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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori utilizzando le tre tavole.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

Le neuroscienze ci dicono che la comprensione della matematica presenta aspetti sia geometrico-percettivi sia simbolico-linguistici ed è necessario allenare il cervello a usare contemporaneamente entrambe le aree cerebrali.

Spesso la matematica è presentata ai bambini in modo puramente “linguistico”, come una lista di istruzioni da memorizzare. La memoria linguistica è molto potente e durevole, quindi i bambini inizialmente imparano con poco sforzo, ma quando la quantità di formule da memorizzare diventa eccessiva, la matematica diventa per loro materia arida e incomprensibile.

Per questo è necessario insegnare la matematica prima di tutto attraverso stimoli di tipo percettivo-sensoriale, soprattutto attraverso le mani, perché le aree cerebrali che ci permettono i movimenti fini sono molto vicine a quelle che ci fanno percepire le forme geometriche e le quantità approssimate.

Il materiale usato per la presentazione è offerto da:

I due testi fondamentali per l’insegnamento della matematica col metodo Montessori sono “Psicoaritmetica” e “Psicogeometria”, pubblicati per la prima volta nel 1934 in spagnolo quando l’autrice, a causa delle persecuzioni del fascismo, si trovava in esilio a Barcellona.
Le tesi esposte nelle due pubblicazioni, messe a confronto con le recenti scoperte delle neuroscienze, evidenziano marcati elementi di sintonia e attualità.

Prendiamo ad esempio il teorema di Pitagora: la sua formulazione “linguistica” recita che “in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti”.
Lo sforzo per la memoria linguistica è modesto, dunque si tende a partire dall’enunciato del teorema, presentando la sua dimostrazione, e poi si fanno seguire gli esercizi.
L’idea montessoriana è diversa, ed è molto semplice: bisogna partire dalle “cose”, cioè dalle rappresentazioni concrete degli oggetti geometrici.

“Non fu dalle cose, che i primi geometri trassero le loro conoscenze? Non furono corrispondenze e relazioni tra cose, che stimolarono qualche mente attiva e interessata a formulare degli assiomi e quindi dei teoremi?“
“Il modo con cui un concetto è stato compreso per la prima volta dagli esseri umani è il modo naturale per presentare quel concetto ai bambini”.
Maria Montessori

Sulla base di questa idea Maria Montessori introdusse nei due testi un’enorme quantità di materiali, che con la loro muta eloquenza permettono ai bambini di scoprire, in modo indipendente, la geometria e l’aritmetica.

“Nella scuola tradizionale lo studio del teorema di Pitagora rappresenta spesso un grosso scoglio da superare per i bambini, tanto che era chiamato “il ponte degli asini” (asino, si sa, era l’epiteto usato per gli studenti meno brillanti). Quando interrogati, gli studenti dovevano illustrare la dimostrazione del teorema disegnandola alla lavagna. Quelli che erano in grado di farlo avevano memorizzato sia il teorema sia la sua dimostrazione, ma erano in pochi quelli che l’avevano realmente compreso. Disegnando linee i bambini riproducono parallelogrammi equivalenti a quadrati, e rettangoli equivalenti a parallelogrammi e spiegano le ragioni dell’equivalenza. Le linee sulla lavagna si moltiplicano e alla fine il tutto diventa un labirinto che rispecchia il labirinto che c’è nella mente del bambino.
Anche se il postulato che recita: ‘Il quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui sue altri lati’ è ben fissato nella mia mente, devo confessare che la prima volta che lo ho realmente compreso è stata quando ho visto la dimostrazione fatta con gli incastri delle tavole di Pitagora a bambini di 8 anni. Ma nella mente di tutte le persone a cui l’ho chiesto, il famoso teorema si riferisce soltanto ai quadrati. Nessuna altra figura geometrica gode dello stesso privilegio. Noi siamo in grado di utilizzare tutte le figure, purché esse siano equivalenti.
Questo è un esempio di cosa succede quando il bambino è liberato dalla schiavitù dei libri di testo e il suo potenziale intellettivo è stimolato e aiutato attraverso chiavi di conoscenza che gli permettono di investigare e creare con gioia ed entusiasmo.
I contenuti del programma scolastico sono coperti, ma se ne aggiungono molti altri ancora, e tutto con la piena comprensione e la gioia di imparare di una mente che ricerca e che vede le relazioni tra le cose.
Ciò accade non solo per quanto riguarda la geometria, ma anche per quanto riguarda il resto della matematica. Non è questo anche l’obiettivo dei sostenitori della nuova matematica?“
Mario Montessori – Communications 1 (1969)

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

Il materiale per il teorema di Pitagora è composto da 3 tavole con pezzi ad incastro blu, rossi, gialli e bianchi.

Le tre tavole  rappresentano tre casi del teorema:
– primo caso (TAVOLA I): i due cateti sono uguali
– secondo caso (TAVOLA II): i due cateti stanno in proporzione 3:4 tra loro
– terzo caso (TAVOLA III): caso generale (la dimostrazione Euclidea).

La tavola 1 serve ad una dimostrazione del teorema a livello principalmente sensoriale.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I
i due cateti sono uguali

Per la prima dimostrazione abbiamo una cornice che corrisponde a uno spazio complesso, cioè:
– un triangolo rettangolo isoscele bianco
– lo spazio corrispondente ai quadrati costruiti sui tre lati:

Nel centro è collocato il triangolo bianco. Il resto del materiale è costituito dal quadrato diviso in otto triangoli a mezzo delle due diagonali e delle due mediane:

La dimostrazione del primo caso è estremamente intuitiva. In questo incastro:

– i due quadrati dei cateti sono divisi per mezzo della diagonale in due triangoli
– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in quattro triangoli per mezzo di due diagonali.

Gli otto triangoli sono tutti uguali tra loro, quindi:
– i triangoli dei due cateti possono entrare nel quadrato dell’ipotenusa
– i quattro triangoli dell’ipotenusa possono riempire i due quadrati dei cateti.

Gli spostamenti sono molto divertenti, anche perchè i triangoli dei due cateti hanno lo stesso colore, mentre i quattro triangoli dell’ipotenusa hanno un colore diverso.
E’ facile vedere che i triangoli gialli e gli altri blu, fanno tra loro un quadrato col lato uguale al cateto di quello posto nel centro della cornice.
Gli altri 4 triangoli rossi, disposti in modo che i vertici siano tutti uniti al centro e le ipotenuse al di fuori, formano un quadrato, il cui lato corrisponde all’ipotenusa del triangolo che sta nella cornice.
Così gli 8 triangoli si possono collocare nella cornice riempendo tutto lo spazio, e dimostrando questo primo caso del teorema di Pitagora.
Con questa dimostrazione siamo partiti da un fatto noto, cioè il teorema di Pitagora, e da una cornice vuota che lo rappresenta; e abbiamo dimostrato il teorema riempiendo i vuoti della cornice.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 1
Esplorazione sensoriale del teorema di Pitagora

Mostriamo il materiale dicendo:
– “Le figure a destra della tavola mostrano i quadrati dei due lati del triangolo rettangolo isoscele, divisi a metà dalla linea diagonale, così da formare 2 triangoli interni per ogni quadrato, uno giallo e uno blu”
– “Il quadrato dell’ipotenusa è diviso da due linee diagonali , così da formare 4 triangoli interni rossi”
– “Gli 8 triangoli totali (2 gialli, 2 blu e 4 rossi) sono tutti identici, quindi con i triangoli gialli e blu dei quadrati dei cateti possiamo riempire lo spazio occupato dai 4 triangoli rossi del quadrato dell’ipotenusa”


– “Viceversa possiamo usare i 4 triangoli rossi per occupare lo spazio dei quadrati blu e giallo dei cateti”.

