permette di osservare se il bambino ha davvero compreso; è inoltre la fase più divertente per il bambino, perchè possiamo anche chiedergli di fare cose buffe con gli oggetti che gli stiamo presentando. Se il bambino non è in grado di identificare l’oggetto, si dovrebbe tornare, per quell’oggetto, ai primo tempo


– terzo tempo: per verbalizzare il nome corrispondente all’oggetto mettiamo i solidi uno alla volta davanti al bambino e chiediamo per ognuno: “Cos’è questo?”


– per variare il terzo tempo della lezione possiamo anche fare il gioco del “cosa manca?”. Dopo aver messo i tre solidi in fila sul piano di lavoro


– copriamo uno dei tre solidi con un fazzoletto


-e  chiediamo: “Quale solido è scomparso?”
– a questo punto possiamo dire: “Adesso conosci i nomi di tre dei solidi geometrici: cilindro, sfera e cubo” e possiamo ringraziare il bambino per aver lavorato con noi
– in un altro momento della giornata o un altro giorno procederemo allo stesso modo con gli altri solidi.

Età:
– dai 3 ai 4 anni.

Nota: se il bambino non si mostra interessato alla lezione, significa semplicemente che non è il momento giusto, e che dovrà essere presentata in un altro momento. Se la lezione non è riuscita i motivi possono essere vari: forse quel giorno il bambino è particolarmente distratto, oppure ha bisogno che sia ridotto il numero di solidi da presentare, o forse la nostra lezione è stata troppo lunga. Questo genere di lezioni in tre tempi possono essere faticose per i bambini, e per questo dovrebbero durare davvero pochi minuti.

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Cesto dei solidi geometrici Montessori
Presentazione ad occhi bendati

Materiale:
– dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio
– benda per occhi
– tappeto o tavolo.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici
– trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo
– mettiamo i solidi sul piano di lavoro


– il bambino mette la benda e toccando i solidi li identifica.

Varianti:
– mentre il bambino è bendato, possiamo chiedergli di trovare un particolare solido che nominiamo
– invece di bendare il bambino possiamo scegliere tre o quattro solidi e metterli in un cestino separato coperto con un telo. Il bambino raggiunge i solidi con la mano, infilandola sotto al telo, e uno alla volta li riconosce al tatto. Quando riconosce un solido, lo estrae dal cesto per verificare il suo lavoro.

Una variante di gruppo:
– un gruppo di bambini siede attorno al tappeto tenendo le mani dietro alla schiena
– passiamo dietro di loro e mettiamo un solido tra le mani di ogni bambino
– fermiamoci davanti al tappeto e chiediamo, ad esempio: “Chi ha la sfera?”
– il bambino che pensa di avere la sfera la mette sul tappeto e il gioco continua.

Età:
– dai 3 ai 4 anni.

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Cesto dei solidi geometrici Montessori
Presentazione 2 – borsa del mistero (mistery bag)

Materiale:
– sette solidi geometrici (per il nido) e dieci solidi geometrici (per la scuola d’infanzia)
– borsa in tessuto
– tappeto o tavolo.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici
– trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo
– mettiamo i solidi (tutti o un certo numero) all’interno della borsa in tessuto


– il bambino identificherà i solidi toccandoli all’interno della borsa.

Varianti:
– chiediamo al bambino di trovare all’interno della borsa un certo solido
– due bambini giocano insieme: un bambino chiede un certo solido e l’altro lo trova senza usare la vista.

Età:
– dai 2 ai 4 anni.

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Cesto dei solidi geometrici Montessori
Presentazione 3 – cercare somiglianze tra i solidi

Materiale:
– solidi geometrici (con i bambini più piccoli meglio usare 7 solidi e non 10)
– tappeto o tavolo.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi dicendo: “Oggi faremo un nuovo esercizio coi solidi geometrici” e chiediamogli di srotolare il tappeto
– andiamo allo scaffale dei materiali sensoriali, il bambino individua il cesto dei solidi geometrici e lo porta al tappeto
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo, prendiamo una ad una le forme e mettiamole sul piano di lavoro formando una fila orizzontale lungo il margine superiore, da sinistra a destra. Per la prima serie di sovrapposizioni escludiamo sfera, ovoidale ed ellissoide, di modo che le forme da sovrapporre tra loro siano 7
– scegliamo, ad esempio, il cubo
– mentre con l’indice percorriamo i lati della faccia superiore del cubo diciamo: “Riesci a trovare un altro solido che si adatti esattamente a questo faccia del cubo?”
– chiediamo al bambino di sovrapporre il secondo solido al primo (ad esempio cubo e piramide a base quadrata)
– isoliamo un altro solido e chiediamo al bambino fare un altro abbinamento (ad esempio cilindro e cono)


– il bambino fa abbinamenti tra le facce uguali dei solidi, ad esempio ponendo il cono sul cilindro, la piramide sul cubo, ecc.

– lavorando con i 10 solidi, escludendo sfera ellissoide ed ovoidale, avremo un numero dispari di forme da accoppiare, così formando le coppie avanzerà sempre un solido che resterà solo
– fatti i primi 3 abbinamenti, prendiamo il solido rimasto solo, dividiamo tutte le coppie fatte, e ricominciamo prendendo per primo il solido rimasto solo
– dopo questi primi accostamenti, possiamo inserire le tre forme con superficie curva sovrapponendole alle facce piane degli altri solidi
– discutiamo coi bambini, attirando la loro attenzione sul fatto che alcuni solidi possono essere sovrapposti perchè hanno facce uguali, i solidi sovrapposti creano altre forme che possono assomigliare ad oggetti, i solidi che hanno solo superfici curve poggiano su un solo punto, non possiamo sovrapporre due solidi curvilinei, ecc.

Punti di interesse:
– sovrapporre i solidi con movimenti intenzionale
– c’è sempre un solido che rimane da solo.

Età:
– dai 2 ai 4 anni.

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Cesto dei solidi geometrici Montessori
Presentazione 4 – sperimentare il movimento dei solidi

Materiale:
– il cesto dei solidi geometrici  (a seconda dell’età del bambino possiamo selezionare un numero inferiore di forme)
– tappeto o tavolo

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici dicendo: “Oggi faremo insieme un nuovo esercizio coi solidi geometrici”
– portiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo
– diciamo: “Oggi esploreremo i solidi geometrici e vedremo come si muovono”
– esploriamo i solidi facendoli roteare tra le mani. Poi posiamoli sul tappeto formando una fila orizzontale lungo il margine superiore, da sinistra a destra
– scegliamo, ad esempio, il cubo


– facciamo roteare il cubo tra le mani


– mettiamo il cubo sul piano di lavoro e spingiamolo delicatamente per farlo ribaltare sul tavolo
– scegliamo un altro solido e procediamo come abbiamo fatto col cubo
– discutiamo coi bambini, facendo notare che quando facciamo muovere i solidi spingendoli il cubo, i prismi e le piramidi non ruotano; il cilindro, la sfera ruota in avanti; il cono compie un percorso circolare; l’ellissoide e l’ovoide compiono un movimento sbilanciato.

Variante con la lavagna di sabbia
– dopo aver rimesso i solidi in ordine sul tavolo, uno accanto all’altro in riga orizzontale, prendiamo la lavagna di sabbia e mettiamola davanti a noi
– prendiamo un solido e facciamolo rotolare sulla lavagna per osservare la traccia che lascia


– creiamo l’impronta delle varie facce di un solido sulla lavagna

Conclusione: 
– chiediamo al bambino di suddividere i solidi in base a come si muovono, formando 2 gruppi: quelli che rotolano e quelli che non rotolano.

Possiamo anche preparare dei fogli di lavoro simili a questo (in inglese) :

Età:
– dai 3 ai 4 anni.

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Solidi geometrici Montessori
Presentazione 5 – abbinare solidi e oggetti

Il bambino può associare oggetti della vita reale con le rispettive forme geometriche.  E’ importante fare il possibile per aiutare il bambino ad acquisire consapevolezza rispetto alle forme geometriche degli oggetti che lo circondano nel suo ambiente. Possiamo anche invitare i bambini a portare  a scuola oggetti che corrispondano alla forma dei solidi geometrici della cesta.

Materiale:
– dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio
– tappeto o tavolo.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici
– trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo
– mettiamo i solidi sul piano di lavoro
– chiediamo al bambino di prendere un solido e di andare in giro per la stanza alla ricerca di un oggetto che abbia la stessa forma
– quando l’ha trovato, il bambino tornerà e metterà l’oggetto sul piano di lavoro accanto al solido corrispondente.

Varianti:
– in seguito il bambino può procedere ad abbinare solidi e oggetti senza portare con sé il solido scelto
– quando il bambino è pronto possiamo chiedere di portarci un oggetto corrispondente ad un solido che verrà solo nominato
– possiamo predisporre un cesto pieno di oggetti da abbinare, senza che il bambino vada a cercarli per la stanza
– possiamo anche fotografare  oggetti corrispondenti alle forme dei solidi e preparare delle carte illustrate (foto di miescuelitamontessori.blogspot.it). Qui della carte pronte (da acquistare)

Età:
– dai 3 ai 4 anni.

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Solidi geometrici Montessori
Presentazione 6 – abbinare i solidi alla rappresentazione piana delle facce

Materiale:
– dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio
– rappresentazioni piane delle facce dei solidi
– tappeto o tavolo.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con i solidi geometrici
– trasportiamo il materiale sul piano di lavoro, tenendo il cesto con due mani
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo
– mettiamo i solidi sul piano di lavoro formando una riga orizzontale
– mettiamo le rappresentazioni piane delle facce dei solidi sul piano di lavoro formando una riga orizzontale sotto ai solidi


– scegliamo tre tavolette, allineiamole davanti al bambino e chiediamogli di trovare i solidi che si possono sovrapporre alla rappresentazione piana
– continuiamo così con tutte le tavolette
– invitiamo i bambini ad osservare i solidi dall’alto

– discutiamo coi bambini: quanti solidi si possono abbinare alla stessa tavoletta? Perché?

Età:
– dai 3 ai 4 anni.

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Solidi geometrici Montessori
Presentazione 7 – abbinare i solidi con le loro facce
scuola d’infanzia

Materiale:
– i 10 solidi geometrici disposti su un vassoio
– forme di legno (o carte) che rappresentano le facce dei solidi: cerchi, quadrati, rettangoli e triangoli

pdf qui: 

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi i solidi geometrici e le facce
– posiamo i solidi sul piano di lavoro in linea orizzontale da sinistra a destra e le facce che abbiamo preparato
– diciamo: “Oggi abbineremo le figure geometriche stampate con le facce dei solidi”
– scegliamo la prima carta e facciamola scorrere tra i solidi, procedendo da sinistra a destra, fino a trovare una faccia corrispondente


– mettiamo la carta davanti al solido. Prendiamo il solido e posiamolo sulla carta corrispondente, osserviamo la corrispondenza e quindi rimettiamo il solido al suo posto
– continuiamo con le rimanenti carte


– quando tutte le carte sono state abbinate ai solidi, discutiamo coi bambini somiglianze e differenze che questo lavoro ci ha permesso di evidenziare

Età:
– dai 3 ai 5 anni.

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Solidi geometrici Montessori
Presentazione 8 – nomenclatura per le parti dei solidi

Materiale:
– dieci solidi geometrici in un cesto rivestito di stoffa o allineati su un vassoio
– tappeto o tavolo
– foglio di lavoro per l’osservazione dei solidi geometrici.

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi  i solidi geometrici
– posiamo il cesto sul tappeto o sul tavolo
– osserviamo i solidi uno ad uno contandone spigoli, facce ed angoli

pdf del modulo in bianco qui: 

Questo è un modulo in inglese:

Età:
– dai 3 ai 6 anni.

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Solidi geometrici Montessori
Presentazione 9 – abbinare i solidi con i cartellini dei nomi

Materiale:
– i 10 solidi geometrici disposti su un vassoio
– cartellini dei nomi per i solidi geometrici: faccia, vertice, spigolo, angolo, base, cerchio, quadrato, triangolo, rettangolo

Presentazione:
– invitiamo il bambino a lavorare con noi con i solidi geometrici
– posiamo i solidi sul piano di lavoro in linea orizzontale da sinistra a destra e mettiamo la scatola dei cartellini a sinistra
– diciamo: “Oggi abbineremo i cartellini ai solidi”
– prendiamo il primo gruppo di cartellini che recano ad esempio la scritta ‘base’


– posizioniamo un cartellino in corrispondenza della base di ogni solido
– continuiamo allo stesso modo con i rimanenti cartellini:

Età:
– dai 5 ai 7 anni.

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Solidi geometrici Montessori
Presentazione 10 – carte delle nomenclature in 3 parti
per bambini dai 3 ai 6 anni

pdf qui:

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Solidi geometrici Montessori
Presentazione 11 – cartellini dei comandi

Per i bambini che sanno leggere, e proprio per esercitare la lettura in modo vario, possiamo preparare dei cartellini dei comandi per lavorare con i solidi geometrici. Questi comandi li aiuteranno a lavorare coi solidi in modo indipendente ad una grande varietà di esercizi.
I comandi possono essere proposti anche ai bambini che ancora non sanno leggere, sia chiedendo al bambino di scegliere un cartellino e leggendoglielo a voce alta, sia mettendo il bambino che non sa leggere in un gruppo di bambini che lo sanno fare, per eseguire i comandi insieme.
Questi sono i miei comandi:

pdf qui: 

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Solidi geometrici Montessori

Nomenclatura:
– i nomi dei solidi
– base, lato, spigolo, vertice, angolo, ecc.

Punti di interesse:
– i vari movimenti che i solidi compiono mentre rotolano
– il diverso numero di facce, spigoli, angoli presenti nei diversi solidi

Scopo:
– favorire l’esplorazione tattile
– affinare il senso stereognostico
– introdurre nuove parole e arricchire il vocabolario
– intuire alcune delle proprietà dei solidi
– sviluppare la capacità di percezione visiva delle forme tridimensionali
– rendere consapevole il bambino delle forme geometriche solide che lo circondano
– sviluppare la capacità di trovare somiglianze e differenze tra le forme geometriche confrontandole tra loro
– preparare allo studio della geometria
– migliorare la capacità di concentrazione e coordinazione.

Controllo dell’errore:
– disarmonia percepita col senso stereognostico e visivo.

Estensioni ed altre idee:
– possiamo chiedere ai bambini di modellare i solidi geometrici con creta o altre paste da modellare
– possiamo proporre ai bambini più grandi i modelli dei solidi geometrici da costruire col cartoncino
– ho trovato moltissime altre idee in questa pagina di Pinterest.

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Solidi geometrici DIY

– realizzati con pasta di sale (e poi dipinti in blu):

– possiamo realizzare i modelli dei solidi in cartoncino blu; in questo sito trovate tutti i modelli di poliedro in formato pdf pronti per la stampa: paper models of polyedra. I modelli possono essere utili anche per chi possiede i solidi geometrici in legno, per creare attività parallele sia coi più piccoli, sia nella scuola primaria

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Pubblicato il

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione. Presentazioni ed esercizi per bambini della scuola primaria. Lo scopo di questo materiale è la memorizzazione del risultato di tutte le combinazioni ottenute ripetendo i numeri da 1 a 9, da una a 9 volte. L’esercizio è così semplice che si può proporre a bambini fra i 5 anni e mezzo  e i 6 anni.

Si tratta di una tavoletta quadrata con 100 incavi (100 = 10 x 10), in ciascuno dei quali si può collocare una perla. In alto, come intestazione delle colonne verticali di incavi, sono stampati i numeri da 1 a 10. Nella parte sinistra della tavoletta, in posizione mediana, si trova un incavo nel quale è possibile inserire un cartoncino su cui è stampato in rosso uno dei numeri da 1 a 10. Questo cartoncino, che riveste il ruolo di moltiplicando, è intercambiabile. Nell’angolo in alto a sinistra c’è un grande incavo circolare, che serve ad alloggiare un gettone rosso che va collocato sui numeri che rappresentano le volte; questo gettone cambierà continuamente posto, seguendo la tabellina in azione. Completa il materiale una scatolina contenente 100 perle sciolte.

Tutto il materiale stampabile presente in questo articolo:
– moduli della moltiplicazione
– Tavola I della moltiplicazione
– cartellini delle moltiplicazioni da svolgere
– cartellini delle addizioni per la tavola forata della moltiplicazione
– moduli per la ricerca dei fattori
– cartellini dei prodotti 
è disponibile per gli abbonati, pronto per la stampa, qui:

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

L’esercizio, come descritto da Maria Montessori, è molto semplice: supponiamo di voler moltiplicare il 6 per la serie dei numeri da 1 a 10. Avremo: 6 x 1, 6 x 2, 6 x 3, 6 x 4, 6 x 5, 6 x 6, 6 x 7, 6 x 8, 6 x 9, 6 x 10:
– inseriamo nella casella di sinistra il cartoncino col numero 6
– per moltiplicare 6 per 1, prima di tutto collochiamo il gettone rosso sul numero 1 che contrassegna la prima colonna di incavi
– poi si dispongono 6 perle nei primi 6 incavi verticali della colonna dell’1
– per moltiplicare 6 x 2 spostiamo il gettone al di sopra del 2, prendiamo altre 6 perle e incolonniamole al di sotto del 2
– Per moltiplicare 6 x 3 spostiamo il gettone al di sopra del 3, prendiamo altre 6 perle e incolonniamole al di sotto del 3
– proseguiamo così fino a raggiungere 6 x 10.

Lo spostamento del gettone ha lo scopo di indicare volta per volta il nuovo moltiplicatore, e richiede al bambino un’attenzione sempre attiva e la massima esattezza di esecuzione. Mentre il bambino esegue questo esercizio, scrive i prodotti su apposite schede o “moduli della moltiplicazione”:

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

moduli della moltiplicazione

Durante l’esercizio con la tavola forata il bambino dovrà scrivere sui moduli soltanto i prodotti che ha ottenuto aggregando le perle a gruppi di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Maria Montessori consiglia di preparare ogni modulo in dieci copie, di modo che il bambino possa ripetere l’esercizio dieci volte per ogni tabellina. La ripetizione di uno stesso esercizio porterà il bambino a trasformare l’attività pratica in facoltà di ricordare a memoria le combinazioni della moltiplicazione.

Dopo che i bambini hanno riempito per molte volte le serie di moduli, aiutandosi col materiale, si offre loro la Tavola I della moltiplicazione:

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Tavola I della moltiplicazione

Si tratta di una tavola di controllo che serve al bambino a verificare se ha commesso qualche errore nel calcolo delle moltiplicazioni. Tabellina dopo tabellina, numero dopo numero, il bambino può verificare con la tavola se ogni prodotto corrisponde a quello presente in una delle 10 colonne. Eseguito con la massima attenzione questo controllo, i bambini sono in possesso di serie numeriche sicuramente prive di errori.

Su di un foglio copiano poi dai moduli le tabelline, una accanto all’altra e nella loro successione. Con questo lavoro, il bambino otterrà una tavola uguale a quella che ha usato per i controlli.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione
Presentazione del materiale

Materiale:
– tavola forata per la moltiplicazione.

Presentazione:
– invitiamo il bambino dicendo: “Oggi vorrei mostrarti un nuovo materiale chiamato tavola forata per la moltiplicazione”
– mettiamo il materiale di fronte a noi sul piano di lavoro.  Mettiamo la scatolina a sinistra della tavola, in alto
– apriamo la scatolina, mettiamo il coperchio a sinistra della tavola e sul coperchio mettiamo i tasselli dei numeri

– diciamo, ad esempio: “Ora prenderemo 7 per 6 volte”
– inseriamo il tassello del numero 7 nella tavola

– mettiamo il gettone rosso sul numero 6
– formiamo la prima colonna verticale di 7 perle


– completiamo le altre colonne, fino ad averne sei


– contiamo le perle a voce alta
– scriviamo su un cartellino bianco l’operazione e il risultato


– rimettiamo le perle nella scatola, il gettone rosso nel suo alloggiamento e il tassello sul coperchio della scatola
– invitiamo il bambino a ripetere l’esercizio inventando e scrivendo una moltiplicazione
– mostriamo al bambino dove e come riporre il materiale al termine dell’esercizio.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione 

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– cartellini bianchi e penna nera.

Nota:
– per presentare il materiale evitiamo di usare la tabellina dell’uno, perchè non rende il concetto di moltiplicazione; scegliamo qualsiasi altra unità.

Presentazione:
– invitiamo un gruppo di bambini ad unirsi a noi per l’esercizio
– portiamo il materiale al tavolo o al tappeto
– mostriamo al bambino la tavola forata, mettiamola sul piano di lavoro accanto alla scatolina contente le perle, il gettone e i tasselli dei numeri
– diciamo: “In questo esercizio il numero da moltiplicare è il 3. Lavoreremo col numero tre”
– chiediamo a un bambino di prendere il tassello del numero 3 e  mostriamo come inserirlo nella tavola
– collochiamo il tassello del 3 nel foro della tavola e diciamo: “Questo numero ci ricorderà con quale tabellina stiamo lavorando”


– collochiamo il gettone rosso sulla prima colonna (numero 1) e incolonniamo tre perle sotto al numero 1
– incoraggiamo i bambini ad iniziare a contare le perle a 3 a 3, invece di contare ogni perla singolarmente
– indichiamo la colonna di perle e diciamo “Tre preso una volta, tre”


– spostiamo di volta in volta il gettone e  completiamo le colonne 1, 2, 3, 4 fino ad arrivare a “Tre preso quattro volte, dodici”


– scriviamo il risultato sul cartellino.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione 

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– moduli della moltiplicazione
– tavola I della moltiplicazione.

Presentazione:
-scegliamo un modulo da compilare, ad esempio quello del 4
– inseriamo il tassello del numero 4 nella tavola e spostiamo il gettone rosso sulla colonna dell’1

– il bambino legge la prima combinazione del modulo indicando il 4 del tassello e il numero segnato dal gettone rosso e dicendo: “Quattro preso una volta”
– riempie la prima colonna, conta le perle e registra il risultato sul modulo


– il bambino sposta il gettone e legge la combinazione successiva “Quattro per due volte”
– riempie la seconda colonna, conte le perle e registra il risultato sul modulo
– proseguiamo così con le altre colonne
– quando arriviamo alla moltiplicazione in cui moltiplicatore e moltiplicando sono uguali (4×4) facciamo notare la forma geometrica che si crea con le perle


– arrivati e 4 x 10, dopo aver registrato l’operazione sul modulo, il bambino confronta il modulo con la tavola I per verificare la correttezza dell’esercizio

Controllo dell’errore:
– la tabella I

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– moduli delle moltiplicazioni (possono essere anche rilegati a formare un libretto)
– tavola I della moltiplicazione.

Presentazione:
– mostriamo ai bambini i moduli: ce ne è uno per ogni moltiplicando dall’1 al 10, e per ogni moltiplicando ci sono i moltiplicatori dall’1 al 10
– scegliamo un modulo, ad esempio quello del 3
– stabiliamo il moltiplicando 3 sulla tavola, inserendo il tassello del 3
– leggiamo la prima moltiplicazione del modulo: 3 x 1 =
– spostiamo il gettone rosso sull’uno e poniamo 3 perle sotto di esso
– registriamo il prodotto sul modulo: 3 x 1 = 3


– leggiamo la seconda moltiplicazione: 3 x 2 =
– spostiamo il gettone rosso sul due e poniamo 3 perle sotto di esso
– registriamo il prodotto sul modulo: 3 x 2 = 6
– proseguiamo così fino a 3 x 10 = 3o


– dopo aver completato il modulo, verifichiamo i risultati confrontandoli con quelli della Tavola I della moltiplicazione.

Nota:
– in ogni sistema si numerazione, il massimo prodotto da memorizzare è dato da (b – 1)². Così, per il sistema decimale, avremo (1o – 1)² = 81. Tuttavia Maria Montessori ha ritenuto opportuno, in questo materiale, estendere la memorizzazione delle combinazioni inserendo quella del 10 (da 10×1 a 10×10) per sottolineare la semplicità del nostro sistema. Quello che differenzia i prodotti della tabellina dell’1 da quelli della tabellina del 10 è unicamente uno zero.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione

Materiale:
– tavola forata per la moltiplicazione
– moduli della moltiplicazione.

Presentazione:
– invitiamo il bambino dicendo: “Oggi vorrei mostrarti un esercizio da svolgere con la tavola forata per la moltiplicazione”
– portiamo il materiale sul piano di lavoro (tavolo o tappeto)
– mettiamo la scatola a sinistra della tavola, in alto, e togliamo il coperchio
– diciamo: “Ora faremo la tabellina del 6”
– mostriamo al bambino il modulo per il 6 da compilare
– inseriamo il tassello del 6 nella tavola forata e il gettone rosso nel suo alloggiamento
– leggiamo sul modulo la prima moltiplicazione: “6 x 1”


– spostiamo il gettone rosso sul numero 1
– mettiamo 6 perle sulla tavola formando una colonna sotto al numero 1
– contiamo le perle a voce alta
– registriamo il risultato sul modulo


– spostiamo il gettone rosso sul numero 2
– mettiamo altre 6 perle in colonna
– contiamo a voce alta indicando la prima colonna e dicendo: “6”, poi contiamo: “7, 8, 9, 10, 11, 12”, poi ripetendo: “sei, dodici” indicando le colonne
– registriamo il risultato sul modulo


– proseguiamo così fino a 6 x 10 = 60


– leggiamo il modulo completato a voce alta
– rimettiamo le perle nella scatola e il gettone nel suo alloggiamento
– invitiamo il bambino a completare un’altra tabellina e a leggerla a voce alta ad un altro bambino.

