La marcia dei tre re

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Introduzione

Questa storia è legata a due materiali Montessori molto specifici: il Cubo del Trinomio e il Cubo del Trinomio Gerarchico.
Si tratta di materiali piuttosto complessi, ma la cui natura pratica li rende facili da usare, anche per i bambini in età prescolare.
Il primo cubo, il Cubo del Trinomio, è utilizzato dai bambini a partire dalla Casa dei Bambini, e viene generalmente utilizzato come puzzle tridimensionale.
Il secondo cubo, il Cubo del Trinomio Gerarchico, è uguale al primo, ma presenta colori diversi.
Entrambi i cubi presentano ventisette pezzi ed esprimono lo sviluppo del trinomio:

(a+b+c)³ = a³+3a2b+3a²c + 3ab² + 6abc + 3ac² + b³ + 3b²c + 3bc2 + c3

Ovviamente, si tratta di idee complesse, quindi una storia piacevole è l’ideale come introduzione.
Questa storia immagina che i tre piccoli pezzi a forma di cubo siano dei re. Ognuno di loro conduce il proprio seguito a fare una passeggiata. Durante la passeggiata, si trasformano tutti, i loro colori cambiano e, in alcuni casi, cambiano anche le loro alleanze.
Questo porta i bambini a passare dal cubo del trinomio al cubo del trinomio gerarchico, per poi tornare indietro.
La procedura inizia con il Cubo del Trinomio.

I suoi tre cubi, che rappresentano i tre re, guideranno il loro seguito dei restanti ventiquattro prismi verso un ponte immaginario che conduce alla Terra dei Numeri.
Si fermeranno lì, a riflettere, poi, un re alla volta, guideranno i loro seguaci attraverso il ponte.
Mentre i re conducono i loro seguaci attraverso il ponte, l’insegnante scambia i blocchi del primo set con quelli corrispondenti del set gerarchico.

(Questo è il contenuto del cubo del trinomio gerarchico. L’immagine mostra tutti i pezzi del Cubo del Trinomio Gerarchico smontato).

Cubo del Trinomio

Ecco come sono distribuiti i ventisette pezzi del Cubo del Trinomio:

. 1 cubo rosso 4 x 4 x 4 cm, chiamato il “Primo Re Rosso”;
. 6 prismi con le facce quadrate dipinte di rosso. Sono chiamati i “Servitori del Re Rosso” e sono divisi in due gruppi: 3 di loro misurano 4 x 4 x 3 cm; gli altri 3 misurano 4 x 4 x 2 cm;

. 1 cubo blu 3 x 3 x 3 cm chiamato il “Primo Re Blu”;
. 6 prismi con le facce quadrate dipinte di blu. Sono chiamati i “Servitori del Re Blu” e sono divisi in due gruppi: 3 di loro misurano 3 x 3 x 4 cm; gli altri 3 misurano 3 x 3 x 2 cm

. 1 cubo giallo 2 x 2 x 2 cm chiamato il “Re Giallo”;
. 6 prismi con le facce quadrate dipinte di giallo. Sono chiamati i “Servitori del Re Giallo” e sono divisi in due gruppi: 3 di loro misurano 2 x 2 x 4 cm; gli altri 3 misurano 2 x 2 x 3 cm;

. 6 prismi neri 4 x 3 x 2 cm. Sono chiamati le “Guardie del Corpo”.

Cubo del Trinomio Gerarchico

Ecco come sono distribuiti i ventisette pezzi del Cubo del Trinomio Gerarchico:

. 1 cubo blu 4 x 4 x 4 cm, chiamato il “Nuovo Re Blu”
. 3 prismi verdi 4 x 4 x 3 cm che diventano i “Primi Servitori del Nuovo Re Blu”
. 6 prismi marroni che diventano anch’essi “Servitori del Nuovo Re Blu” e sono divisi in due gruppi: 3 misurano 4 x 4 x 2 cm; 3 misurano 3 x 3 x 4 cm

. 1 cubo rosso 3 x 3 x 3 cm, chiamato il “Nuovo Re Rosso”
. 6 prismi rossi 4 x 3 x 2 cm, che diventano le “Guardie del Corpo del Nuovo Re Rosso”

. 6 prismi arancioni che diventano i “Servitori del Re Bianco” e sono divisi in due gruppi: 3 misurano 3 x 3 x 2 cm; 3 misurano 2 x 2 x 4 cm
. 3 prismi gialli 2 x 2 x 3 cm. Sono anche loro “Servitori del Re Bianco”
. 1 cubo bianco 2 x 2 x 2 chiamato il Re Bianco.

Il racconto: versione 1

Molto tempo fa, in un luogo al di là del mare, c’era un regno immenso. Nel regno c’era una foresta, al centro di quella foresta c’era una città, e al centro di quella città c’era uno splendido palazzo. E nello splendido palazzo vivevano tre Re.

Il palazzo in cui vivevano aveva una forma davvero insolita: era un cubo perfetto.

(Mostriamo ai bambini il cubo assemblato nella sua scatola).

Si racconta che ognuno dei tre Re fosse a sua volta un cubo, e che questi tre Re a forma di cubo fossero alleati e amici.
Lavoravano insieme e si aiutavano a vicenda, tuttavia, erano separati e ognuno aveva la propria personalità.

Il primo di questi Re era un grande e bel cubo rosso.
Il secondo Re era un bellissimo cubo blu medio.
Il terzo Re era un grazioso cubo giallo, piccolo e di bell’aspetto.

Questi tre Re governavano insieme il loro territorio cubico. Erano a capo di un vasto dominio. L’importanza di ciascuno dei tre Re era diversa, ed era determinata dalla sua dimensione.

(Indichiamo ogni Re nominandone la dimensione, il colore e le caratteristiche).

Il Re più grande, il Re rosso, era il più importante. E il Re rosso era anche il più avventuroso. (Indichiamo il Re rosso).
Dopo il Re rosso, veniva il Re blu, il secondo in ordine di importanza. Il Re blu amava la sicurezza e la protezione; amava essere circondato dagli altri, quindi era felice di essere proprio al centro, con tutti gli altri intorno a lui. (Indichiamo il Re blu).
Infine, c’era il Re giallo. Al Re giallo non gli piaceva mettersi troppo in mostra: gli piaceva arrivare per ultimo, perché era un po’ timido. (Indichiamo il Re giallo).

Capitava che, di tanto in tanto, i tre Re lasciassero il loro palazzo: magari andavano a un ballo, magari andavano in guerra, magari andavano a esplorare nuovi territori, o forse semplicemente andavano a fare una passeggiata.

Una delle regole dei tre Re era che dovevano sempre marciare con il loro seguito in un certo modo, secondo un certo schema, seguendo sempre lo stesso ordine: prima doveva venire il Re Rosso col suo seguito, poi il Re Blu col suo seguito e infine il Re Giallo col suo seguito.

II Re Rosso doveva sempre camminare davanti a tutti, subito dietro di lui aveva sei servitori che indossavano giacche abbinate ai colori del lore Re, e due guardie del corpo, che stavano sempre dietro ai servitori.

Dopo il Re Rosso, veniva sempre il Re Bu. Il Re Blu era il secondo in ordine di importanza. Il Re Blu amava la sicurezza e la protezione, e per questo preferiva camminare circondato dal suo seguito: non voleva che i suoi servitori lo seguissero, ma preferiva che gli camminassero tre daventi e tre dietro, mentre le due Guardie del Corpo dovevano sempre stargli a destra e a sinistra. Amava essere circondandolo da ogni lato ed era felice di trovarsi proprio al centro

Infine, veniva il Re Giallo. Il re giallo era timido e non gli piaceva mettersi in mostra: per questo si sentiva a suo agio camminando in coda al suo seguito; davanti a lui stavano le sue Guardie del Corpo, e davanti alle Guardie stavano i sei servitori.