La sostituzione di questi differenti pezzi mobili è molto interessante, anche perchè presentano colori differenti. L’esercizio inoltre ricorda gli esercizi di equivalenza fatti con gli incastri delle frazioni.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 2

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora I

Presentazione:
– osserviamo lo schema di figure a destra della tavola
– rimuoviamo il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?”. E’ un triangolo rettangolo isoscele

– rimettiamo al suo posto il triangolo bianco indichiamo i quadrati. Chiediamo ai bambini: “Cosa sono?” Sono quadrati
– diciamo ai bambini: “Oggi conosceremo insieme la relazione tra quadrati e triangoli.”
– indichiamo i lati del triangolo e facciamo notare che i quadrati adiacenti ai lati del triangolo hanno la loro stessa lunghezza
– Chiediamo: “Quale lato del triangolo ha la stessa lunghezza del triangolo grande rosso?” L’ipotenusa
– indichiamo l’ipotenusa e diciamo: “L’ipotenusa ha la stessa lunghezza del quadrato rosso”
– esaminiamo i pezzi per mostrare le loro equivalenze


– passiamo allo schema di figure a sinistra della tavola e diciamo: “Questi sono gli stessi quadrati divisi da diagonali. Ci sono molte equivalente tra le figure dello schema”
– rimuoviamo interamente il quadrato rosso (formato da 4 triangoli) e incoraggiamo i bambini a notare che è equivalente alla somma dei quadrati gialli e blu combinati
– nota altre equivalenze, ad esempio che il quadrato giallo è metà del quadrato rosso, come ne è la metà anche il quadrato blu


– al termine dell’esperienza, diamo la regola: “Nel triangolo rettangolo, la somma del quadrato costruita sui cateti è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa”.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

TAVOLA I – Presentazione 3

Introduzione:
– diamo ai bambini qualche semplice informazione su Pitagora, dicendo che fu un grande matematico dell’Antica Grecia, nato nell’isola di Samo nel 500 aC. Egli fondò la sua scuola a Crotone (Italia meridionale), che era allora parte della Magna Grecia
– troviamo Pitagora nella linea del tempo.
Questa breve introduzione è molto utile perchè richiama il nome del materiale, cioè la tavola del teorema di Pitagora; inoltre il collegamento con la storia fa sentire ed apprezzare ai bambini il proprio legame con gli uomini del passato.

Presentazione

Primo passaggio: sostituzione dei pezzi:
– iniziamo con la tavola contenente tutti i pezzi già disposti nel modo corretto per dare una prima forte impressione

– togliamo tutti i pezzi dal primo schema


– prendiamo i pezzi dell’altro schema e mettiamoli nelle cornici del primo, cioè muoviamo i pezzi da un lato all’altro


Secondo passaggio:
– dallo schema nel quale i quadrati sono divisi dalle diagonali formando i triangoli colorati, togliamo i triangoli gialli e quelli blu. Chiediamo a un bambino di riempire i due quadrati dello schema a sinistra utilizzando i quattro triangoli rosso che formano il quadrato grande

– i triangoli rossi che erano sull’ipotenusa del triangolo bianco sono stati distribuiti in due quadrati posati sugli altri due lati (cateti) del triangolo bianco

– ora con i triangoli blu e gialli riempiamo lo spazio lasciato libero dai triangoli rossi: tutto ciò che era costruito sui cateti ora si trova sull’ipotenusa.

Applicazione del teorema:
– la somma dei quadrati costruiti sui cateti di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.

Note:
– i triangoli dello schema sono tutti triangoli isosceli.

Scopo diretto:
– introduzione sensoriale al materiale
– preparazione per gli incastri seguenti

Età:
– dagli 8 anni.


Teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA II
i due cateti sono in proporzione 3:4 

Nell’incastro i tre quadrati sono riempiti con quadratini di tre diversi colori. Il loro numero è:
– nel quadrato del cateto minore 3² = 9
– nel quadrato del cateto maggiore 4² = 16
– nel quadrato dell’ipotenusa 5² = 25.
In questo caso speciale calcolando le lunghezze dei lati per se stesse, si ha il numero di quadrati che riempiono le superfici, cioè:
3 x 3 =   9 quadrati
4 x 4 = 12 quadrati
5 x 5 =  25 quadrati
e quindi 25 = 16 + 9.

Siccome i quadratini relativi al quadrato di ogni lato sono di colore diverso, si possono disporre a disegni vari i quadratini corrispondenti ai due cateti, nel quadrato dell’ipotenusa.
Allora gli spazi relativi ai quadrati dei due cateti restano riempiti coi quadratini relativi all’ipotenusa, e rimanono di colore uguale i quadrati dei cateti.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori
Tavola II – Presentazione 1

Il gioco degli spostamenti è evidente:
– i due quadrati dei cateti possono essere riempiti completamente con i quadratini dell’ipotenusa, diventando dello stesso colore
– il quadrato dell’ipotenusa può essere composto in due colori creando bei disegni.

Così rimane materialmente ed esteticamente dimostrata la relazione pitagorica cambiando i quadratini mobili negli spazi della cornice che si trova nel materiale.

Tavola II – Presentazione 2

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora II

Presentazione:
– rimuoviamo dalla tavola il triangolo bianco e chiediamo ai bambini: “Che tipo di triangolo è?” E’ un triangolo rettangolo scaleno
– diciamo: “Questa è un’altra dimostrazione della teoria di Pitagora”.
– diciamo: “In questa tavola i quadrati sono divisi in quadratini tutti uguali. Possiamo usarla per verificare che la somma dei quadrati dei lati è uguale al quadrato dell’ipotenusa. “
– chiediamo l’aiuto dei bambini per inserire tutti i quadratini blu e gialli nella cornice quadrato grande e i quadratini rossi nelle cornici dei quadrati medio e piccolo:


– chiediamo ai bambini cos’hanno scoperto e chiediamo se quello che abbiamo fatto con i quadratini colorati può essere scritto
– facciamolo insieme:


– dopo essersi esercitati con la tavola i bambini possono risolvere problemi detti a voce, ad esempio possiamo dare la misura dell’ipotenusa e di un lato di un triangolo, e i bambini devono trovare la lunghezza dell’altro lato.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Nota:
Si tratta della terna pitagorica. Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome viene dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.

Tavola II – Presentazione 3

Materiale:
– tavola del teorema di Pitagora II

Presentazione:
– mostriamo il materiale e diciamo: “Qui i numeri magici sono 3, 4 e 5”
– “In questa figura i tre quadrati sono riempiti con piccoli quadratini tutti uguali e in differenti colori”
– con questo materiale il gioco delle sostituzioni viene spontaneo, per cui basta invitare il bambino a sperimentare il materiale in tutte le possibili combinazioni
– facciamo notare che i due quadrati costruiti sui due cateti (giallo e blu) possono essere interamente riempiti con i quadratini rossi del quadrato costruito sull’ipotenusa


– facciamo notare anche che i quadratini giallo e blu insieme possono riempire lo spazio occupato dal quadrato rosso
– facciamo notare che il triangolo bianco centrale è un triangolo rettangolo scaleno.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Tavola II – Presentazione 4

Materiali:
– tavola del teorema di Pitagora II: tavola nella quale i lati del triangolo sono in proporzione 3:4. In questo caso c’è un solo schema sulla tavola. Il triangolo bianco è un triangolo rettangolo scaleno.

Presentazione:
– per prima cosa contiamo i pezzi. Questa tavola aggiunge elementi di aritmetica agli elementi sensoriali. Evidenziamo che il triangolo bianco centrale è un triangolo scaleno
– togliamo dallo schema tutti i quadratini gialli e tutti i quadratini blu. Proviamo a riempire gli spazi vuotati con i quadratini rossi
– al termine ci troveremo con lo spazio per il quadrato dell’ipotenusa vuoto. Riempiamo questo spazio con i quadratini gialli e con quelli blu
– nel fare questa operazione si possono ottenere combinazioni di giallo e blu molto interessanti


– contiamo i quadratini. Possiamo scrivere il conteggio così:

– la somma dei quadrati costruiti sui lati di un triangolo rettangolo è uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa dello stesso triangolo.

Teorema di Pitagora col metodo Montessori
TAVOLA III
caso generale

In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.
Il materiale che serve a questa dimostrazione Il terzo incastro è di difficile descrizione e si presta a un notevole esercizio intellettuale.
Il materiale originale prevedeva una tavola 44 x 24 cm, con quattro incavi rettangolari ai due lati e al centro la cornice che, per la sua determinazione di forma, presenta appunto un teorema già stabilito, che bisogna dimostrare.

I pezzi mobili possono formare varie combinazioni per dimostrare vari principi del teorema, e cioè:
– due quadrilateri aventi base uguale e altezza uguale sono equivalenti
– due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro.
Occorre dimostrare che la somma dei due rettangoli equivale alla somma  dei quadrati costruiti sui cateti. La dimostrazione materiale si fa con lo spostamento delle figure.

Nell’incastro in posizione normale:

– il quadrato dell’ipotenusa è diviso in due rettangoli
– il secondo lato è determinato dalle divisioni dell’ipotenusa, su cui cade l’altezza del triangolo abbassata dal vertice opposto.

Nel materiale troviamo anche due romboidi che presentano:
– un lato uguale al lato del quadrato piccolo
– un lato uguale al lato del quadrato grande
– un lato uguale all’ipotenusa.