Età:
– dai 7 ai 9 anni.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione 

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– cartellini delle moltiplicazioni da svolgere
– tavola I della moltiplicazione.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

cartellini delle moltiplicazioni da svolgere

Presentazione:
– per facilitare il lavoro del bambino in questo esercizio, disponiamo i tasselli dei numeri in riga o in colonna sul piano di lavoro, mentre terremo i cartellini delle moltiplicazioni da svolgere in un cestino
– il bambino pesca un cartellino e copia l’operazione sul suo quaderno, ad esempio 6×4


– il bambino inserisce il tassello del numero 6 nella tavola forata e sposta il gettone rosso  sul numero 1 della prima colonna, quindi mette nei fori sottostanti le prime 6 perle e conta: “Sei”


– il bambino sposta il gettone sul numero 2 della seconda colonna, mette nei fori sottostanti altre sei perle e conta: “Dodici”
– il bambino sposta il gettone sul numero 3 della terza colonna, mette nei fori sottostanti altre sei perle e conta: “Diciotto”
– il bambino sposta il gettone sul numero 4 della quarta colonna, mette nei fori sottostanti altre sei perle e conta: “Ventiquattro”
– il risultato della moltiplicazione 6 x 4 è 24, e il bambino lo scrive sul quaderno


– il bambino verifica la correttezza dell’esercizio consultando la tavola I della moltiplicazione. Questo non rappresenta solo un lavoro di autocontrollo, ma aiuta anche la memorizzazione


– il bambino rimuove le perle e il tassello dalla tavola forata, rimette il cartellino della moltiplicazione da eseguire nel cesto e ne pesca uno nuovo, per ripetere l’esercizio con altri numeri.

Controllo dell’errore:
– la tavola I della moltiplicazione

Nota:
– perchè memorizzi le tabelline è necessario che il bambino ripeta il numero che si crea dopo aver messo ogni gruppo di perle nella tavola forata. E’ bene quindi che l’insegnante supervisioni, in un primo tempo, l’attività del bambino, per evitare che conti le singole perle dopo aver completato lo schema sulla tavola forata. E’ chiaro che se il bambino contasse le perle una ad una ad esercizio ultimato, non memorizzerebbe mai le tabelline.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– cartellini delle moltiplicazioni da svolgere.

Presentazione:
– mettiamo la tavola forata al centro del tavolo ed esaminiamola con il bambino
– il numero che si inserisce nella finestra di sinistra è chiamato moltiplicando. Ci dice quante perle formano un gruppo, cioè una colonna
– il gettone rosso, che si trova nel suo alloggiamento in alto a sinistra, serve a indicare il moltiplicatore. Mentre si esegue l’operazione indica per quante volte vogliamo moltiplicare il numero
– peschiamo un cartellino delle moltiplicazioni da svolgere, ad esempio 8 x 3 = …….


– il bambino copia l’operazione sul suo quaderno
– inseriamo la tessera del 8 nella tavola forata, per il moltiplicando
– spostiamo il gettone rosso sul numero 3 della tavola forata per indicare il moltiplicatore


– l’operazione ci chiede di formare 3 gruppi di 8 perle ognuno
– spostiamo il gettone rosso sul numero 1 e sotto di esso formiamo una colonna di 8 perle
– spostiamo il gettone rosso sul numero 2 e sotto formiamo una colonna di 8 perle
– spostiamo il gettone rosso sul numero 3 e sotto formiamo una colonna di 8 perle
– indichiamo moltiplicatore e moltiplicando dicendo: “3 gruppi di 8 perle” e ricontiamo le perle
– registriamo il prodotto sul quaderno


– il bambino può continuare ad esercitarsi autonomamente col materiale.

Note:
– il concetto di moltiplicazione è già stato introdotto con le perle dorate, dove la stessa quantità veniva aggiunta più volte a se stessa. Con la tavola forata vogliamo facilitare la memorizzazione dei prodotti per favorire e velocizzare le capacità di calcolo del bambino.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– cartellini delle moltiplicazioni da svolgere
– tavola I della moltiplicazione.

Presentazione:
– il bambino pesca un’operazione, ad esempio 7 x 4 e la copia sul suo quaderno
– si stabilisce il moltiplicando inserendo nella tavola forata la tessera del 7
– si stabilisce il moltiplicatore spostando il gettone rosso sul numero 4


– si sposta il gettone rosso sul numero 1 e si incolonnano sotto di esso le prime 7 perle (7×1=7), poi si sposta il gettone sul 2 (7×2=14), sul 3 (7×3=21) e infine sul 4 (7×4=28)
– si contano di nuovo le perle: 7, 14, 21, 28
– si registra il risultato sul quaderno: 7 x 4 = 28
– si controlla il risultato confrontandolo con quello stampato sulla tavola I della moltiplicazione


– rimuoviamo perle e tassello dalla tavola e rimettiamo il gettone rosso nel suo alloggiamento
– il bambino continua ed esercitarsi pescando una nuova moltiplicazione.

Nota:
– lavorando sulla tavola con le perle, il bambino crea figure geometriche: quando i due fattori della moltiplicazione sono uguali si forma un quadrato, quando i due fattori sono diversi si forma un rettangolo.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– cartellini delle addizioni da svolgere
– tavola I della moltiplicazione.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

cartellini delle addizioni per la tavola forata della moltiplicazione

Presentazione:
– peschiamo un’addizione
– procediamo a rappresentare l’operazione sulla tavola con le perle


– scegliamo la tessera da inserire nella tavola (moltiplicando)
– spostiamo il gettone rosso sul moltiplicatore
– trascriviamo l’operazione in forma di moltiplicazione e scriviamo il risultato


– confrontiamo il risultato con i risultati stampati sulla tavola I

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– moduli per la ricerca dei fattori.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

moduli per la ricerca dei fattori

Presentazione:
– invitiamo il bambino dicendo: “Oggi vorrei mostrarti un nuovo esercizio da svolgere con la tavola forata della moltiplicazione. Oggi faremo insieme la ricerca dei fattori”
– diciamo: “Il risultato di una moltiplicazione è chiamato prodotto, mentre i due numeri moltiplicati sono detti fattori. Proviamo a trovare tutti i fattori che possono dare come prodotto il 20”
– contiamo 20 perle e mettiamole in una ciotola
– mettiamo le perle, una ad una, sul piano di lavoro, formando una colonna verticale e facciamo notare che abbiamo fatto una colonna di 20 perle
– scriviamo sul modulo: 20 = 20 x 1


– diciamo: “Ora vediamo se possiamo fare due colonne con le nostre 20 perle”
– formiamo due colonne nella tavola forate e diciamo: “20 perle possono essere messe in due colonne di 10 perle”
– scriviamo sul modulo: 20 = 10 x 2


– diciamo: “ora vediamo se possiamo creare tre colonne con le nostre 20 perle”
– spostiamo le perle verso la terza colonna, una ad una, prendendole dal basso e alternando le colonne
– diciamo: “Venti perle non possono formare tre colonne uguali”


– diciamo: “Proviamo con quattro colonne”
– spostiamo le perle verso la quarta colonna
– scriviamo sul modulo: 20 = 4 x 5


– continuiamo fino a quando non avremo sperimentato tutte le colonne fino al 10

– riponiamo il materiale usato
– invitiamo il bambino a cercare i fattori di altri numeri (il 12, il 16, il 18, il 24, ecc.)

Età:
– dai 7 ai 9 anni

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Presentazione

Materiali:
– tavola forata della moltiplicazione
– cartellini dei prodotti
– tavola I della moltiplicazione.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

cartellini dei prodotti 

Presentazione:
– il bambino pesca un cartellino dei prodotti
– registra il prodotto sul suo quaderno
– conta le perle nel numero indicato dal prodotto e le mette in una ciotola


– crea una moltiplicazione che soddisfi il prodotto e la rappresenta con le perle sulla tavola forata

– al termine controlla la correttezza dell’esercizio consultando la tavola I della moltiplicazione.

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Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

Scopo:
– fornire un aiuto per la memorizzazione delle tabelline
– comprendere il processo di moltiplicazione
– preparare alla comprensione della divisione
– comprendere la proprietà commutativa della moltiplicazione
– imparare a scrivere le moltiplicazioni
– imparare a registrare i risultati delle operazioni
– comprendere il significato di prodotto, fattori, moltiplicando e moltiplicatore
– comprendere il significato di multiplo e numero primo
– preparare al calcolo del minimo comune multiplo.

Età:
– a partire dai 5 anni, fino ai 9

La tavola forata usata nelle presentazioni è stata prestata da Montessori 3D di Boboto.

Tavola forata Montessori per la memorizzazione della moltiplicazione

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Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI

Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI che comprendono esplorazione sensoriale, nomenclatura, lettura e scrittura di frazioni, addizione e sottrazione di frazioni con lo stesso denominatore, moltiplicazione e divisione di frazioni per un numero intero, equivalenze tra frazioni.

Gli incastri delle frazioni sono dieci piastrelle quadrate (bianche o verdi) identiche nelle quali si incastra un identico cerchio rosso. L’incastro rosso è suddiviso dall’intero ai 10/10. Il materiale classico è in legno o in metallo, ma può essere facilmente realizzato utilizzando cartoncino o gomma Eva.

Se optate per l’acquisto, questi sono gli incastri delle frazioni in legno acquistabili da Montessori Lernwelten:

Per le presentazioni che seguono ho usato gli incastri di Montessori 3D di Boboto e i miei incastri fai da te.

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Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI

Scopo degli esercizi con gli incastri delle frazioni:
– creare un’impressione sensoriale delle frazioni;
– introdurre il concetto di frazione;
– apprendere la lettura e la scrittura delle frazioni;
– esplorare a  livello sensoriale le equivalenze tra frazioni;
– esercitarsi nelle operazioni tra frazioni.

Età consigliata per le presentazioni:
a partire dai 4 anni e mezzo (quando il bambino conosce bene i numeri da 1 a 10).

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Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Presentazione I – Esplorazione sensoriale

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto.

Presentazione:
– portiamo il materiale sul tappeto
– diciamo: “Una frazione è una divisione di un intero in parti uguali”
– mettiamo i dieci incastri sul tappeto formando una riga orizzontale dall’intero al decimo

– estraiamo il primo cerchio e mettiamolo davanti alla sua cornice
– estraiamo ½ e mettiamolo davanti alla sua cornice
– estraiamo 1/3 e mettiamolo davanti alla sua cornice e proseguiamo così per mostrare al bambino come prendere gli incastri
– mostriamo anche come rimettere gli incastri al loro posto,

– chiedendo ad ogni bambino che partecipa all’esercizio di farne esperienza

– ripetiamo un paio di volte, anche mescolando gli spicchi

– chiediamo ai bambini di rimetterli nelle cornici correttamente.

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Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Presentazione II – Nomenclatura

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto.

Presentazione:
– portiamo sul piano di lavoro i primi cinque incastri delle frazioni
– estraiamo l’incastro dell’intero, mettiamolo davanti alla sua cornice e diciamo al bambino “Questo è un intero.”
– estraiamo un incastro delle metà, mettiamolo davanti alla sua cornice e diciamo al bambino “Questo è un mezzo”

– ripetiamo con gli altri incastri, fino a un quinto (primo tempo);
– utilizzando la lezione in tre tempi proseguiamo chiedendo ai bambini, ad esempio “Per favore mi dai la frazione da un quarto?” e così via (secondo tempo). Infine possiamo chiedere: “Quale frazione vuoi rimettere nella sua cornice?” di modo che il bambino possa nominare la frazione e indicarcela (terzo tempo)


– quando il bambino si sente sicuro con questi primi cinque incastri, seguiamo la stessa procedura per i rimanenti cinque.

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Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Presentazione III – Scrittura

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto
– cartellini in bianco e pennarello nero.

Presentazione:
– quando i bambini hanno ben memorizzato il nome delle dieci frazioni proposte, invitiamoli al tappeto e diciamo loro: “Oggi vi mostrerò come scrivere le frazioni”
– indichiamo l’incastro delle metà e chiediamo ai bambini: “Questa cornice quanti pezzi contiene?”. “Due”
– scriviamo 2 su un cartellino in bianco e diciamo: “Sì, ci sono due pezzi, quindi scriverò su questo cartellino 2”

– mettiamo un incastro sopra alla sua cornice e chiediamo al bambino quanti pezzi ho tolto dalla cornice e ora si trovano lì in alto. Il bambino dirà “1”
– tracciamo la linea e scriviamo 1

– ripetiamo in questo modo per tutte le altre frazioni, fino ad arrivare ad 1/10

– se lo riteniamo opportuno, utilizzando la lezione in tre tempi, possiamo dare al bambino la nomenclatura di numerato e denominatore
– dopo questa presentazione il bambino sarà in grado di scrivere e leggere qualsiasi frazione. Per esercitarsi proponiamo, ad esempio, 2/3, 6/8, 3/5, 8/10 ecc.

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Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Presentazione IV – Lettura

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto
– cartellini pronti delle frazioni da 1/1 a 10/10

Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI

Presentazione:
– portiamo il materiale sul tappeto
– disponiamo i cartellini formando pile in corrispondenza di ogni cornice, in basso


– chiediamo al bambino di prendere il primo cartellino, di leggerlo e di metterlo in alto
– chiediamo di indicarci quale numero è il numeratore e quale il denominatore, per verificare se ha memorizzato i termini correttamente


– chiediamo al bambino di estrarre dalla cornice la frazione corrispondente al cartellino  e porla accanto ad esso
– ripetere con altri cartellini, mettendo ogni volta il materiale usato al suo posto

– dopo questa introduzione, due bambini possono lavorare insieme mescolando tutti i cartellini insieme e poi etichettando correttamente le frazioni.

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Incastri delle frazioni Montessori PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Presentazione V – addizione di frazioni con lo stesso denominatore

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto
– strisce di carta e pennarello

Presentazione:
– portiamo il materiale sul tappeto
– scriviamo su una striscia di carta un’addizione, ad esempio due settimi più quattro settimi
– mostriamo al bambino che per la prima frazione prendiamo un settimo due volte (due settimi)
– quindi prendiamo un settimo quattro volte (quattro settimi)

– chiediamo al bambino di contare quanti settimi ci sono (sei)
– mostriamo al bambino come si scrive la risposta

– leggiamo l’intera operazione col bambino
– scriviamo un’altra addizione e chiediamo al bambino di eseguirla
– dopo alcuni esercizi del genere, facciamo notare al bambino che abbiamo sommato tra loro frazioni con lo stesso denominatore
– quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.

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Presentazione VI – sottrazione di frazioni con lo stesso denominatore

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto
– strisce di carta e pennarello

Presentazione:
– portiamo il materiale sul tappeto
– scriviamo una sottrazione su una striscia di carta, ad esempio tre sesti meno un sesto

– prendiamo tre sesti e mettiamoli davanti all’incastro


– indichiamo uno dei tre sesti e diciamo: “Adesso tolgo un sesto”


– prendiamo un sesto e spostiamolo a destra, separandolo dagli altri sesti


– chiediamo al bambino di contare quanti sesti si trovano a sinistra (due)
– chiediamo al bambino di scrivere la risposta

– proponiamo e risolviamo insieme altre sottrazioni
– quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.

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Presentazione VII – moltiplicazione di frazioni per un numero intero

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto
– strisce di carta e pennarello.

Presentazione:
– portiamo il materiale sul tappeto
– scriviamo una moltiplicazione su una striscia di carta, ad esempio due decimi per quattro
– leggiamo insieme l’operazione
– diciamo: “Prendiamo due decimi quattro volte”
– prendiamo due decimi una volta, due volte, tre volte e quattro volte mettendoli raggruppati a due a due sul tappeto
– chiediamo al bambino di contare tutti i decimi che si trovano ora sul tappeto (otto)
– mostriamo al bambino come scrivere la risposta


– facciamo altri esercizi col bambino
– quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.

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Presentazione VIII – divisione di frazioni per un numero intero

Materiale:
– incastri delle frazioni
– bottoni o perle di legno o birilli o qualsiasi altro oggetto possa servire da contrassegno
– tappeto
– strisce di carta e pennarello.

Presentazione:
– portiamo il materiale sul tappeto
– scriviamo una divisione su una striscia di carta, ad esempio quattro quarti diviso due
– leggiamo l’operazione e chiediamo per quanto dobbiamo dividere (per due)
–  chiediamo al bambino di prendere due bottoni e di metterli sul tappeto in riga, sotto agli incastri delle frazioni
– chiediamo al bambino quanti quarti ci servono per iniziare (quattro)
– prendiamo i quattro quarti e mettiamoli sul tappeto
– diciamo al bambino che ora dovremo distribuire i quarti in parti uguali tra i due bottoni
– procediamo mettendo un quarto sotto un bottone e un quarto sotto l’altro

– ricordiamo al bambino che nella divisione noi vogliamo sempre sapere quanti elementi si trovano in un solo gruppetto (sotto a un solo bottone)
– chiediamo al bambino quanti quarti si trovano sotto ad un bottone (due)
– chiediamo al bambino di scrivere la risposta


– facciamo altri esercizi simili
– quando il bambino ha capito può usare operazioni scritte su cartellini pronti.

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Presentazione IX – equivalenze tra frazioni

Materiale:
– incastri delle frazioni
– tappeto.

Si tratta di un’attività che può essere proposta durante o dopo gli esercizi con gli incastri delle frazioni. Dopo aver eseguito un certo esercizio, possiamo ad esempio chiedere al bambino se è possibile riempire lo spazio occupato da un terzo con frazioni di altri incastri. Nell’esempio il terzo può essere riempito da due sesti.

L’importante è stimolare il bambino affinché possa giungere da solo alla scoperta delle equivalenze, senza dare definizioni.

Al termine di tutto il lavoro con gli incastri delle frazioni, il bambino potrà stilare una propria tabelle delle equivalenze.

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Tutorial per costruire gli incastri delle frazioni Montessori

Tutorial per costruire gli incastri delle frazioni (o settori circolari delle frazioni) Montessori con cartamodelli e istruzioni. Gli incastri delle frazioni sono dieci piastrelle quadrate identiche (bianche o verdi) nelle quali si incastra un identico cerchio rosso. L’incastro rosso è suddiviso dall’intero ai 10/10. Il materiale classico è in legno o in metallo, ma può essere facilmente realizzato utilizzando cartoncino o gomma Eva.

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Tutorial per costruire gli incastri delle frazioni Montessori

Materiale occorrente:
– cartoncino colorato
– gomma Eva o cartone colorato (o compensato)
– forbici e taglierino
– colla stick
– colla a caldo
– perle di legno o plastica per i pomoli
– matita
– cartamodelli (oppure compasso e goniometro)

Cartamodello:

Tutorial per costruire gli incastri delle frazioni Montessori
pdf qui:

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Tutorial per costruire gli incastri delle frazioni Montessori – Come si fa:

stampiamo e ritagliamo i modelli:

riportiamo il modello del cerchio sul foglio rosso di gomma Eva, ritagliamo il contorno e gli spicchi, ma non completamente, di modo che rimangano uniti al centro:

incolliamo con la colla a caldo le perle che serviranno da pomoli per la presa a tre dita degli incastri:

ritagliamo la cornice, poniamo al centro il cerchio rosso e segniamo i contorni con la matita:

ritagliamo la sagoma del cerchio nella cornice, poi incolliamo con la colla stick il fondo di cartoncino:

e l’incastro è pronto:

Questi sono i dieci incastri pronti:

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Tutorial per costruire gli incastri delle frazioni Montessori

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 Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI

Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI per imparare a conoscere i numeri da 11 a 19, da 10 a 90 e da 11 a 99. Le presentazioni prevedono l’utilizzo, insieme alle tavole, di perle colorate, perle dorate e aste numeriche.

Tutto il materiale pubblicato sulle tavole di Seguin (download, presentazioni, tutorial, ecc.) si trova qui: LE TAVOLE DI SEGUIN. 

Qui puoi trovare anche i file dei cartelli dei numeri

Cartelli dei numeri Montessori

e delle aste numeriche

Aste numeriche Montessori – SOMME DI PROGRESSIONI ARITMETICHE

Per le presentazioni ho utilizzato il mio materiale auto prodotto e le tavole di Seguin realizzate da Montessori 3D di Bobobo.

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 Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
La prima tavola di Séguin – numerazione da 11 a 19.

Il materiale è costituito da una serie di nove 10 scritti l’uno sotto l’altro e disposti in una cornice.

Sotto l’ultimo c’è uno spazio vuoto. Allegata a questa tavola c’è una serie di tavolette di grandezza sufficiente per coprire lo zero del 10, che si possono collocare nella cornice, introducendole dal lato destro fornito di apposita scanalatura.

L’esercizio consiste nel collocare la tavoletta dell’1 sopra lo zero del primo 10,

quella del 2 sullo zero del secondo 10 e così via,

fino a che il bambino non arriva a coprire col 9 l’ultimo zero. A partire da questo punto non si può fare altro, se non passare ad una seconda decina.

All’esercizio precedente bisogna associare la conoscenza dei termini. La difficoltà maggiore nella terminologia sta nel passaggio dal 10 al 20. Infatti, la struttura delle parole che si riferisce alla decina ed alle unità nasconde gli elementi che le compongono. Questi elementi, fondendosi, formano parole nuove.

Perciò, questa parte deve essere imparata a memoria mediante esercizi di composizione di parole costruite con cartellini.

La parola dici sarà sempre scritta in rosso, mentre l’altra parte della parola, che indica il gruppo di unità associate alla decina, sarà scritta in nero. Così fino al numero 16 l’unità precede la decina, negli altri (e poi in tutte le decine successive) l’unità segue la decina. In tal modo avremo:

un———–dici
do———–dici
tre———–dici
quattor—–dici
quin———dici
se————dici
—————dici—— a —– s-sette
—————dici—————- otto
—————dici—— a —–n-nove
venti.

Conclude la serie la parola “venti”, termine che si differenzia completamente da quelli che la precedono nella numerazione. Raggiunto il nove, poi, perfino le parole dimostrano che si è concluso il passaggio graduale, per entrare in un nuovo gruppo.

E’ ora necessario unire le conoscenze dei numeri da 11 a 19, fin qui considerati separatamente prima come quantità e poi come simboli. L’appaiamento quantità – simboli si conduce presentando contemporaneamente le perle colorate e i cartelli, per ciascuno dei numeri da 11 a 19. Nelle immagini vediamo il numero 15 con le perle colorate, e con le “perle colorate” stampabili:

Altro esercizio consisterà poi nel lasciare fissa la stessa decina, e sostituendo via via accanto ad essa i gruppi successivi di unità. Questo esercizio può essere eseguito sia con le perle colorate, sia con le aste numeriche:

Ogni volta che si forma una nuova quantità, c’è la relativa composizione del numero. Si pone così il bastoncino da 1 perla vicino a un bastoncino della decina, mentre nel cartello del 10 lo zero viene coperto dal simbolo dell’1. Si prosegue così, sostituendo e unendo fra loro quantità e simboli, lasciando fissa la decina.

Arrivati al 9, non si può continuare con lo stesso procedimento, perchè il bastoncino (o l’asta numerica) che segue il 9 non può che essere una nuova decina. Collochiamo  quindi la nuova decina accanto alla prima.

Per quanto riguarda i cartelli dei numeri, bisogna invece accantonare quelli usati prima e utilizzare il cartello del 20.

Tutti questi esercizi rafforzano il concetto chiave del sistema decimale, che si impernia sul passaggio da una decina all’altra, cioè dal 9 al 10. Dopo il 9, il ponte è stato superato: ha inizio una nuova decina.

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 Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Esercizio 1 – Prima tavola di Séguin

tempo 1: si dispongono le tavolette di Séguin sul tappeto. L’insegnante tiene le tessere dei numeri da 1 a 9 e comincia inserendo quella dell’1 sul primo 10 dicendo: “10 e 1 si chiama undici. Questo è il nostro modo di scrivere 11. Undici.! “

Ripete più volte il nome. Poi mette sul secondo 10 la tessera del 2 dicendo: “10 e 2 si chiama dodici, Questo è il nostro modo di scrivere 12. Dodici.” L’insegnante continua allo stesso modo con tutti gli altri numeri fino al 19.

tempo 2: l’insegnante chiede ai bambini di indicarle le cifre che lei nomina, dicendo ad esempio “Mostrami il 18″ ecc…

tempo 3: l’insegnante indica le cifre non in ordine e il bambino le dice i nomi. Alla fine glieli chiede in ordine da 11 a 19.

Il materiale viene riposto in un luogo accessibile al bambino, in modo che lui possa usarlo ogni volta che lo desidera. Nei giorni successivi possiamo chiedere al bambino di comporre numeri non seguendo l’ordine:

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Tavole di Seguin PRESENTAZIONI ED ESERCIZI
Esercizio 2 – prima tavola di Séguin
collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità 

Materiale: tavolette di Séguin dei 10, 9 barrette di perle del 10, un set di barrette di perle colorate da 1 a 9
Scopo: collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità

Esercizio:
si sistemano le tavole di Seguin sul tappeto. L’insegnante mette una barretta del 10 e una dell’1 a sinistra del primo 10 della tavoletta dicendo: “10 e 1 è undici”, e chiede al bambino di contare le perle.

Poi prende la tessera mobile dell’1 e la fa scivolare sul primo 10 della tavoletta dicendo “10 e 1 è 11. Questo è il nostro modo di scrivere 11″.

Quindi il bambino mette le barrette a destra del numero 11.


Poi  chiede al bambino di mettere una barretta del 10 e una del 2 a destra del secondo dieci, quindi di comporre sulla tavoletta di Seguin il 12.
Il bambino conta le perline delle barrette.

Questo esercizio prosegue fino al 19.
Come sempre si ripone il materiale in un luogo accessibile al bambino, in modo che lui possa servirsene ogni volta che lo desidera.

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Tavole di Seguin – presentazioni ed esercizi
Seconda tavola di Séguin – numerazione da 11 a 99.

Scopo di questa seconda tavola è quello di verificare, per altra via, lo stesso fenomeno. E’ costituita da due tavole uguali:

la suddivisione in due tavole ha solo lo scopo di rendere più maneggevole il materiale. Sulla prima tavola sono presenti i numeri corrispondenti alle prime 5 decine: 10 20 30 40 50; nell’altra le quattro decine successive 50 60 70 80 90. Il materiale è completato da una serie di nove tavolette con le unità, che si possono inserire nelle tavole per coprire gli zeri.

Ci sono poi, per eseguire l’esercizio, le perle dorate del sistema decimale: 9 decine e 10 unità sciolte.