Un giorno, il Re Rosso disse agli altri due Re: “Oggi esploreremo nuove terre. Andremo in altri luoghi alla ricerca di nuovi territori”.

Poiché era il capo, gli altri Re fecero come voleva.

Si schierarono: prima il Re Rosso col suo seguito:

poi il Re Blu col suo seguito:

e infine il Re Giallo col suo seguito:

Il Re Rosso si voltò indietro per assicurarsi che tutto fosse secondo la regola e chiese: “Siete tutti pronti?”. Il Re Blu disse che il suo gruppo era pronto, e anche il Re Giallo fece lo stesso, così iniziarono a marciare.

Marciarono su per le colline e giù per le valli, e finalmente arrivarono ai confini di un nuovo territorio, un luogo che non avevano mai visto prima.

Il confine era segnato da un fiume e per entrare nel nuovo territorio era necessario attraversare un ponte.

Il corteo si fermò ad osservare.

Sembrava che al di là del ponte il territorio fosse ricco di segni e simboli, forse numeri: una cosa molto insolita per i tre re, che di numeri non sapevano nulla.

Tutti guardarono di nuovo il ponte e si chiesero se attraversarlo o lasciar perdere.

Il Re Rosso avrebbe dovuto procedere per primo e, come sappiamo, era un tipo molto audace, forte ed eroico, e non ebbe un attimo di esitazione: voleva assolutamente entrare nella nuova terra. Gli altri due re, anche se erano più riluttanti, dovettero obbedire alla sua volontà.

Così il corteo si mosse, con il Re Rosso in testa.

Non appena il Re Rosso ebbe attraversato il ponte, accadde qualcosa di incredibile: nell’istante stesso in cui entrò nel nuovo territorio, il Re Rosso cambiò colore e diventò blu!
(Mentre parliamo, sostituiamo il Re Rosso del cubo del trinomio con il cubo blu congruente del cubo gerarchico).

Questo è il Nuovo Re Blu.

Erano tutti senza parole. Nessuno sapeva cosa pensare. Perché il Re Rosso ora era blu? Cosa era successo? Cosa poteva averlo reso blu? Stava bene?

Nessuno lo sapeva, ma tutti potevano vedere che era diventato blu.

I suoi tre servitori più grandi si avvicinarono al Nuovo Re Blu per cercare di aiutarlo, per fare qualcosa per salvarlo, se ne avesse avuto bisogno.

Ma non appena attraversarono il ponte, diventarono verdi.
Oh, mio Dio! Erano verdi! Non avevano nemmeno più giacche intonate al loro re, ora che erano diventate verdi!
(Mentre parliamo, sostituiamo i tre prismi del cubo del trinomio con i prismi verdi congruenti del cubo gerarchico).

I tre servitori più piccoli iniziarono ad attraversare il ponte, ed erano molto nervosi e preoccupati. Pensavano: “E adesso?Cosa ci succederà adesso?”.

Beh, non ci potrete credere, ma attraversando il ponte uno alla volta, diventarono marroni!
(Mentre parliamo, sostituiamo i tre prismi del cubo del trinomio con i prismi marroni congruenti del cubo gerarchico).

Il loro nuovo colore non si accordava più a quello del loro re, e nemmeno a quello dei tre servitori più grandi!

Arrivati a quel punto, le due Guardie del Corpo erano così spaventate che decisero di indietreggiare e non attraversare il ponte. Sì, dovremmo aspettarci più spirito di azione e coraggio da loro, invece non fu così. Le due Guardie del Corpo non attraversarono il ponte e rimasero semplicemente indietro a vedere cosa sarebbe successo.

Così arrivò il turno del Re Blu, che mandò avanti i suoi primi tre servitori.

Dritti per tutta la loro altezza, i tre servitori attraversarono il ponte, e non appena toccarono terra diventarono marroni.

Non appena diventarono marroni, si guardarono e si resero conto che la loro fedeltà non era più rivolta al vecchio Re Blu: si erano uniti al Nuovo Re Blu, il grande Nuovo Re Blu, il re che prima era rosso.

Il Nuovo Re Blu ora aveva nove servitori.

A questo punto, il primo re blu non aveva più nessuno davanti a sé, e dato che la strada era libera, pensò di attraversare il ponte.

Non appena lo fece, cambiò colore e divenne un re rosso. Si trasformò completamente in rosso. Era diventato il Nuovo Re Rosso.

(Mentre parliamo, sostituiamo il cubo blu del cubo del trinomio con cubo rosso congruente del cubo gerarchico).

Alla fine, le due Guardie del Corpo che erano rimaste indietro decisero che era il momento di andare a vedere cosa stava succedendo. Le altre quattro Guardie del Corpo si unirono a loro.

Attraversarono il ponte e, improvvisamente, divennero tutti e sei rossi.

Ora c’erano sei Guardie del Corpo rosse. E sapendo che il vecchio Re Blu, che ora era il Nuovo Re Rosso, amava la sicurezza e la protezione, si disposero intorno a lui in modo da circondarlo completamente.

Ciò rese molto felice il Nuovo Re Rosso, perché, a differenza del Nuovo Re Blu che non aveva servitori del suo stesso colore, lui aveva servitori rossi proprio identici a lui.

Naturalmente, il Re Giallo continuava a restare al suo posto, in attesa, perché gli piaceva arrivare sempre per ultimo: era un re timido e un po’ ansioso. Sapeva che prima o poi avrebbe dovuto anche lui attraversare il ponte, ma fece di tutto per rimandare quel momento.

Si guardò intorno e si rese conto che il vecchio Re Blu aveva lasciato indietro tre dei suoi servitori. I poverini non sapevano proprio cosa fare.

Così il Re Giallo disse: “Dovete attraversare il ponte, lo ordino io! Voglio portare la mia gente nel nuovo territorio e non posso farlo finché voi non avrete attraversato il ponte”.

I tre servitori blu obbedirono e al termine del ponte si trasformarono tutti e tre in arancioni.

Non si sa perché fossero diventati proprio arancioni, ma loro non se ne preoccuparono più di tanto, perché in fondo quel colore aveva un po’ di rosso e anche un po’ di giallo: erano una via di mezzo, e questo li faceva sentire a proprio agio.

A questo punto il Re Giallo si rivolse al suo seguito e disse: “Miei fedeli servitori, è il vostro momento. Potete procedere”.

I suoi primi tre servitori, quelli alti, andarono avanti e, con loro grande sorpresa, anche loro diventarono arancioni.

Venne quindi il turno degli ultimi tre servitori, quelli più piccoli. Erano molto spaventati. Era sicuro attraversare attraversare il ponte? E di che colore sarebbero diventati? Erano abituati a essere gialli, e non sapevano cosa sarebbe successo se fossero anche loro cambiati.

Con grande timore, iniziarono ad attraversare il ponte, e non appena la marcia fu conclusa, il loro colore divenne giallo uniforme. Erano ancora gialli, che gioia! Ma ora, invece di avere solo alcune facce gialle, erano gialli dappertutto! Che meraviglia!

Tutto questo rese molto felice il piccolo Re Giallo: capì che poteva continuare a essere giallo e che, una volta attraversato il ponte, si sarebbe riunito al suo seguito giallo e non ci sarebbero stati problemi.

Così, finalmente, si decise ad attraversare il ponte.

Ma indovinate un po’? Quando finalmente lo attraversò, perse il suo colore giallo e diventò tutto bianco!

Ora tutto il corteo al completo aveva varcato il ponte.

I tre re si guardarono intorno e videro che ora c’erano un Re Blu, un Re Rosso e un Re Bianco.