L’altezza minore dei due romboidi corrisponde all’altezza (o lato minore) dei rettangoli.

L’altezza maggiore corrisponde ai lati dei quadrati dei cateti:

Non è necessario che il bambino conosca già tutte queste corrispondenze dimensionali: vedrà dei pezzi a incastro rossi blu e gialli, e semplicemente li sposterà inserendoli negli incavi della tavola.

A far ragionare il bambino sul teorema è il suo agire materialmente inserendo i pezzi mobili sui fondi della tavola, e non la conoscenza astratta delle corrispondenze dimensionali dei lati e delle altezze delle figure geometriche.
In questo modo l’esercizio diventa molto semplice e interessante, e il materiale si presta dare diverse dimostrazioni.

TAVOLA III – Presentazione 1

– Partiamo dall’incastro riempito normalmente:

– togliamo prima i due rettangoli dell’ipotenusa e mettiamoli nei lunghi incavi laterali della tavola
– facciamo scorrere verso il basso il triangolo bianco fino a che l’ipotenusa tocca il lato inferiore del quadrato. Rimane vuoto, al di sopra del triangolo, uno spazio che evidentemente equivale al quadrato. Questo spazio vuoto equivale evidentemente al quadrato. Esso ha la forma di uno strano poligono a sei lati, però prolungando la linea corrispondente all’altezza del triangolo, subito si capisce che lo spazio si può dividere in due romboidi, uno maggiore e uno minore.
– riempiamo lo spazio rimasto coi due romboidi giallo e blu: le due figure riempiono perfettamente lo spazio.

Vediamo così che è sempre lo stesso spazio riempito:
– prima con 1 triangolo + 2 rettangoli
– poi con 1 triangolo + 2 romboidi.

Questo dimostra che la somma dei due rettangoli (quadrato dell’ipotenusa) è equivalente alla somma dei due romboidi.

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TAVOLA III – Presentazione 2

Consideriamo poi i romboidi invece dei rettangoli, per dimostrare la loro equivalenza coi due quadrati sui cateti:
– cominciamo dal quadrato maggiore e partiamo dall’incastro in posizione normale:

– consideriamo lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato maggiore: per farlo togliamo i pezzi e vuotiamolo
– riempiamo lo spazio vuotato con il triangolo e il quadrato grande in posizione normale
– ora togliamo il quadrato del cateto maggiore (giallo)
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto maggiore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto maggiore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto maggiore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide grande giallo:

– allo stesso modo possiamo considerare anche lo spazio occupato dal triangolo e dal quadrato minore: per farlo togliamo prima il quadrato del cateto minore
– facciamo scorrere nello spazio vuoto il triangolo, fino a che il vertice del suo angolo retto si incastra nello spazio di un angolo retto lasciato vuoto dal quadrato: il cateto minore corrisponde al lato sterno del quadrato perchè tutti i lati del quadrato spostato sono uguali al cateto minore
– è evidente che lo spazio che resta vuoto dopo aver inserito il triangolo è equivalente al quadrato portato via. Questo spazio vuoto ha la forma di un romboide: uno dei suoi lati corrisponde all’ipotenusa e l’altro al lato del quadrato, cioè al cateto minore del triangolo
– inseriamo nello spazio il romboide piccolo blu:

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TAVOLA III – Presentazione 3

Con queste attività vogliamo dimostrare le equivalenze tra i romboidi e i rettangoli e tra i romboidi e i quadrati, utilizzando gli incavi lunghi che si trovano ai lati della tavola. Questi incavi dimostrano che i pezzi hanno la stessa altezza.

– Partiamo dall’incastro in posizione normale:

– togliamo i due rettangoli che insieme riempiono uno spazio uguale al quadrato costruito sull’ipotenusa e mettiamoli insieme con i rombi negli incavi di sinistra (i maggiori nell’incavo più largo e i minori in quello più stretto):

Vediamo come le figure incastrate hanno uguale altezza. Basterà poi far combaciare i pezzi secondo la base per verificare l’uguaglianza: dunque le figure sono a due a due equivalenti.

Torniamo poi nella disposizione normale dell’incastro e procediamo allo stesso modo con i quadrati:

Negli spazi paralleli di destra si possono disporre il quadrato grande in fila col romboide grande, disposto però in un altro senso (cioè il senso dell’altezza maggiore).
Allo stesso modo si possono mettere nell’incavo minore di destra il quadrato piccolo e il romboide piccolo: quadrato e romboide hanno la stessa altezza e affiancandoli possiamo verificare che hanno base uguale. Dunque i quadrati e i romboidi sono equivalenti.
I rettangoli e i quadrati, equivalenti ai romboidi, sono perciò equivalenti tra loro.
Il teorema risulta dimostrato.

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TAVOLA III – Presentazione 4

Materiali:
– tavola del teorema di Pitagora III

Presentazione:
– rimuoviamo i rettangoli rossi dal telaio
– facciamo scorrere il triangolo bianco verso il basso e posizioniamo il parallelogramma giallo e blu nel telaio. Facciamo notare ai bambini che i parallelogrammi sono equivalenti ai rettangoli rossi. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– rimuoviamo il quadrato giallo e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Mettiamo il parallelogramma giallo nello spazio vuoto. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma giallo è equivalente al parallelogramma giallo. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– rimuoviamo il quadrato blu e facciamo scorrere verso l’alto il triangolo bianco. Inseriamo nello spazio vuoto il parallelogramma blu. Facciamo notare ai bambini che il parallelogramma blu è equivalente al quadrato blu. Rimettiamo i pezzi com’erano nella posizione iniziale
– diciamo: “Ora sappiamo che i lati di una figura con lati uguali e base uguale sono equivalenti.”
– mostriamo quanto abbiamo detto posizionando il quadrato giallo accanto al parallelogramma giallo confrontando base e altezza
– diciamo ai bambini: “Dal momento che le figure gialle sono equivalenti e il parallelogramma giallo è equivalente al rettangolo rosso, possiamo dire che il quadrato giallo e il rettangolo rosso sono equivalenti?”. Sì
– dimostriamo che il quadrato blu è equivalente al parallelogramma blu.
– diciamo ai bambini: “Poiché il quadrato blu e il parallelogramma blu sono equivalenti, cosa possiamo dire del quadrato blu e del piccolo rettangolo rosso?” Sono equivalenti.

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Tavola III – Presentazione 5

La tavola III, per essere precisi, non dimostra tanto il teorema di Pitagora quanto la teoria di Euclide. Si tratta del famoso teorema del pons asinorum (ponte degli asini) della geometria euclidea che afferma: “Gli angoli opposti ai due lati uguali di un triangolo isoscele sono congruenti“. Si tratta, in sostanza, del contenuto della proposizione 5 nel libro I degli Elementi di Euclide.
Per prima cosa i bambini noteranno che il triangolo centrale dello schema della tavola è un triangolo rettangolo scaleno, uguale a quello usato nella tavola II.

I principi già studiati o suggeriti attraverso gli esercizi sensoriali con le altre tavole e che dimostrano il teorema sono:
– due quadrilateri che hanno base uguale e altezza uguale sono equivalenti
– due figure equivalenti a una terza figura sono equivalenti tra loro
– il quadrato formato sull’ipotenusa è diviso in due rettangoli. La divisione è fatta prolungando perpendicolarmente la linea che va dall’apice del triangolo bianco all’ipotenusa
– nel materiale sono compresi anche due romboidi, ognuno dei quali ha un lato uguale rispettivamente al quadrato grande e al quadrato piccolo dei lati del triangolo bianco, e l’altro lato uguale all’ipotenusa
– le altezze minori dei due romboidi corrispondono alle rispettive altezze (lati corti) dei rettangoli
– il lato maggiore corrisponde rispettivamente al lato del quadrato grande e del quadrato piccolo dei lati del triangolo.

Non è necessario che il bambino conosca tutte queste corrispondenze. Egli vede i pezzi colorati di un inserto e semplicemente lo sposta, mettendolo nelle cornici. Questa attività è ciò che dà al bambino l’opportunità di ragionare sul teorema, e non l’idea astratta delle corrispondenze e delle relazioni tra le figure.

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TAVOLA III – Presentazione 6

Con questa tavola porteremo avanti due dimostrazioni:
– dimostrazione A, basata sul movimento della mano usata per scambiare i pezzi nelle cornici; questo porterà all’applicazione del concetto di equivalenza, in particolare l’equivalenza tra rettangoli e parallelogrammi e l’equivalenza tra quadrati e parallelogrammi
– dimostrazione B,  basata sulle relazioni tra le linee nelle figure equivalenti.