Per la numerazione da 11 a 99 si procede contemporaneamente con quantità e simboli. Per esempio, per il passaggio dalla seconda alla terza decina, si aggiunge ai due bastoncini dorati una perla e contemporaneamente si copre lo zero del 20 con la tavoletta dell’1, per ottenere il numero 21. Poi, si aggiungerà una seconda perla, sostituendo l’uno col la tavoletta del 2 per ottenere il numero 22.

Arrivati al 29, nel momento stesso in cui si aggiunge la decima perla, si sostituiscono le perle sciolte con una nuova decina: quelle tre decine che, spostandosi in basso, corrispondono al numero 30.

Inserendo e sostituendo, sopra lo zero del 10, una dopo l’altra, le nove cifre delle unità secondo la serie naturale dei numeri, si formano successivamente i numeri 11 12 13 14 15 16 17 18 19.

Giunti a questo punto, bisogna passare al 20, ripercorrendo il procedimento per comporre via via i numeri 21 22 23 24 25 26 27 28 29… e così via, fino ad arrivare al 99.

Giunti al 99 non è più possibile continuare con questo materiale: i riquadri sono insufficienti a contenere il numero 100, che è formato da tre cifre. L’unità che manca, e che non possiamo aggiungere, è una chiave più importante di quella che prima ci permetteva il passaggio da una decina all’altra. Si tratta anche qui di un “semplice uno”, ma questa unità è diversa da quella che ci ha permesso di percorrere una ad una le decine: porta con sè una nuova gerarchia, che richiede per esprimersi di uno spazio maggiore. E’ il passaggio dalle decine alle centinaia.

Le decine che si susseguono l’una all’altra sono le guide. Lo dimostrano le parole stesse, tutte differenti tra loro: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta. Al contrario, i punti di passaggio da una decina alla successiva, ad eccezione di quelli tra le prime due decine che ha richiesto uno studio a parte, si distinguono con parole uniformi che corrispondono all’unione successiva delle nove unità con ciascuna decina: vent-uno venti-due venti-tre venti-quattro venti-cinque venti-sei venti-sette vent-otto venti-nove.

Questo si ripete via via per ogni nuova decina, allo stesso modo che per la sostituzione delle tavolette: è un’autentica addizione di parole.

Questi esercizi chiariscono e facilitano non solo la comprensione del sistema decimale, ma anche il meccanismo del contare che deve svolgersi sulla base del grande quadro del sistema decimale.

Tavole di Seguin – presentazioni ed esercizi
Esercizio 1 – seconda tavola di Seguin

Imparare i nomi dei numeri da 10 a 90 in relazione alle quantità

Materiale: 45 barrette di perle del dieci,
Scopo: imparare i nomi dei numeri da 10 a 90 in associazione alle quantità.

Esercizio:
si procede usando il metodo della lezione in tre tempi. L’insegnante porta sei barrette del 10 al tavolo del bambino e si siede accanto a lui.

Tempo 1: l’insegnante mette una barretta di fronte al bambino. Il bambino le dirà che è il 10.

Allora lei toglie la barretta dal tavolo ed al suo posto mette due barrette dicendo: “Questi sono due 10. Noi chiamiamo due 10 venti”, ripetendo venti più volte.

Poi toglie le due barrette, e al loro posto ne mette tre davanti al bambino “Questi sono tre 10. Noi chiamiamo tre 10 trenta” ripetendo trenta più volte.

Tempo 2: l’insegnante mette i tre gruppi di fronte al bambino e gli chiede di mostrarle quelli che via via indica, in ordine sparso:

“Poi mostrarmi il 30?”
“Mi indichi il 20?”
“Qual è il 10?”
“Se io li rimescolo, poi me li ridici?”
L’insegnante cambia l’ordine delle barrette più volte, e il bambino ripete i nomi correttamente.

Tempo 3: l’insegnante mette davanti al bambino una quantità alla volta e gli chiede di dirle il numero cui corrisponde. Alla fine della lezione l’insegnante dispone le quantità in colonna in ordine crescente e insieme al bambino ne dice i nomi: “Dieci, venti, trenta”.

Nei giorni seguenti ai numeri imparati vengono via via aggiunti tutti gli altri, fino al 90.

Si vanno via via a formare rettangoli sempre più larghi sul modello 10=10×1; 20=10×2; 30=10×3; ecc… Questo concetto non viene verbalizzato, si lascia che il bambino abbia un’impressione visiva della geometria del numero.

 Esercizio 2 – seconda tavola di Seguin

collegare le cifre da 10 a 90

Materiale:
 tavolette di Séguin dal 10 al 90
45 barrette di perline colorate del 10.

Scopo: collegare le cifre da 10 a 90 alle quantità, contare da 10 a 90 con quantità e cifre

Esercizio:
le tavolette di Seguin vengono disposte verticalmente sul tappeto, e l’insegnante mostra al bambino come mettere correttamente le barrette di perline alla sinistra delle cifre, cominciando dal 10.

Appena il bambino capisce l’esercizio, può lavorare autonomamente, infatti siccome le barrette di perline sono contate, lui può accorgersi da solo di eventuali errori ed autocorreggersi.

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 Esercizio 3 – seconda tavola di Seguin

Identificare i numeri a 10 a 90 con le tavolette di Séguin

Materiale:
tavolette di Séguin numerate dal 10 al 90

Scopo:
 identificare i numeri da 10  a 90

Esercizio: dopo che il bambino ha imparato i nomi dei numeri in relazione alle quantità, può associarli al segno grafico. Si utilizza il metodo della lezione in tre tempi:

tempo 1: l’insegnante indica i numeri uno alla volta in sequenza ripetendone il nome
tempo 2: l’insegnante chiede al bambino di indicarle i numeri che lei nomina in ordine sparso
tempo 3: l’insegnante indica i numeri in ordine sparso, e il bambino le dice il nome.

Al termine della lezione insegnante e bambino insieme, ripetono i nomi dei numeri in sequenza.

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 Esercizio 4 – seconda tavola di Seguin

Contare da 10 a 99 con le tavolette di Séguin e le perle colorate Montessori

Materiale:
tavolette di Séguin dal 10 al 90 e cifre mobili dall’1 al 9;
9 barrette di perline colorate del 10
un set di barrette di perline colorate dall’1 al 9.

Scopo:
costruire quantità e numeri in sequenza da 10 a 99. Questa è la tappa finale di tutto il lavoro svolto per imparare a contare.

Esercizio:
si prepara il materiale sul tappeto. Poi l’insegnante chiede al bambino di mettere una barretta di perline del 10 a sinistra del numero 10.

Poi gli mostra come costruire l’11 mettendo una perlina delle unità a sinistra del numero 10, quindi fa scivolare il numero mobile dell’uno sullo zero dicendo: “10 e 1 è 11, e noi lo scriviamo così, dieci e uno”.

L’insegnante mostra al bambino che per fare il 12 bisogna aggiungere un’altra unità, quindi toglie la tessera dell’1 e mette al suo posto quella del 2.

Insegnante e bambino continuano così a costruire i numeri e le quantità cui corrispondono fino a 19. I numeri mobili non usati si tengono da parte, girati sul rovescio:

“10 e 9 sono 19. Abbiamo una decina e 9 unità”.

Se noi avessimo un’unità in più  (mette una perlina in più) avremmo 10 unità, quindi sarebbero 2 decine”.

Quindi sostituisce le dieci perline con una barretta di perline del 10: “Ora dobbiamo mettere questa decina con le altre, così di barrette ne abbiamo due adesso, quindi siamo a 20, il nostro prossimo numero”.

Si procede così, rispettando i tempi di apprendimento del bambino, fino al 99.

Quando il bambino ha capito l’esercizio, può svolgerlo anche da solo.

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Inserendo e sostituendo, sopra lo zero del 10, una dopo l’altra, le nove cifre delle tavolette secondo la serie naturale dei numeri, si formano successivamente i numeri

11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19

 giunti a questo punto, bisogna passare al 20, ripercorrendo il procedimento per comporre via via i numeri:

21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29

e  così via fino alla fine, il 99. Sono sempre le stesse tavolette che servono da ponte fra il 10 e il 20, così come fra il 20 e il 30, fra l’80 e il 90.
Giunti al 99 non è più possibile continuare con questo materiale: i riquadri sono del tutto insufficienti a contenere il numero successivo, il 100, essendo costituito da tre cifre.
Quell’unità che manca e che non possiamo aggiungere è una chiave più importante di quella che prima ci permetteva il passaggio da una decina all’altra. Si tratta di un semplice uno, ma questa unità non è quella che ci permette di percorrere una ad una le decine: porta invece con sé una nuova gerarchia che richiede per esprimersi uno spazio maggiore. E’ il passaggio dalle decine alle centinaia.
Le decine che si susseguono l’una all’altra sono le guide. Lo dimostrano le parole stesse, tutte differenti fra loro: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta.
Al contrario, i punti di passaggio da una decina alla successiva, ad eccezione di quelli tra le prime due decine che hanno richiesto uno studio a parte, si distinguono con parole uniformi che corrispondono all’unione successiva delle nove unità con ciascuna decina: vent-uno, venti-due, venti-tre, ecc. Questo si ripete per ogni decina: quaranta-cinque, quaranta-sei, ottanta-tre, ottanta-quattro, ecc. E’ un’autentica addizione di parole.
Gli esercizi descritti chiariscono e facilitano non solo la comprensione del sistema decimale, ma anche il meccanismo del contare che deve svolgersi sulla base del gran quadro del sistema decimale mostrato in principio. I passaggi non sono che dettagli, ponti sempre uguali che collegano un gruppo all’altro.
E’ la serie dall’uno al nove che opera e, una volta appreso in meccanismo, non c’è che da ripeterlo.
Gli ordini gerarchici che rappresentano il fondamento e la guida della numerazione devono venir studiati prima dell’attività di numerare e in se stessi. Poi il contare diverrà un’operazione semplice, con la quale non ci si può confondere.

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Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria. Secondo Maria Montessori ogni materia di insegnamento non dovrebbe procedere da sola, in modo lineare e separatamente dalle altre. Al contrario ognuna dovrebbe essere vista come un piccolo rivolo d’acqua che sgorga da una sorgente, si ingrossa, scompare per qualche tempo nascosto sotto le pietre, poi torna fuori più lontano, si unisce con altri rivoletti, si isola ancora e infine diventa un fiume con sponde proprie.

Questo vale anche per la geometria, che si avvia nella Casa dei Bambini (dai 4 ai 6 anni) quando il bambino si trova nel periodo di sviluppo dei sensi, delle coordinazioni motorie e del linguaggio. In questo periodo non interessano le analisi e le definizioni: il bambino assorbe il mondo esterno attraverso le sensazioni e la continua attività motoria che esercita sugli oggetti circostanti. Tenendo presente questa caratteristica peculiare della mente infantile, intorno ai 4 anni si presenta il primo materiale sistematico di forme geometriche piane, che serve a dare la prima rappresentazione sensoriale di esse: gli incastri geometrici piani.
Il vassoio di presentazione bianco e rosso delle immagini è prodotto da Montessori 3D di Boboto.

Ho già pubblicato sull’argomento:
– Tutorial per costruire i vassoi delle figure geometriche 

Tutorial DIY Montessori: costruire il cofanetto delle figure geometriche


– Cofanetto delle figure geometriche piane Montessori presentazione ed esercizi:

Cofanetto delle figure geometriche piane Montessori presentazione ed esercizi

Per la prima presentazione si utilizzano le forme più regolari e contrastanti tra loro: un triangolo equilatero, un cerchio e un quadrato. Si tratta del vassoio di presentazione.

Dopo aver lavorato col vassoio di presentazione vengono gradualmente aggiunte le altre figure, fino a lavorare con più figure differenti insieme: triangolo, rettangolo, pentagono, rombo, trapezio, cerchio.

Infine si danno i vassoi contenenti sei figure che rappresentano varietà e gradazioni della stessa forma:

  • sei triangoli diversi: triangolo rettangolo isoscele, rettangolo scaleno, equilatero, acutangolo isoscele, ottusangolo isoscele, ottusangolo scaleno
  • il quadrato e cinque rettangoli che hanno un lato costante (10 cm) e l’altro degradante di 1 cm fino al rettangolo che ha il lato minore di 5 cm
  • sei poligoni dal pentagono al decagono, tutti costruiti in modo che siano iscritti in un cerchio che ha 10 cm di diametro
  • sei cerchi di cui il maggiore ha diametro di 10 cm e il minore di 5 e gli altri il diametro successivamente degradante di 1 cm dal primo all’ultimo
  • figure varie a contorni curvi: triangolo equilatero, ellisse, ovale, due fiori costruiti sullo stesso quadrato, uno sul lato e uno sull’angolo

Si tratta di incastri che si possono inserire perfettamente in una cornice quadrata, muniti di una manopola per la presa a tre dita. Ogni incastro può essere collocato esattamente solo nella propria cornice. L’esercizio dunque porta a una comparazione continua tra le forme, e a un controllo materiale su identità e differenze.

Che cosa c’è di identico tra la cornice e l’incastro? La linea di contorno. I due oggetti, incastro e cornice, in se stessi sono molto diversi, e in certo modo opposti: la cornice ha dal lato esterno sempre la stessa forma (un quadrato), invece gli incastri hanno contorni esterni diversissimi (triangolo, rettangolo, cerchio, pentagono, ecc.). Il quadrato delle cornici ha però incavi di contorno diversissimi, corrispondenti a quelli degli incastri: ha un vuoto, una mancanza di materia.

Col materiale degli incastri geometrici piani il bambino si dedica a comparazioni tra le figure geometriche ed al loro studio intuitivo, grazie ad esperienze attive fatte di spostamenti, ricerche e tentativi. L’attività del bambino con questo materiale è un’attività complessa: la mano sposta, l’occhio riconosce, la mente giudica.

Per richiamare l’attenzione del bambino sul contorno, facciamo eseguire un esercizio speciale: il bambino deve toccare tutto il contorno dell’incastro e poi il contorno dell’incavo che sta nella cornice.

I movimenti della mano seguono il contorno e questo movimento eseguito lentamente, attentamente e con precisione, dice Maria Montessori, dà un’idea motrice. Il bambino può riconoscere anche grazie al movimento la forma del contorno, e mettere in rapporto la forma rilevata come identica nell’incastro e nella cornice.

Gli esercizi proseguono a occhi bendati: il bambino mette una serie di incastri nelle cornici, toccandone attentamente i contorni e senza l’aiuto della vista.

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

In tutti i vassoi previsti nel cofanetto, le figure sono costruite in modo da avere un riferimento alla medesima dimensione lineare: 10 cm. Il triangolo equilatero ha il lato di 10 cm e il cerchio il diametro di 10 cm. Così il triangolo, non essendo inscritto nel cerchio, non può entrarvi, né a maggior ragione il cerchio nel triangolo. Questa impossibilità pratica di sbagliare è il controllo dell’errore insito nel materiale stesso. Grazie a questo principio il bambino, una volta conosciuto l’uso degli oggetti, può procedere senza insegnante.

L’importanza di avere una cornice di incastro non è solo quella di garantire il controllo dell’errore: la cornice richiama anche l’attenzione sulle particolarità che differenziano le varie forme, quando il bambino cerca per tentativi cerca per tentativi la cornice giusta per la piastrella che ha in mano, o prova a incastrarla in diversi sensi.

Il quadrato, ad esempio, si può spostare nei quattro lati ed entra sempre. Il rettangolo, se non si appoggia in modo che i lati maggiori e minori corrispondano, rimane fuori dalla cornice. Il quadrato, tuttavia, non si può rigirare nella cornice tante volte come un poligono e questo, dal pentagono al decagono, fa passi sempre più piccoli nel suo giro. Il cerchio, infine, può girare tutto intorno senza interruzioni.

Il materiale degli incastri geometrici può insomma insegnare la differenza tra le figure senza intervento da parte dell’insegnante, che interviene solo per presentare gli esercizi e per dare i nomi delle forme geometriche attraverso la lezione in tre tempi che si utilizza per tutti i tipi di nomenclatura.

Col materiale degli incastri geometrici nella mente del bambino, grazie all’apprendimento dei concetti della geometria, si sviluppa il senso geometrico. Gli occhi del bambino sono stimolati a sentire l’aspetto geometrico dell’ambiente che li circonda: il piano del tavolo rettangolare, gli esagoni delle mattonelle del pavimento, i cerchi dei piatti, i quadretti dei fazzoletti, le ellissi delle cornici dei quadri … porte, finestre, decorazioni assumono un significato nuovo.

Questa nuova attitudine della mente, questa osservazione spontanea che si manifesta grazie allo sviluppo di una particolare sensibilità interiore, è qualcosa di molto diverso da ciò che consideriamo “apprendimento logico”.

Aggiungere alcune nozioni di una data disciplina, in questo caso della geometria, durante i periodi sensitivi prepara nella personalità attitudini che predispongono la mente a comprendere, depositano germi permanenti di interesse nell’intelligenza.

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

Le figure geometriche rappresentate negli incastri vengono ripetute come semplici disegni su tre serie di cartoncini quadrati, che hanno la stessa dimensione delle cornici. Su di esse le figure riproducono:

  • serie 1: gli incastri colorati nella stessa dimensione e colore
  • serie 2: il contorno con una striscia colorata
  • serie 3: una linea sottile.

La linea di contorno, già tante volte percepita dal movimento della mano, viene dunque isolata e resa visibile.

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

Le tre serie di cartoncini possono essere realizzate facilmente utilizzando come modello gli incastri.

Gli esercizi con gli incastri geometrici sono primissime esperienze che mettono in rapporto il bambino piccolo, dai tre o quattro anni di età, con le forme geometriche. Le sue conoscenze sono intuizioni d’insieme, che egli riceve attraverso la sua esperienza attiva.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori utilizzando le tre tavole.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

Le neuroscienze ci dicono che la comprensione della matematica presenta aspetti sia geometrico-percettivi sia simbolico-linguistici ed è necessario allenare il cervello a usare contemporaneamente entrambe le aree cerebrali.

Spesso la matematica è presentata ai bambini in modo puramente “linguistico”, come una lista di istruzioni da memorizzare. La memoria linguistica è molto potente e durevole, quindi i bambini inizialmente imparano con poco sforzo, ma quando la quantità di formule da memorizzare diventa eccessiva, la matematica diventa per loro materia arida e incomprensibile.

Per questo è necessario insegnare la matematica prima di tutto attraverso stimoli di tipo percettivo-sensoriale, soprattutto attraverso le mani, perché le aree cerebrali che ci permettono i movimenti fini sono molto vicine a quelle che ci fanno percepire le forme geometriche e le quantità approssimate.

Il materiale usato per la presentazione è offerto da:

I due testi fondamentali per l’insegnamento della matematica col metodo Montessori sono “Psicoaritmetica” e “Psicogeometria”, pubblicati per la prima volta nel 1934 in spagnolo quando l’autrice, a causa delle persecuzioni del fascismo, si trovava in esilio a Barcellona.
Le tesi esposte nelle due pubblicazioni, messe a confronto con le recenti scoperte delle neuroscienze, evidenziano marcati elementi di sintonia e attualità.

Prendiamo ad esempio il teorema di Pitagora: la sua formulazione “linguistica” recita che “in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”.
Lo sforzo per la memoria linguistica è modesto, dunque si tende a partire dall’enunciato del teorema, presentando la sua dimostrazione, e poi si fanno seguire gli esercizi.
L’idea montessoriana è diversa, ed è molto semplice: bisogna partire dalle “cose”, cioè dalle rappresentazioni concrete degli oggetti geometrici.

“Non fu dalle cose, che i primi geometri trassero le loro conoscenze? Non furono corrispondenze e relazioni tra cose, che stimolarono qualche mente attiva e interessata a formulare degli assiomi e quindi dei teoremi?“
“Il modo con cui un concetto è stato compreso per la prima volta dagli esseri umani è il modo naturale per presentare quel concetto ai bambini”.
Maria Montessori

Sulla base di questa idea Maria Montessori introdusse nei due testi un’enorme quantità di materiali, che con la loro muta eloquenza permettono ai bambini di scoprire, in modo indipendente, la geometria e l’aritmetica.

“Nella scuola tradizionale lo studio del teorema di Pitagora rappresenta spesso un grosso scoglio da superare per i bambini, tanto che era chiamato “il ponte degli asini” (asino, si sa, era l’epiteto usato per gli studenti meno brillanti). Quando interrogati, gli studenti dovevano illustrare la dimostrazione del teorema disegnandola alla lavagna. Quelli che erano in grado di farlo avevano memorizzato sia il teorema sia la sua dimostrazione, ma erano in pochi quelli che l’avevano realmente compreso. Disegnando linee i bambini riproducono parallelogrammi equivalenti a quadrati, e rettangoli equivalenti a parallelogrammi e spiegano le ragioni dell’equivalenza. Le linee sulla lavagna si moltiplicano e alla fine il tutto diventa un labirinto che rispecchia il labirinto che c’è nella mente del bambino.
Anche se il postulato che recita: ‘Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui sue altri lati’ è ben fissato nella mia mente, devo confessare che la prima volta che lo ho realmente compreso è stata quando ho visto la dimostrazione fatta con gli incastri delle tavole di Pitagora a bambini di 8 anni. Ma nella mente di tutte le persone a cui l’ho chiesto, il famoso teorema si riferisce soltanto ai quadrati. Nessuna altra figura geometrica gode dello stesso privilegio. Noi siamo in grado di utilizzare tutte le figure, purché esse siano equivalenti.
Questo è un esempio di cosa succede quando il bambino è liberato dalla schiavitù dei libri di testo e il suo potenziale intellettivo è stimolato e aiutato attraverso chiavi di conoscenza che gli permettono di investigare e creare con gioia ed entusiasmo.
I contenuti del programma scolastico sono coperti, ma se ne aggiungono molti altri ancora, e tutto con la piena comprensione e la gioia di imparare di una mente che ricerca e che vede le relazioni tra le cose.
Ciò accade non solo per quanto riguarda la geometria, ma anche per quanto riguarda il resto della matematica. Non è questo anche l’obiettivo dei sostenitori della nuova matematica?“
Mario Montessori – Communications 1 (1969)

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

Il materiale per il teorema di Pitagora è composto da 3 tavole con pezzi ad incastro blu, rossi, gialli e bianchi.

Le tre tavole  rappresentano tre casi del teorema:
– primo caso (TAVOLA I): i due cateti sono uguali
– secondo caso (TAVOLA II): i due cateti stanno in proporzione 3:4 tra loro
– terzo caso (TAVOLA III): caso generale (la dimostrazione Euclidea).

La tavola 1 serve ad una dimostrazione del teorema a livello principalmente sensoriale.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I
i due cateti sono uguali

Per la prima dimostrazione abbiamo una cornice che corrisponde a uno spazio complesso, cioè:
– un triangolo rettangolo isoscele bianco
– lo spazio corrispondente ai quadrati costruiti sui tre lati:

Nel centro è collocato il triangolo bianco. Il resto del materiale è costituito dal quadrato diviso in otto triangoli a mezzo delle due diagonali e delle due mediane:

La dimostrazione del primo caso è estremamente intuitiva. In questo incastro:

– i due quadrati dei cateti sono divisi per mezzo della diagonale in due triangoli
– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in quattro triangoli per mezzo di due diagonali.

Gli otto triangoli sono tutti uguali tra loro, quindi:
– i triangoli dei due cateti possono entrare nel quadrato dell’ipotenusa
– i quattro triangoli dell’ipotenusa possono riempire i due quadrati dei cateti.

Gli spostamenti sono molto divertenti, anche perchè i triangoli dei due cateti hanno lo stesso colore, mentre i quattro triangoli dell’ipotenusa hanno un colore diverso.
E’ facile vedere che i triangoli gialli e gli altri blu, fanno tra loro un quadrato col lato uguale al cateto di quello posto nel centro della cornice.
Gli altri 4 triangoli rossi, disposti in modo che i vertici siano tutti uniti al centro e le ipotenuse al di fuori, formano un quadrato, il cui lato corrisponde all’ipotenusa del triangolo che sta nella cornice.
Così gli 8 triangoli si possono collocare nella cornice riempendo tutto lo spazio, e dimostrando questo primo caso del teorema di Pitagora.
Con questa dimostrazione siamo partiti da un fatto noto, cioè il teorema di Pitagora, e da una cornice vuota che lo rappresenta; e abbiamo dimostrato il teorema riempiendo i vuoti della cornice.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 1
Esplorazione sensoriale del teorema di Pitagora

Mostriamo il materiale dicendo:
– “Le figure a destra della tavola mostrano i quadrati dei due lati del triangolo rettangolo isoscele, divisi a metà dalla linea diagonale, così da formare 2 triangoli interni per ogni quadrato, uno giallo e uno blu”
– “Il quadrato dell’ipotenusa è diviso da due linee diagonali , così da formare 4 triangoli interni rossi”
– “Gli 8 triangoli totali (2 gialli, 2 blu e 4 rossi) sono tutti identici, quindi con i triangoli gialli e blu dei quadrati dei cateti possiamo riempire lo spazio occupato dai 4 triangoli rossi del quadrato dell’ipotenusa”


– “Viceversa possiamo usare i 4 triangoli rossi per occupare lo spazio dei quadrati blu e giallo dei cateti”.