I tre re, esausti dopo la lunga marcia verso il nuovo territorio, decisero di tornare a casa. Si apprestarono a riattraversare il ponte, e fu così che scoprirono che i colori che avevano assunto nel nuovo territorio non andavano via: erano cambiati per sempre.

Si avviarono verso il loro palazzo cubico, e tornare ognuno alle proprie stanze. Ma che sorpresa! Persino il palazzo aveva cambiato colore!

Il primo a entrare, secondo la regola, fu il Nuovo Re Blu.

I suoi tre servitori verdi lo seguirono di corsa per proteggerlo, coprendolo completamente. Ora, nessuno poteva vederlo.

Subito si unirono a loro i servitori marroni attendenti marroni, per assicurarsi a loro volta che il posto fosse sicuro. Si disposero in modo tale da coprire tutti i servitori verdi.

Quando tutti i servitori marroni ebbero finalmente trovato il loro posto, il Nuovo Re Rosso notò che era stato preparato per lui un trono alto, un posto speciale dove avrebbe potuto sedersi. Evviva! Così, andò immediatamente a sedersi su quel trono, che era solo per lui.

Le sue Guardie del Corpo, tutte e sei rosse, accorsero immediatamente a proteggerlo e lo circondarono da ogni lato. Il Nuovo Re Rosso si sentiva importante e imponente perché era proprio nel mezzo, proprio al centro, proprio come piaceva a lui.

Il Re Bianco e tutto il suo seguito osservarono il palazzo. Il Re Bianco sperava davvero che ci fosse un trono tutto suo, ma dovette constatare che non ce n’era. A quanto pareva, essendo l’ultimo, non era abbastanza potente per averne uno… così, con profonda tristezza, ordinò ai suoi sei servitori arancioni di entrare a palazzo e prendere posto dove volevano.

I servitori arancioni entrarono nel palazzo e trovarono subito un posto dove sentirsi a casa, disponendosi attorno al Nuovo Re Rosso.

Poi, il Re Bianco diede ordine anche ai suoi servitori gialli, gli ultimi tre, di entrare a palazzo e trovarsi un posto dove stare. I servitori gialli erano i preferiti del Re Bianco perchè erano di un giallo brillante proprio come il suo prima della trasformazione.

Dunque entarono e si disposero in modo da poter accogliere al meglio il loro re. In effetti, i tre servitori gialli avevano creato un trono alto e bellissimo, perfetto per il Re Bianco.

Il re bianco ne fu così entusiasta che si unì immediatamente alla compagnia altri e completò la dimora cubica.

E per quanto ne sappiamo, i tre re con il loro seguito vivono ancora lì.

(Chiudiamo la scatola).

Ma qualcosa era cambiato per sempre, e non parlo solo dei colori: ora il re bianco era diventato audace e forte, al punto che adesso era sempre lui il primo ad uscire dal palazzo, e non più l’ultimo.

Fu così che il Cubo del Trinomio cambiò colore e si trasformò in Cubo Gerarchico, e i tre re con il loro seguito passarono dalla terra delle lettere a quella dei numeri.

Ma volete sapere una cosa interessante? Tutta questa storia si svolse in un solo pomeriggio!

Il racconto: versione 2

Molto tempo fa c’erano Tre Re. Ognuno di questi Re viveva separatamente nel proprio Regno, ma questi Regni erano così strettamente collegati che, insieme, formavano un unico grande Impero.

Ogni Re aveva un certo aspetto, una certa dimensione e un suo colore distintivo.

Il Re del Regno Rosso era completamente vestito di rosso,

il Re del Regno Blu era completamente vestito di blu

e il Re del Regno Giallo era completamente vestito di giallo.

Ogni re aveva i propri attendenti, che erano strettamente imparentati con gli attendenti degli altri re.

Nelle occasioni speciali, i re si riunivano e sfilavano in parata con il loro seguito.

Il Re del Regno Rosso era il più grande. Avanzava maestosamente in testa alla parata. I suoi sei attendenti lo seguivano; erano vestiti dello stesso colore del loro Re, sia davanti che dietro, e indossavano mantelli neri.

Poi arrivava il Re del Regno Blu, seguito dai suoi sei attendenti. Erano vestiti di blu davanti e dietro, e i loro mantelli erano neri.

Infine, arrivava il Re del Regno Giallo. Era seguito anche dai suoi sei attendenti. Davanti e dietro erano vestiti di giallo e indossavano mantelli neri.

C’erano anche sei guardie del corpo. Erano vestite di nero e ogni Re ne aveva due, che camminavano al loro fianco

Era davvero una sfilata bellissima, e ogni volta che uscivano, marciavano sempre allo stesso modo. L’ordine e l’armonia che mostravano era davvero uno spettacolo meraviglioso.

Un giorno, tuttavia, il Re del Regno Blu si stancò di questo particolare ordine. Non era più soddisfatto di stare sempre in mezzo alla parata. A suo avviso, meritava un posto migliore: voleva essere in prima fila.

Il Re Blu e il Re Giallo erano molto diversi tra loro. Pur adempiendo a tutti i suoi obblighi, il Re Giallo era molto modesto e riservato.

In questo giorno, il Re Blu diede inizio a una rivolta.

Ordinò a tre dei suoi attendenti di arrestare gli attendenti del Re Rosso.

Questa ribellione durò solo per un breve periodo, perché le guardie del corpo intervennero immediatamente per ripristinare l’ordine e circondarono il Re Blu.

Tre attendenti del Re Giallo si ritirarono e catturarono i tre attendenti rimasti del Re Blu. Anche gli altri tre attendenti del Re Giallo avanzarono per supportare gli altri. Il Re Giallo finì in fondo alla parata, e in questo modo la ribellione ebbe fine.

Il Re Rosso, che era in testa alla parata, quasi non si accorse di ciò che era successo, perché tutto avvenne molto velocemente.
Anche il Re Blu continuò il suo cammino, ora sorvegliato da sei guardie del corpo.
Il Re Giallo era molto contento di camminare in fondo al corteo. Non gli era mai piaciuto lo spettacolo.

Tuttavia, qualcosa era cambiato: i tre Regni erano diventati un Regno Unico.
I Re, i servitori e le guardie del corpo avrebbero presto indossato i colori dei loro Regni, secondo il valore posizionale del sistema decimale.

Il Re Rosso era diventato il cubo del milione nel Regno del Sistema Decimale, il Re Blu il cubo del mille e il Re Giallo il cubo dell’uno.
Gli attendenti derivano il loro valore dai loro Re e dai Re con cui erano imparentati.
Infine, le guardie del corpo derivano il loro valore da tutti e tre i Re.

Qual era il loro valore? E quali erano i loro nuovi colori? Scopriamolo!

Perché è successo tutto questo?
Qual è stata la causa del cambiamento nella sequenza?

Senza che i Re lo sapessero, avevano rinunciato ai loro regni e ora formavano il Regno Unico del Sistema Decimale.

Il racconto: versione 3

C’erano una volta, in una terra molto lontana, tre re davvero speciali.

Ogni re governava il proprio regno, ma tutti e tre i regni erano strettamente alleati tra loro e formavano un unico grande impero.

Sebbene ogni re avesse un ruolo importante e contribuisse in modo significativo alla pacifica esistenza dell’impero, le loro dimensioni variavano a seconda della loro importanza.

Ogni re aveva un proprio colore distintivo e indossava sempre le sue vesti regali, e anche tutti i suoi servitori e consiglieri indossavano abiti che richiamavano il colore del loro Re.

Ogni volta che c’era una grande occasione, i tre Re marciavano formando un grande corteo, accompagnati ciascuno dai propri attendenti, consiglieri e guardie reali.

Il Re Rosso, essendo il più grande, guidava fiero il corteo, insieme al suo seguito. Ogni consigliere indossava i colori del Re Rosso sul davanti e sul retro, per mostrare a chi apparteneva e che era un consigliere leale al proprio re.
Tre dei consiglieri del Re Rosso fungevano anche da ambasciatori del Re Giallo.
Tre dei consiglieri del Re Rosso fungevano anche da ambasciatori del Re Blu.