Dimostrazione A:
– rimuoviamo i rettangoli rossi dalla cornice centrale. Proviamo a mettere i parallelogrammi giallo e blu (che si trovano nelle cornici laterali) al loro posto. Ai primi tentativi non ci riusciremo, ma se facciamo scivolare verso il basso il triangolo bianco il gioco è fatto. Questo dimostra l’equivalenza tra i rettangoli rossi e i parallelogrammi giallo e blu
– rimettiamo tutti i pezzi al loro posto. Ora lavoriamo con le figure blu
– proviamo a mettere il parallelogramma blu al posto del quadrato blu: non è possibile
– muoviamo il triangolo bianco verso l’alto e verso destra nello spazio del quadrato blu. Ora il parallelogramma blu potrà essere inserito senza problemi
– facciamo lo stesso con i pezzi gialli
abbiamo così dimostrato la qualità transitiva dell’equivalenza:
A=B
B=C
A=C proprietà transitiva

Dimostrazione B:
– prendiamo il più piccolo dei rettangoli rosi e mettiamolo nella cornice di sinistra con il parallelogramma blu. Lo spazio è lungo abbastanza per i due pezzi. La larghezza della cornice rappresenta rappresenta le altezze delle due figure: le due altezze quindi sono uguali
– mettiamo le due figure fianco a fianco per dimostrare che le basi sono uguali. Due parallelogrammi che hanno la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
– facciamo la stessa cosa con il rettangolo rosso grande e il parallelogramma giallo. Rettangoli e parallelogrammi con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti
– ripetere l’attività con i parallelogrammi e i quadrati blu e giallo. Ora useremo le cornici di destra
– mettendo i pezzi nelle cornici dimostreremo che le altezze sono le stesse
– controlliamo anche la lunghezza delle basi delle due figure affiancando i due pezzi tra loro
– parallelogrammi e quadrati con la stessa altezza e la stessa base sono equivalenti

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Conclusione:
– prendiamo le figure blu e il rettangolo rosso più piccolo
– il parallelogramma blu ha la stessa altezza e la stessa base del quadrato e del rettangolo rosso. Quindi il quadrato e il rettangolo sono equivalenti
– prendiamo le figure gialle e il rettangolo rosso più grande: esse sono equivalenti.

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Scopo:
– comprendere il teorema
– risolvere problemi in modo pratico (dopo i 10 anni)

La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori – Età:
– a livello sensoriale, dopo aver presentato le altre due tavole del teorema di Pitagora (8 anni)
– per applicazioni a problemi geometrici a partire dai 10 anni.

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La dimostrazione del teorema di Pitagora col metodo Montessori

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Psicogrammatica Montessori: giochi logici per l’aggettivo

Psicogrammatica Montessori: giochi logici per l’aggettivo per bambini della scuola primaria. Il gioco del detective coi triangoli (indovina l’aggettivo) con tutto il materiale scaricabile e stampabile in formato pdf.

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Psicogrammatica Montessori: giochi logici per l’aggettivo

Presentazione 1
Il gioco del detective coi triangoli

Materiali:
– cartellini in bianco (o cartellini pronti)
– penna nera.
– i 63 triangoli per il gioco del detective e i 63 cartelli dei comandi (puoi scaricarli qui: cartelli per il gioco del detective)

Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori

I triangoli hanno:
– tre colori: rosso blu e giallo
– tre dimensioni: grande medio e piccolo
– tre tipi di angolo: rettangolo, acuto e ottuso
– tre tipi di lati: equilatero, isoscele e scaleno.

Questi sono i miei cartellini pronti per il download e la stampa, comprensivi dei 63 cartelli dei comandi, in stampato minuscolo o corsivo:

Presentazione

– mettiamo tutti i triangoli in ordine sparso sul piano di lavoro

– diciamo ai bambini: “Io tra tutti questi voglio solo un triangolo specifico. Riuscirete ad indovinare quale voglio?”

– un primo bambino sceglie un triangolo e ce lo porge. Diciamo: “No, mi dispiace. Il triangolo che voglio io non è di questo colore”.

– grazie all’indizio del colore, il bambino riuscirà a scartare tutti i colori sbagliati, nell’esempio dopo il rosso il blu:

– e a conservare tutti i triangoli del colore corretto. Se ad esempio il colore corretto è GIALLO, scriviamo su un cartellino l’aggettivo GIALLO (oppure usiamo il cartellino pronto)

– a questo punto la caccia va avanti, eliminando via via alcuni triangoli che non presentano gli aggettivi richiesti:

– ogni volta che il bambino individua una qualità corretta, scriviamo un cartellino (oppure usiamo i cartellini pronti) e aggiungiamolo agli altri:

– alla fine, quando rimane soltanto un triangolo, gli aggettivi coprono tutte le sue caratteristiche: IL TRIANGOLO GIALLO ISOSCELE PICCOLO ACUTANGOLO

– chiediamo ai bambini di porre il simbolo grammaticale corretto sopra ogni cartellino:

Nota: ogni volta che viene dato un nuovo indizio i triangoli che non rispondono alla descrizione vengono rimossi dal piano di lavoro. Il bambino può misurare i lati dei triangoli col righello e gli angoli col goniometro.

Scopo:
– comprendere la funzione dell’aggettivo
– comprendere l’uso degli articoli qualificativi.

Età: dai 7 ai 9 anni. Il bambino deve conoscere la classificazione geometrica dei triangoli in base ai lati e agli angoli.


Presentazione 2
Il gioco del detective coi triangoli

Materiali

– i 63 triangoli per il gioco del detective
– cartellini pronti per il gioco del detective)
– 63 carte dei comandi per il gioco del detective
– simboli grammaticali
– strisce bianche di carta e matite colorate
– stencil dei simboli grammaticali (facoltativo)
– una lente di ingrandimento
– righello e goniometro (facoltativi).

Presentazione

– invitiamo un gruppo di bambini attorno al tavolo o al tappeto
– diciamo: “Oggi lavoreremo con gli articoli i nomi e gli aggettivi, facendo qualcosa di nuovo”
– ricordiamo l’ordine delle parole, che di solito è formato da articolo, nome e aggettivo e poniamo in quest’ordine i simboli grammaticali lungo il margine superiore del piano di lavoro
– diamo la lente di ingrandimento a un bambino e diciamo: “Userai la lente di ingrandimento per risolvere il mistero del triangolo perduto. Come un detective, seguirai gli indizi per risolvere il mistero”

– mettiamo sul piano di lavoro tutti i triangoli in ordine sparso. Diciamo: “Da qualche parte in questo mucchio di 63 triangoli si nasconde il triangolo perduto”

– scriviamo il primo indizio, cioè IL TRIANGOLO sulla striscia di carta. Il bambino con la lente di ingrandimento sceglie un triangolo. Diciamo: “Grazie, questo è un triangolo, ma non è il triangolo perduto”

– diamo al bambino un altro indizio aggiungendo l’aggettivo ROSSO

– rimuoviamo dal piano di lavoro tutti i triangoli che non sono rossi, e il bambino sceglierà un triangolo tra questi. Quando ce lo porge diciamo: “Grazie, questo è un triangolo rosso, ma non è il triangolo perduto”
– aggiungiamo un nuovo indizio: IL TRIANGOLO ROSSO GRANDE
– rimuoviamo dal piano di lavoro tutti i triangoli che non sono grandi

– aggiungiamo un nuovo indizio: IL TRIANGOLO ROSSO GRANDE RETTANGOLO
– rimuoviamo tutti i triangoli che non sono rettangoli

– aggiungiamo l’ultimo indizio: IL TRIANGOLO ROSSO GRANDE RETTANGOLO SCALENO. Finalmente avremo trovato il triangolo perduto

– quando il bambino ha individuato il triangolo perduto, come tutti i detective, dovrà scrivere un rapporto. Ogni bambino, quindi, registrerà la descrizione del triangolo perduto sul suo quaderno di grammatica, usando le matite colorate per disegnare i simboli grammaticali, a mano libera o utilizzando gli stencil.

Psicogrammatica Montessori: giochi logici per l’aggettivo – Nota: ogni volta che viene dato un nuovo indizio i triangoli che non rispondono alla descrizione vengono rimossi dal piano di lavoro. Il bambino può misurare i lati dei triangoli col righello e gli angoli col goniometro.