La sostituzione di questi differenti pezzi mobili è molto interessante, anche perchè presentano colori differenti. L’esercizio inoltre ricorda gli esercizi di equivalenza fatti con gli incastri delle frazioni.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 2

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora I

Presentazione:
– osserviamo lo schema di figure a destra della tavola
– rimuoviamo il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?”. E’ un triangolo rettangolo isoscele

– rimettiamo al suo posto il triangolo bianco indichiamo i quadrati. Chiediamo ai bambini: “Cosa sono?” Sono quadrati
– diciamo ai bambini: “Oggi conosceremo insieme la relazione tra quadrati e triangoli.”
– indichiamo i lati del triangolo e facciamo notare che i quadrati adiacenti ai lati del triangolo hanno la loro stessa lunghezza
– Chiediamo: “Quale lato del triangolo ha la stessa lunghezza del triangolo grande rosso?” L’ipotenusa
– indichiamo l’ipotenusa e diciamo: “L’ipotenusa ha la stessa lunghezza del quadrato rosso”
– esaminiamo i pezzi per mostrare le loro equivalenze


– passiamo allo schema di figure a sinistra della tavola e diciamo: “Questi sono gli stessi quadrati divisi da diagonali. Ci sono molte equivalente tra le figure dello schema”
– rimuoviamo interamente il quadrato rosso (formato da 4 triangoli) e incoraggiamo i bambini a notare che è equivalente alla somma dei quadrati gialli e blu combinati
– nota altre equivalenze, ad esempio che il quadrato giallo è metà del quadrato rosso, come ne è la metà anche il quadrato blu


– al termine dell’esperienza, diamo la regola: “Nel triangolo rettangolo, la somma del quadrato costruita sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa”.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 3

Introduzione:
– diamo ai bambini qualche semplice informazione su Pitagora, dicendo che fu un grande matematico dell’Antica Grecia, nato nell’isola di Samo nel 500 aC. Egli fondò la sua scuola a Crotone (Italia meridionale), che era allora parte della Magna Grecia
– troviamo Pitagora nella linea del tempo.
Questa breve introduzione è molto utile perchè richiama il nome del materiale, cioè la tavola del teorema di Pitagora; inoltre il collegamento con la storia fa sentire ed apprezzare ai bambini il proprio legame con gli uomini del passato.

Presentazione

Primo passaggio: sostituzione dei pezzi:
– iniziamo con la tavola contenente tutti i pezzi già disposti nel modo corretto per dare una prima forte impressione

– togliamo tutti i pezzi dal primo schema


– prendiamo i pezzi dell’altro schema e mettiamoli nelle cornici del primo, cioè muoviamo i pezzi da un lato all’altro


Secondo passaggio:
– dallo schema nel quale i quadrati sono divisi dalle diagonali formando i triangoli colorati, togliamo i triangoli gialli e quelli blu. Chiediamo a un bambino di riempire i due quadrati dello schema a sinistra utilizzando i quattro triangoli rosso che formano il quadrato grande

– i triangoli rossi che erano sull’ipotenusa del triangolo bianco sono stati distribuiti in due quadrati posati sugli altri due lati (cateti) del triangolo bianco

– ora con i triangoli blu e gialli riempiamo lo spazio lasciato libero dai triangoli rossi: tutto ciò che era costruito sui cateti ora si trova sull’ipotenusa.

Applicazione del teorema:
– la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.

Note:
– i triangoli dello schema sono tutti triangoli isosceli.

Scopo diretto:
– introduzione sensoriale al materiale
– preparazione per gli incastri seguenti

Età:
– dagli 8 anni.


Teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA II
i due cateti sono in proporzione 3:4 

Nell’incastro i tre quadrati sono riempiti con quadratini di tre diversi colori. Il loro numero è:
– nel quadrato del cateto minore 3² = 9
– nel quadrato del cateto maggiore 4² = 16
– nel quadrato dell’ipotenusa 5² = 25.
In questo caso speciale calcolando le lunghezze dei lati per se stesse, si ha il numero di quadrati che riempiono le superfici, cioè:
3 x 3 =   9 quadrati
4 x 4 = 12 quadrati
5 x 5 =  25 quadrati
e quindi 25 = 16 + 9.

Siccome i quadratini relativi al quadrato di ogni lato sono di colore diverso, si possono disporre a disegni vari i quadratini corrispondenti ai due cateti, nel quadrato dell’ipotenusa.
Allora gli spazi relativi ai quadrati dei due cateti restano riempiti coi quadratini relativi all’ipotenusa, e rimanono di colore uguale i quadrati dei cateti.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Tavola II – Presentazione 1

Il gioco degli spostamenti è evidente:
– i due quadrati dei cateti possono essere riempiti completamente con i quadratini dell’ipotenusa, diventando dello stesso colore
– il quadrato dell’ipotenusa può essere composto in due colori creando bei disegni.

Così rimane materialmente ed esteticamente dimostrata la relazione pitagorica cambiando i quadratini mobili negli spazi della cornice che si trova nel materiale.

Tavola II – Presentazione 2

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora II

Presentazione:
– rimuoviamo dalla tavola il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?” E’ un triangolo rettangolo scaleno
– diciamo: “Questa è un’altra dimostrazione della teoria di Pitagora”.
– diciamo: “In questa tavola i quadrati sono divisi in quadratini tutti uguali. Possiamo usarla per verificare che la somma dei quadrati dei lati è uguale al quadrato dell’ipotenusa. “
– chiediamo l’aiuto dei bambini per inserire tutti i quadratini blu e gialli nella cornice quadrato grande e i quadratini rossi nelle cornici dei quadrati medio e piccolo:


– chiediamo ai bambini cos’hanno scoperto e chiediamo se quello che abbiamo fatto con i quadratini colorati può essere scritto
– facciamolo insieme:


– dopo essersi esercitati con la tavola i bambini possono risolvere problemi detti a voce, ad esempio possiamo dare la misura dell’ipotenusa e di un lato di un triangolo, e i bambini devono trovare la lunghezza dell’altro lato.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Nota:
Si tratta della terna pitagorica. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Tavola II – Presentazione 3

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora II

Presentazione:
– mostriamo il materiale e diciamo: “Qui i numeri magici sono 3, 4 e 5”
– “In questa figura i tre quadrati sono riempiti con piccoli quadratini tutti uguali e in differenti colori”
– con questo materiale il gioco delle sostituzioni viene spontaneo, per cui basta invitare il bambino a sperimentare il materiale in tutte le possibili combinazioni
– facciamo notare che i due quadrati costruiti sui due cateti (giallo e blu) possono essere interamente riempiti con i quadratini rossi del quadrato costruito sull’ipotenusa


– facciamo notare anche che i quadratini giallo e blu insieme possono riempire lo spazio occupato dal quadrato rosso
– facciamo notare che il triangolo bianco centrale è un triangolo rettangolo scaleno.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Tavola II – Presentazione 4

Materiali:
– tavola del teorema di Pitagora II: tavola nella quale i lati del triangolo sono in proporzione 3:4. In questo caso c’è un solo schema sulla tavola. Il triangolo bianco è un triangolo rettangolo scaleno.

Presentazione:
– per prima cosa contiamo i pezzi. Questa tavola aggiunge elementi di aritmetica agli elementi sensoriali. Evidenziamo che il triangolo bianco centrale è un triangolo scaleno
– togliamo dallo schema tutti i quadratini gialli e tutti i quadratini blu. Proviamo a riempire gli spazi vuotati con i quadratini rossi
– al termine ci troveremo con lo spazio per il quadrato dell’ipotenusa vuoto. Riempiamo questo spazio con i quadratini gialli e con quelli blu
– nel fare questa operazione si possono ottenere combinazioni di giallo e blu molto interessanti


– contiamo i quadratini. Possiamo scrivere il conteggio così:

– la somma dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.

Teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA III
caso generale

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Il materiale che serve a questa dimostrazione Il terzo incastro è di difficile descrizione e si presta a un notevole esercizio intellettuale.
Il materiale originale prevedeva una tavola 44 x 24 cm, con quattro incavi rettangolari ai due lati e al centro la cornice che, per la sua determinazione di forma, presenta appunto un teorema già stabilito, che bisogna dimostrare.

I pezzi mobili possono formare varie combinazioni per dimostrare vari principi del teorema, e cioè:
– due quadrilateri aventi base uguale e altezza uguale sono equivalenti
– due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro.
Occorre dimostrare che la somma dei due rettangoli equivale alla somma  dei quadrati costruiti sui cateti. La dimostrazione materiale si fa con lo spostamento delle figure.

Nell’incastro in posizione normale:

– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in due rettangoli
– il secondo lato è determinato dalle divisioni dell’ipotenusa, su cui cade l’altezza del triangolo abbassata dal vertice opposto.

Nel materiale troviamo anche due romboidi che presentano:
– un lato uguale al lato del quadrato piccolo
– un lato uguale al lato del quadrato grande
– un lato uguale all’ipotenusa.

L’altezza minore dei due romboidi corrisponde all’altezza (o lato minore) dei rettangoli.

L’altezza maggiore corrisponde ai lati dei quadrati dei cateti:

Non è necessario che il bambino conosca già tutte queste corrispondenze dimensionali: vedrà dei pezzi a incastro rossi blu e gialli, e semplicemente li sposterà inserendoli negli incavi della tavola.

A far ragionare il bambino sul teorema è il suo agire materialmente inserendo i pezzi mobili sui fondi della tavola, e non la conoscenza astratta delle corrispondenze dimensionali dei lati e delle altezze delle figure geometriche.
In questo modo l’esercizio diventa molto semplice e interessante, e il materiale si presta dare diverse dimostrazioni.

TAVOLA III – Presentazione 1

– Partiamo dall’incastro riempito normalmente:

– togliamo prima i due rettangoli dell’ipotenusa e mettiamoli nei lunghi incavi laterali della tavola
– facciamo scorrere verso il basso il triangolo bianco fino a che l’ipotenusa tocca il lato inferiore del quadrato. Rimane vuoto, al di sopra del triangolo, uno spazio che evidentemente equivale al quadrato. Questo spazio vuoto equivale evidentemente al quadrato. Esso ha la forma di uno strano poligono a sei lati, però prolungando la linea corrispondente all’altezza del triangolo, subito si capisce che lo spazio si può dividere in due romboidi, uno maggiore e uno minore.
– riempiamo lo spazio rimasto coi due romboidi giallo e blu: le due figure riempiono perfettamente lo spazio.

Vediamo così che è sempre lo stesso spazio riempito:
– prima con 1 triangolo + 2 rettangoli
– poi con 1 triangolo + 2 romboidi.

Questo dimostra che la somma dei due rettangoli (quadrato dell’ipotenusa) è equivalente alla somma dei due romboidi.

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TAVOLA III – Presentazione 2

Consideriamo poi i romboidi invece dei rettangoli, per dimostrare la loro equivalenza coi due quadrati sui cateti:
– cominciamo dal quadrato maggiore e partiamo dall’incastro in posizione normale:

– consideriamo lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato maggiore: per farlo togliamo i pezzi e vuotiamolo
– riempiamo lo spazio vuotato con il triangolo e il quadrato grande in posizione normale
– ora togliamo il quadrato del cateto maggiore (giallo)
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto maggiore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto maggiore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto maggiore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide grande giallo:

– allo stesso modo possiamo considerare anche lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato minore: per farlo togliamo prima il quadrato del cateto minore
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto minore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto minore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto minore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide piccolo blu:

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TAVOLA III – Presentazione 3

Con queste attività vogliamo dimostrare le equivalenze tra i romboidi e i rettangoli e tra i romboidi e i quadrati, utilizzando gli incavi lunghi che si trovano ai lati della tavola. Questi incavi dimostrano che i pezzi hanno la stessa altezza.

– Partiamo dall’incastro in posizione normale:

– togliamo i due rettangoli che insieme riempiono uno spazio uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa e mettiamoli insieme con i rombi negli incavi di sinistra (i maggiori nell’incavo più largo e i minori in quello più stretto):

Vediamo come le figure incastrate hanno uguale altezza. Basterà poi far combaciare i pezzi secondo la base per verificare l’uguaglianza: dunque le figure sono a due a due equivalenti.

Torniamo poi nella disposizione normale dell’incastro e procediamo allo stesso modo con i quadrati:

Negli spazi paralleli di destra si possono disporre il quadrato grande in fila col romboide grande, disposto però in un altro senso (cioè il senso dell’altezza maggiore).
Allo stesso modo si possono mettere nell’incavo minore di destra il quadrato piccolo e il romboide piccolo: quadrato e romboide hanno la stessa altezza e affiancandoli possiamo verificare che hanno base uguale. Dunque i quadrati e i romboidi sono equivalenti.
I rettangoli e i quadrati, equivalenti ai romboidi, sono perciò equivalenti tra loro.
Il teorema risulta dimostrato.

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TAVOLA III – Presentazione 4

Materiali:
– tavola del teorema di Pitagora III

Presentazione:
– rimuoviamo i rettangoli rossi dal telaio
– facciamo scorrere il triangolo bianco verso il basso e posizioniamo il parallelogramma giallo e blu nel telaio. Facciamo notare ai bambini che i parallelogrammi sono equivalenti ai rettangoli rossi. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– rimuoviamo il quadrato giallo e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Mettiamo il parallelogramma giallo nello spazio vuoto. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma giallo è equivalente al parallelogramma giallo. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– rimuoviamo il quadrato blu e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Inseriamo nello spazio vuoto il parallelogramma blu. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma blu è equivalente al quadrato blu. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– diciamo: “Ora sappiamo che i lati di una figura con lati uguali e base uguale sono equivalenti.”
– mostriamo quanto abbiamo detto posizionando il quadrato giallo accanto al parallelogramma giallo confrontando base e altezza
– diciamo ai bambini: “Dal momento che le figure gialle sono equivalenti e il parallelogramma giallo è equivalente al rettangolo rosso, possiamo dire che il quadrato giallo e il rettangolo rosso sono equivalenti?”. Sì
– dimostriamo che il quadrato blu è equivalente al parallelogramma blu.
– diciamo ai bambini: “Poiché il quadrato blu e il parallelogramma blu sono equivalenti, cosa possiamo dire del quadrato blu e del piccolo rettangolo rosso?” Sono equivalenti.

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Tavola III – Presentazione 5

La tavola III, per essere precisi, non dimostra tanto il teorema di Pitagora quanto la teoria di Euclide. Si tratta del famoso teorema del pons asinorum (ponte degli asini) della geometria euclidea che afferma: “Gli angoli opposti ai due lati uguali di un triangolo isoscele sono congruenti“. Si tratta, in sostanza, del contenuto della proposizione 5 nel libro I degli Elementi di Euclide.
Per prima cosa i bambini noteranno che il triangolo centrale dello schema della tavola è un triangolo rettangolo scaleno, uguale a quello usato nella tavola II.

I principi già studiati o suggeriti attraverso gli esercizi sensoriali con le altre tavole e che dimostrano il teorema sono:
– due quadrilateri che hanno base uguale e altezza uguale sono equivalenti
– due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro
– il quadrato formato sull’ipotenusa è diviso in due rettangoli. La divisione è fatta prolungando perpendicolarmente la linea che va dall’apice del triangolo bianco all’ipotenusa
– nel materiale sono compresi anche due romboidi, ognuno dei quali ha un lato uguale rispettivamente al quadrato grande e al quadrato piccolo dei lati del triangolo bianco, e l’altro lato uguale all’ipotenusa
– le altezze minori dei due romboidi corrispondono alle rispettive altezze (lati corti) dei rettangoli
– il lato maggiore corrisponde rispettivamente al lato del quadrato grande e del quadrato piccolo dei lati del triangolo.

Non è necessario che il bambino conosca tutte queste corrispondenze. Egli vede i pezzi colorati di un inserto e semplicemente lo sposta, mettendolo nelle cornici. Questa attività è ciò che dà al bambino l’opportunità di ragionare sul teorema, e non l’idea astratta delle corrispondenze e delle relazioni tra le figure.

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TAVOLA III – Presentazione 6

Con questa tavola porteremo avanti due dimostrazioni:
– dimostrazione A, basata sul movimento della mano usata per scambiare i pezzi nelle cornici; questo porterà all’applicazione del concetto di equivalenza, in particolare l’equivalenza tra rettangoli e parallelogrammi e l’equivalenza tra quadrati e parallelogrammi
– dimostrazione B,  basata sulle relazioni tra le linee nelle figure equivalenti.

Dimostrazione A:
– rimuoviamo i rettangoli rossi dalla cornice centrale. Proviamo a mettere i parallelogrammi giallo e blu (che si trovano nelle cornici laterali) al loro posto. Ai primi tentativi non ci riusciremo, ma se facciamo scivolare verso il basso il triangolo bianco il gioco è fatto. Questo dimostra l’equivalenza tra i rettangoli rossi e i parallelogrammi giallo e blu
– rimettiamo tutti i pezzi al loro posto. Ora lavoriamo con le figure blu
– proviamo a mettere il parallelogramma blu al posto del quadrato blu: non è possibile
– muoviamo il triangolo bianco verso l’alto e verso destra nello spazio del quadrato blu. Ora il parallelogramma blu potrà essere inserito senza problemi
– facciamo lo stesso con i pezzi gialli
abbiamo così dimostrato la qualità transitiva dell’equivalenza:
A=B
B=C
A=C proprietà transitiva

Dimostrazione B:
– prendiamo il più piccolo dei rettangoli rosi e mettiamolo nella cornice di sinistra con il parallelogramma blu. Lo spazio è lungo abbastanza per i due pezzi. La larghezza della cornice rappresenta rappresenta le altezze delle due figure: le due altezze quindi sono uguali
– mettiamo le due figure fianco a fianco per dimostrare che le basi sono uguali. Due parallelogrammi che hanno la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
– facciamo la stessa cosa con il rettangolo rosso grande e il parallelogramma giallo. Rettangoli e parallelogrammi con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
– ripetere l’attività con i parallelogrammi e i quadrati blu e giallo. Ora useremo le cornici di destra
– mettendo i pezzi nelle cornici dimostreremo che le altezze sono le stesse
– controlliamo anche la lunghezza delle basi delle due figure affiancando i due pezzi tra loro
– parallelogrammi e quadrati con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Conclusione:
– prendiamo le figure blu e il rettangolo rosso più piccolo
– il parallelogramma blu ha la stessa altezza e la stessa base del quadrato e del rettangolo rosso. Quindi il quadrato e il rettangolo sono equivalenti
– prendiamo le figure gialle e il rettangolo rosso più grande: esse sono equivalenti.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Scopo:
– comprendere il teorema
– risolvere problemi in modo pratico (dopo i 10 anni)

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Età:
– a livello sensoriale, dopo aver presentato le altre due tavole del teorema di Pitagora (8 anni)
– per applicazioni a problemi geometrici a partire dai 10 anni.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

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Le dieci regole d’oro di Maria Montessori e l’autovalutazione dell’insegnante

Le dieci regole d’oro di Maria Montessori

1. Non toccare il bambino senza che il bambino stesso non ti abbia invitato a farlo, in qualsiasi forma. Non violare il suo spazio.

2. Non parlare mai male del bambino, in presenza e assenza del bambino stesso.

3. Concentrati a coltivare tutto il buono che è nei bambini (a qualunque cosa tu dedichi attenzione nel bambino, essa diventa più forte). Cura costantemente e meticolosamente l’ambiente. Insegna l’uso proprio delle cose e mostra il luogo dove le cose devono essere riposte.

4. L’adulto è attivo nello stabilire una relazione tra il bambino e l’ambiente, mentre è esternamente passivo e internamente attivo quando questa relazione si è sviluppata.

5. L’adulto deve sempre essere pronto a rispondere alle domande del bambino che ha bisogno di lui. Bisogna sempre ascoltare e rispondere ai bambini che si rivolgono a noi.

6. L’adulto deve avere rispetto del bambino che fa un errore, senza correggerlo direttamente. L’adulto deve fermare gli usi scorretti del materiale ed ogni altra azione che rechi danno al bambino o agli altri membri della comunità. La classe non è un ambiente nel quale il bambino può essere distruttivo.

7. L’adulto deve rispettare il bambino che sente il bisogno di riposarsi o di osservare il lavoro degli altri.

8. L’adulto deve aiutare i bambini che sono alla ricerca di un’attività da svolgere e non la trovano.

9. L’adulto deve essere instancabile nel ripetere le presentazioni al bambino che le ha precedentemente rifiutate, nell’insegnare al bambino che non ha ancora compreso, nell’aiutare il bambino che ha bisogno di superare una difficoltà, nello stimolare la cura dell’ambiente. Deve fare ciò utilizzando il silenzio propositivo, parole dolci, e presenza amorevole. Il bambino che ricerca deve sentire la presenza dell’adulto, e il bambino che ha trovato la deve ignorare.

10. L’adulto deve sempre trattare il bambino con il massimo del rispetto e della gentilezza, e in generale deve offrire al bambino sempre il meglio di sé.

Le dieci regole d’oro di Maria Montessori

Suggerimenti per l’autovalutazione dell’insegnante

La classe non è riuscita a seguirci:
– La mia preparazione era completa?
– Avevo esercitato praticamente la lezione a sufficienza?
– Avevo tutto il materiale necessario a disposizione?
– Il materiale era completo?
– Sono andato oltre quelli che sono i bisogni e gli interessi dei bambini?
– Ho presentato la lezione troppo presto?
– La lezione era troppo semplice?
– Il bambino è pronto per la lezione? Ho tenuto un registro accurato su di lui per saperlo?
– Ho coltivato un dialogo regolare con ogni bambino per conoscere  gli interessi di ognuno?
– Sono stato scortese?
– Ho dei pregiudizi contro questo materiale o questa materia di insegnamento?

La classe non progredisce:
– La scuola garantisce cicli di lavoro di tre ore?
– I materiali sono appropriati?
– La quantità di materiale a disposizione è corretta?
– Tutto il materiale è visibile ai bambini? Il lavoro di ognuno è visibile agli altri bambini?
– Ci sono tutte le condizioni necessarie alla concentrazione?
– I bambini che hanno maggior bisogno di assistenza sono vicini a me?
– C’è lo spazio sufficiente per il loro lavoro?
– I bambini capiscono i diversi tipi di apprendimento?
– Le lezioni sono date in accordo con l’interesse ed il livello dei bambini?
– Le lezioni sono preparate in modo che i bambini possano scegliere l’esercizio?
– I bambini sanno essere creativi o dipendono da libri e fotocopie?
– I loro bisogni fisici e spirituali sono soddisfatti?
– Le loro tendenze all’esplorazione, all’ordine, all’orientamento, alla ripetizione sono soddisfatte?
– I bambini sono in grado di sviluppare una visione del loro posto nell’Universo?
– I bambini sentono di possedere le regole di base?
– I bambini si sentono protagonisti del loro processo di autoeducazione?

Le dieci regole d’oro di Maria Montessori

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Ruota o mandala delle tabelline Montessori

Ruota o mandala delle tabelline Montessori – Il bambino può avere già osservato, in natura, ordini numerici in determinati sistemi, per esempio nelle piante la specifica disposizione dei petali e dei sepali o delle antere: è facile per lui scoprire la regolarità di un disegno anche nelle tabelline.

la stella a 5 punte nella disposizione dei semi della mela

Costruire la ruota delle tabelline è molto semplice ed economico. Noi abbiamo ritagliato dei dischi di compensato del diametro di circa 25cm. Poi abbiamo praticato col trapano dieci fori lungo il bordo, a distanza regolare, e vi abbiamo inserito ed incollato dei tasselli di legno. I bambini li hanno rifiniti con la carta vetrata.

Senza trapano e tasselli, si possono anche più semplicemente piantare sul retro dieci chiodi con la testa grossa, lasciandoli sporgere sul davanti (per la punta) per almeno un centimetro.

Al legno può naturalmente essere sostituito del cartone spesso, più semplice da ritagliare)

I tasselli (o i chiodi) vengono quindi numerati da 0 a 9. Come verrà spiegato meglio di seguito, nel cerchio vengono prese in considerazione solo le unità, mentre le decine bisogna ricordarle. Se ad esempio dobbiamo segnare il numero 16 useremo il chiodino 6, per il 63 il chiodino 3, ecc…

Ruota o mandala delle tabelline Montessori 

Tabellina del 2
Il filo di lana sullo 0, sul 2, sul 4, sul 6, sull’8, sullo 0 (10), poi ancora sul 2 (12), sul 4 (14), sul 6 (16), sull’8 (18) e ancora sullo 0 (20)

Così, mentre il bambino ripete oralmente la tabellina, sulla ruota si crea questo:

Ruota o mandala delle tabelline Montessori 

Tabellina del 3

Il filo di lana sullo 0, sul 3, sul 6, sul 9, sul 2 (12), sul 5 (15), sull’8 (18), sull’1 (21), sul 4 (24), sul 7 (27) e di nuovo sullo 0 (30)

Così, mentre il bambino ripete oralmente la tabellina, sulla ruota si crea questo:

Ruota o mandala delle tabelline Montessori 

Tabellina del 4

Filo di lana sullo 0, sul 4, sull’8, sul 2 (12), sul 6 (16), ancora sullo 0 (20), poi ancora sul 4, sull’8, sul 2, sul 6 e infine di nuovo sullo 0 (40)

Questa (come naturalmente quella del 6) è la tabellina preferita dai bambini, perchè durante l’esecuzione il disegno risulta molto scomposto, ma al termine dell’esercizio,  ripetendo oralmente la tabellina si ottiene questa forma:

Ruota o mandala delle tabelline Montessori 

tabellina del 5
Filo di lana una volta sullo 0 e una volta sul 5, fino ad arrivare al 50.

La tabellina del 5 mostra come il 5 è la metà del cerchio, cioè del 10.

Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina del 6

Anche con la tabellina del 6 si ottiene la stella a 5 punte, come con quella del 4 (infatti 6+4=10), con andamento inverso del filo di lana:

Ruota o mandala delle tabelline Montessori


Tabellina del 7

Allo stesso modo, ripetendo la tabellina del 7 sulla ruota, si ottiene la stella a 10 punte,  come per la tabellina del 3 (infatti 7+3=10)

Ruota o mandala delle tabelline Montessori 

Tabellina dell’8

E ripetendo quella dell’8, si torna al pentagono, come per la tabellina del 2 (8+2=10)

Ruota o mandala delle tabelline Montessori
Tabellina del 9

ripetendo la tabellina del 9, si vede bene  come questa tabellina , da alcuni considerata “difficile”, si memorizza facilmente procedendo di numero in numero aggiungendo una decina e togliendo una unità:

Ruota o mandala delle tabelline Montessori 

Tabellina del 10

La tabellina del 10 è il cerchio:

Con lo stesso principio si possono preparare dei cubi per sedersi in cerchio,  numerati sempre da 0 a 9:

Ruota o mandala delle tabelline Montessori 

Montessori wheel or mandala of multiplication tables  – The child may have already noted, in nature, numerical orders in certain systems, for example in plants the specific arrangement of petals and sepals, or anthers: it’s easy for them to find out the regularity of a pattern even in the multiplication tables.

the 5-pointed star in the arrangement of apple seeds

Building the wheel of multiplication tables is very simple and cheap. We have cut some disks of plywood of diameter about 25cm. Then we practiced with drill ten holes along the edge, at regular distances, and we have inserted and glued dowels of wood. The children have finished with the sandpaper.