Il Re Blu col suo seguito, essendo il secondo re in ordine di grandezza, seguiva il Re Rosso. Ogni consigliere indossava i colori del Re Blu sul davanti e sul retro, per dimostrare a chi apparteneva e che era un consigliere leale al proprio re.
Tre dei consiglieri del Re Blu fungevano anche da ambasciatori del Re Giallo.
Tre dei consiglieri del Re Blu fungevano anche da ambasciatori del Re Rosso.

Il Re Giallo, essendo il re più piccolo, chiudeva la processione, seguito da sei fedeli consiglieri. Ogni consigliere indossava i colori del Re Giallo sul davanti e sul retro, per mostrare a chi apparteneva e che era un consigliere leale al proprio re.
Tre dei consiglieri del Re Giallo fungevano anche da ambasciatori del Re Blu.
Tre dei consiglieri del Re Giallo fungevano anche da ambasciatori presso il Re Rosso.

Oltre a tutti i consiglieri del re, c’erano anche sei guardie reali, tutte vestite di nero. Queste guardie erano fedeli non a un singolo re, ma a tutti e tre, e avevano ricevuto l’incarico per decreto reale di proteggere la pace e la sicurezza di tutti. Le sei guardie reali erano assegnate equamente ai tre re e si univano alla processione in modo di stare in due al fianco di ciascun re.

Ora, sebbene queste sei guardie reali avessero il compito di garantire protezione e mantenere l’armonia, per rispetto verso i re si assicuravano anche di non essere mai più alte del re che stavano proteggendo.

In tutto il paese regnavano l’armonia e l’ordine.

Un giorno, durante una delle tante parate che si svolgevano in una città, accadde qualcosa.

La processione procedeva da diversi minuti quando, all’improvviso, il Re Blu decise che ne aveva abbastanza. Iniziò a brontolare tra sé e sé, e più brontolava più si arrabbiava, finchè cominciò ad urlare: “Devo sempre marciare in mezzo al corteo! Non mi è mai permesso di marciare in prima fila! Perché c’è sempre il Re Rosso in prima fila, ogni giorno? Di sicuro non ci sarebbe niente di male a cambiare un po’ le cose!”

Il Re Blu era fermamente convinto di meritare di meglio che essere costantemente messo al centro, così diede il via a una ribellione.

Con una mossa sconsiderata, mandò rapidamente tre dei suoi consiglieri in avanti, nel tentativo di catturare tre consiglieri del Re Rosso.

Che confusione! All’inizio, nessuno riusciva a capire cosa stesse succedendo. Per un popolo così armonioso e pacifico, era una cosa inaudita e del tutto inaspettata.

Non appena ciò accadde, tutte le guardie del corpo reali circondarono il Re Blu.

Re Giallo osservava tutto ciò ed era veramente sotto shock. Era il più piccolo e molto modesto, e detestava fare scenate. Per riportare la pace nella processione, Re Giallo ordinò a tre dei suoi consiglieri di avanzare e bloccare i consiglieri del Re Blu.

Avendo ancora bisogno di ulteriore supporto, il Re Giallo mandò avanti i suoi tre consiglieri rimasti per creare una zona cuscinetto per sé, data la sua piccola statura. Questo fece sì che Re Giallo si trovò in fondo alla processione. A lui la cosa non dispiaceva affatto. Si posizionò con orgoglio in fondo alla fila, senza fare storie, chiudendo la fila in silenzio e con modestia.

Perché è successo tutto questo?

Perché il corteo ora si trovava in nuovo regno: il regno del sistema decimale!

I loro valori erano cambiati per sempre!

Il corteo si diresse nella direzione opposta e indovinate chi era in testa… Il Re delle Unità, il più piccolo di tutti! Ora lui marciava fiero in testa, guidando ordinatamente gli altri re attraverso lungo il cammino.

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria. Secondo Maria Montessori ogni materia di insegnamento non dovrebbe procedere da sola, in modo lineare e separatamente dalle altre. Al contrario ognuna dovrebbe essere vista come un piccolo rivolo d’acqua che sgorga da una sorgente, si ingrossa, scompare per qualche tempo nascosto sotto le pietre, poi torna fuori più lontano, si unisce con altri rivoletti, si isola ancora e infine diventa un fiume con sponde proprie.

Questo vale anche per la geometria, che si avvia nella Casa dei Bambini (dai 4 ai 6 anni) quando il bambino si trova nel periodo di sviluppo dei sensi, delle coordinazioni motorie e del linguaggio. In questo periodo non interessano le analisi e le definizioni: il bambino assorbe il mondo esterno attraverso le sensazioni e la continua attività motoria che esercita sugli oggetti circostanti. Tenendo presente questa caratteristica peculiare della mente infantile, intorno ai 4 anni si presenta il primo materiale sistematico di forme geometriche piane, che serve a dare la prima rappresentazione sensoriale di esse: gli incastri geometrici piani.
Il vassoio di presentazione bianco e rosso delle immagini è prodotto da Montessori 3D di Boboto.

Ho già pubblicato sull’argomento:
Tutorial per costruire i vassoi delle figure geometriche 


– Cofanetto delle figure geometriche piane Montessori presentazione ed esercizi:

Per la prima presentazione si utilizzano le forme più regolari e contrastanti tra loro: un triangolo equilatero, un cerchio e un quadrato. Si tratta del vassoio di presentazione.

Dopo aver lavorato col vassoio di presentazione vengono gradualmente aggiunte le altre figure, fino a lavorare con più figure differenti insieme: triangolo, rettangolo, pentagono, rombo, trapezio, cerchio.

Infine si danno i vassoi contenenti sei figure che rappresentano varietà e gradazioni della stessa forma:

  • sei triangoli diversi: triangolo rettangolo isoscele, rettangolo scaleno, equilatero, acutangolo isoscele, ottusangolo isoscele, ottusangolo scaleno
  • il quadrato e cinque rettangoli che hanno un lato costante (10 cm) e l’altro degradante di 1 cm fino al rettangolo che ha il lato minore di 5 cm
  • sei poligoni dal pentagono al decagono, tutti costruiti in modo che siano iscritti in un cerchio che ha 10 cm di diametro
  • sei cerchi di cui il maggiore ha diametro di 10 cm e il minore di 5 e gli altri il diametro successivamente degradante di 1 cm dal primo all’ultimo
  • figure varie a contorni curvi: triangolo equilatero, ellisse, ovale, due fiori costruiti sullo stesso quadrato, uno sul lato e uno sull’angolo

Si tratta di incastri che si possono inserire perfettamente in una cornice quadrata, muniti di una manopola per la presa a tre dita. Ogni incastro può essere collocato esattamente solo nella propria cornice. L’esercizio dunque porta a una comparazione continua tra le forme, e a un controllo materiale su identità e differenze.

Che cosa c’è di identico tra la cornice e l’incastro? La linea di contorno. I due oggetti, incastro e cornice, in se stessi sono molto diversi, e in certo modo opposti: la cornice ha dal lato esterno sempre la stessa forma (un quadrato), invece gli incastri hanno contorni esterni diversissimi (triangolo, rettangolo, cerchio, pentagono, ecc.). Il quadrato delle cornici ha però incavi di contorno diversissimi, corrispondenti a quelli degli incastri: ha un vuoto, una mancanza di materia.

Col materiale degli incastri geometrici piani il bambino si dedica a comparazioni tra le figure geometriche ed al loro studio intuitivo, grazie ad esperienze attive fatte di spostamenti, ricerche e tentativi. L’attività del bambino con questo materiale è un’attività complessa: la mano sposta, l’occhio riconosce, la mente giudica.