Psicogrammatica Montessori: giochi logici per l’aggettivo – Scopo:
– comprendere la funzione dell’aggettivo
– comprendere l’uso degli articoli qualificativi.

Psicogrammatica Montessori: giochi logici per l’aggettivo – Età: dai 7 ai 9 anni. Il bambino deve conoscere la classificazione geometrica dei triangoli in base ai lati e agli angoli.


Esercizio 3
Il gioco del detective coi triangoli – esercizio individuale

Materiali

– i 63 triangoli del gioco del detective
– i comandi per il gioco del detective
– i cartellini preparati per nome, articolo, aggettivo
– simboli grammaticali.

Esercizio

– si mettono i triangoli in ordine sparso sul piano di lavoro
– il bambino sceglie un comando, lo legge e lo pone sul piano di lavoro:

– a questo punto compone la frase con i cartellini, ponendo sotto al comando articolo e nome e in seguito un aggettivo alla volta:

– per ogni aggettivo compie una selezione tra i triangoli, eliminando di volta in volta quelli che non rispondono all’aggettivo scritto sul cartellino:

– al termine il bambino aggiungerà su ogni cartellino il simbolo grammaticale appropriato

– il bambino può registrare l’esercizio sul suo quaderno di grammatica.

Nota

ogni volta che viene dato un nuovo indizio i triangoli che non rispondono alla descrizione vengono rimossi dal piano di lavoro. Il bambino può misurare i lati dei triangoli col righello e gli angoli col goniometro.

Scopo

– comprendere la funzione dell’aggettivo
– comprendere l’uso degli articoli qualificativi.

Età

dai 7 ai 9 anni. Il bambino deve conoscere la classificazione geometrica dei triangoli in base ai lati e agli angoli.

Esercizio 4
Il gioco del detective coi triangoli – esercizio collettivo

Materiali

– i 63 triangoli del gioco del detective
– i 63 comandi per il gioco del detective.

Esercizio

– mettiamo tutti i triangoli in ordine sparso su un ampio piano di lavoro
– distribuiamo tutti i comandi tra tutti i bambini (ogni bambino può avere più di un comando)
– ogni bambino dovrà individuare i propri triangoli e toglierli dal tavolo
– al termine dell’esercizio non dovrebbe rimanere nessun triangolo sul piano di lavoro.

Nota

ogni volta che viene dato un nuovo indizio i triangoli che non rispondono alla descrizione vengono rimossi dal piano di lavoro. Il bambino può misurare i lati dei triangoli col righello e gli angoli col goniometro.

Scopo

– comprendere la funzione dell’aggettivo
– comprendere l’uso degli articoli qualificativi.

Età

dai 7 ai 9 anni. Il bambino deve conoscere la classificazione geometrica dei triangoli in base ai lati e agli angoli.

Psicogrammatica MontesPresentazione 5
Il gioco del detective coi triangoli 

Prerequisiti

– lezioni sull’aggettivo,
– lezioni di geometria sui tipi di triangoli.

Materiali

– 63 cartellini che descrivono ogni triangolo (comandi per il gioco del detective);
– simboli grammaticali;
– la scatola dei triangoli per il gioco del detective.

Presentazione

– invitiamo un piccolo gruppo di bambini e stendiamo il tappeto
– mettiamo i triangoli sul tappeto e spieghiamo ai bambini che dovranno cercare i triangoli perduti
– leggiamo la prima carta, ad esempio TROVA IL TRIANGOLO EQUILATERO BLU PICCOLO
– formiamo un gruppo di tutti i triangoli equilateri eliminando gli altri

– poi facciamo un gruppo di tutti i triangoli equilateri blu eliminando gli altri

– infine teniamo solo quello piccolo
– mettiamo il comando sotto al triangolo
– aggiungiamo su ogni parola il simbolo grammaticale corrispondente
– i bambini possono disegnare il triangolo sui loro quaderni di grammatica, scrivere la didascalia ed aggiungere i simboli grammaticali.

Punti di interesse

– conoscere i vari attributi dei triangoli,
– classificare i triangoli in base agli attributi,
– giocare ad essere un detective.

Controllo dell’errore

ogni triangolo ha una suo cartellino.

Varianti

– il bambino può tracciare e ritagliare dei triangoli aggiuntivi in cartoncino.

Nota

ogni volta che viene dato un nuovo indizio i triangoli che non rispondono alla descrizione vengono rimossi dal piano di lavoro. Il bambino può misurare i lati dei triangoli col righello e gli angoli col goniometro.

Scopo

– comprendere la funzione dell’aggettivo
– comprendere l’uso degli articoli qualificativi
– fare pratica con gli aggettivi
– fare pratica con i concetti geometrici.

Età

dai 7 ai 9 anni. Il bambino deve conoscere la classificazione geometrica dei triangoli in base ai lati e agli angoli.

Presentazione 6
Il gioco del detective coi triangoli 

Materiali

– i 63 triangoli del gioco del detective
– i cartellini dei nomi, degli articoli e degli aggettivi per il gioco del detective

Esercizio

– invitiamo un gruppo di bambini attorno al tavolo o al tappeto
– diciamo: “Oggi lavoreremo con gli articoli, i nomi e gli aggettivi, facendo una nuova attività”
– mettiamo tutti i triangoli e i cartellini sul piano di lavoro
– invitiamo i bambini a classificare i cartellini in sei colonne, come segue:

– invitiamo il bambino a prendere un cartellino da ogni colonna e a formare con questi cartellini una riga

– invitiamo il bambino a cercare il triangolo che corrisponde alle qualità indicate dai cartellini

– il bambino troverà il triangolo giusto come ha fatto col gioco del triangolo perduto fatto nelle presentazioni precedenti: se il triangolo è rosso, eliminerà dal mucchio tutti i triangoli non rossi; se è grande eliminerà tutti i triangoli che non lo sono, ecc.

– al termine il bambino rimetterà i cartellini al loro posto e un altro bambino potrà svolgere lo stesso esercizio, scegliendo i cartellini che preferisce.

Scopo

– comprendere la funzione dell’aggettivo
– comprendere l’uso degli articoli qualificativi
– fare pratica con gli aggettivi
– fare pratica con i concetti geometrici.

Età

dai 7 ai 9 anni. Il bambino deve conoscere la classificazione geometrica dei triangoli in base ai lati e agli angoli.


Presentazione 7
Il gioco del detective coi triangoli 

Materiali

– i 63 triangoli del gioco del detective
– i 63 cartelli dei comandi per il gioco del detective
– matite colorate
– stencil dei simboli grammaticali (facoltativo).

Presentazione

– invitiamo un gruppo di bambini attorno al tavolo o al tappeto
– diciamo: “Oggi lavoreremo con gli articoli, i nomi e gli aggettivi, facendo una nuova attività”
– disponiamo tutti i triangoli in ordine sparso sul piano di lavoro
– distribuiamo i comandi tra i bambini
– invitiamo ogni bambino a leggere il suo comando e a trovare il triangolo indicato
– i bambini registrano l’attività sui loro quaderni di grammatica, disegnando sulle parole i simboli grammaticali a mano libera o usando gli stencil.

Scopo

– comprendere la funzione dell’aggettivo
– comprendere l’uso degli articoli qualificativi
– fare pratica con gli aggettivi
– fare pratica con i concetti geometrici.

Età

dai 7 ai 9 anni. Il bambino deve conoscere la classificazione geometrica dei triangoli in base ai lati e agli angoli.

Psicogrammatica Montessori: giochi logici per l’aggettivo

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Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori

Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori scaricabile gratuitamente in formato pdf, con cartellini ed istruzioni per la presentazione e l’uso coi bambini.

Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori è tradizionalmente utilizzato come materiale dell’area del linguaggio, per l’apprendimento della funzione dell’aggettivo in grammatica.

A questo scopo si presenta ai bambini a partire dai cinque anni. Naturalmente più avanti diventa un materiale molto utile anche per lo studio della geometria.

I set in commercio sono formati da un numero di triangoli che può essere 54, 63 o 72.

Il principio è che la serie deve comprendere triangoli rettangoli acutangoli ottusangoli, equilateri scaleni isosceli, di almeno tre colori diversi e tre dimensioni diverse per tipo.

nomenclature :

Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori  nomenclature triangoli

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Come spiegato poi, il gioco può prevedere  di rispondere ai cartellini questionario:

 Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori – carte domanda

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I due file:
– carte-domanda
– nomenclature
sono disponibili qui: MATERIALE STAMPABILE PER IL GIOCO DEI TRIANGOLI

il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori

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Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori – Presentazione del materiale

Variante 1 – due giocatori: l’insegnante e un bambino

L’insegnante mostra al bambino il materiale, poi insieme dispongono tutti i triangoli sul tavolo. L’insegnante dice al bambino che giocheranno a indovinare a che cosa sta pensando, seguendo gli indizi.