Without drill and dowels, you can also simply plant on the back ten nails with a big head, letting them stick out from the front (for the tip) for at least one centimeter.

Wood can be replaced with thick cardboard, easier to trim.

The dowels (or nails) are then numbered from 0 to 9. As will be explained below, in the circle are taken into account only the units, while the tens must remember. For example, if we have to mark the number 16 we will use the nail 6, to 63 the nail 3, etc …

Multiplication table of  2 The wool thread on the 0, on the 2, on the 4, on the 6, on the 8, on the 0 (10), then again on the 2 (12), on the 4 (14), on the 6 (16), on the 8 (18) and on the 0 (20)

So, while the child repeats the multiplication table orally, on the wheel are creating this:

Multiplication table of  3

The wool thread on the 0, on the 3, on the 6, on the 9, on the 2 (12), on the 5 (15), on the 8 (18), on the 1 (21), on the 4 (24), on the 7 (27) and on the 0 (30)

So, while the child repeats the multiplication table orally, on the wheel are creating this:

Multiplication table of  4

The wool thread on the 0, on the 4, on the 8, on the 2 (12), on the 6 (16), on the 0 (20), on the  4, on the  8, on the 2, on the 6 and on the  0 (40)

This (of course as that of 6) is the multiplication table preferred by children, because when running the design is very decomposed, but at the end exercise, orally repeating the multiplication table is obtained this form:

Multiplication table of  5

Wool thread once on the 0 and once on the 5, up to the 50.

The multiplication table of 5, shows how the 5 is half of the circle, that is, 10.

Multiplication table of  6 Even with the multiplication table of 6 is obtained the 5-pointed star, as with that of 4 (that is 6 + 4 = 10), with the inverse of the wool yarn:

Multiplication table of  7 Similarly, by repeating the multiplication table of 7 on the wheel, you get the star at 10 bits, as for the multiplication table of 3 (in fact 7 + 3 = 10)

Multiplication table of  8

And repeating that of 8, we return to the pentagon, as the multiplication table of 2 (8 + 2 = 10):

Multiplication table of  9

repeating the multiplication table of 9, one can see how this multiplication table, by some considered “difficult”, you learn easily progressing in number in number, adding 1 ten, and removing one unit:

Multiplication table of 10

The multiplication table of 10 is the circle:

With the same principle can be prepared cubes to sit in a circle, always numbered from 0 to 9:

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Cartelli dei numeri Montessori

Cartelli dei numeri Montessori. Per  i vari utilizzi dei cartelli dei numeri, consulta il materiale presente sito.

Questi cartelli esistono in vari formati:

– i primi cartelli grandi dei numeri da 1 a 10

– cartelli grandi, colorati, da 0 a 9000. Seguendo le indicazioni Montessori avremo le unità verdi, le decine blu, le centinaia rosse e le migliaia di nuovo verdi.

– cartelli grandi, neri, da 0 a 9000

– cartelli piccoli, neri e colorati, da 0 a 9000

Primi cartelli dei numeri da 1 a 10

Cartelli grandi, colorati, da 0 a 9000

Cartelli grandi, neri, da 0 a 9000

 Cartelli piccoli, colorati, da 0  a 9000

Cartelli piccoli, neri, da 0 a 9000

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Il sistema metrico decimale secondo il metodo Montessori

Il sistema metrico decimale secondo il metodo Montessori

– il sistema metrico decimale come disciplina pratica
– cenni storici
– le grandezze e la loro misura: misura delle lunghezze e delle superfici; misura dei volumi; misura delle capacità; misura di peso e peso specifico (relazione tra volume, capacità e peso; calcolo del peso specifico).

Quando si affronta un argomento pratico, cioè un tema che ha attinenza alla realtà, occorre far convergere in esso diverse discipline . Il considerare separatamente le discipline come, per esempio, l’aritmetica, la geometria, l’algebra è determinato dal fatto che esse vengono intese come discipline astratte. Tuttavia, un qualsiasi oggetto reale risulta tale in quanto composto, o meglio qualificato, da molti attributi come il colore, il peso, la forma, ecc… che in esso tutti convergono e che possono venir studiati separatamente e in forma astratta come colore, peso, forma, ecc…

Allo stesso modo, in una disciplina attinente alla realtà, devono convergere varie discipline astratte o elementi da esse derivati.

Se sono necessari elementi che appartengono ad altre discipline per la formazione di una scienza pratica, la sua possibilità di sviluppo è dipendente e tale sviluppo può aver luogo soltanto quando si siano approntati i necessari contributi collaterali.

Mentre nella disciplina astratta l’approfondimento dei dettagli porta chiarezza, in una disciplina pratica, la chiarezza è raggiunta dalla totale convergenza dei suoi elementi formativi.

Nello studio del sistema metrico decimale, ossia nello studio delle misure, occorre perciò utilizzare molti elementi propri dell’aritmetica, della geometria, della fisica e perfino di materie estranee all’argomento, come geografia e storia, dirigendole tutte verso applicazioni pratiche; su oggetti della realtà suscettibili di misurazione. Le misure oggetto di studio nel nostro sistema metrico non sono soltanto quelle che vengono applicate alle ricerche scientifiche, per determinare le qualità intrinseche della materia o alle dimensioni microscopiche, ma più spesso sono grossolane valutazioni quantitative di oggetti connessi con le necessità sociali della vita dell’uomo.

Il sistema metrico decimale, rispetto a tutti gli altri sistemi di misure, ha due vantaggi che gli danno una indiscutibile superiorità. Il primo è dato dal fatto di fondarsi su di un accordo internazionale di unificazione, che rende uniformi le valutazioni delle quantità e perciò facilita la conoscenza e gli accordi commerciali tra i paesi che l’adottano. L’altro vantaggio è quello di aver applicato ai calcoli di misure quantitative il sistema a base dieci.

Prima che il sistema metrico decimale fosse stabilito e accettato da molte nazioni, ogni popolo aveva la sua particolare maniera di misurare, ereditata dalla tradizione. Possiamo dire che ogni paese avesse, come una propria lingua, così anche la sua propria maniera di misurare: alcuni usavano come riferimento di misura la lunghezza del piede o del braccio o della mano con pollice e mignolo stesi (palmo); altri la lunghezza di una certa pertica, ecc…

Per giungere a un criterio uniforme e universale, si stabilì di basare le misure su di un dato naturale che fosse comune a tutti i paesi, e di fondarsi su di una misura che proprio allora il progresso delle scienze e della matematica rendeva possibile: quella del meridiano terrestre. Di comune accordo, si scelse il meridiano che, passando per Parigi, va dal polo all’equatore. A Parigi, il 20 marzo 1791, l’Assemblea Costituente invitava Luigi XVI ad accordarsi con Giorgio III d’Inghilterra per l’adozione di un sistema metrico universale, la cui unità fondamentale fosse qualche cosa di indipendente dall’uomo, che appartenesse alla Terra, che non si riferisse a una particolare nazione, uguale per tutti gli uomini e per tutti i tempi. Il progetto venne rimandato per le vicende politiche dovute alla Rivoluzione; nel 1798 gli scienziati Delambre e Méchain, ai quali era stato affidato l’incarico di misurare l’arco di meridiano (quello a 2°20′ di longitudine est) compreso fra Dunkerque (Francia) e Barcellona (Spagna) conclusero i loro studi, deducendo, dalla misura di quell’arco di meridiano, la lunghezza dell’intero meridiano terrestre. Lo scienziato italiano Borda costruì il metro-campione, e nel 1799, con gli scienziati Laplace, Monge e Lagrange ideò le altre unità di misura (per i pesi, le capacità, ecc…) coordinandole con il metro. Questa lunghezza che (quasi) con esattezza potè essere misurata soltanto quando civiltà e cultura erano ad un livello avanzato, fu poi divisa e suddivisa di dieci in dieci, secondo il sistema di numerazione a base decimale, fino a che si giunse ad ottenere una lunghezza facilmente maneggevole che venne chiamata metro. Così la parola originaria metro, che in greco significa misura, divenne il nome proprio di tale grandezza. Su questi calcoli si costruì un regolo di platino-iridio, ossia un oggetto di metallo prezioso e inalterabile che rappresenta la misura effettiva base del sistema metrico decimale. Si conserva in Francia, negli archivi di stato, nel Pavillon de Breteuil, presso il Bureau International des Poids et des Misures, a Sèvres, un sobborgo di Parigi. La quarta parte del meridiano terrestre misura dieci milioni di metri, e perciò l’intero meridiano raggiunge quaranta milioni di metri. Il metro equivale quindi al decimilionesimo della quarta parte del meridiano terrestre.

photo credit: http://it.wikipedia.org/wiki/Meridiano

Nel sistema metrico decimale bisogna considerare due elementi: il primo è l’unità di misura che si deve determinare, in relazione a tutto quanto è suscettibile di misurazione. Possono essere misure di linee e o di lunghezze (linea), misure di piani o di  superficie (quadrato), e misure di solidi o di volume (cubo). Il secondo elemento consiste nel procedere a riunire le unità in gruppi, secondo il sistema di misurazione a base 10, al fine di eseguire il calcolo delle misure.

Premesso questo, nel nostro sistema metrico, ai diversi gruppi decimali si assegnano nomi speciali derivanti dalla lingua greca:
10 – deca
100 – etto
1000 – chilo
10.000 – miria

(l’elemento miria, che indicava il valore 10.000, e il corrispondente simbolo M sono stati aboliti e ora M indica Mega ed indica un valore di 1.000.000).

Così non si dirà cento metri, ma un ettometro; non mille metri, ma un chilometro. Allo stesso modo dei multipli, anche i sottomultipli decimali, ossia la decima, centesima, millesima parte dell’unità, hanno un loro nome, questa volta derivante dal latino.
Le varie denominazioni sono:
1/10 – 0,1 – deci
1/100 – 0,01 – centi
1/1000 – 0,001 – milli

Ugualmente non si dirà la decima parte di un metro, ma un decimetro; non la centesima o millesima parte del metro, ma un centimetro o un millimetro. Il modo più comune per rappresentare il metro coi suoi multipli e sottomultipli consiste nell’usare i simboli dei prefissi, ai quali si unisce quello dell’unità principale di misura delle lunghezze:
km – chilometro – 1.000
hm – ettometro – 100
dam – decametro – 10
m – metro – 1
dm – decimetro – 0,1
cm – centimetro – 0,01
mm – millimetro – 0,001

Se si tratta di misure di superficie o di solidi, le denominazioni non cambiano; soltanto si aggiungono le relative indicazioni, mediante le parole quadrato e cubo. Diremo quindi metro quadrato, metro cubo, ettometro quadrato, ettometro cubo, ecc… Le indicazioni simboliche portano il segno numerico usato per i quadrati e i cubi dei numeri, per esempio hm² m³.

Quando si tratta di misure di superficie la relazione  fra esse è di 100 in 100, mentre per le misure dei solidi le unità procedono di 1000 in 1000, come già vedemmo nel sistema decimale.

Misure delle superfici:
km² – 1.000.000 m² – (1000 x 1000)
hm² – 10.000 m² – (100 x 100)
dam² – 100 m² – (10 x 10)
m² – 1 m²
dm² – 0,01 m²
cm² – 0,0001 m²
mm² – 0,000001 m²

Misura dei volumi:
km³ – 1.000.000.000 m³ – (1000 x 1000)
hm³ – 1.000.000 m³ – (100 x 100)
dam³ – 1.000 m³ – (10 x 10)
m³ – 1 m³
dm³ – 0,001 m³
cm³ – 0,000001 m³
mm³ – 0,000000001 m³

Bisogna sempre tener presente tale ordine di successione dei valori per eseguire i calcoli o per effettuare la riduzione, cioè per passare da un’unità all’altra.

Dalle tabelle presentate risulta chiaro che i sottomultipli dell’unità principale di misura numericamente sono frazioni decimali. Sono anche espresse da uno zero indicante l’unità principale, seguito dalla virgola che ci mostra che scendiamo ad una parte più piccola dell’unità.

L’unità principale è una quantità realmente determinata e costituisce, perciò, il punto di partenza della valutazione. Essa può effettuarsi nei due sensi opposti, percorrendo i gradi precisi e rigorosamente ordinati del sistema decimale. Per questo, le unità che vanno verso la direzione della diminuzione sono realmente frazioni dell’unità principale, matematicamente considerate.

Non possiamo ottenere un più o un meno, se non riferendoci a una misura convenzionale, stabilita in relazione alle differenti possibilità di misurazione.

Il decimetro, tuttavia, è una lunghezza e non è veramente frazione di alcuna cosa. Il metro corrisponde a 10 decimetri e alla decima parte del decametro. Quindi il decametro corrisponde a 100 decimetri.

Invece il decimetro cubo è la millesima parte dell’unità principale di misura dei volumi, che è il metro cubo. Nelle misure dei pesi, d’altra parte, che hanno come unità principale di misura il centimetro cubo, il decimetro cubo è mille volte maggiore dell’unità principale.

Le misure sono correlazioni decimali crescenti e decrescenti rispetto all’unità prestabilita. Ciascuna misura rappresenta un particolare aspetto: è un’unità in se stessa che serve per misurare. Opera infatti misurazioni tanto il centigrammo del farmacista quanto l’ettogrammo del fruttivendolo; il rapporto di queste misure con l’unità principale è una convenzione necessaria per orientarci sull’ammasso della materia. Non si può quindi parlare di calcoli sulle frazioni. La stessa virgola, poi, è una convenzione che ci mette in relazione col sistema di numerazione a base decimale. Le riduzioni in frazioni ecc… indicano semplicemente che si prendono in considerazione, per necessità pratiche, misure di varia grandezza, adeguate cioè a ciò che si deve misurare.

Se talvolta risulta necessario rappresentarle mediante frazioni (decimali) è perchè ogni altra misura è orientata verso un centro, l’unità fondamentale di misura. Il calcolo tuttavia si esegue come se non ci fosse discontinuità.

Nei numeri 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1, l’uno è l’unità matematica. Nelle misure, invece, c’è un orientamento verso il centro: 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 e l’1 è l’unità di misura.

Non bisogna perciò considerare la frazione decimale come una difficoltà di calcolo.

Se torniamo alle aste numeriche che nella Casa dei Bambini costituiscono il primo materiale per contare, nell’asta più lunga troviamo rappresentata la lunghezza di un metro (asta del 10), mentre nella più corta la lunghezza di un decimetro (asta dell’1). Quelle intermedie corrispondono rispettivamente alle lunghezze di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 decimetri:

Nel materiale che ci era servito per contare, l’asta più corta rappresentava l’unità numerica che si ripeteva, nella successione, una volta di più, raggruppando nelle aste successive quantità e numeri crescenti fino al 10. Qui, invece, si rappresentano unità di misura determinate.

L’unità principale di misura delle lunghezze, cioè l’unità di misura delle linee, è il metro, l’asta lunga: quella del 10. Il metro si moltiplica e si divide determinando altre unità di misura, che procedono di 10 in 10 dando luogo tanto ai multipli del metro quanto alle suddivisioni decimali o sottomultipli. Nel sistema di numerazione, l’unità potrebbe venir rappresentata da un oggetto qualsiasi; una perla, una bambola, ecc… ma alla fine è pur sempre il numero uno. Invece le unità principali di misura risultano rappresentate da oggetti, soprattutto di dimensioni prestabilite. Tali unità sono il centro dal quale si parte: da un lato verso i multipli e dall’altro verso i suoi sottomultipli.

1000 m – chilometro – km – 1000
100 m – ettometro – hm – 100
10 m – decametro – dam – 10
1 m – metro UNITA’ PRINCIPALE DI MISURA – 1
10a parte del metro – decimetro – dm – 1/10 – 0,1
100a parte del metro – centimetro – cm – 1/100 – 0,01
1000a parte del metro – millimetro – mm – 1/1000 – 0,001

Ognuna di queste misure vale 10 volte quella immediatamente inferiore. Per esempio:
1 km = 10 hm
1 hm = 10 dam
proprio come accade nelle gerarchie della serie naturale dei numeri.

Ridurre una misura superiore in una inferiore equivale a scrivere un numero seguito da zeri a seconda  del suo posto nella gerarchia decimale.

Riferendoci alle misure, invece di quattro chilometri si dirà quattromila metri; oppure invece di due metri si dirà duecento centimetri. Si potrebbero anche ridurre i chilometri in millimetri, sebbene questa pratica non avvenga di solito. In tal caso avremo 3 km = 3.000.000 mm. Praticamente, l’unità di misura delle lunghezze usata per le grandi distanze (per misurare, ad esempio, la lunghezza di una strada che congiunge le città, ecc…) è il chilometro. Se invece si tratta di misurare lunghezze o altezze poco rilevanti, come possono essere quelle che si riferiscono a una casa, a un appartamento, a un mobile o alla misurazione di tessuti, l’unità di misura è il metro. Per misurazioni piccole (come quelle per un disegno) si usa sempre il decimetro o il doppio decimetro, che porta le graduazioni indicanti centimetri e millimetri.

Generalmente, in pratica, le altre misure non si usano. Così, ad esempio, dovendo misurare la distanza fra due punti di una strada, se resta una frazione di chilometro essa si esprime in metri. Allora si dirà, ad esempio, dodici chilometri e settecento metri, invece di dodici chilometri e sette ettometri. Quando, al contrario, si usa il metro, le sue frazioni si indicano in centimetri e non in decimetri. Per esempio si dirà quattro metri e sessanta centimetri, e non quattro metri e sei decimetri.

Quando si tratta poi di misurare una lunghezza piccola, per cui è indispensabile utilizzare i millimetri, tutte le unità di misura si esprimono in millimetri. Così, per esempio, si dirà quarantasei millimetri e non quattro centimetri e sei millimetri.

C’è ancora la presenza del metro, poichè in pratica si usa nella misurazione delle superfici. Ciò che in una superficie si può realmente misurare sono i suoi lati: il contorno, i limiti fatti di linee che la comprendono. Per il loro studio, si può ricorrere alla geometria, all’equivalenza tra figure piane e al modo di calcolare l’area della loro superficie. Per esempio, si voglia calcolare l’area di una terrazza di forma rettangolare, i cui lati misurano rispettivamente m 6 e m 4.

Il lavoro consiste nel misurare esattamente, mediante un metro a nastro o rigido, lunghezza e larghezza della terrazza. La sua area sarà espressa dal prodotto delle sue misure lineari, il prodotto 6×4. I lati quanto l’area della superficie vengono sempre calcolati come unità uguali, ossia come perle 6×4=24 perle. Questo perchè esse rappresentano un’astrazione numerica dell’unità ed esprimono, ma in forma geometrica, una semplice moltiplicazione di numeri.

Quando si deve misurare realmente una superficie, bisogna distinguere fra la misurazione reale che è misurazione di linee, e il calcolo che, mediante una moltiplicazione di numeri, rappresenta un prodotto in metri quadrati.

Il calcolo si indica con il simbolo m (metro) in questo modo: 6m x 4m ) 24m²

Le misure di superficie di indicano con misure quadrate, perchè l’area si ottiene sempre per mezzo di una moltiplicazione. Come nella scala delle unità delle misure di linee le unità procedevano di 10 in 10, così in quella delle misure di superficie bisogna considerare i quadrati corrispondenti, in quanto le misure di superficie procedono di 10² in 10².
Le misure sono:
km² – (1000m x 1000m) – 1.000.000 m²
hm² – (100m x 100m) – 10.000 m²
dam² – (10m x 10m) – 100 m²
m² – (1m x 1m) – 1 m²
dm² – (1/10m x 1/10m) – 0,01 m²
cm² – (1/100m x 1/100m) – 0,0001 m²
mm² – (1/1000m x 1/1000m) – 0,000001 m²

Le misure agrarie

Nella pratica le grandi estensioni di terreno si valutano in ettometri quadrati, ossia 100m x 100m = 10.000m². Questa misura-calcolo si chiama ettaro (simbolo ha). Parlando perciò dell’estensione di un terreno, si dirà che misura duecento ettari: vuol dire che è costituita di 200 quadrati, il lato di ciascuno dei quali misura 100 metri di lunghezza:

10.000 m² x 200 = 2.000.000 m²

Nella pratica si usa anche il decametro quadrato, che corrisponde ad un quadrato il cui lato misura 10m, e che si chiama ara (simbolo a) ed è l’unità di misura principale delle superfici agrarie.

Invece, per misurare grandi estensioni di terreno si impiega il chilometro quadrato.

Se consideriamo poi la serie dei valori relativi  alle misure quadrate o delle superfici, osserveremo che nel passaggio da un grado decimale all’altro, riferendoci al lato del quadrato, le misure non procedono di 10 in 10, ma di 100 in 100, proprio perchè se il lato procede di 10 in 10, le misure di superficie procedono di 10×10 in 10×10, cioè di 100 in 100. Se perciò, attraverso il calcolo scritto, si vuole ridurre una misura ad un’altra immediatamente inferiore, indicante la medesima superficie, bisogna moltiplicarla per 100.  Per esempio 25 ettari corrispondono a 2500 are che, a loro volta, corrispondono a 250.000  metri quadrati (o centiare; simbolo ca):
hm² = ha = 25
dam² = a = 2500
m² = ca = 250.000

Volendo misurare un terreno rettangolare molto grande, i cui lati misurano rispettivamente 10.ooo metri e 1000 metri, ossia 10 km per 1 km,  si effettuerà prima il calcolo in metri quadrati, così:

10.000m x 1.000m = 10.000.000m²

per esprimere poi il totale in ettari così:

10.000.000m² :  10.000 = 1.000 ha

Invece, se si trattasse di calcolare l’estensione di un paese o di una regione o di una provincia, ci si esprimerebbe in chilometri quadrati. L’ara, l’ettaro e il chilometro quadrato sono misure convenzionali che servono per esprimere, mediante numeri piccoli, una grande quantità di metri quadrati ottenuti col calcolo; non sono misure effettive, ossia oggetti che servono per effettuare misurazioni. Tali grandi misure si ottengono quindi unicamente mediante il calcolo.

Le carte topografiche si rilevano per mezzo di apparecchi speciali usati dagli ingegneri, i quali effettuano i calcoli con l’aiuto di linee e di angoli determinati mediante quegli strumenti.

Chiunque poi è in grado di calcolare l’area della superficie di un terreno, quando gli si diano le linee necessarie. A tale proposito, conviene ricordare le riduzioni di figure geometriche in rettangoli equivalenti, che vuol dire ridurre tutto il calcolo ad una moltiplicazione di due numeri.

Si abbia, ad esempio, un campo di forma triangolare la cui base misura 500m e l’altezza 405m. L’area della sua superficie sarà:

(500 x 405) : 2 = 202.500 : 2 = 101.250m²

il che equivale a 10 ettari e 1250m² (o ca).

Invece, se si tratta di un terreno trapezoidale, che ha i due lati di base rispettivamente di 300 e 200 metri e l’altezza che misura 160 metri, l’area della sua superficie sarà uguale a:

(300 + 200) x 80 = 500 x 80 = 40.000 m²

che corrispondono a 4 ettari.

Per il calcolo dei volumi, si usa come unità principale di misura il metro cubo (m³); non lo si usa però in modo effettivo, cioè non si trasporta materialmente nessun metro cubo, perchè anche i volumi si calcolano per mezzo delle linee. Per esempio, se si vuole conoscere la cubatura di una sala rettangolare, bisogna misurarne in metri lineari la lunghezza dei lati di base e poi l’altezza, fino al soffitto.

Prendiamo ad esempio un salone lungo 9m, largo 7m e alto 5m. Anzitutto bisogna considerare l’area della superficie del pavimento, che è 9m x 7m = 63m²; poi moltiplicare l’area del pavimento per l’altezza del salone: 63m² x 5m = 315m³.

Se invece si volesse calcolare il volume di una delle piramidi d’Egitto, basterebbe conoscere, in metri lineari, la misura del lato della base quadrata e la sua altezza. Calcolando l’area della superficie di base (quadrato del lato), avremo un numero in metri quadrati, che poi si moltiplica per la terza parte dell’altezza: otterremo, in metri cubi, il volume della piramide monumentale.

Possiamo preparare modelli di cartoncino e vari disegni con le piante dei principali monumenti corredate dalle relative misure. Tali modelli possono essere utilizzati tanto per uno studio di carattere storico ed artistico, quanto, attraverso il calcolo approssimativo delle loro dimensioni, per offrire ai bambini cognizioni tangibili sull’imponenza di alcune costruzioni edificate dall’uomo.

Nella vita di ogni giorno, le misure comunemente più usate sono quelle che si riferiscono al modo di determinare quantità si sostanze che, in se stesse, non hanno forma propria, come i liquidi: acqua, olio, vino, ecc… o anche si elementi secchi come grano, riso, farina, o anche sabbia, ghiaia da spargere in un giardino,  legna, ecc… Occorre quindi un’unità di misura delle capacità che sia basata sul metro, perchè anch’essa formi parte del sistema metrico, e le cui unità di misura procedano di 10 in 10 per poter essere comprese in quello decimale. L’unità principale di misura delle capacità è il decimetro cubo (dm³).

Fra il materiale usato nella Casa dei Bambini la torre rosa ha nel suo cubo maggiore, quello con lo spigolo di 10cm, il volume indicato come unità principale di misura delle capacità.

Attorno a questo cubo immaginiamo di costruire un rivestimento metallico a forma di scatola che lo contenga esattamente. Poi sostituiamo il cubo di legno con una quantità di acqua tale da riempire la scatola proprio fino al bordo: questa quantità rappresenta un litro, l’unità fondamentale di misura dei liquidi.

Una volta determinata tale quantità, nella pratica delle misurazioni il decimetro cubo non è più necessario. Un cilindro nel quale si sia versato un litro di acqua può, contrassegnando il livello raggiunto dalla superficie del liquido, servire poi come misura di un qualsiasi liquido. Si può anche usare una comune bottiglia che porti un segno nel punto in cui giunge il livello corrispondente ad un litro.