Per richiamare l’attenzione del bambino sul contorno, facciamo eseguire un esercizio speciale: il bambino deve toccare tutto il contorno dell’incastro e poi il contorno dell’incavo che sta nella cornice.

I movimenti della mano seguono il contorno e questo movimento eseguito lentamente, attentamente e con precisione, dice Maria Montessori, dà un’idea motrice. Il bambino può riconoscere anche grazie al movimento la forma del contorno, e mettere in rapporto la forma rilevata come identica nell’incastro e nella cornice.

Gli esercizi proseguono a occhi bendati: il bambino mette una serie di incastri nelle cornici, toccandone attentamente i contorni e senza l’aiuto della vista.

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

In tutti i vassoi previsti nel cofanetto, le figure sono costruite in modo da avere un riferimento alla medesima dimensione lineare: 10 cm. Il triangolo equilatero ha il lato di 10 cm e il cerchio il diametro di 10 cm. Così il triangolo, non essendo inscritto nel cerchio, non può entrarvi, né a maggior ragione il cerchio nel triangolo. Questa impossibilità pratica di sbagliare è il controllo dell’errore insito nel materiale stesso. Grazie a questo principio il bambino, una volta conosciuto l’uso degli oggetti, può procedere senza insegnante.

L’importanza di avere una cornice di incastro non è solo quella di garantire il controllo dell’errore: la cornice richiama anche l’attenzione sulle particolarità che differenziano le varie forme, quando il bambino cerca per tentativi cerca per tentativi la cornice giusta per la piastrella che ha in mano, o prova a incastrarla in diversi sensi.

Il quadrato, ad esempio, si può spostare nei quattro lati ed entra sempre. Il rettangolo, se non si appoggia in modo che i lati maggiori e minori corrispondano, rimane fuori dalla cornice. Il quadrato, tuttavia, non si può rigirare nella cornice tante volte come un poligono e questo, dal pentagono al decagono, fa passi sempre più piccoli nel suo giro. Il cerchio, infine, può girare tutto intorno senza interruzioni.

Il materiale degli incastri geometrici può insomma insegnare la differenza tra le figure senza intervento da parte dell’insegnante, che interviene solo per presentare gli esercizi e per dare i nomi delle forme geometriche attraverso la lezione in tre tempi che si utilizza per tutti i tipi di nomenclatura.

Col materiale degli incastri geometrici nella mente del bambino, grazie all’apprendimento dei concetti della geometria, si sviluppa il senso geometrico. Gli occhi del bambino sono stimolati a sentire l’aspetto geometrico dell’ambiente che li circonda: il piano del tavolo rettangolare, gli esagoni delle mattonelle del pavimento, i cerchi dei piatti, i quadretti dei fazzoletti, le ellissi delle cornici dei quadri … porte, finestre, decorazioni assumono un significato nuovo.

Questa nuova attitudine della mente, questa osservazione spontanea che si manifesta grazie allo sviluppo di una particolare sensibilità interiore, è qualcosa di molto diverso da ciò che consideriamo “apprendimento logico”.

Aggiungere alcune nozioni di una data disciplina, in questo caso della geometria, durante i periodi sensitivi prepara nella personalità attitudini che predispongono la mente a comprendere, depositano germi permanenti di interesse nell’intelligenza.

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

Le figure geometriche rappresentate negli incastri vengono ripetute come semplici disegni su tre serie di cartoncini quadrati, che hanno la stessa dimensione delle cornici. Su di esse le figure riproducono:

  • serie 1: gli incastri colorati nella stessa dimensione e colore
  • serie 2: il contorno con una striscia colorata
  • serie 3: una linea sottile.

La linea di contorno, già tante volte percepita dal movimento della mano, viene dunque isolata e resa visibile.

Il cofanetto delle figure geometriche piane come preparazione alla psicogeometria

Le tre serie di cartoncini possono essere realizzate facilmente utilizzando come modello gli incastri.

Gli esercizi con gli incastri geometrici sono primissime esperienze che mettono in rapporto il bambino piccolo, dai tre o quattro anni di età, con le forme geometriche. Le sue conoscenze sono intuizioni d’insieme, che egli riceve attraverso la sua esperienza attiva.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori utilizzando le tre tavole.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

Le neuroscienze ci dicono che la comprensione della matematica presenta aspetti sia geometrico-percettivi sia simbolico-linguistici ed è necessario allenare il cervello a usare contemporaneamente entrambe le aree cerebrali.

Spesso la matematica è presentata ai bambini in modo puramente “linguistico”, come una lista di istruzioni da memorizzare. La memoria linguistica è molto potente e durevole, quindi i bambini inizialmente imparano con poco sforzo, ma quando la quantità di formule da memorizzare diventa eccessiva, la matematica diventa per loro materia arida e incomprensibile.

Per questo è necessario insegnare la matematica prima di tutto attraverso stimoli di tipo percettivo-sensoriale, soprattutto attraverso le mani, perché le aree cerebrali che ci permettono i movimenti fini sono molto vicine a quelle che ci fanno percepire le forme geometriche e le quantità approssimate.

Il materiale usato per la presentazione è offerto da:

I due testi fondamentali per l’insegnamento della matematica col metodo Montessori sono “Psicoaritmetica” e “Psicogeometria”, pubblicati per la prima volta nel 1934 in spagnolo quando l’autrice, a causa delle persecuzioni del fascismo, si trovava in esilio a Barcellona.
Le tesi esposte nelle due pubblicazioni, messe a confronto con le recenti scoperte delle neuroscienze, evidenziano marcati elementi di sintonia e attualità.

Prendiamo ad esempio il teorema di Pitagora: la sua formulazione “linguistica” recita che “in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”.
Lo sforzo per la memoria linguistica è modesto, dunque si tende a partire dall’enunciato del teorema, presentando la sua dimostrazione, e poi si fanno seguire gli esercizi.
L’idea montessoriana è diversa, ed è molto semplice: bisogna partire dalle “cose”, cioè dalle rappresentazioni concrete degli oggetti geometrici.

Non fu dalle cose, che i primi geometri trassero le loro conoscenze? Non furono corrispondenze e relazioni tra cose, che stimolarono qualche mente attiva e interessata a formulare degli assiomi e quindi dei teoremi?
“Il modo con cui un concetto è stato compreso per la prima volta dagli esseri umani è il modo naturale per presentare quel concetto ai bambini”.
Maria Montessori

Sulla base di questa idea Maria Montessori introdusse nei due testi un’enorme quantità di materiali, che con la loro muta eloquenza permettono ai bambini di scoprire, in modo indipendente, la geometria e l’aritmetica.

Nella scuola tradizionale lo studio del teorema di Pitagora rappresenta spesso un grosso scoglio da superare per i bambini, tanto che era chiamato “il ponte degli asini” (asino, si sa, era l’epiteto usato per gli studenti meno brillanti). Quando interrogati, gli studenti dovevano illustrare la dimostrazione del teorema disegnandola alla lavagna. Quelli che erano in grado di farlo avevano memorizzato sia il teorema sia la sua dimostrazione, ma erano in pochi quelli che l’avevano realmente compreso. Disegnando linee i bambini riproducono parallelogrammi equivalenti a quadrati, e rettangoli equivalenti a parallelogrammi e spiegano le ragioni dell’equivalenza. Le linee sulla lavagna si moltiplicano e alla fine il tutto diventa un labirinto che rispecchia il labirinto che c’è nella mente del bambino.
Anche se il postulato che recita: ‘Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui sue altri lati’ è ben fissato nella mia mente, devo confessare che la prima volta che lo ho realmente compreso è stata quando ho visto la dimostrazione fatta con gli incastri delle tavole di Pitagora a bambini di 8 anni. Ma nella mente di tutte le persone a cui l’ho chiesto, il famoso teorema si riferisce soltanto ai quadrati. Nessuna altra figura geometrica gode dello stesso privilegio. Noi siamo in grado di utilizzare tutte le figure, purché esse siano equivalenti.
Questo è un esempio di cosa succede quando il bambino è liberato dalla schiavitù dei libri di testo e il suo potenziale intellettivo è stimolato e aiutato attraverso chiavi di conoscenza che gli permettono di investigare e creare con gioia ed entusiasmo.
I contenuti del programma scolastico sono coperti, ma se ne aggiungono molti altri ancora, e tutto con la piena comprensione e la gioia di imparare di una mente che ricerca e che vede le relazioni tra le cose.
Ciò accade non solo per quanto riguarda la geometria, ma anche per quanto riguarda il resto della matematica. Non è questo anche l’obiettivo dei sostenitori della nuova matematica?
Mario Montessori – Communications 1 (1969)

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

Il materiale per il teorema di Pitagora è composto da 3 tavole con pezzi ad incastro blu, rossi, gialli e bianchi.