Prende un foglietto e scrive “TRIANGOLO”, pone il foglietto a una certa distanza dai triangoli e chiede al bambino di trovare la cosa scritta e metterla sul foglietto. Il bambino metterà sul foglietto un triangolo qualunque.

L’insegnante dirà che no, non è proprio quello a cui stava pensando, perchè quello che  vuole lei, ad esempio, è grande (scriverà “GRANDE” su un altro foglietto, lo metterà accanto alla parola TRIANGOLO per leggere ora TRIANGOLO GRANDE), dicendo al bambino: “Mi puoi trovare un triangolo uguale a quello che hai scelto prima, ma che sia anche grande?”.

Il bambino sostituirà quindi il triangolo con un altro uguale al primo, ma grande.  Per fare il confronto si possono usare i triangoli di controllo delle dimensioni.

Fatto questo si tolgono dal tavolo tutti i triangoli che non sono grandi e si rimettono sul vassoio ( o nella scatola); l’insegnante dirà: “Sì, è proprio un triangolo grande, ma io  lo avevo pensato blu e non giallo” (ad esempio), e scriverà su un foglietto la parola BLU da aggiungere ai precedenti per formare TRIANGOLO GRANDE BLU.

Il gioco proseguirà come descritto: si toglieranno tutti i triangoli che non sono blu e si aggiungerà ad esempio ACUTANGOLO: “TRIANGOLO GRANDE BLU ACUTANGOLO.

Poi si toglieranno tutti i triangoli non acutangoli, si aggiungerà ad esempio la parola SCALENO ed a questo punto sul tavolo resterà solo il triangolo descritto, nell’esempio un TRIANGOLO GRANDE BLU ACUTANGOLO SCALENO.

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Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori

Variante 2 – Un giocatore – cartellini singoli degli aggettivi

Il bambino posiziona il cartellino TRIANGOLO e via via aggiunge lui stesso gli aggettivi (scelti da lui o pescati a caso da una busta Materiali.

Il gioco dei triangoli (indovina l’aggettivo) Montessori

Variante 3 – un gruppo di bambini

Si distribuiscono i cartellini contenuti nella busta delle domande, in modo che non ne avanzino, e si dispongono al centro del tavolo tutti i triangoli.

I bambini cercano ognuno i propri triangoli e il gioco termina quando al centro del tavolo non resta nemmeno un triangolo.

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Utilizzando lo stesso principio, è possibile inventare giochi simili con altri oggetti, ad esempio coi bottoni:

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Triangoli blu Montessori

Triangoli blu Montessori con tutorial per realizzarli in proprio, modelli gratuiti, istruzioni per la presentazione e l’uso con i bambini. Il set dei triangoli blu è  composto da 12 triangoli rettangoli scaleni, che misurano 14 cm di base e 8 cm di altezza. Con questo materiale si realizzano varie figure geometriche.

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Come già detto per i triangoli costruttori, si tratta di un materiale per lo sviluppo sensoriale proposto nelle scuole d’infanzia, ma che risulta utilissimo anche coi bambini più grandi a sostegno dello studio della geometria e per aiutare i bambini con problemi di dislessia.

In questo sito trovate gli schemi per la costruzione delle varie forme. C’è anche il cartamodello per la realizzazione dei triangoli, ma non è molto utile…

Io li ho realizzati così:

Dopo aver costruito i dodici triangoli, ho preparato anche dei cartellini per le nomenclature  e delle schede che illustrano le forme realizzabili coi triangoli blu:

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Video:

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Su Pinterest:

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Disclaimer: “Per redigere questa mia presentazione ho utilizzato i miei album e appunti personali e consultato vari album di altri autori e articoli nel web. Per leggere online o acquistare le copie legali di tali opere consultate segui i link:
– Sensorial primary guide di Infomontessori.com
– Album for ages 3-6 – Sensorial di montessoriteacherscollective (Moteaco)
– Montessori teacher album – Sensorial di Montessorialbum.com
– Sensorial album di wikisori.org
– Basic Montessori learning activities for under fives di David Gettman
– The casa 2,5-6 years – sensorial di montessoricommons
– Sensorial development di montessoriworld.org
– Module 3: Exercises of sensory development di Montitute.com
– Sensorial teacher manual di khtmontessori.com
– Primary class curriculum – second year di mymontessorihouse.com
– Sensorial teaching manual – primary ages di montessoriprintshop
– Early childhood curruculum – Montessori sensorial manual di montessoritraining.net
– Sensorial Manual Infant and Toddler e Sensorial Manual Early Childhood di themontessoriparent.com, che ha suggerito l’aggiunta di questo disclaimer in accordo con la sua politica di copyright.
Ho inoltre consultato i testi di riferimento di Maria Montessori per gli esercizi sensoriali:
Il Metodo della Pedagogia Scientifica applicato all’educazione infantile nelle case dei bambini
La scoperta del bambino
Per una bibliografia completa delle opere di Maria Montessori vai qui.

Pagine: 1 2
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I triangoli costruttori Montessori DIY – modelli stampabili

I triangoli costruttori Montessori con tutorial per realizzarli in proprio, con modelli stampabili. e istruzioni per la presentazione e l’utilizzo coi bambini. I triangoli costruttori servono a dimostrare che tutte le figure geometriche piane possono essere costruite per mezzo di triangoli.

Il materiale è composto da 5 differenti scatole, ognuna delle quali contiene un certo numero di triangoli di varie dimensioni, forme e colori.

Ad eccezione del box 2, i triangoli di tutte le altre scatole recano delle bande nere posizionate su lati diversi che servono ad aiutare il bambino nella costruzione delle figure geometriche proposte.

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E’ un materiale che si propone nella scuola d’infanzia, ma che io utilizzo ampiamente anche in terza classe, soprattutto se ci sono problemi di dislessia da affrontare.

In terza classe il programma prevede lo studio della geometria, e questo materiale può essere abbinato a schede delle nomenclature per aiutare la memorizzazione dei termini.

Permette inoltre di valutare la lunghezza dei lati o l’ampiezza degli angoli mediante semplice sovrapposizione degli elementi, e facilita la classificazione in equilatero, isoscele e scaleno, oppure rettangolo, acutangolo, ottusangolo.

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Per costruirli in proprio nel web si trovano i modelli stampabili gratuitamente a grandezza naturale in questo sito. Cliccate su Colored Sets 1-5 se avete la stampante a colori, Outlines l’avete solo nero. In Boxes trovate invece i modelli per realizzare le scatole, io ho preferito usare i vassoi da mensa che si trovano alla coop.

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Nei download non sono comprese le carte delle nomenclature, che ho realizzato a mano. I modelli delle forme da realizzare coi triangoli sono invece molto piccoli, quindi per fare le mie schede li ho elaborati così:

– ho aperto la pagina per il download, poi con ctrl + ho ingrandito la schermata, e con ScreenHunter ho catturato le immagini ingrandite.

Per ogni box ho preparato:

– i triangoli previsti

– schede grandi che presentano da una parte lo schema di costruzione e dall’altra la forma pura (solo i contorni esterni)

– cartellini delle nomenclature, facilitati da una miniatura dello schema da realizzare

– cartellini per la classificazione dei triangoli contenuti nel box che hanno su una facciata il nome del triangolo, e sull’altra l’indicazione di quanti triangoli per tipo e colore appartengono a quella categoria con miniatura, per l’autocontrollo.

Box 1

Box 2

Box 3

Box 4

Box 5

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Qualche video:

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Disclaimer: “Per redigere questa mia presentazione ho utilizzato i miei album e appunti personali e consultato vari album di altri autori e articoli nel web. Per leggere online o acquistare le copie legali di tali opere consultate segui i link:
– Sensorial primary guide di Infomontessori.com
– Album for ages 3-6 – Sensorial di montessoriteacherscollective (Moteaco)
– Montessori teacher album – Sensorial di Montessorialbum.com
– Sensorial album di wikisori.org
– The casa 2,5-6 years – sensorial di montessoricommons
– Sensorial development di montessoriworld.org
– Module 3: Exercises of sensory development di Montitute.com
– Sensorial teacher manual di khtmontessori.com
– Primary class curriculum – second year di mymontessorihouse.com
– Sensorial teaching manual – primary ages di montessoriprintshop
– Early childhood curruculum – Montessori sensorial manual di montessoritraining.net
– Sensorial Manual Infant and Toddler e Sensorial Manual Early Childhood di themontessoriparent.com, che ha suggerito l’aggiunta di questo disclaimer in accordo con la sua politica di copyright.
Ho inoltre consultato i testi di riferimento di Maria Montessori per gli esercizi sensoriali:
Il Metodo della Pedagogia Scientifica applicato all’educazione infantile nelle case dei bambini
La scoperta del bambino
Per una bibliografia completa delle opere di Maria Montessori vai qui.