I liquidi si misurano con recipienti di forma diversa come barili, damigiane, ecc…

Il calcolo però si rapporta sempre, per la sua qualità di punto di riferimento e unità principale di misura, alla capacità di 1dm³, ossia ad un recipiente di forma cubica con lo spigolo di 1dm.

Per i liquidi, le misure di uso più corrente sono:
hl – ettolitro – 100 litri
dal – decalitro – 10 litri
l – litro – 1 litro = 1dm³
dl – decilitro – 1/10 di litro = 0,1 litri
cl – centilitro – 1/100 di litro = 0,01 litri.

Le misure stesse di capacità sono anche misure di volume, poichè esse rappresentano:
1 litro – 1dm³
1 decalitro – una fila di 10 cubi
1 ettolitro – un quadrato di 100 cubi
1 chilolitro – la sovrapposizione di 10 ettolitri, corrispondente alla capacità di 1m³.

Le misure che si usano in pratica sono di vetro e poichè si presentano segnate nel punto raggiunto dal liquido, funzionano da misura. Per misure maggiori, si usano recipienti di metallo o di legno a forma di otre o barile. Le misure per l’olio generalmente sono di metallo e di forma cilindrica, munite di manico e beccuccio, e portano un segno nel punto in cui deve giungere la misura precisa.

Il procedimento più interessante per la determinazione pratica dell’unità di misura è quello che riguarda il peso dei corpi. La misura da cui si parte è il piccolo cubo che troviamo alla sommità della torre rosa e che misura 1cm di spigolo.

Per calcolare un peso con scrupolosa esattezza occorre  una bilancia di precisione. Bisogna quindi determinare un volume e la qualità della materia, dal momento che uguali volumi di sostanze diverse hanno peso diverso. Anche qui abbiamo due criteri distinti, due elementi differenti ed entrambi importanti.

Il volume scelto come unità è quello corrispondente alle capacità di un cubo con lo spigolo di 1cm.

Immaginiamo una scatolina di metallo che contenga esattamente un piccolo cubo, come il primo della torre rosa, però costituito in metallo, con la massima precisione, in modo da rappresentare esattamente 1cm³. Togliendo poi il piccolo cubo, rimane la scatolina metallica della capacità esatta di 1cm³. Tale minuscola scatola deve essere riempita con una sostanza che sceglieremo, perchè essa influisce sul peso più di quanto non operi il volume. Infatti 1cm³ di olio e 1cm³ di mercurio peseranno senza dubbio in modo assai diverso.

Per rendere più comprensibile questo fatto, potremo ricordare le esperienze condotte nella Casa dei Bambini, quando in modo empirico cercavano di riconoscere il differente peso di tavolette uguali per forma e dimensioni, ma diverse nella materia: dall’ebano all’abete.

Potremo ricordare anche le altre esperienze fatte nella scuola elementare studiando in grammatica gli aggettivi di grado comparativo e superlativo.

Diamo qui un esercizio nel quale i bambini confrontano sostanze liquide diverse come acqua, olio, alcol, e insieme sostanze solide come sughero e piombo. Indipendentemente dalla quantità usata per ciascuna delle sostanze elencate, esse si dispongono l’una sotto l’altra, senza mescolarsi: acqua, olio ed alcol rimangono separate e sovrapposte tra le due sostanze solide collocate agli estremi: il piombo affonda e il sughero galleggia.

Il peso in relazione con la natura della sostanza piuttosto che con il volume è un fatto già noto ai bambini, da quando è stato loro spiegato il valore dell’aggettivo “specifico”. Sarà perciò chiaro che, oltre al volume, si rende necessario riferirsi a una sostanza, rapportandosi al suo peso specifico. La materia scelta è l’acqua.

L’unità fondamentale di misura dei pesi è rappresentata dal peso di 1 cm³ di acqua. Si sa che l’acqua può essere pura e impura. Si studiarono già molti aggettivi che si riferiscono all’acqua: deve essere inodore, incolore, insapore, ecc… Venne pure filtrata mediante corpi permeabili. Si concluse che, per ottenere acqua pure, bisogna distillarla, poichè quando si converte in vapore, essa non trasporta con sè nessuno dei sali che contiene disciolti, ma si converte in acqua chimicamente pure (H2O). Il vapore acqueo, condensandosi, si raccoglie a goccia a goccia trasformato nuovamente nello stato liquido.

Il grammo, unità principale di misura dei pesi, corrisponde al peso di 1 centimetro cubo di acqua distillata alla temperatura di 4° centigradi.

Come si sa, l’acqua  è la sostanza usata anche per definire la scala per la misura delle temperature. Infatti se un tubo capillare contenente mercurio ed ermeticamente chiudo si introduce nel ghiaccio, il mercurio si contrae; nel punto corrispondente al livello minimo si segna lo zero (zero gradi di temperatura). Se poi introduciamo il tubo nell’acqua che bolle (oppure lo esponiamo al vapore acqueo che si forma sulla superficie dell’acqua che bolle, a una normale pressione atmosferica, che è 1-, il mercurio si dilata e nel punto del tubo in cui esso raggiunge il livello massimo si segna 100 (cento gradi di temperatura). Lo spazio tra 0 e 100 si suddivide in 100 parti uguali chiamate gradi.

Abbiamo così stabilito che l’unità principale di misura dei pesi corrisponde al peso di 1 cm³ di acqua distillata alla temperatura di 4°C: tale peso, messo in rapporto con il sistema metrico, si chiama grammo (g). L’unità di peso è assai piccola, proprio perchè talvolta serve come punto di partenza per la misurazione di quantità minime, come avviene in medicina o quando si determina il peso di sostanze utilizzate per analisi chimiche.

Il grammo che si usa praticamente per pesare non è certo quell’acqua contenuta nel piccolo cubo, ma un piccolo cilindro di ottone munito di un bottoncino di presa, e si determina mediante una bilancia di precisione, comparandolo in modo che corrisponda perfettamente al peso dell’acqua del piccolo cubo che, perciò, ha ruolo di peso-campione.

Nella pratica si usano pesi anche minori del grammo; nella loro successione decimale sono:
1/10 di grammo – decigrammo – 0,1 grammi (dg)
1/100 di grammo – centigrammo – 0,01 grammi (cg)
1/1000 di grammo – milligrammo – 0,001 grammi (mg)

Invece, per i pesi adoperati comunemente nella vita di ogni giorno, si usano i multipli del grammo e uno di essi, il chilogrammo, serve da punto di riferimento:
1 grammo – grammo – g
10 grammi – decagrammo – dag
100 grammi – ettogrammo – hg
1000 grammi – chilogrammo – kg

Il chilogrammo corrisponde al peso dell’acqua distillata contenuta in un decimetro cubo, grande come il cubo maggiore della torre rosa, e corrisponde al peso di 1 litro di acqua distillata.

In pratica si usa anche l’ettogrammo quando si comprano generi alimentari. Quando invece si tratta di misurare pesi più grandi, si ricorre a due pesi estremi, rappresentati dal peso citato, il chilogrammo in relazione al decimetro cubo, e da quello corrispondente al peso dell’acqua distillata che riempirebbe esattamente la capacità di 1 metro cubo.

Un metro cubo contiene 1000 decimetri cubi e pertanto corrisponde al peso di 1000 chilogrammi di acqua distillata. Questa enorme unità di misura dei pesi si chiama tonnellata (t).

Un peso corrispondente a 100 chilogrammi si chiama quintale (q) e si usa per pesare legna, carbone e cose simili. Ecco l’elenco delle unità di misura dei pesi:
1.000.000 g – tonnellata – t – metro cubo di acqua – 1000 kg
100.000 g – quintale – q – 100 kg
10.000 g – miriagrammo – Mg – 10 kg
1.000 g – chilogrammo – kg – decimetro cubo di acqua – 1000 g
100 g – ettogrammo – hg
10 g – decagrammo – dag
1 g – grammo – g – unità principale di misura -centimetro cubo di acqua – 1g
1/10 g – decigrammo – dg
1/100 g – centigrammo – cg
1/1000 g – milligrammo – mg – millimetro cubo di acqua

Le misure dei pesi sono sempre indirette e occorre uno strumento meccanico per valutarle: la bilancia.

Le misure dei volumi comprendono tanto unità di misura di volume quanto di capacità e di peso. L’unità principale di misura dei volumi è il metro cubo (m³); esso corrisponde alla capacità di 1 chilolitro (kl) di acqua pura, cioè di 1000 litri; e 1 kl di acqua pura pesa 1 tonnellata (t), cioè 1000 chilogrammi.

L’unità principale di misura delle capacità è il litro (l); esso corrisponde alla capacità di 1 decimetro cubo di acqua pura; e 1 dm³ di acqua pura pesa 1 chilogrammo (kg).

L’unità principale di misura dei pesi è il grammo (g); esso corrisponde al peso di 1 centimetro cubo (cm³) di acqua pure che, d’altra parte, ha la capacità di 1 millilitro (ml), cioè di litri 0,001.

Se abbiamo due quantità di uguale volume ma aventi differente peso, vuol dire che hanno diverso peso specifico relativo, cioè diversa densità relativa. Per esempio: ferro, ebano, sughero; oppure mercurio, olio d’oliva, vino, alcool presi nella stessa quantità hanno pesi diversi.

Prepariamo cubetti tutti uguali e con lo spigolo di 1cm delle seguenti sostanze: ferro, alluminio, marmo, cristallo, ebano, sughero. Confrontiamo, poi, il peso di ciascuno di questi piccoli cubi uguali con quello di 1 grammo, che è il peso di un ugual volume di acqua distillata. In conseguenza diremo che:
il ferro pesa 7,85 grammi
l’alluminio pesa  2,56 grammi
il marmo pesa  2,75 grammi
il cristallo pesa  2,60 grammi
l’ebano pesa  1,17 grammi
il sughero pesa  0,24 grammi

Per le sostanze liquide poste in provette graduate della capacità di 1 cm³ riscontreremo che:
il mercurio pesa  13,59 grammi
l’olio pesa  0,92 grammi
il vino pesa  0,96 grammi
l’alcol pesa  0,79 grammi

Così i vari pesi specifici dei quali avevamo già rivelato la differenza mediante una valutazione empirica secondo che galleggiassero o precipitassero, si possono ora identificare con numeri, i quali ci permettono di eseguire calcoli comparativi.

E’ così possibile calcolare il peso (P) di un corpo del quale si conosce il volume (V) e il peso specifico (ps).

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Il grande cubo del trinomio Montessori

Il grande cubo del trinomio Montessori  è un cubo costituito da 27 singole parti, della grandezza complessiva di cm 31x31x31.
Il cubo originale Montessori ha una grandezza di 9x9x9. Di seguito le misure e l’elenco dei colori da utilizzare per costruirlo in proprio.

Per costruirlo servono tavolette di compensato di 1cm di spessore con le seguenti misure:
4   tavolette cm 9×8
14 tavolette cm 10×10
4   tavolette cm 14×13
14 tavolette cm 15×15
4   tavolette cm 24×23
14  tavolette cm 25×25
12  tavolette cm 13×24
12 tavolette cm 8×24
24 tavolette cm 14×23
12 tavolette cm 8×14
24 tavolette cm 9×23
12 tavolette cm 9×13
12 tavolette cm 10×15

Con queste tavolette si costruiscono le 27 parti del cubo del trinomio come segue:
1 CUBO GIALLO: 4 tavolette 9×8 e 2 tavolette 10×10
1 CUBO BLU: 4 tavolette 14×13 e due tavolette 15×15
1 CUBO ROSSO: 4 tavolette 24×23 e 2 tavolette 25×25
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE BLU): 6 tavolette 25×25 e 12 tavolette 13×24
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE GIALLE): 6 tavolette 25×25 e 12 tavolette 8×24
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE BLU): 6 tavolette 15×15 e 12 tavolette 14×23
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE BLU, FACCE CORTE GIALLE): 6 tavolette 15×15 e 12 tavolette 8×14
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE GIALLE): 6 tavolette 10×10 e 12 tavolette 9×23
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE GIALLE, FACCE CORTE BLU): 6 tavolette 10×10 e 12 tavolette 9×13
6 PARALLELEPIPEDI (in cui i lati corti corrispondenti ai lati del cubo piccolo e di quello medio, verranno verniciati in giallo e in blu, sul coperchio e sul fondo, e i lati lunghi, corrispondenti ai lati del cubo grande, in rosso): 12 tavolette 10×15, 12 tavolette 14×23 e dodici tavolette 9×23.

Cubi:

4x4x4
3x3x3
2x2x2

Parallelepipedi:
(3) 4x4x3
(3) 4x3x3
(6) 4x3x2
(3) 3x3x2
(3) 4x2x2
(3) 3x2x2

tutte le facce 4×4 sono rosse
tutte le facce 3×3 sono blu
tutte le facce 2×2 sono rosse
tutte le facce non quadrate sono nere.

Questo materiale offre ai bambini un’ ampia gamma di sperimentazioni possibili: si può costruire un’alta torre grazie al particolare rapporto di grandezza tra loro; le singole parti possono essere ordinate secondo grandezza e colore, su di una base, e formare alla fine un cubo; alle varie parti possono venir associati cartoncini fino ad arrivare a sperimentare la formula del trinomio (a+b+c) x (a+b+c) x (a+b+c); le singole parti possono formare una strada o un cerchio su cui i bambini possono camminare, tenendosi in equilibrio.

Noi adulti abbiamo molte idee astratte su ciò che il bambino può o non può imparare e questo avviene anche con il grande cubo del trinomio.
E’ essenziale piuttosto prenderci sufficiente tempo per osservarli giocare e imparare da loro, invece di pretendere sempre che raggiungano i nostri obiettivi e soddisfino le nostre aspettative.
Ciò significa che dovremmo vedere i bambini come sono e non come vorremmo che fossero. La capacità di osservare diventa un’arte vera e propria. Dovremmo riuscire a reprimere l’impulso di intrometterci nei processi infantili o addirittura cercare di accelerarli. La Montessori chiama tutto ciò “Attendere osservando”. I bambini imparano attraverso attività spontanee, durante le quali sviluppano un’enorme energia.
“Lo studio dello sviluppo del bambino è intimamente connesso con lo studio dello sviluppo del movimento della mano. Ci si dimostra chiaramente che lo sviluppo del bambino è legato alla mano, la quale ne rivela lo stimolo psichico.
Possiamo esprimerci in questo modo: l’intelligenza del bambino raggiunge un certo livello, senza far uso della mano; con l’attività manuale egli raggiunge un livello più alto, ed il bimbo che si è servito delle proprie mani ha un carattere più forte.” (Maria Montessori, La mente del bambino).

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Numeri romani – esercizi per la terza classe

Numeri romani – esercizi per la terza classe scaricabili e stampabili in formato pdf, nella versione semplice e in forma di scheda autocorrettiva.

scarica e stampa le schede qui:

Istruzioni per le schede autocorrettive: ritagliare lungo le linee orizzontali, quindi piegare ognuno dei foglietti ricavati lungo la metà verticale. In questo modo otterrete delle schede fronte-retro.

Il bambino può svolgere l’esercizio sulla scheda, quindi aprirla per correggersi.

Gli esercizi sono quelli comunemente utilizzati in terza classe, come vedete. Ho sempre però difficoltà a trovare materiali che offrano ai bambini anche la possibilità dell’autocontrollo e dell’autocorrezione (per gli esercizi per i quali si può fare, naturalmente…).

Utilizzo delle schede autocorrettive: bambini hanno a disposizione in classe una scatola-schedario di esercizi vari per ogni materia, da scegliere liberamente, che è uno per tutti: abbiamo uno schedario per la Matematica, uno per l’Italiano, uno per l’Inglese, ecc…

Ogni bambino ha poi una scatola-schedario individuale, col suo nome, dove conserva i cartellini che ha usato per i suoi esercizi. E’ assurdo incollare fotocopie su fotocopie sui quaderni! Questa modalità favorisce il lavoro individuale e individualizzato, ma anche l’aiuto reciproco e la collaborazione: se un bambino ha già provato un dato esercizio, può dare una mano al compagno che lo sta facendo; poi ci sono anche schede per lavorare in coppia, ad esempio quelle dei dettati che prevedono che un bambino legga al bambino che scrive.

E’ naturalmente sempre il bambino a scegliere; se lo desidera può portare anche il lavoro a casa: vi sembrerà assurdo, ma a me che non uso dare compiti, i bambini li chiedono…

A differenza degli eserciziari “a libro”, lo schedario mi permette di aggiornare l’offerta di esercizi in base agli interessi dei bambini, o alle difficoltà che mostrano, e inoltre si integra benissimo coi materiali montessoriani già a disposizione.

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Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo ESERCIZI

Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo ESERCIZI. Una raccolta di presentazioni, giochi ed esercizi per l’addizione secondo la psicoaritmetica Montessori.

Tutto il materiale stampabile illustrato in questo articolo si trova qui:

Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo stampabili

Tavola dell’addizione e asticine – Esercizi

Scopo: aiutare il bambino a conoscere e memorizzare tutte le possibili combinazioni dell’addizione di numeri da 1 a 9, per facilitare la comprensione delle operazioni e il calcolo mentale.

La linea rossa che divide verticalmente la tavola dell’addizione ci dice, per ogni numero che eccede il 10, di quante unità oltre la decina è composto il numero stesso.  Mostra cioè al bambino che i numeri sono divisi in due parti: una parte rappresenta una decina completa, l’altra parte è il resto di unità che non hanno raggiunto una decina. Questo è il meccanismo generale dell’addizione che  vogliamo sia appreso dai bambini.

Controllo dell’errore: Il bambino controlla il lavoro sulle tavole di controllo Tavola I e Tavola II.
Età: 5 anni e 1/2 – 6 anni

Presentazione 1

Per prima cosa illustriamo al bambino la Tavola con asticine, mostrando bene la linea rossa che scorre in verticale tra i numeri 10 e 11; indicargli i numeri che si trovano nella parte superiore della tavola e dirgli che è li che troverà la risposta che cerca.

Prendere tutte le asticine blu e metterle in ordine decrescente; fare la stessa cosa con le asticine rosse.

Chiedete al bambino di scegliere un’asticina blu e posizionarla sulla prima riga della tavola. (Ad esempio l’asticina del 6). Scegliamo un’asticina rossa, cercando di evitare che la somma superi il 10 (ad esempio l’asticina del 3) e posizioniamola a destra della striscia blu.

Mostriamo quindi al bambino che 6 più 3 è uguale a 9

Ripetiamo l’esercizio, ma questa volta facendo in modo che la somma superi la decina, e mostrare chiaramente al bambino la linea rossa verticale che indica che il numero ottenuto è maggiore di 10.

Presentazione 2

L’insegnante invita il bambino ad unirsi a lei in questo esercizio, insieme portano al tavolo tutto il materiale necessario, poi si siede accanto a lui, dal suo lato non dominante; il bambino sceglie un cartellino delle addizioni da svolgere, legge a voce alta, poi posa il cartellino sul tavolo.

Per esempio, se si tratta di 9 +5= , l’insegnante prende  l’asticina blu del 9 e la mette sulla tavola dell’addizione, poi prende l’asticina rossa del 5 e la mette alla fine dell’asticina blu, quindi fa notare al bambino che le due asticine insieme terminano sulla casella 13.

Il bambino prende il cartoncino dei risultati corrispondente, lo pone a destra di quello dell’operazione, poi scrive sul foglio a quadretti l’operazione ed il suo risultato.

Presentazione 3

Mostriamo al bambino il primo modulo per l’addizione scritta, quello dell’1. La prima operazione è 1 + 1 =

Il bambino metterà sulla tavola dell’addizione un’asticina blu dell’1 e un’asticina rossa dell’1.

Mostriamo al bambino che il risultato dell’operazione è 2:

Il bambino scrive il risultato sul modulo, quindi prosegue completando, anche nei giorni seguenti, tutti i moduli.

Una volta che ha completato i moduli da 1 a 9, possiamo introdurre la Tavola I di controllo, e aiutare il bambino a verificare la correttezza del lavoro svolto sui moduli.

Presentazione 4

Chiediamo al bambino di mettere sulla Tavola dell’Addizione, ad esempio, un’asticina blu del 5 e una rossa del 3. La somma sarà 8.

Poi chiediamogli di mettere un’asticina del 3 blu e un’asticina 5 rossa. La somma sarà ancora 8.

Osserviamo col bambino come nelle due operazioni i colori appaiano in ordine differente, e che comunque il risultato finale è identico.

Fare molti esercizi di questo genere.

Presentazione 5

Il bambino posiziona, ad esempio, l’asticina blu dell’8 sulla Tavola dell’addizione. Poi prende un pezzetto di carta a quadretti e scrive 8. Chiediamo al bambino: “Cosa fa 8?”

Partendo dall’asticina blu dell’1, il bambino aggiunge l’asticina rossa che serve a raggiungere l’8, quindi trascrive l’operazione sul suo foglietto; in questo modo:

Per le operazioni identiche (ad esempio 7+1 e 1+7) possiamo spiegare al bambino come eliminare una delle due, che rappresenta un duplicato, e come cancellarle (tirando una riga) anche dal foglietto.

Il bambino può poi controllare il suo lavoro sulla Tavola II di  controllo.

Esercizi con la TAVOLA III

Il bambino farà scorrere la mano destra lungo le linee orizzontali, e la mano sinistra lungo le linee verticali per trovare la somma.

Materiale necessario:  Tavola III dell’addizione; moduli delle addizioni;  cartellini degli esercizi per l’addizione; tavola di controllo (Tavola I) dei risultati.

Presentazione 1: l’insegnante  invita il bambino ad unirsi a lei nell’esercizio,  porta quindi al tavolo del bambino il materiale, e il bambino sceglie un cartellino dell’addizione.

L’insegnante chiede al bambino di  leggere ad alta voce l’operazione, ad esempio: “Due più sei uguale…” e pone il cartellino scelto sul tavolo

quindi gli mostra come trovare il risultato sulla tavola dell’addizione, facendo scorrere la mano destra lungo la linea blu fino ad arrivare al 2, e ripetendo a voce alta: “Due”, e la mano sinistra lungo la linea rossa fino al 6, ripetendo a voce alta: “Sei”.

Muovendo poi le mani insieme, e ripetendo “Due più sei uguale”, arrivata al risultato legge il numero: “Otto”.

Chiede quindi al bambino di cercare il cartellino dell’otto nella scatola dei risultati, e di posizionarlo a destra del cartellino dell’operazione, dopo il segno di uguale.

Quando il bambino è pronto a lavorare autonomamente, dopo il numero di esempi necessari, insegnante e bambino si scambiano i ruoli per qualche altra operazione, quindi il bambino può lavorare da solo e scegliere nei giorni successivi questo materiale ogni volta che lo desidera.

Presentazione 2

Presentiamo la Tavola al bambino, mostrandogli i numeri blu sull’asse orizzontale e i numeri rossi sull’asse verticale. Chiedere quindi al bambino di scegliere un cartellino dal cesto delle operazioni, e chiedergli di leggerlo a voce alta; ad esempio: “9 + 5=”

Mostrare al bambino come posizionare un dito sul 9 rosso (sull’asse verticale) e un altro dito sul blu 5 blu (sull’asse orizzontale). Far scorrere le dita fino a quando si incontrano, per ottenere la risposta. Dire ad alta voce, “9 + 5 = 14” .

Far ripetere al bambino. Fare un paio di esempi.

Una volta che il bambino capisce che cosa fare con le dita, gli insegneremo a prendere il cartellino del risultato da abbinare a quello dell’operazione, ed a registrare il risultato sui moduli.

Nei giorni seguenti il bambino può lavorare da solo, o con un compagno.

Esercizi con la TAVOLA IV

Per prima cosa esaminiamo la tavola col bambino: notiamo che essa è per dimensione solo la metà rispetto alla Tavola III. Non vi è alcuna riga superiore blu. Eppure ha lo stesso numero di operazioni.

I movimenti della mano sono leggermente diverse rispetto a quelli necessari per l’uso della Tavola III.

Il bambino sceglie un’addizione, ad esempio 8 + 4 =

Per trovare il risultato sulla Tavola, bisognerà posizionare  un dito sull’ 8 rosso, e un dito sul 4 rosso. I consiglio è quello di posizionare sempre l’indice sinistro sul numero più grande dell’operazione (in questo caso l’8)

Poi bisogna far scorrere le due dita verso destra, parallelamente, finché una delle due non può più andare avanti.

A questo punto scendere col dito arrivato allo “stop” fino ad incontrare l’altro dito (in questo caso nella casella del 12)

Dire, “8 + 4 = 12” Chiedete al bambino di fare un paio di prove, fino a capire  i movimenti della mano che vanno eseguiti, quindi chiedere al bambino di registrare l’operazione e la risposta.

Esercizi con la TAVOLA V

Il bambino sceglie un cartellino delle operazioni, ad esempio 6 + 2 = Posiziona l’indice sinistro sul 6 rosso e il destro sul 2 rosso.

Fa poi scorrere le dita verso destra, ciascun dito fino al “capolinea”: in questo caso il dito destro si fermerà sul 4 e il sinistro sul 12.

Ora fate incontrare le due dita tra loro, una salendo e l’altra scendendo le scale:

si incontreranno sull’8:

dire quindi ad alta voce:  “6 + 2 = 8”

Esercizi con la TAVOLA VI (Tombola dell’addizione)

Chiedete al bambino di prendere i tombolini e di metterli in ordine crescente a sinistra della Tavola.

Il bambino sceglie un’operazione tra i cartellini delle addizioni e la legge a voce alta, ad esempio: “7 + 4 =”

Il bambino dovrebbe conoscere la risposta, e prendere il tombolino corrispondente al risultato.

Quindi posizionerà un dito sul 7 blu e uno sul 4 rosso, e posizionerà il tombolino del risultato nel punto di incontro.

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Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo stampabili

Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo stampabili. Il lavoro necessario a calcolare qualsiasi addizione si incentra sempre intorno al 10. Le addizioni parziali dei gruppi possono rimanere al di sotto della decina, raggiungerla o superarla. Per completare l’esercizio col tavoliere delle asticine, si offre un materiale scritto che conduce il bambino alla memorizzazione necessaria per il calcolo rapido.

Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo ESERCIZI

In questo articolo trovi la descrizione dettagliata di tutte le tavole per l’addizione predisposte dalla Montessori, la tombola delle addizioni, i cartellini ed i moduli da compilare;  mentre trovi tutto il materiale pronto per la stampa qui:

Il tavoliere delle asticine è in due versioni:
– piccola
– grande.

Oltre al tavoliere il materiale comprende tutte le tavole di controllo previste da Maria Montessori, compresa la tombola dell’addizione:

– moduli per l’esercizio scritto
– cartelli delle operazioni per le addizioni
– tavola I: questa tavola rappresenta tutte le combinazioni che si possono effettuare con i moduli per l’esercizio scritto
– tavola per il passaggio dalla Tavola I alla Tavola II
– tavola II: in questa tavola dell’addizione i riquadri sono disposti in modo che tutti i 10 risultino sulla stessa linea
– tavola per il passaggio dalla Tavola II alla tavola III
– tavola III, che si legge come la tavola pitagorica. Le due linee direttrici della cornice ricalcano la successione della serie naturale dei numeri da 0 a 9
– tavola IV
– tavola V
– tavola VI: la tombola dell’addizione.

Questa è la tavola con asticine per l’addizione:

Moduli per l’esercizio scritto

Nei moduli per l’esercizio scritto avremo sulla colonna di sinistra (primo addendo) sempre lo stesso numero (da 1 a 9), che viene sommato successivamente coi numeri da 1 a 9 (secondo addendo, nella colonna centrale). A destra si scrivono i numeri che rappresentano i totali. Dopo la stampa ritagliate i moduli lungo le linee verticali.

Questo materiale per gli esercizi scritti conduce il bambino ad impadronirsi di tutte le possibili combinazioni intorno al 10, necessarie e sufficienti da memorizzare. Stampatene tutte le copie che il bambino desidera.

Esercizi per l’addizione

Questi cartellini contengono tutte le combinazioni possibili, che rientrano nelle tavole dell’addizione, ed a parte, tutti i risultati corrispondenti:

cartelli delle operazioni 

Prima tavola dell’addizione – Tavola I

Questa tavola rappresenta tutte le combinazioni che si possono effettuare con i moduli per l’esercizio scritto.

In essa ogni numero da 1 a 9 risulta addizionato con la serie dei numeri da 1 a 9.

Osservando la tavola, si vede che in ogni colonna è sempre presente un 10 come totale. Nella prima colonna (quella dell’1) il 10 è l’ultimo totale ottenuto, il penultimo nella colonna del 2, il terzultimo nella colonna del 3 ecc.. , mentre occupa la prima posizione nella colonna del 9.

Passaggio dalla tavola I alla tavola II

Il 10, nella tavola I, risulta sempre composto dall’unione di quegli stessi gruppi che il bambino ha avuto modo di conoscere fin da quando lavorava con le aste numeriche, quando, attraverso vari spostamenti, formava aste tutte di lunghezza 10 così:

9+1=10

 8+2=10

7+3=10

6+4=10.

Sappiamo che 5+5=10 non è possibile con le aste numeriche per la presenza nella serie di una sola asta del 5: in realtà potremmo eseguire l’operazione 5×2, facendo ruotare l’asta di 180° gradi.

Le rimanenti combinazioni

4+6=10

3+7=10

2+8=10

1+9=10

sono semplicemente l’inverso delle combinazioni precedenti.

Disporre di aste rigide che si possono spostare per formare aste di valore 10 chiarisce il fatto che le successive combinazioni si rifanno alle precedenti e fa risaltare la differenza che esiste tra le nove combinazioni considerate nel loro complesso e la necessità di dislocare gli elementi che costituiscono le prime quattro combinazioni per poter concretizzare le ultime quattro.

Le combinazioni rappresentano il fatto più importante. Prendiamo ad esempio la combinazione 3+7=10. Se su questa combinazione si interviene con il dislocamento dei pezzi componenti cambiandoli in 7+3=10, risulta sempre la stessa combinazione, anche se sotto un altro aspetto, quasi come succede per una stessa moneta vista nel suo dritto e nel suo rovescio.

Ciò che occorre memorizzare, quindi, è la combinazione, ed ogni combinazione di gruppi diseguali di presenta doppia, dal punto di vista della posizione dei termini che la compone. Questo “duplicato inverso” può essere eliminato in una tavola semplificata, nella quale siano presenti tutte le possibili combinazioni, dove il necessario è ciò che è sufficiente:

Per il passaggio dalla Tavola I alla Tavola II nelle scuole Montessori si utilizzano oggi dei rettangoli di cartoncino che vengono utilizzati per coprire via via le combinazioni ripetute sulla Tavola I: ne risulta che la tavola si presenta suddivisa in due parti triangolari. Soltanto in quella in basso a sinistra si possono leggere le 45 combinazioni rimaste. Tuttavia, per ottenere la Tavola II, dovremo idealmente tagliare in strisce verticali le combinazioni rimaste, per riallinearle in modo che tutte le addizioni con 10 per totale si trovino sulla stessa riga.

Seconda tavola dell’addizione – Tavola II

Nella seconda tavola dell’addizione i riquadri sono disposti in modo che tutti i 10 risultino sulla stessa linea.

In questa tavola si trovano tutte le combinazioni dei gruppi che non raggiungono la decina, che si trovano al di sopra della linea in cui i risultati sono uguali a 10;  tutte le combinazioni dei gruppi che superano la decina si trovano invece al di sotto della linea.

Nella Tavola II i riquadri organizzati secondo la linea del 10  offrono questo schema generale: in ogni riga sono presenti le combinazioni i cui totali risultano uguali.

Possiamo contrassegnare con colori meno accesi o con un carattere tipografico più piccolo, i duplicati delle combinazioni che è possibile eliminare alla scopo di ottenere quelle fondamentali. Le scomposizioni si verificano  più volte ripetute con termini invertiti e, siccome si distinguono le ripetizioni, contrassegnandole con un colore più chiaro (ad esempio), si vede che esse vanno aumentando di numero dalla seconda colonna in avanti; vale a dire che ci si imbatte in un doppione nella colonna del 2, in due in quella del 3, ecc… e in otto nella colonna del 9.

Nella Tavola II, ogni colonna ha inizio con la combinazione in cui i due addendi sono fra loro uguali: 1+1 2+2 3+3 ecc…, e le altre combinazioni si svolgono  (ma il 9+9 inizia e conclude la colonna) verso il basso.

Tutte le combinazioni della Tavola I si trovano nella Tavola II, procedendo a ritroso obliquamente e passando, in tal modo, attraverso tutte le colonne, fino alla prima.

Al di sopra della diagonale, cioè sopra la linea degli addendi uguali, si ritroverebbero le combinazioni ripetute in senso inverso (contrassegnate con colore pallido).

Se dalla Tavola I si eliminano dunque i duplicati, otteniamo una tavola semplificata contenente tutte le possibili combinazioni: questa Tavola II si può leggere e studiare come la tavola pitagorica per la moltiplicazione.

Leggendo le addizioni rimaste in ciascuna colonna, si vede che esse cominciano sempre con un numero addizionato a se stesso.

C0sì, ad esempio, considerando la colonna col 4+4:

– troviamo poi 3+4=7 (che si può leggere anche 4+3=7) nella colonna precedente e nella sua riga immediatamente superiore (salendo di una posizione in diagonale, insomma)

– nella colonna ancora più a sinistra (quella del 2) e nella riga ancora più in alto (salendo cioè in diagonale di un’altra posizione), troviamo 2+4=6 (che si può leggere anche 4+2=6).

– avvalendosi della proprietà commutativa dell’addizione, il bambino che lavora alle combinazioni del 4 troverà quelle non presenti (perchè già eliminate) rispettivamente nelle colonne del 3 del 2 e dell’1, dove il 4 è presente come secondo addendo.

La stessa cosa si osserva per tutti i numeri, procedendo obliquamente da destra a sinistra.

Per eseguire tutte le combinazioni di un dato numero partendo dalla minore, ad esempio tutte le addizioni relative al 3:

– partiamo da 1+3 della prima colonna

– proseguiamo in obliquo verso destra, di colonna in colonna, scendendo sempre di una riga: 2+3 3+3

– giunti a 3+3 si prosegue verticalmente sulla stessa colonna.

Terza tavola dell’addizione – Tavola III

Trascriviamo, uno sotto l’altro, colonna dopo colonna, i totali delle addizioni presenti nella Tavola I:

Costruiamo poi una cornice contenente la serie dei numeri da 1 a 9, prendendo lo zero per angolo. Si ottiene così questa tavola:

La Tavola III si legge come la tavola pitagorica: per esempio 8+5=13. Le due linee direttrici della cornice ricalcano la successione della serie naturale dei numeri da 0 a 9.

Lungo la diagonale si incontrano via via i doppi dei numeri presenti nella cornice, e fuori della diagonale non c’è altro che la ripetizione simmetrica delle addizioni presenti in ciascuna delle due metà. Per questo motivo basta imparare a memoria soltanto metà della tavola, cioè 45 combinazioni.

Quarta tavola dell’addizione – Tavola IV

Possiamo ridurre la Tavola III in questo modo:

– nella tavola, ogni numero da 1 a 9 si conclude, al termine  delle rispettive righe, con il suo doppio.

– si vedono inoltre i numeri uguali incasellati in allineamenti ascendenti e discendenti tra loro paralleli e perpendicolari alla diagonale principale

Per poter leggere la Tavola IV si procede verso destra fino a raggiungere il doppio del numero di partenza; se il totale dell’addizione è superiore a quel doppio (e questo accade quando il secondo addendo è maggiore del primo), si scende verticalmente fino alla riga che indica il livello del secondo addendo.

Prendiamo ad esempio l’addizione 4+7:

– si procede fino al doppio del 4 (4 x 2=8)

– si scende verticalmente fino alla riga del 7: il totale è 11.

Se desideriamo addizionare 5+8, partiamo allo stesso modo dal doppio del 5 (10) e poi scendiamo verticalmente fino alla riga dell’8, e troveremo il 13.

E’ evidente che, per eseguire ad esempio la somma 8+5, per la proprietà commutativa, opereremo in maniera che il primo addendo sia quello minore, cioè il 5.

Bisogna però dire che il bambino trova molto facilmente il totale in questo modo: punta i due addendi sulla striscia verticale, sposta poi le due dita orizzontalmente verso destra finchè un dito raggiunge la diagonale che limita la tavola, e a questo punto scende verticalmente fino ad incontrare la riga orizzontale indicata dall’altro dito.

Quinta tavola dell’addizione – Tavola V

Eseguendo parecchie di queste addizioni sulla Tavola IV si osserva che i risultati incontrati lungo la diagonale principale sono sempre numeri pari, e che quelli lungo la diagonale immediatamente al di sotto e parallela sono dispari. Perciò, queste due serie di numeri bastano ad indicare ogni possibile totale di addizioni entro il 18. Possiamo quindi ridurre la Tavola IV in questo modo:

ottenendo la Tavola V.

Prendiamo come esempio l’addizione 5+8

– si procede orizzontalmente fino ad incontrare i rispettivi doppi, cioè 10 e 16

– si percorre la diagonale con direzione convergente, raggiungendo il 12 nello scendere, e il 14 nel salire

– il risultato si trova nella casella che sta tra il 12 ed il 14, sulla diagonale dei numeri dispari: 13

Prendiamo ora ad esempio l’addizione 3+7:

– arrivati al doppio 6+14 si procede in senso contrario

– sulla diagonale troviamo la casella del 10: questa volta il totale, essendo pari, si trova proprio sulla diagonale principale.

Prendiamo poi ad esempio l’addizione 3+9:

– avanziamo tra il 6 e il 18

– le dita si incontrano su un numero comune che si trova sulla diagonale: 12.

 L’uso di due bastoncini per parte, che vengono opportunamente separati, dà a questo esercizio l’aspetto di gioco.

Dopo molti  esercizi, il bambino potrà arrivare ad alcuni interessanti punti di coscienza:

– la somma di due numeri pari è un numero pari

– la somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari

– la somma di due numeri dispari è un numero pari.

Inoltre, la somma di due numeri è uguale alla media dei loro doppi. Infatti, intendendo per media aritmetica “la somma di due o più numeri divisa per il numero di essi” avremo ad esempio:

4+6= (4×2) + (6×2) x 1/2 = [2 x (4+6)] :2 = 10

Tavola dell’Addizione VI – Tombola dell’addizione (o Tavola con tombolini)

Oltre a queste cinque tavole di confronto, viene usata poi una sesta tavola con 81 totali mobili: è la Tombola dell’addizione.

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Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione

Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione – La tavola dell’addizione con le asticine serve a introdurre le addizioni oltre il dieci. Si tratta di un materiale che permette di studiare, analizzandoli nei loro particolari, i passaggi già esaminati attraverso il serpente dell’addizione.

Il serpente dell’addizione Montessori

Qui il post:

Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo ESERCIZI

Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione è una tavola suddivisa in 18 colonne e 10 righe, che formano una quadrettatura di 2 x 2 cm, nella versione originale. Una grossa linea verticale rossa situata fra la decima e l’undicesima (cioè dopo il numero 10) divide in due parti la tavola. Il materiale è completato da 9 asticine blu e nove asticine rosse, numerate entrambe da 1 a 9. Le asticine blu sono lisce, mentre quelle rosse sono quadrettate.

Le suddivisioni sono contrassegnate da numeri posti nella parte superiore che, in corrispondenza dei quadretti sottostanti, vanno da 1 a 10 alla sinistra della linea divisoria, e da 11 a 18 alla sua destra. I numeri da 1 a 10 sono scritti in rosso, mentre quelli da 11 a 18 in blu o nero. Sotto la striscia orizzontale che reca i numeri, sono presenti altre 10 strisce orizzontali: ne risulta una scacchiera rettangolare di 18 quadretti vuoti di base e di 10 di altezza.

Lo scopo del tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione è quello di mostrare chiaramente il passaggio attraverso il 10. Accompagnano il materiale due serie di asticine di legno della stessa altezza dei quadretti e di lunghezza variabile da 1 a 9 quadretti:

– nella prima serie le asticine sono blu e non risultano suddivise in quadretti; alla fine portano il numero che corrisponde alla quantità che rappresentano

– nella seconda serie, di colore rosso, le asticine risultano suddivise in tanti quadretti quante sono le unità di ciascun gruppo da esse rappresentato. Inoltre, nell’ultimo quadretto di ogni asticina, è presente il numero corrispondente alle unità che compongono il gruppo.

Ho preparato una versione piccola del tavoliere (che sta in un foglio a4 orizzontale) e una versione un po’ più grande (occorre unire tra loro due fogli a4 per ottenere il tavoliere completo):

Oltre al tavoliere il materiale comprende tutte le tavole di controllo previste da Maria Montessori, compresa la tombola dell’addizione:

– moduli per l’esercizio scritto


– cartelli delle operazioni per le addizioni


– tavola I: questa tavola rappresenta tutte le combinazioni che si possono effettuare con i moduli per l’esercizio scritto


– tavola per il passaggio dalla Tavola I alla Tavola II


– tavola II: in questa tavola dell’addizione i riquadri sono disposti in modo che tutti i 10 risultino sulla stessa linea


– tavola per il passaggio dalla Tavola II alla tavola III


– tavola III, che si legge come la tavola pitagorica. Le due linee direttrici della cornice ricalcano la successione della serie naturale dei numeri da 0 a 9


– tavola IV


– tavola V


– tavola VI: la tombola dell’addizione.

Per utilizzare il materiale il bambino colloca sul tavoliere un’asticina blu, quella del 7 ad esempio, in alto a sinistra, subito al di sotto dei numeri;

pone poi accanto ad essa un’asticina rossa, ad esempio quella del 5.

Vede così che le due asticine insieme oltrepassano la linea rossa e arrivano al quadretto del 12, che rappresenta il totale dell’addizione considerata: 7+5=12.

L’asticina del 5 risulta a cavallo della linea rossa: 3 quadretti sulla sinistra e 2 sulla destra. Il 5 ha ceduto cioè 3 unità per completare il 10, e soltanto 2 hanno sconfinato nella seconda decina.

Esempi di addizione:

7+5=12

8+8=16

6+9=15

9+2=11

5+6=11

In questo stesso modo, si possono ripetere tutte le possibili combinazioni; ai bambini tra i 5 e i 6 anni piace molto elencare queste combinazioni una ad una.

Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione, che serve ad esercitarsi sull’addizione parziale di gruppi entro la decina (serpente dell’addizione e tavoliere delle asticine), si completa con una serie di tavole di controllo per l’addizione ed esercizi scritti, che accompagnano il bambino nella memorizzazione necessaria per il calcolo veloce.

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Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione

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Giochi coi numeri da 1 a 10

Giochi coi numeri da 1 a 10: sono giochi che si possono fare con i bambini per allenare la conoscenza delle cifre da 1 a 10 e le quantità corrispondenti. Sono adatti ad essere proposti nel periodo in cui i bambini si dedicano alle aste numeriche,

Aste numeriche Montessori – Esercizi con i cartelli dei numeri e le aste

ai numeri tattili

Cifre smerigliate Montessori: presentazione ed esercizi

e al casellario dei fuselli…

Il casellario dei fuselli Montessori: presentazione ed esercizi

E’ importante che i bambini si divertano con questi giochi, che provino piacere nel mostrare quello che hanno imparato e che ognuno sperimenti il successo: tutti i bambini devono brillare.

Gioco 1
Si invitano i bambini a dare diverse cose per un certo numero di volte. Ad esempio:
“Giovanni, vuoi battere tre volte i piedi?”
“Anna, vuoi battere 6 volte le mani?”
“Carlo, vuoi battere sul tavolo 4 volte?”
“Elisa, vieni a darmi 2 baci?”
“Luca, batti le mani zero volte?”

Gioco 2
Si mettono 55 oggetti identici sul tavolo (biglie, conchiglie, pietre, frutta secca,…).

Poi si scrivono i numeri da 0 a 10 su foglietti rettangolari piegati a metà, e si mettono in una scatolina.

Ogni bambino estrae un foglietto dalla scatola, lo apre e legge il suo numero senza dirlo agli altri. Poi passa alla tavola e prende il numero di oggetti corrispondente al numero, infine consegna il foglietto e gli oggetti al maestro.

Gioco 3
Gli oggetti possono anche essere non identici.

Un bambino prende un messaggio segreto e lo pone richiuso sul tavolo. Poi prende il numero di oggetti corrispondente, e lascia che un altro bambino indovini il messaggio segreto.

Gioco 4
Scopo: esercitare la memoria ricordando un numero per un certo periodo di tempo, mostrare che tutti gli oggetti possono essere contati.

Si invitano al gioco 11 bambini.

Ogni bambino, uno alla volta, prende un messaggio segreto, lo guarda attentamente, poi lo pone chiuso sul tappeto verde, va a prendere il numero di oggetti corrispondente e lo pone vicino al messaggio.

Quando tutti i bambini lo hanno fatto, si chiede individualmente ad ogni bambino di identificare il suo numero e di contare i suoi oggetti.

Quando tocca al bambino con lo zero, l’insegnante sottolinea il concetto: “Non ha portato oggetti, deve avere lo zero!”

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Il serpente dell’addizione Montessori

Il serpente dell’addizione è un esercizio che si può introdurre parallelamente a quello delle catene di 100

La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri

e delle catene di 1000,

La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri

e che ha lo scopo di far eseguire quasi meccanicamente piccole addizioni di unità, introducendo i bambini al calcolo mentale.

Per giocare al serpente dell’addizione occorrono semplicemente le barrette di perle colorate e quelle di perle dorate (per il 10).

Se non vuoi acquistarle, trovi il tutorial per realizzarle in proprio qui: 

Costruire il materiale delle perle colorate Montessori

Se non ti è possibile, puoi anche pensare di stampare la versione virtuale, che trovi qui: 

Perle colorate Montessori – download

E’ necessario disporre di una certa quantità di barrette. Il numero rappresentato da ciascuna di esse si conosce contando le perle che la compongono. A poco a poco, però, il colore aiuterà a riconoscere la quantità ed eliminerà l’impegno di dover contare una perla alla volta.

Si comincia l’esercizio disponendo in riga una certa quantità di bastoncini, scegliendoli a caso. Almeno in un primo momento, però, sarà meglio disporre i bastoncini in modo tale che i bastoncini-addendi in gioco (due o più) non diano come somma oltre la decina.  Questi bastoncini andranno allineati su un lungo tavolo o sul pavimento. Per fare in modo che non risulti troppo lunga, la linea non è diritta ma sinuosa, e ricorda un serpente.

Si inizia il conteggio e non appena si giunge a 10 unità, si isolano i bastoncini sommati, sostituendoli con un bastoncino dorato della decina. Quindi, a partire dalla decina, si riprende a contare fino a raggruppare altre dieci unità e, ancora, un bastoncino dorato va a sostituire quelli sommati, che si tolgono dal  serpente. E così si procede fino ad esaurire il conteggio.

Assistiamo a questa trasformazione: il serpente muta pelle e diventa via via tutto d’oro ,  e bastoncini di uguale lunghezza  vanno via via ad occupare il posto di quelli di lunghezza diversa. Il conteggio è servito a trasformare in decine quantità minori, destinate a fondersi nel dieci, base del sistema decimale.

L’esercizio offre la possibilità di eseguire semplici addizioni nel limite del dieci, dal momento che ogni volta si comincia daccapo, senza tener conto di quei bastoncini delle decine che si vanno allineando lungo il cammino. E’ un’attività sempre uniforme che va ripetendosi e che finisce col rendere facile, rapida e meccanica l’addizione di numeri inferiori al dieci.

In realtà si tratta di un grande lavoro di conteggio delle unità, che costringe a riflettere e ad eseguire un certo numero di sottrazioni contemporaneamente alle addizioni, per calcolare la quantità eccedente la decina, dopo che essa è stata formata.

Su questa particolarità si sviluppa l’esercizio con tutte le sue varietà, risultanti dai possibili accostamenti, nella formazione del serpente, di bastoncini differenti.

Poniamo il caso che il serpente cominci coi numeri 6 e 5:

la loro somma dà 11. Si isolano i due bastoncini, sostituendoli con un altro dorato, ma c’è ancora una perla (l’ultima del bastoncino marrone) che completa la quantità espressa dalla somma 5+6, cioè 5+6 è uguale a 10+1.

Questo uno appartiene al 6 che è stato isolato insieme al bastoncino del 5, infatti 6 = 5+1. Questo 1 che rimane è ancora da contare.

Proseguendo, supponiamo che gli altri bastoncini che seguono siano 8 e 6. L’addizione che si presenta per prima è 1+8=9, quindi si continua a sommare 9+6 =  15 = 10+5. Si isolano perciò i bastoncini 1, 8 e 6, sostituendoli con un bastoncino del 10 e uno del 5. Questo 5 è ciò che è rimasto del 6.

Questi resti di cui abbiamo parlato  devono potersi distinguere dai bastoncini colorati che costituiscono il serpente. Questi resti rappresentano la quantità che si è dovuta mettere da parte, poichè il bastoncino colorato conteggiato solo parzialmente non può essere spezzato. Però bisogna ricordarsi di tenerne conto nell’addizione successiva. Per rappresentare questi resti, c’è un materiale complementare che elimina ogni possibile confusione: i bastoncini per i cambi:

1 – un bastoncino di 1 perla nera

2- un bastoncino di 2 perle nere

3 – un bastoncino di 3 perle nere

4 – un bastoncino di 4 perle nere

5 – un bastoncino di 5 perle nere

6 – un bastoncino di 5 perle nere e 1 bianca

7 – un bastoncino di 5 perle nere e 2 bianche

8 – un bastoncino di 5 perle nere e 3 bianche

9 – un bastoncino di 5 perle nere e 4 bianche

L’uso di nero e bianco e la loro particolare disposizione facilitano la scelta dei pezzi, che si riconoscono a prima vista.

Se non avete la possibilità di utilizzare perle vere per il gioco del serpente dell’addizione, ho preparato anche i bastoncini dei cambi in versione stampabile:

Esempi pratici

Facciamo degli esempi pratici. Componiamo questo serpente:

1 + 4 + 9 + 2 + 6 + 9 + 2 + 4 +8 + 6 + 3 + 7 + 5 + 3 + 4 +2

Il bambino comincia a contare le perle, e arrivato a 10 mette un segno a dividere la decina dal “resto”

Stacchiamo le barrette interessate al conteggio, e prendiamo la barretta della decina che abbiamo ottenuto, e la barretta del cambio relativa alla parte restante  (in questo caso 1+4+9= 10 e 4):

Mettiamo da una parte la decina, ed attacchiamo al serpente la barretta nera del cambio:

Conserviamo quindi a parte le perle colorate che abbiamo tolto al serpente, e che ci serviranno per la prova:

Continuiamo il gioco addizionando la barretta del cambio al serpente, fino a raggiungere una nuova decina. Nell’esempio dovremo sommare 4 + 2 + 6

Otterremo una seconda barretta della decina, e avremo bisogno di una barretta dei cambi da 2 da attaccare al serpente:

Eliminiamo da ogni conteggio la barretta da 4 del cambio precedente:

quindi attacchiamo il nuovo cambio ottenuto (due) al serpente, e conserviamo da una parte le decine ottenute, a dall’altra le barrette colorate tolte al serpente:

Ora dunque dobbiamo sommare 2 e 9; avremo una nuova decina e un cambio da 1:

Poi avremo 1+2+4+8, ed otterremo una decina e una perla del cambio da 5:

poi 5+ 6; avremo una decina ed un resto di 1:

poi 1+3+7, ed avremo 1 decina e un cambio da 1:

poi 1+5+3+4, ottenendo una decina e un cambio di 3:

la barretta del cambio da 3 si attacca alla parte terminale del serpente, che è 2:

non arriviamo a comporre una decina nuova, quindi l’operazione si conclude conteggiando un avanzo di 5, cioè una barretta dei cambi da 5:

Eliminiamo dal conteggio il vecchio cambio (quello di 3 perle) e poniamo il cambio da 5 insieme alle decine, e la barretta del 2 insieme alle altre barrette colorate tolte via via dal serpente.