Le tre tavole  rappresentano tre casi del teorema:
– primo caso (TAVOLA I): i due cateti sono uguali
– secondo caso (TAVOLA II): i due cateti stanno in proporzione 3:4 tra loro
– terzo caso (TAVOLA III): caso generale (la dimostrazione Euclidea).

La tavola 1 serve ad una dimostrazione del teorema a livello principalmente sensoriale.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I
i due cateti sono uguali

Per la prima dimostrazione abbiamo una cornice che corrisponde a uno spazio complesso, cioè:
– un triangolo rettangolo isoscele bianco
– lo spazio corrispondente ai quadrati costruiti sui tre lati:

Nel centro è collocato il triangolo bianco. Il resto del materiale è costituito dal quadrato diviso in otto triangoli a mezzo delle due diagonali e delle due mediane:

La dimostrazione del primo caso è estremamente intuitiva. In questo incastro:

– i due quadrati dei cateti sono divisi per mezzo della diagonale in due triangoli
– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in quattro triangoli per mezzo di due diagonali.

Gli otto triangoli sono tutti uguali tra loro, quindi:
– i triangoli dei due cateti possono entrare nel quadrato dell’ipotenusa
– i quattro triangoli dell’ipotenusa possono riempire i due quadrati dei cateti.

Gli spostamenti sono molto divertenti, anche perchè i triangoli dei due cateti hanno lo stesso colore, mentre i quattro triangoli dell’ipotenusa hanno un colore diverso.
E’ facile vedere che i triangoli gialli e gli altri blu, fanno tra loro un quadrato col lato uguale al cateto di quello posto nel centro della cornice.
Gli altri 4 triangoli rossi, disposti in modo che i vertici siano tutti uniti al centro e le ipotenuse al di fuori, formano un quadrato, il cui lato corrisponde all’ipotenusa del triangolo che sta nella cornice.
Così gli 8 triangoli si possono collocare nella cornice riempendo tutto lo spazio, e dimostrando questo primo caso del teorema di Pitagora.
Con questa dimostrazione siamo partiti da un fatto noto, cioè il teorema di Pitagora, e da una cornice vuota che lo rappresenta; e abbiamo dimostrato il teorema riempiendo i vuoti della cornice.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 1
Esplorazione sensoriale del teorema di Pitagora

Mostriamo il materiale dicendo:
– “Le figure a destra della tavola mostrano i quadrati dei due lati del triangolo rettangolo isoscele, divisi a metà dalla linea diagonale, così da formare 2 triangoli interni per ogni quadrato, uno giallo e uno blu”
– “Il quadrato dell’ipotenusa è diviso da due linee diagonali , così da formare 4 triangoli interni rossi”
– “Gli 8 triangoli totali (2 gialli, 2 blu e 4 rossi) sono tutti identici, quindi con i triangoli gialli e blu dei quadrati dei cateti possiamo riempire lo spazio occupato dai 4 triangoli rossi del quadrato dell’ipotenusa”


– “Viceversa possiamo usare i 4 triangoli rossi per occupare lo spazio dei quadrati blu e giallo dei cateti”.

La sostituzione di questi differenti pezzi mobili è molto interessante, anche perchè presentano colori differenti. L’esercizio inoltre ricorda gli esercizi di equivalenza fatti con gli incastri delle frazioni.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 2

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora I

Presentazione:
– osserviamo lo schema di figure a destra della tavola
– rimuoviamo il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?”. E’ un triangolo rettangolo isoscele

– rimettiamo al suo posto il triangolo bianco indichiamo i quadrati. Chiediamo ai bambini: “Cosa sono?” Sono quadrati
– diciamo ai bambini: “Oggi conosceremo insieme la relazione tra quadrati e triangoli.”
– indichiamo i lati del triangolo e facciamo notare che i quadrati adiacenti ai lati del triangolo hanno la loro stessa lunghezza
– Chiediamo: “Quale lato del triangolo ha la stessa lunghezza del triangolo grande rosso?” L’ipotenusa
– indichiamo l’ipotenusa e diciamo: “L’ipotenusa ha la stessa lunghezza del quadrato rosso”
– esaminiamo i pezzi per mostrare le loro equivalenze


– passiamo allo schema di figure a sinistra della tavola e diciamo: “Questi sono gli stessi quadrati divisi da diagonali. Ci sono molte equivalente tra le figure dello schema”
– rimuoviamo interamente il quadrato rosso (formato da 4 triangoli) e incoraggiamo i bambini a notare che è equivalente alla somma dei quadrati gialli e blu combinati
– nota altre equivalenze, ad esempio che il quadrato giallo è metà del quadrato rosso, come ne è la metà anche il quadrato blu


– al termine dell’esperienza, diamo la regola: “Nel triangolo rettangolo, la somma del quadrato costruita sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa”.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 3

Introduzione:
– diamo ai bambini qualche semplice informazione su Pitagora, dicendo che fu un grande matematico dell’Antica Grecia, nato nell’isola di Samo nel 500 aC. Egli fondò la sua scuola a Crotone (Italia meridionale), che era allora parte della Magna Grecia
– troviamo Pitagora nella linea del tempo.
Questa breve introduzione è molto utile perchè richiama il nome del materiale, cioè la tavola del teorema di Pitagora; inoltre il collegamento con la storia fa sentire ed apprezzare ai bambini il proprio legame con gli uomini del passato.

Presentazione

Primo passaggio: sostituzione dei pezzi:
– iniziamo con la tavola contenente tutti i pezzi già disposti nel modo corretto per dare una prima forte impressione

– togliamo tutti i pezzi dal primo schema


– prendiamo i pezzi dell’altro schema e mettiamoli nelle cornici del primo, cioè muoviamo i pezzi da un lato all’altro


Secondo passaggio:
– dallo schema nel quale i quadrati sono divisi dalle diagonali formando i triangoli colorati, togliamo i triangoli gialli e quelli blu. Chiediamo a un bambino di riempire i due quadrati dello schema a sinistra utilizzando i quattro triangoli rosso che formano il quadrato grande

– i triangoli rossi che erano sull’ipotenusa del triangolo bianco sono stati distribuiti in due quadrati posati sugli altri due lati (cateti) del triangolo bianco

– ora con i triangoli blu e gialli riempiamo lo spazio lasciato libero dai triangoli rossi: tutto ciò che era costruito sui cateti ora si trova sull’ipotenusa.

Applicazione del teorema:
– la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.

Note:
– i triangoli dello schema sono tutti triangoli isosceli.

Scopo diretto:
– introduzione sensoriale al materiale
– preparazione per gli incastri seguenti

Età:
– dagli 8 anni.


Teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA II
i due cateti sono in proporzione 3:4 

Nell’incastro i tre quadrati sono riempiti con quadratini di tre diversi colori. Il loro numero è:
– nel quadrato del cateto minore 3² = 9
– nel quadrato del cateto maggiore 4² = 16
– nel quadrato dell’ipotenusa 5² = 25.
In questo caso speciale calcolando le lunghezze dei lati per se stesse, si ha il numero di quadrati che riempiono le superfici, cioè:
3 x 3 =   9 quadrati
4 x 4 = 12 quadrati
5 x 5 =  25 quadrati
e quindi 25 = 16 + 9.

Siccome i quadratini relativi al quadrato di ogni lato sono di colore diverso, si possono disporre a disegni vari i quadratini corrispondenti ai due cateti, nel quadrato dell’ipotenusa.
Allora gli spazi relativi ai quadrati dei due cateti restano riempiti coi quadratini relativi all’ipotenusa, e rimanono di colore uguale i quadrati dei cateti.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Tavola II – Presentazione 1

Il gioco degli spostamenti è evidente:
– i due quadrati dei cateti possono essere riempiti completamente con i quadratini dell’ipotenusa, diventando dello stesso colore
– il quadrato dell’ipotenusa può essere composto in due colori creando bei disegni.

Così rimane materialmente ed esteticamente dimostrata la relazione pitagorica cambiando i quadratini mobili negli spazi della cornice che si trova nel materiale.

Tavola II – Presentazione 2

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora II

Presentazione:
– rimuoviamo dalla tavola il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?” E’ un triangolo rettangolo scaleno
– diciamo: “Questa è un’altra dimostrazione della teoria di Pitagora”.
– diciamo: “In questa tavola i quadrati sono divisi in quadratini tutti uguali. Possiamo usarla per verificare che la somma dei quadrati dei lati è uguale al quadrato dell’ipotenusa. “
– chiediamo l’aiuto dei bambini per inserire tutti i quadratini blu e gialli nella cornice quadrato grande e i quadratini rossi nelle cornici dei quadrati medio e piccolo:


– chiediamo ai bambini cos’hanno scoperto e chiediamo se quello che abbiamo fatto con i quadratini colorati può essere scritto
– facciamolo insieme:


– dopo essersi esercitati con la tavola i bambini possono risolvere problemi detti a voce, ad esempio possiamo dare la misura dell’ipotenusa e di un lato di un triangolo, e i bambini devono trovare la lunghezza dell’altro lato.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Nota:
Si tratta della terna pitagorica. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Tavola II – Presentazione 3

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora II

Presentazione:
– mostriamo il materiale e diciamo: “Qui i numeri magici sono 3, 4 e 5”
– “In questa figura i tre quadrati sono riempiti con piccoli quadratini tutti uguali e in differenti colori”
– con questo materiale il gioco delle sostituzioni viene spontaneo, per cui basta invitare il bambino a sperimentare il materiale in tutte le possibili combinazioni
– facciamo notare che i due quadrati costruiti sui due cateti (giallo e blu) possono essere interamente riempiti con i quadratini rossi del quadrato costruito sull’ipotenusa


– facciamo notare anche che i quadratini giallo e blu insieme possono riempire lo spazio occupato dal quadrato rosso
– facciamo notare che il triangolo bianco centrale è un triangolo rettangolo scaleno.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Tavola II – Presentazione 4

Materiali:
– tavola del teorema di Pitagora II: tavola nella quale i lati del triangolo sono in proporzione 3:4. In questo caso c’è un solo schema sulla tavola. Il triangolo bianco è un triangolo rettangolo scaleno.

Presentazione:
– per prima cosa contiamo i pezzi. Questa tavola aggiunge elementi di aritmetica agli elementi sensoriali. Evidenziamo che il triangolo bianco centrale è un triangolo scaleno
– togliamo dallo schema tutti i quadratini gialli e tutti i quadratini blu. Proviamo a riempire gli spazi vuotati con i quadratini rossi
– al termine ci troveremo con lo spazio per il quadrato dell’ipotenusa vuoto. Riempiamo questo spazio con i quadratini gialli e con quelli blu
– nel fare questa operazione si possono ottenere combinazioni di giallo e blu molto interessanti


– contiamo i quadratini. Possiamo scrivere il conteggio così:

– la somma dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.

Teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA III
caso generale

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Il materiale che serve a questa dimostrazione Il terzo incastro è di difficile descrizione e si presta a un notevole esercizio intellettuale.
Il materiale originale prevedeva una tavola 44 x 24 cm, con quattro incavi rettangolari ai due lati e al centro la cornice che, per la sua determinazione di forma, presenta appunto un teorema già stabilito, che bisogna dimostrare.

I pezzi mobili possono formare varie combinazioni per dimostrare vari principi del teorema, e cioè:
– due quadrilateri aventi base uguale e altezza uguale sono equivalenti
– due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro.
Occorre dimostrare che la somma dei due rettangoli equivale alla somma  dei quadrati costruiti sui cateti. La dimostrazione materiale si fa con lo spostamento delle figure.

Nell’incastro in posizione normale:

– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in due rettangoli
– il secondo lato è determinato dalle divisioni dell’ipotenusa, su cui cade l’altezza del triangolo abbassata dal vertice opposto.

Nel materiale troviamo anche due romboidi che presentano:
– un lato uguale al lato del quadrato piccolo
– un lato uguale al lato del quadrato grande
– un lato uguale all’ipotenusa.

L’altezza minore dei due romboidi corrisponde all’altezza (o lato minore) dei rettangoli.

L’altezza maggiore corrisponde ai lati dei quadrati dei cateti:

Non è necessario che il bambino conosca già tutte queste corrispondenze dimensionali: vedrà dei pezzi a incastro rossi blu e gialli, e semplicemente li sposterà inserendoli negli incavi della tavola.

A far ragionare il bambino sul teorema è il suo agire materialmente inserendo i pezzi mobili sui fondi della tavola, e non la conoscenza astratta delle corrispondenze dimensionali dei lati e delle altezze delle figure geometriche.
In questo modo l’esercizio diventa molto semplice e interessante, e il materiale si presta dare diverse dimostrazioni.

TAVOLA III – Presentazione 1

– Partiamo dall’incastro riempito normalmente:

– togliamo prima i due rettangoli dell’ipotenusa e mettiamoli nei lunghi incavi laterali della tavola
– facciamo scorrere verso il basso il triangolo bianco fino a che l’ipotenusa tocca il lato inferiore del quadrato. Rimane vuoto, al di sopra del triangolo, uno spazio che evidentemente equivale al quadrato. Questo spazio vuoto equivale evidentemente al quadrato. Esso ha la forma di uno strano poligono a sei lati, però prolungando la linea corrispondente all’altezza del triangolo, subito si capisce che lo spazio si può dividere in due romboidi, uno maggiore e uno minore.
– riempiamo lo spazio rimasto coi due romboidi giallo e blu: le due figure riempiono perfettamente lo spazio.

Vediamo così che è sempre lo stesso spazio riempito:
– prima con 1 triangolo + 2 rettangoli
– poi con 1 triangolo + 2 romboidi.

Questo dimostra che la somma dei due rettangoli (quadrato dell’ipotenusa) è equivalente alla somma dei due romboidi.

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TAVOLA III – Presentazione 2

Consideriamo poi i romboidi invece dei rettangoli, per dimostrare la loro equivalenza coi due quadrati sui cateti:
– cominciamo dal quadrato maggiore e partiamo dall’incastro in posizione normale:

– consideriamo lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato maggiore: per farlo togliamo i pezzi e vuotiamolo
– riempiamo lo spazio vuotato con il triangolo e il quadrato grande in posizione normale
– ora togliamo il quadrato del cateto maggiore (giallo)
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto maggiore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto maggiore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto maggiore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide grande giallo:

– allo stesso modo possiamo considerare anche lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato minore: per farlo togliamo prima il quadrato del cateto minore
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto minore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto minore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto minore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide piccolo blu:

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TAVOLA III – Presentazione 3

Con queste attività vogliamo dimostrare le equivalenze tra i romboidi e i rettangoli e tra i romboidi e i quadrati, utilizzando gli incavi lunghi che si trovano ai lati della tavola. Questi incavi dimostrano che i pezzi hanno la stessa altezza.