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Tutorial DIY Montessori: costruire il cofanetto delle figure geometriche

Tutorial DIY Montessori: costruire il cofanetto delle figure geometriche, con cartamodelli gratuiti e istruzioni dettagliatissime per realizzare il materiale in proprio con pochissima spesa.

Se preferite acquistarlo, questo è il set più economico che ho trovato in rete:

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E questa è una app per iOS:

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Se non avete molto tempo da dedicare alla costruzione dei materiali ma avete sufficienti risorse economiche, i modelli possono essere certamente passati a un falegname 🙂 …e se sono anche le risorse a mancarvi potete pensare di stampare, ritagliare e plastificare direttamente il  tutto.

Considerate però che nel secondo caso otterrete un materiale difficile da maneggiare per il bambino, e dovreste rinunciare al pernetto centrale che non  ha una funzione decorativa, ma serve a stimolare la corretta presa indice e medio contro pollice, in preparazione all’impugnatura della matita.

Il cofanetto delle figure geometriche piane è costituito da sei cassetti-vassoio così predisposti:

Per costruirli in proprio nel web si trovano i modelli stampabili gratuitamente a grandezza naturale in questo sito (cliccate su Geometric Cabinet Insets).

Anche le cards sono molto utili per gli esercizi sensoriali con le forme geometriche, anche se non servono alla costruzione dei vassoi.

Si tratta di carte assortite in forme piene, con contorni larghi e con contorni sottili e fanno riferimanto per forma e dimensione ai contenuti dei vassoi (cliccate su cards thin line, thick, solid).

I metodi di costruzione più semplici sono invece questi:

Col polistirolo da controsoffitto

Stampate i modelli e ritagliateli con la massima precisione.

Io li ho comunque plastificati perchè così dopo la costruzione potrò conservare i modelli per utilizzarli nelle lezioni di geometria coi bambini più grandi.

Riportate i modelli sul polistirolo e procedete al taglio prima della forma, poi del quadrato di contorno:

Inserendo un chiodo il vostro bambino avrà un ottimo materiale per la presa:

Quindi procedete a colorare scegliendo due colori vivaci e contrastanti. Lo svantaggio di questo metodo è che otterrete un materiale molto ingombrante anche in altezza, per via dei chiodi…

Con cartone spesso

Per il pernetto da presa ho fatto così:

Preparate forme e cornici, sono passata ai vassoi:

Per sapere come usare il cofanetto delle figure geometriche, e visionare il materiale montessoriano originale vai qui.

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Disclaimer: “Per redigere questa mia presentazione ho utilizzato i miei album e appunti personali e consultato vari album di altri autori e articoli nel web. Per leggere online o acquistare le copie legali di tali opere consultate segui i link:
– Sensorial primary guide di Infomontessori.com
– Album for ages 3-6 – Sensorial di montessoriteacherscollective (Moteaco)
– Montessori teacher album – Sensorial di Montessorialbum.com
– Sensorial album di wikisori.org
– The casa 2,5-6 years – sensorial di montessoricommons
– Sensorial development di montessoriworld.org
– Module 3: Exercises of sensory development di Montitute.com
– Sensorial teacher manual di khtmontessori.com
– Primary class curriculum – second year di mymontessorihouse.com
– Sensorial teaching manual – primary ages di montessoriprintshop
– Early childhood curruculum – Montessori sensorial manual di montessoritraining.net
– Sensorial Manual Infant and Toddler e Sensorial Manual Early Childhood di themontessoriparent.com, che ha suggerito l’aggiunta di questo disclaimer in accordo con la sua politica di copyright.
Ho inoltre consultato i testi di riferimento di Maria Montessori per gli esercizi sensoriali:
Il Metodo della Pedagogia Scientifica applicato all’educazione infantile nelle case dei bambini
La scoperta del bambino
Per una bibliografia completa delle opere di Maria Montessori vai qui.

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Cofanetto delle figure geometriche piane Montessori presentazione ed esercizi

Cofanetto delle figure geometriche piane Montessori presentazione ed esercizi – I cofanetti in commercio hanno 5 o 6 cassetti e contengono da 35 a 39 figure geometriche in tutto.  Ogni figura ha una piccola manopola al centro. Le dimensione del cofanetto sono di 52 cm x 40 cm x 28 cm.

 

Le figure contenute sono le seguenti:
– vassoio di presentazione:  cerchio, triangolo, quadrato
– vassoio 1: cerchi
– vassoio 2: quadrato e rettangolo
– vassoio 3: triangoli
– vassoio 4: poligoni regolari
– vassoio 5: parallelogramma, rombo, ellisse, trapezoidale, trapezio, ovale
– vassoio 6: quadrifoglio, triangolo curvo, ellissi, ovale (forme curve).

I vassoi uno ad uno

vassoio di presentazione (facoltativo): è diviso in sei scomparti e contiene tre spazi vuoti e tre spazi occupati da un cerchio, un quadrato ed un triangolo equilatero.

ognuna di queste figure è estraibile dalla relativa cornice per mezzo di una manopola inserita al centro della figura.

Il quadrato misura 10 x 10 cm, il cerchio ha un diametro di 10 cm, e il triangolo equilatero presenta 10 cm di lato.

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vassoio 1: contiene 6 cerchi, ognuno inserito in una cornice quadrata in legno. I cerchi sono disposti in ordine di grandezza.

Essi hanno un diametro di 10 cm, 9 cm, 8 cm, 7 cm, 6cm, 5 cm, rispettivamente. Così, essi variano in dimensioni in modo regolarecon una differenza di 1 cm di diametro tra due in successione.

vassoio 2: contiene primo quadrato 10 x 10 cm e cinque rettangoli in ordine di grandezza, ognuno inserito in una cornice di legno. I rettangoli misurano 9 x 10 cm, 8 x 10 cm, 7 x 10 cm, 6 x 10 cm e  5 x 10 cm.

vassoio 3: contiene sei triangoli, tre scaleni nella prima riga ( un ottusangolo, un rettangolo e un acutangolo), e tre isosceli nella seconda (un ottusangolo, un rettangolo e un acutangolo). I triangoli sono ordinati in base ai lati e agli angoli.

Contando il triangolo equilatero nel vassoio di presentazione, ci sono nel cofanetto sette triangoli in tutto.

vassoio 4: contiene sei poligoni regolari: pentagono, esagono, ettagono, ottagono, ennagono e decagono.

Tutti e sei questi poligoni sono iscrivibili all’interno di un cerchio di 10 cm di diametro.

vassoio 5: contiene un parallelogramma, un rombo, un ellisse, un trapezoidale, un trapezio e un ovale.

vassoio 6: forme curve quali quadrifoglio, triangolo curvo, l’ellissi e l’ovale


Il cofanetto nel suo insieme contiene tutte le figure piane regolari e permette al bambino di classificare ogni forma presente nel proprio ambiente.

Per costruirli in proprio, se ti può interessare vai qui:

Tutorial DIY Montessori: costruire il cofanetto delle figure geometriche

Età: da 3 anni  a 5

Scopo:
– Conoscenza visiva e tattile delle forme geometriche.
– Consapevolezza e osservazione delle forme geometriche nell’ambiente.
– Movimento fluido e coordinato.
– Le manopole migliorano la presa della matita.

Il materiale inoltre getta le prime basi sensoriali per lo studio della geometria, che il bambino affronterà più tardi. E’ inoltre un ottimo esercizio di prescrittura, che consente al bambino di sperimentare linee curve e linee rette: le forme sono simili alle lettere dell’alfabeto e alle cifre numeriche.

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Il vassoio di presentazione

Questo è il vassoio  che può essere utilizzato per una prima presentazione del quadrato, del cerchio e del triangolo ai bambini più piccoli, che presto  acquisiscono grande familiarità con i nomi e le proprietà di queste forme e altrettanto presto chiederanno di esplorare il contenuto degli altri vassoi del cofanetto.