Il risultato dell’addizione 1 + 4 + 9 + 2 + 6 + 9 + 2 + 4 +8 + 6 + 3 + 7 + 5 + 3 + 4 +2 è 75:

cioè 10 10 10 10 10 10 10 10 5. Ma come possiamo sapere se è corretto? Basterà contare tutte le perle colorate che formavano il serpente in origine, sempre raggruppando tra loro le barrette a formare decine colorate. Se ci occorre spezzettare le barrette, potremo sostituirle con un equivalente di perle nere dei cambi. Nel nostro esempio dovremo sostituire la barretta dei due con due barrette da uno:

ed avremo:

9+1=10,  9+1=10,  8+2=10,  7+3=10, 6+4=10, 6+4=10, 5+4+1=10, e 3+2=5; cioè 10 10 10 10 10 10 10 10 5

l’operazione è corretta. Il risultato è 75.

Torniamo ora all’immagine del serpente già presentato più sopra:

L’immagine rappresenta i cambi avvenuti per formare le decine. Le quantità originarie incolonnate a sinistra sono state via via sostituite, dando luogo alla disposizione rappresentata nella linea di perle a destra. Fra le due disposizioni  possiamo vedere ciò che rimaneva dei bastoncini che nel corso dell’operazione risultavano eccedere la decina: resti che vennero via via sommati con i bastoncini che li seguivano. Il risultato del serpente è 62, ossia: 10 10 10 10 10 10 2

A volte i bambini costruiscono un serpente molto lungo, che assomma a molte centinaia. A esercizio concluso, si contano i bastoncini delle decine disponendoli uno accanto all’altro, verticalmente: appena riuniti 10 bastoncini, si sostituiscono con un quadrato del centinaio, e così si prosegue coi cambi, fino alla fine. Il totale risalta facilmente, proprio per la differente forma dei risultanti gruppi del sistema decimale ( quadrato per le centinaia, linea per la decina, punto per le unità).

La verifica dell’operazione eseguita si effettua raccogliendo tutti i bastoncini via via usciti dal gioco e riunendoli a due a due (se possibile), in modo che ogni coppia costituisca una decina. Nel caso del serpente 5 6 8 6 2 5 1 4 9 3 4 7 9 si raggrupperanno così:

9+ 1

8+2

7+3

6+4

6+4

5+5

9

e si verificherà che ogni gruppo possa sostituirsi con una decina del risultato. In questo caso c’è perfetta corrispondenza:

L’esercizio del serpente fissa l’attenzione del bambino sulla difficoltà di contare per dieci. Questa difficoltà, ripetendosi costantemente, porta il bambino a procedere in modo esatto, dal momento che non lo preoccupa la serie di decine che via via si lascia indietro.

Nei metodi comuni, quando si addizionano gruppi di unità che formano più decine, questo accumulo gravoso e molesto si trascina, rendendo faticoso l’andare avanti. Invece la difficoltà di calcolo è unica ed è sempre la stessa, per quanto grande sia l’ampiezza dei conti da eseguire, e risiede in quel salto attraverso il 10 che presuppone un’attività mentale, esige cioè piccole addizioni e sottrazioni per arrivare a completare le decine, e il calcolo dei resti che devono essere aggiunti ai gruppi successivi.

Gli esercizi col serpente, ripetuti per lungo tempo, finiscono per rendere meccanico il lavoro della mente intorno al 10: a poco a poco sparisce la lenta attività di ragionamento, e si sostituisce con un meccanismo mentale. Le leggi che regolano le attività razionali affidano al deposito della memoria le conoscenze acquisite, per fare in modo che ci siano sempre energie disponibili da dedicare a lavori successivi. Questo deposito della memoria è un grande tesoro che permette di avanzare.

Si tratta della teoria montessoriana del “valore del subconscio”. Secondo la Montessori il subconscio è deposito e riserva di impressioni assorbite e di conoscenze acquisite. Il subconscio è paragonabile a una grande stanza buia nella quale sono immagazzinate le esperienze attraverso cui l’individuo è passato nel corso della sua vita. La stanza non è arredata: i mobili non vi sono disposti con una funzione, ma sono ammassati come in un magazzino. La mente che cerca una soluzione è simile a una torcia nelle mani di un ladro che sceglie la cosa per lui più preziosa in quel momento. Il fascio di luce si arresta: ha trovato quello che cercava, e questo cercare e trovare è ciò che chiamiamo “portare alla luce della coscienza”.

Le nuove acquisizioni, poi, devono prima essere filtrate dal ragionamento, e non si dirigono mai direttamente alla memoria ed ai suoi meccanismi.

Così, quando il bambino ha raggiunto un certo grado di maturità meccanica nel calcolo relativo ai passaggi attraverso il 10, i gruppi di decine già accumulati e lasciati indietro potranno venir trasportati di volta in volta nel posto che compete loro attraverso la memoria, grazie a passaggi che in sè non presentano ormai nessuna difficoltà.

Nell’esercizio del serpente, i due diversi lavori risultano separati, e questo permette un procedere rapido e senza fatica, consentendo il raggiungimento di risultati apprezzabili. Le decine che si accumulano si contano a parte, in una seconda fase, e i bambini lo fanno con grande piacere, provando la soddisfazione di chi si rende conto della propria ricchezza dopo aver fatto la fatica di “risparmiarla”.

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La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri

La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri. Contare secondo la serie naturale dei numeri risulta interessante soltanto per una mente che già possiede il principio organizzatore degli ordini della numerazione decimale.

Per questo motivo, con i bambini, è molto importante partire dai punti fondamentali delle gerarchie, considerando le unità che guidano gli ordini del sistema: uno, dieci, cento, mille.

Per l’1 abbiamo una delle perle dorate:

per il 10 un bastoncino di perle:

per il 100 un quadrato costruito con 10 bastoncini di perle:

per il 1000 un cubo costruito con 10 quadrati:

Se invece di tenere le decine unite in forma di  quadrato, le “sleghiamo”, mantenendole unite soltanto per le estremità, otterremo una catena di cento perle raggruppate in decine, ossia in bastoncini che si susseguono:

La catena del 100 impressiona per la sua lunghezza, più di quanto non lo faccia il quadrato per la sua superficie. La catena rappresenta il cammino delle unità che, attraverso le decine, vanno a formare il centinaio. Possiamo contare le unità a una a una, effettuando in tal modo la numerazione progressiva: uno, due, tre….nove, dieci, undici… trentotto, trentanove… novantanove, cento.

E’ evidente che, una volta conosciuta la chiave dei “passaggi”, non esiste maggior difficoltà nel contare fra novanta e cento che fra trenta e quaranta.

Questa è la catena del 100 in versione stampabile:

e questa con le perle vere:

Il bambino conta le perle una ad una, ed utilizza le frecce per tenere il conto.

Come già spiegato qui 

Costruire il materiale delle perle colorate Montessori

per le catene potete agganciare le barrette tra loro attraverso i ganci terminali, oppure congiungere le barrette tra loro con degli anellini fatti arrotolando il fil di ferro attorno alla pinza.

Trovi il tutorial per realizzare in proprio la catena del 100 e le altre catene dei quadrati dei numeri, e la versione stampabile delle catene qui:

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

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Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD.

Le catene di perle sono serie di barrette (di perle colorate per i numeri da 1 a 9) e di perle dorate per la decina, che rappresentano in forma lineare il quadrato ed il cubo di ogni numero. Coi bambini più piccoli si prestano ad esercizi legati al contare ed all’esplorazione del numero e del sistema decimale, coi più grandi supporta lo studio delle potenze e dell’algebra.

Qui trovi qualche suggerimento per la costruzione in proprio del materiale, o in alternativa la versione stampabile.

La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri
La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

Partiamo dalla costruzione della catena del 100 e delle altre catene del quadrato dei numeri.

Questa è la catena del 100, cioè del quadrato di 10 (da realizzare naturalmente con le perle dorate)

Le perle dorate Montessori e il sistema decimale

Se desiderate realizzare il materiale con perle vere, dopo aver preparato le 10 barrette da dieci perle, congiungetele tra loro preparando degli anellini  di fil di ferro:

Se non avete la possibilità di realizzare il materiale con perle vere, potete considerare l’idea di stampare e comporre sempre con anellini di fil di ferro o graffette queste catene pronte per la stampa:

Sia che usiate perle vere, sia che vogliate ricorrere alla versione stampabile, completano il materiale le frecce per contare (blu per le decine, rosse per le centinaia):

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

Le altre catene dei quadrati, oltre a quella del 100 (quadrato del 10) si preparano allo stesso modo, utilizzando le barrette di perle colorate

Costruire il materiale delle perle colorate Montessori

per i numeri da 2 a 9 (il quadrato di 1 è 1), congiungendo attraverso gli anellini di fil di ferro (o le graffette):
– 2 barrette del 2
– 3 barrette del 3
– 4 barrette del 4
– 5 barrette del 5
– 6 barrette del 6
– 7 barrette del 7
– 8 barrette dell’8
– 9 barrette del 9

è un materiale che, una volta preparato, si presta poi ad essere utilizzato anche per giochi con le tabelline e successivamente allo studio delle potenze dei numeri.

Questa è, se può essere utile, la versione stampabile:

E anche in questo caso, completano il materiale le frecce per contare.

Ho preparato una versione colorata (nei colori utilizzati per preparare il materiale stampabile) e una versione bianco e nero se utilizzate barrette di colori diversi (da colorare o da stampare su fogli colorati):

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

La catena del 1000 e le altre catene dei cubi dei numeri

Per la catena del 1000, dopo aver preparato le 10 catene del 100 necessarie, congiungetele tra loro con un ulteriore anellino, in modo tale che la catena presenti un anello a congiungere le decine tra loro, e due anelli a congiungere tra loro le centinaia.

Allo stesso modo potete congiungere tra loro, se preferite, il materiale stampabile proposto più sopra, insieme alla catena del 100.

Sia che usiate perle vere sia che usiate il materiale stampabile, completano il materiale le frecce per contare.

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

Per i cubi dei numeri da 1 a 9 congiungete tra loro:

– 4 barrette del 2

– 9 barrette del 3

– 16 barrette del 4

– 25 barrette del 5

– 36 barrette del 6

– 49 barrette del 7

– 64 barrette dell’8

– 81 barrette del 9

Questo è il materiale in versione stampabile:

Anche in questo caso, il materiale è completato dalle frecce per contare, compreso nelle frecce per contare le catene delle potenze:

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

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La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri

La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri. Il cubo di 1000 perle può essere scomposto in dieci quadrati e ciascuno di essi in dieci bastoncini, ognuno di dieci perle. Lasciando questi uniti soltanto per le estremità, otterremo una catena lunghissima che ci dà l’impressione della quantità, il migliaio, più esatta di quella che ci viene fornita dal cubo.

Le perle fotografate nelle presentazioni sono le mie perle auto prodotte e le perle prodotte da Montessori 3D di Boboto.

Se si paragona questa catena del 1000 con la catena del 100, si vede chiaramente la differenza tra quadrato e cubo. Ripiegando 10 volte la catena del mille in modo che le decine risultino bene accostate, avremo la parvenza di una successione di 10 quadrati.

Se vicina a questa si dispone la catena del 100, si nota che a ciascun bastoncino della catena del 100 corrisponde un quadrato di quella del 1000.

La reazione dei bambini di fronte a questo materiale è sorprendente: vorranno infatti contare la catena del mille, unità dopo unità. Poichè questa è un’operazione troppo lunga per poterla eseguire in una sola volta, i bambini la interrompono, ma non la abbandonano.

Lo stesso giorno, o il giorno seguente, riprendono l’operazione da dove l’avevano interrotta

e proseguono nel conteggio fino a concluderlo.

Sono vivamente interessati da questa successione di decine e centinaia e dalla somma di unità che si susseguono l’una all’altra. Contano e contano senza stancarsi.

Una variante dell’esercizio di conteggio delle perle che formano la catena del 1000, e che aiuta i bambini a comprendere meglio il valore dei numeri  1, 10, 100 e 1000, consiste nel predisporre in una grande stanza la sequenza lineare di tutto il materiale. Si forma la prima colonna con l’unità, la seconda con la decina, la terza col serpente del centinaio, e la quarta col serpente del migliaio: la sua lunghezza è impressionante! La maggior parte dei bambini provano grande piacere nel contare, appena si sentono capaci di farlo. Piace anche molto mettere le frecce dei numeri mentre contano.


Costruire la catena del 1000 in proprio

Costruire il materiale delle perle colorate Montessori

per le catene potete agganciare le barrette tra loro attraverso i ganci terminali, oppure congiungere le barrette tra loro con degli anellini fatti arrotolando il fil di ferro attorno alla pinza, così:

gli anellini sono più resistenti ed io li preferisco. Per ogni catena, come avete potuto vedere nelle immagini, preparate prima i gruppi di barrette al quadrato (due barrette per il due, 3 per il 3… 8 per l’8… ecc…) mettendo sempre un anellino anche all’inizio ed alla fine, e poi formate la catena del “cubo” in modo che tra un gruppo e l’altro ci siano 2 anellini consecutivi:

Trovi il tutorial per realizzare in proprio la catena del 1000 e le altre catene dei cubi dei numeri da stampare gratuitamente, e la versione stampabile delle catene qui:

Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD

I cubi dei numeri
La catena del 1000 è la versione lineare del cubo del 10; possiamo preparare quindi le catene dei cubi di tutti i numeri da 1 a 9, che i bambini troveranno altrettanto affascinanti.

Questi sono degli  esempi:

Cubi e catene di perle colorate Montessori presentazioni ed esercizi

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Versione stampabile delle perle dorate Montessori

Versione stampabile delle perle dorate Montessori – Questo è il materiale delle perle dorate:

potete trovare il tutorial per realizzarlo in proprio qui

Perle dorate Montessori: presentazione e tutorial per costruirle in proprio

Versione stampabile delle perle dorate Montessori

Soprattutto pensando alle insegnanti che sentono quanto la psicoartimetica Montessori potrebbe essere d’aiuto nella scuola, non solo per il sostegno, ho anche preparato del materiale “virtuale” stampabile:

Versione stampabile delle perle dorate Montessori

materiale pronto per download e stampa qui:

 

Dopo aver stampato, consiglio di plastificare, o almeno di incollare ad un cartoncino per rendere il materiale più resistente e facile da maneggiare.

Potete utilizzare le barrette semplicemente ritagliate, ma sarebbe meglio completarle inserendo alle due estremità di ogni barretta una graffetta:

o un anellino di fil di ferro (basta attorcigliarlo attorno alla pinza e tagliare):

Questo accorgimento vi permetterà poi di utilizzare il materiale anche per altri giochi ed attività interessanti come il serpente dell’addizione e le catene di 100 e di 1000.

Versione stampabile delle perle dorate Montessori

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Esercizi con le tavole di Sèguin e le perle colorate Montessori

Esercizi con le tavole di Sèguin e le perle colorate Montessori per imparare a conoscere i numeri da 11 a 19, da 10 a 90 e da 11 a 99.

Tutto il materiale pubblicato (download, presentazioni, tutorial, ecc.) si trova qui: LE TAVOLE DI SEGUIN.

Qui puoi trovare anche la stampa dei cartelli dei numeri

Cartelli dei numeri Montessori

e delle aste numeriche.

Aste numeriche Montessori – SOMME DI PROGRESSIONI ARITMETICHE

La prima tavola di Séguin

Il materiale è costituito da una serie di nove 10 scritti l’uno sotto l’altro e disposti in una cornice.

Sotto l’ultimo c’è uno spazio vuoto. Allegata a questa tavola c’è una serie di tavolette di grandezza sufficiente per coprire lo zero del 10, che si possono collocare nella cornice, introducendole dal lato destro fornito di apposita scanalatura.

 photo credit: Gonzaga Arredi

Con questo esercizio il bambini unisce le conoscenze dei numeri da 11 a 19, prima considerati separatamente o come quantità o come simboli.

L’appaiamento quantità – simboli si conduce presentando contemporaneamente le perle colorate e i cartelli, per ciascuno dei numeri da 11 a 19. Nelle immagini vediamo il numero 15 con le perle colorate, e con le “perle colorate” stampabili:

Altro esercizio consisterà poi nel lasciare fissa la stessa decina, e sostituendo via via accanto ad essa i gruppi successivi di unità. Questo esercizio può essere eseguito sia con le perle colorate, sia con le aste numeriche:

Ogni volta che si forma una nuova quantità, c’è la relativa composizione del numero. Si pone così il bastoncino da 1 perla vicino a un bastoncino della decina, mentre nel cartello del 10 lo zero viene coperto dal simbolo dell’1. Si prosegue così, sostituendo e unendo fra loro quantità e simboli, lasciando fissa la decina.

Arrivati al 9, non si può continuare con lo stesso procedimento, perchè il bastoncino (o l’asta numerica) che segue il 9 non può che essere una nuova decina. Collochiamo  quindi la nuova decina accanto alla prima.

Per quanto riguarda i cartelli dei numeri, bisogna invece accantonare quelli usati prima e utilizzare il cartello del 20.

Tutti questi esercizi rafforzano il concetto chiave del sistema decimale, che si impernia sul passaggio da una decina all’altra, cioè dal 9 al 10. Dopo il 9, il ponte è stato superato: ha inizio una nuova decina.

____________________

Esercizio 2 – prima tavola di Séguin
collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità 

Materiale:
tavolette di Séguin dei 10,
9 barrette di perle del 10,
un set di barrette di perle colorate da 1 a 9

Scopo: collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità

Esercizio: si sistemano le tavole di Seguin sul tappeto. L’insegnante mette una barretta del 10 e una dell’1 a sinistra del primo 10 della tavoletta dicendo: “10 e 1 è undici”, e chiede al bambino di contare le perle.

Poi prende la tessera mobile dell’1 e la fa scivolare sul primo 10 della tavoletta dicendo “10 e 1 è 11. Questo è il nostro modo di scrivere 11″.

Quindi il bambino mette le barrette a destra del numero 11.
Poi  chiede al bambino di mettere una barretta del 10 e una del 2 a destra del secondo dieci, quindi di comporre sulla tavoletta di Seguin il 12.
Il bambino conta le perline delle barrette.

Questo esercizio prosegue fino al 19.
Come sempre si ripone il materiale in un luogo accessibile al bambino, in modo che lui possa servirsene ogni volta che lo desidera.

Seconda tavola di Séguin – numerazione da 11 a 99.

Scopo di questa seconda tavola è quello di verificare, per altra via, lo stesso fenomeno. E’ costituita da due tavole uguali:

la suddivisione in due tavole ha solo lo scopo di rendere più maneggevole il materiale. Sulla prima tavola sono presenti i numeri corrispondenti alle prime 5 decine: 10 20 30 40 50; nell’altra le quattro decine successive 50 60 70 80 90. Il materiale è completato da una serie di nove tavolette con le unità, che si possono inserire nelle tavole per coprire gli zeri.

Ci sono poi, per eseguire l’esercizio, le perle dorate del sistema decimale: 9 decine e 10 unità sciolte.

Per la numerazione da 11 a 99 si procede contemporaneamente con quantità e simboli. Per esempio, per il passaggio dalla seconda alla terza decina, si aggiunge ai due bastoncini dorati una perla e contemporaneamente si copre lo zero del 20 con la tavoletta dell’1, per ottenere il numero 21. Poi, si aggiungerà una seconda perla, sostituendo l’uno col la tavoletta del 2 per ottenere il numero 22.

Arrivati al 29, nel momento stesso in cui si aggiunge la decima perla, si sostituiscono le perle sciolte con una nuova decina: quelle tre decine che, spostandosi in basso, corrispondono al numero 30.

Inserendo e sostituendo, sopra lo zero del 10, una dopo l’altra, le nove cifre delle unità secondo la serie naturale dei numeri, si formano successivamente i numeri 11 12 13 14 15 16 17 18 19.

Giunti a questo punto, bisogna passare al 20, ripercorrendo il procedimento per comporre via via i numeri 21 22 23 24 25 26 27 28 29… e così via, fino ad arrivare al 99.

Giunti al 99 non è più possibile continuare con questo materiale: i riquadri sono insufficienti a contenere il numero 100, che è formato da tre cifre. L’unità che manca, e che non possiamo aggiungere, è una chiave più importante di quella che prima ci permetteva il passaggio da una decina all’altra. Si tratta anche qui di un “semplice uno”, ma questa unità è diversa da quella che ci ha permesso di percorrere una ad una le decine: porta con sè una nuova gerarchia, che richiede per esprimersi di uno spazio maggiore. E’ il passaggio dalle decine alle centinaia.

Le decine che si susseguono l’una all’altra sono le guide. Lo dimostrano le parole stesse, tutte differenti tra loro: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta. Al contrario, i punti di passaggio da una decina alla successiva, ad eccezione di quelli tra le prime due decine che ha richiesto uno studio a parte, si distinguono con parole uniformi che corrispondono all’unione successiva delle nove unità con ciascuna decina: vent-uno venti-due venti-tre venti-quattro venti-cinque venti-sei venti-sette vent-otto venti-nove.

Questo si ripete via via per ogni nuova decina, allo stesso modo che per la sostituzione delle tavolette: è un’autentica addizione di parole.

Questi esercizi chiariscono e facilitano non solo la comprensione del sistema decimale, ma anche il meccanismo del contare che deve svolgersi sulla base del grande quadro del sistema decimale.

 Esercizio 1 – seconda tavola di Seguin

collegare le cifre da 10 a 90

Materiale:
 tavolette di Séguin dal 10 al 90
45 barrette di perline colorate del 10.

Scopo:
 collegare le cifre da 10 a 90 alle quantità,
contare da 10 a 99 con quantità e cifre

Esercizio:
– le tavolette di Seguin vengono disposte verticalmente sul tappeto,
– l’insegnante mostra al bambino come mettere correttamente le barrette di perline alla sinistra delle cifre, cominciando dal 10.

Appena il bambino capisce l’esercizio, può lavorare autonomamente, infatti siccome le barrette di perline sono contate, lui può accorgersi da solo di eventuali errori ed autocorreggersi.

 Esercizio 2 – seconda tavola di Seguin

Contare da 10 a 99 con le tavolette di Séguin e le perle colorate Montessori

Materiale:
 tavolette di Séguin dal 10 al 90 e cifre mobili dall’1 al 9;
9 barrette di perline colorate del 10
un set di barrette di perline colorate dall’1 al 9.

Scopo:
costruire quantità e numeri in sequenza da 10 a 99. Questa è la tappa finale di tutto il lavoro svolto per imparare a contare.

Esercizio:
– si prepara il materiale sul tappeto. Poi l’insegnante chiede al bambino di mettere una barretta di perline del 10 a sinistra del numero 10.

Poi gli mostra come costruire l’11 mettendo una perlina delle unità a sinistra del numero 10, quindi fa scivolare il numero mobile dell’uno sullo zero dicendo: “10 e 1 è 11, e noi lo scriviamo così, dieci e uno”.

L’insegnante mostra al bambino che per fare il 12 bisogna aggiungere un’altra unità, quindi toglie la tessera dell’1 e mette al suo posto quella del 2.

Insegnante e bambino continuano così a costruire i numeri e le quantità cui corrispondono fino a 19. I numeri mobili non usati si tengono da parte, girati sul rovescio:

“19. 10 e 9 sono 19. Abbiamo una decina e 9 unità.

Se noi avessimo un’unità in più  (mette una perlina in più) avremmo 10 unità, quindi sarebbero 2 decine”.

Quindi sostituisce le dieci perline con una barretta di perline del 10: “Ora dobbiamo mettere questa decina con le altre, così di barrette ne abbiamo due adesso, quindi siamo a 20, il nostro prossimo numero”.

Si procede così, rispettando i tempi di apprendimento del bambino, fino al 99.

Quando il bambino ha capito l’esercizio, può svolgerlo anche da solo.

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Costruire le tavolette di Séguin

Costruire le tavolette di Séguin. Le tavolette a cifre mobili, chiamate tavolette di Seguin dal nome dell’ideatore, sono delle assi di legno nelle quali le cifre sono separate da  piccole assi orizzontali.

Eduard Séguin (1812-1880), collaboratore di Itard, fu l’iniziatore della pedagogia ortofrenica e promotore della creazione di istituzioni speciali per insufficienti mentali. Egli definì l’idiozia un’infermità del sistema nervoso che aveva per effetto la sottrazione di alcuni organi alla volontà, abbandonando il soggetto agli istinti. Il suo metodo consisteva nel provocare, attraverso opportuni esercizi e materiali didattici, l’attivazione dell’apparato muscolare e dei sensi per giungere a risvegliare l’intelligenza e ad esercitare la volontà. L’obiettivo era di rendere l’insufficiente mentale più adeguato ad affrontare le situazioni esistenziali quotidiane.

Qui trovi esempi di utilizzo delle tavole con la lezione in tre tempi:

Esercizi con le tavole di Sèguin e le perle colorate Montessori

Costruire le tavolette di Séguin

Misurano indicativamente 31 cm x 12, le tessere dei numeri mobili 6 cm x 7 cm. Le tessere coi numeri da 1 a 9 devono essere della misura giusta per scivolare negli spazi tra le assicelle orizzontali.

Ne esistono di due tipi:
col 10 ripetuto nove volte e le tessere da 1 a 9 (prima tavola di Seguin)
con la sequenza dal 10 al 90 e le tessere da 1 a 9 (seconda tavola di Seguin).

Quelle in commercio costano circa 50 euro l’una, ma costruirle è molto semplice. Io le ho realizzate con Word e le ho poi incollate su del cartone spesso:

Ne ho fatta anche una versione più piccola, per chi ha problemi di spazio, o per permettere ai bambini di portare le tavolette a casa.

Costruire le tavolette di Séguin – tavole di Seguin piccole

Costruire le tavolette di Séguin – tavole di Seguin grandi

 

Costruire le tavolette di Séguin

Puoi scaricare le due versioni qui:

Costruire le tavolette di Séguin

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