– Partiamo dall’incastro in posizione normale:

– togliamo i due rettangoli che insieme riempiono uno spazio uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa e mettiamoli insieme con i rombi negli incavi di sinistra (i maggiori nell’incavo più largo e i minori in quello più stretto):

Vediamo come le figure incastrate hanno uguale altezza. Basterà poi far combaciare i pezzi secondo la base per verificare l’uguaglianza: dunque le figure sono a due a due equivalenti.

Torniamo poi nella disposizione normale dell’incastro e procediamo allo stesso modo con i quadrati:

Negli spazi paralleli di destra si possono disporre il quadrato grande in fila col romboide grande, disposto però in un altro senso (cioè il senso dell’altezza maggiore).
Allo stesso modo si possono mettere nell’incavo minore di destra il quadrato piccolo e il romboide piccolo: quadrato e romboide hanno la stessa altezza e affiancandoli possiamo verificare che hanno base uguale. Dunque i quadrati e i romboidi sono equivalenti.
I rettangoli e i quadrati, equivalenti ai romboidi, sono perciò equivalenti tra loro.
Il teorema risulta dimostrato.

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TAVOLA III – Presentazione 4

Materiali:
– tavola del teorema di Pitagora III

Presentazione:
– rimuoviamo i rettangoli rossi dal telaio
– facciamo scorrere il triangolo bianco verso il basso e posizioniamo il parallelogramma giallo e blu nel telaio. Facciamo notare ai bambini che i parallelogrammi sono equivalenti ai rettangoli rossi. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– rimuoviamo il quadrato giallo e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Mettiamo il parallelogramma giallo nello spazio vuoto. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma giallo è equivalente al parallelogramma giallo. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– rimuoviamo il quadrato blu e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Inseriamo nello spazio vuoto il parallelogramma blu. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma blu è equivalente al quadrato blu. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– diciamo: “Ora sappiamo che i lati di una figura con lati uguali e base uguale sono equivalenti.”
– mostriamo quanto abbiamo detto posizionando il quadrato giallo accanto al parallelogramma giallo confrontando base e altezza
– diciamo ai bambini: “Dal momento che le figure gialle sono equivalenti e il parallelogramma giallo è equivalente al rettangolo rosso, possiamo dire che il quadrato giallo e il rettangolo rosso sono equivalenti?”. Sì
– dimostriamo che il quadrato blu è equivalente al parallelogramma blu.
– diciamo ai bambini: “Poiché il quadrato blu e il parallelogramma blu sono equivalenti, cosa possiamo dire del quadrato blu e del piccolo rettangolo rosso?” Sono equivalenti.

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Tavola III – Presentazione 5

La tavola III, per essere precisi, non dimostra tanto il teorema di Pitagora quanto la teoria di Euclide. Si tratta del famoso teorema del pons asinorum (ponte degli asini) della geometria euclidea che afferma: “Gli angoli opposti ai due lati uguali di un triangolo isoscele sono congruenti“. Si tratta, in sostanza, del contenuto della proposizione 5 nel libro I degli Elementi di Euclide.
Per prima cosa i bambini noteranno che il triangolo centrale dello schema della tavola è un triangolo rettangolo scaleno, uguale a quello usato nella tavola II.

I principi già studiati o suggeriti attraverso gli esercizi sensoriali con le altre tavole e che dimostrano il teorema sono:
– due quadrilateri che hanno base uguale e altezza uguale sono equivalenti
– due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro
– il quadrato formato sull’ipotenusa è diviso in due rettangoli. La divisione è fatta prolungando perpendicolarmente la linea che va dall’apice del triangolo bianco all’ipotenusa
– nel materiale sono compresi anche due romboidi, ognuno dei quali ha un lato uguale rispettivamente al quadrato grande e al quadrato piccolo dei lati del triangolo bianco, e l’altro lato uguale all’ipotenusa
– le altezze minori dei due romboidi corrispondono alle rispettive altezze (lati corti) dei rettangoli
– il lato maggiore corrisponde rispettivamente al lato del quadrato grande e del quadrato piccolo dei lati del triangolo.

Non è necessario che il bambino conosca tutte queste corrispondenze. Egli vede i pezzi colorati di un inserto e semplicemente lo sposta, mettendolo nelle cornici. Questa attività è ciò che dà al bambino l’opportunità di ragionare sul teorema, e non l’idea astratta delle corrispondenze e delle relazioni tra le figure.

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TAVOLA III – Presentazione 6

Con questa tavola porteremo avanti due dimostrazioni:
– dimostrazione A, basata sul movimento della mano usata per scambiare i pezzi nelle cornici; questo porterà all’applicazione del concetto di equivalenza, in particolare l’equivalenza tra rettangoli e parallelogrammi e l’equivalenza tra quadrati e parallelogrammi
– dimostrazione B,  basata sulle relazioni tra le linee nelle figure equivalenti.

Dimostrazione A:
– rimuoviamo i rettangoli rossi dalla cornice centrale. Proviamo a mettere i parallelogrammi giallo e blu (che si trovano nelle cornici laterali) al loro posto. Ai primi tentativi non ci riusciremo, ma se facciamo scivolare verso il basso il triangolo bianco il gioco è fatto. Questo dimostra l’equivalenza tra i rettangoli rossi e i parallelogrammi giallo e blu
– rimettiamo tutti i pezzi al loro posto. Ora lavoriamo con le figure blu
– proviamo a mettere il parallelogramma blu al posto del quadrato blu: non è possibile
– muoviamo il triangolo bianco verso l’alto e verso destra nello spazio del quadrato blu. Ora il parallelogramma blu potrà essere inserito senza problemi
– facciamo lo stesso con i pezzi gialli
abbiamo così dimostrato la qualità transitiva dell’equivalenza:
A=B
B=C
A=C proprietà transitiva

Dimostrazione B:
– prendiamo il più piccolo dei rettangoli rosi e mettiamolo nella cornice di sinistra con il parallelogramma blu. Lo spazio è lungo abbastanza per i due pezzi. La larghezza della cornice rappresenta rappresenta le altezze delle due figure: le due altezze quindi sono uguali
– mettiamo le due figure fianco a fianco per dimostrare che le basi sono uguali. Due parallelogrammi che hanno la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
– facciamo la stessa cosa con il rettangolo rosso grande e il parallelogramma giallo. Rettangoli e parallelogrammi con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
– ripetere l’attività con i parallelogrammi e i quadrati blu e giallo. Ora useremo le cornici di destra
– mettendo i pezzi nelle cornici dimostreremo che le altezze sono le stesse
– controlliamo anche la lunghezza delle basi delle due figure affiancando i due pezzi tra loro
– parallelogrammi e quadrati con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Conclusione:
– prendiamo le figure blu e il rettangolo rosso più piccolo
– il parallelogramma blu ha la stessa altezza e la stessa base del quadrato e del rettangolo rosso. Quindi il quadrato e il rettangolo sono equivalenti
– prendiamo le figure gialle e il rettangolo rosso più grande: esse sono equivalenti.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Scopo:
– comprendere il teorema
– risolvere problemi in modo pratico (dopo i 10 anni)

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Età:
– a livello sensoriale, dopo aver presentato le altre due tavole del teorema di Pitagora (8 anni)
– per applicazioni a problemi geometrici a partire dai 10 anni.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

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