Per questo motivo, uno dei modi migliori per presentare questo nuovo materiale in classe è quello di attendere che i bambini ci chiedano di mostrare loro come si usa.

Inoltre, siccome il materiale è conservato sugli scaffali e i bambini più grandi già lo utilizzano liberamente, i bambini più piccoli sono molto attratti dai vassoi, soprattutto dagli esercizi più complessi che vedono eseguire dai compagni più grandi, e questa è una  parte molto importante del processo educativo.  

Presentazione

1. Prendete il vassoio e portatelo al tavolo del bambino.

2.  Rimuovete ogni figura e mettetela negli spazi vuoti del vassoio; avrete così due forme identiche per ognuna delle tre figure geometriche.

3. Mostrate al bambino come sentire con le dita ilbordo di ogni inserto e come prendere correttamente le forme dal pomello centrale.

4. Incoraggiate il bambino a ripetere l’esercizio.

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Altri esercizi

Quando il bambino ha acquisito familiarità con le tre figure nel vassoio di  presentazione, possiamo scegliere per lui via via altre forme presenti nel cofanetto, da sositituire al quadrato, il triangolo e il cerchio. L’importante è scegliere sempre forme in forte contrasto tra loro.

Dopo aver presentato tutte le forme a tre a tre, si può poi passare alla presentazione a sei a sei.  Le forme possono essere messe in ordine sparso sul tavolo, e il bambino dovrà trovare la loro corretta collocazione all’interno  del vassoio.

A questo punto il bambino è pronto per lavorare su un singolo vassoio alla volta. Prendere uno dei cassetti contenenti figure simili che possono essere classificate in base alle dimensioni. I cerchi sono i più facili. Rimuovere le forme, mescolare sul tavolo, sentendo bene ogni inserto con le dita. Il bambino può proseguire l’esercizio e scegliere qualsiasi altro vassoio desideri esplorare.

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Nomenclatura

Al momento opportuno si potranno insegnare al bambino i nomi delle forme, utilizzando le lezione in tre tempi e presentando tre forme diverse alla volta.

Successivamente le figure geometriche possono essere confrontate tra loro per quello che riguarda le loro proprietà, e possono essere fatte le prime deduzioni geometriche, ad esempio si possono iscrivere i poligoni nei cerchi.

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La geometria euclidea

La geometria euclidea. Lui era un eccentrico matematico, ingegnere civile meccanico e militare che lavorò come geometra della Regina Vittoria alle Isole Falkland. Ma scrisse anche Freedom to Ireland (da protestante), pubblicato a Boston.

Fu anche inventore di apparecchiature meccaniche quali il byrnegrafo, uno strumento per moltiplicare, dividere e comparare linee, angoli, figure piane e solidi.

Ha scritto numerosissimi testi su argomenti vari, tra i quali, soprattutto,  “The first six books of the elements of Euclid : in which coloured diagrams and symbols are used instead of letters for the greater ease of learners, 1847″ definito dall’American Scientist il più bel libro di matematica di tutti i tempi. Altre difinizioni? Uno dei libri vittoriani più originale e straordinario, il trionfo di Whittingham ( lo stampatore), uno dei libri più belli del secolo, … e bello è bello, anche secondo me.

Si trova nel web (diritti d’autore scaduti) qui , oppure si può comprare la ristampa (cofanetto di velluto nero della  Taschen), anche in formato ebook.

E’ un superbo esempio di book design vittoriano, notevole per il suo approccio sperimentale al colore e al disegno,  usati al posto delle lettere  nelle dimostrazioni: come recita il titolo stesso si tratta dei “Primi sei libri degli elementi di Euclide, nei quali diagrammi colorati e simboli sono usati al posto  delle lettere per facilitare l’apprendimento”.

Colori e forme si sostituiscono al linguaggio tradizionale della geometria. Oliver Byrne concepì questa edizione di Euclide come un sistema completamente nuovo per imparare la geometria e determinò che usando i colori invece delle lettere uno studente può imparare le teorie di Euclide in meno di un terzo del tempo.

 

Byrne era anche un insegnante, e il libro, trattando dei primi sei volumi degli “Elementi di geometria” di Euclide,  copriva tutti gli argomenti del curriculum di  studi matematici di base degli studenti del tempo. In realtà c’è della poesia nel fatto che da un punto di vista di didattica della matematica è un libro assolutamente inutile, e da un punto di vista più generale  pure anacronistico, venuto già dopo Lobacevskij e Janos Bolyai.

 

Lo scopo dichiarato del libro  era quello di ridurre al minimo il testo scritto, e dare una forma visuale alle informazioni.

Il risultato? Composizioni geometriche sorprendentemente moderne: una combinazione di blu brillante, rosso, giallo completamente integrati col nero della stampa in tutto il libro.

Gli unici elementi che possono riportare alla sua vera età, in alcune pagine, sono le lettere iniziali dei paragrafi, tipicamente di epoca vittoriana.

 

Colpisce oggi perchè appare come un precursore del De Stijl, ad esempio.

E’  il primo caso, così possiamo dire oggi,  di uso sofisticato della metafora visuale  per trasmettere informazioni.

Riflette anche i grandi progressi della stampa nel diciannovesimo secolo, un periodo nel quale l’uso dei colori si è notevolmente incrementato grazie alle numerose innovazioni tecnologiche e produttive.

Realizzato alla Chiswick Press  per William Pickering, il libro deve moltissimo anche all’abilità di un grandissimo stampatore, Charles Whittingham.  Uno bravo.

Il registro di stampa dei colori primari è privo di difetti e  la composizione su ogni singola pagina è da considerarsi unica nel panorama editoriale del tempo.

Il processo di stampa è stato molto complicato, se si considerano non solo le aree di colore, ma anche tutti i particolari interni ad esse, ed il fatto che era assolutamente necessario che il posizionamento dei blocchi per le stampe successive fossero registrati in modo perfetto, così che angoli e linee combaciassero senza difetti.

E Whittingham non solo realizzò tutto questo, ma anche compose pagine elegantissime ed equilibrate.

Il libro è stato riscoperto grazie all’interesse di studiosi come Mc Lean (Victorian book design’ del 1963) e Tufte (‘Envisioning Information’ del 1990).

Un libro davvero insolito.   E davvero bello, Euclide a parte. Di fatto precorre i tempi dell’arte. E basta guardarlo. Anche se si è trattato di un incidente.

Augustus De Morgan, matematico, scrisse di Byrne una critica ferocissima  (A Budget of Paradoxes) descrivendolo come una sorta di fachiro, inventore di macchine  fraudolente,  persona dedita alla quadratura del cerchio, scrittore di libri sulle macine e inutili testi di matematica. Al meglio, secondo De Morgan, l’Euclide di Byrne è un libro curioso.

Ma inutile e curioso,  non significa certo che non possa essere attraente e bellissimo, e il libro di Byrne potrebbe essere candidato come peggior libro di geometria e libro più bello.

L’approccio che Byrne tentò fu in fondo quello di semplificare la geometria attraverso l’arte. Piet Mondrian, che fu uno dei primi a praticare un’arte  non rappresentativa, usò disegni geometrici per riclassificare tutti i dati dell’esperienza all’interno delle sensazioni suscitate dai colori e dalle forme.

Mondrian utilizzò strumenti per re-identificare la natura che sono gli stessi che Euclide sviluppò per classificare la struttura del mondo.

Questo è il suo “Composizione con rosso, giallo e blu” del 1930, ma prima di lui altri artisti furono pionieri della non-rappresentazione e creatori di un’estetica matematica rivolta alla liberazione degli oggetti: citiamo primo fra tutti Kandinsky, ma anche Umberto Boccioni (1912), Frank Kupka (1913), Olga Rozanova (1913), Liubov Popova (1914), Felix del Marle (1914). Ma soprattutto Kasimir Malevich.

Malevich comincia questo lavoro intorno al 1910, e risalgono al 1913 opere quali “Samovar”, nel quale l’oggetto è sezionato e si muove in luoghi diversi.

Ma è nel 1915 che, con “Black and red Square” arriviamo alla totale rimozione della rappresentazione dell’oggetto.

Arriviamo all’invisibilità, all’arte di scegliere intenzionalmente di oscurare il soggetto noto.

“Il mio lavoro non ha uno scopo meramente illustrativo” scrive Byrne , ” e i colori non sono introdotti con propositi di intrattenimento, ma per assistere la mente nell’atto di cercare la verità, per incrementare l’immediatezza della comprensione e il consolidamento delle conoscenze.”

photo credit: http://www.math.ubc.ca/~cass/euclid/byrne.html

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