Problemi su peso lordo peso netto e tara per la classe quarta della scuola primaria, scaricabili e stampabili in formato pdf.
DIVISIONI CON DUE CIFRE AL DIVISORE per la quarta classe
MISURE DI SUPERFICIE esercizi per la classe quarta
MISURE DI SUPERFICIE esercizi per la classe quarta – composizioni e scomposizioni, esercizi vari e problemi per la classe quarta della scuola primaria scaricabili e stampabili in formato pdf.
Le misure di superficie
E’ in vendita un terreno. Occorre sapere quanta superficie di terra è contenuta nel suo perimetro. Il terreno deve essere misurato; si deve conoscere la misura della sua superficie: l’area del terreno.
L’area di un poligono non può essere misurata con il metro. Infatti, per calcolare l’area, si deve misurare l’estensione della superficie contenuta nel perimetro. Tale superficie non è estesa soltanto in lunghezza, ma ha due dimensioni: la lunghezza e la larghezza.
Per calcolare l’area di un poligono occorre una misura che sia appunto estesa in lunghezza e in larghezza.
La misura adatta alle superfici è un quadrato che ha il lato lungo un metro: il metro quadrato. Si è scelta la figura del quadrato, perché esso è un poligono regolare di facile misurazione. Il lato di questo quadrato è lungo un metro, perché il metro è misura conosciuta e di facile uso.
Il metro quadrato è l’unità principale delle misure di superficie e si scrive m².
Per misurare le superfici più piccole del metro quadrato si usano i sottomultipli del m². Invece per misurare le superfici del m² si usano i multipli del m².
I multipli del m² sono:
decametro quadrato, che di scrive dam² e vale 100 m²
ettometro quadrato, che si scrive hm² e vale 10.000 m²
chilometro quadrato, che si scrive km² e vale 1.000.000 m²
I sottomultipli del m² sono:
decimetro quadrato, che si scrive dm² e vale 0,01 m²
centimetro quadrato, che si scrive cm² e vale 0,0001 m²
millimetro quadrato, che si scrive mm² e vale 0,000001 m².
Ogni unità di misura di superficie vale 100 volte quella immediatamente più piccola; perciò si ha:
m² 1 = dm² 100
m² 1 = cm² 10.000
m² 1 = mm² 1.000.000
dam² 1 = m² 100
hm² 1 = m² 10.000
km² 1 = m² 1.000.000
Il decimetro quadrato dm²: il metro quadrato è formato da 100 quadratini, ciascuno dei quali ha il lato di un decimetro.
m² 1 = dm² 100
dm² 1 = m² 0,01
Il centimetro quadrato cm²: il decimetro quadrato può essere a sua volta suddiviso in 100 quadratini, ciascuno dei quali ha il lato di un centimetro.
dm² 1 = cm² 100
cm² 1 = dm² 0,01
Il millimetro quadrato mm²: il centimetro quadrato è formato da 100 quadratini, ciascuno dei quali ha il lato di un millimetro.
cm² 1 = mm² 100
mm² 1 = cm² 0,01
Il dm², il cm² e il mm² si usano per misurare piccole superfici, come quella di un francobollo, di un foglio di quaderno, di una cartolina, ecc…
Dal m² al mm²
Qual è la principale unità di misura delle superfici?
Prendi un foglio di carta da imballaggio, ritaglia un quadrato con il lato lungo un metro: avrai così il metro quadrato. Col metro quadrato da te costruito, puoi misurare alcune superfici: quelle di un corridoio, della tua stanza, della tua aula; potrai dire: “Questo corridoio ha la superficie di m²____; la mia stanza ha la superficie di ²_____; la superficie della mia aula è di m²______”
Da una pagina di quaderno ritaglia un quadrato con il lato lungo un decimetro: avrai così il decimetro quadrato. Col decimetro quadrato da te costruito, puoi misurare alcune superfici minori: quella di un quadro, di una sedia. Potrai dire: “Questo misura dm²______; quest’altro dm²_______; ecc…”
Ripeti la stessa costruzione e le stesse misurazioni per il centimetro quadrato. L’idea del millimetro quadrato te la può dare la capocchia di uno spillo.
MISURE DI SUPERFICIE
ESERCIZI COI NUMERI ROMANI per la quarta classe
ESERCIZI COI NUMERI ROMANI per la quarta classe della scuola primaria, stampabili e scaricabili gratuitamente in formato pdf.
I Romani, per scrivere i numeri, usavano segni diversi dalle cifre arabe. Questi segni erano lettere dell’alfabeto:
I = 1
V = 5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Per scrivere i numeri, i Romani osservavano tre regole fisse:
1. Non scrivevano più di tre volte lo stesso segno. Ad esempio:
3 = III;
30 = XXX;
300 = CCC.
2. Quando una cifra di valore minore era scritta alla sinistra di una cifra di valore maggiore, doveva essere sottratta da questa. Ad esempio:
IV = (V – I) = (5 – 1) = 4
IX = (X – I) = (10 – 1) = 9
XL = (L – X) = (50 – 10) = 40
CD = (D – C) = (500 – 100) = 400
3. Quando una cifra di valore minore era scritta alla destra di una cifra di valore maggiore, doveva essere aggiunta a questa. Ad esempio:
VI = (V + I) = (5 + 1) = 6
LX = (L + X) = (50 + 10) = 60
DC = (D + C) = (500 + 100) = 600
MD = (M + D) = (1000 + 500) = 1500
Il sistema metrico decimale secondo il metodo Montessori
Il sistema metrico decimale secondo il metodo Montessori
– il sistema metrico decimale come disciplina pratica
– cenni storici
– le grandezze e la loro misura: misura delle lunghezze e delle superfici; misura dei volumi; misura delle capacità; misura di peso e peso specifico (relazione tra volume, capacità e peso; calcolo del peso specifico).
Quando si affronta un argomento pratico, cioè un tema che ha attinenza alla realtà, occorre far convergere in esso diverse discipline . Il considerare separatamente le discipline come, per esempio, l’aritmetica, la geometria, l’algebra è determinato dal fatto che esse vengono intese come discipline astratte. Tuttavia, un qualsiasi oggetto reale risulta tale in quanto composto, o meglio qualificato, da molti attributi come il colore, il peso, la forma, ecc… che in esso tutti convergono e che possono venir studiati separatamente e in forma astratta come colore, peso, forma, ecc…
Allo stesso modo, in una disciplina attinente alla realtà, devono convergere varie discipline astratte o elementi da esse derivati.
Se sono necessari elementi che appartengono ad altre discipline per la formazione di una scienza pratica, la sua possibilità di sviluppo è dipendente e tale sviluppo può aver luogo soltanto quando si siano approntati i necessari contributi collaterali.
Mentre nella disciplina astratta l’approfondimento dei dettagli porta chiarezza, in una disciplina pratica, la chiarezza è raggiunta dalla totale convergenza dei suoi elementi formativi.
Nello studio del sistema metrico decimale, ossia nello studio delle misure, occorre perciò utilizzare molti elementi propri dell’aritmetica, della geometria, della fisica e perfino di materie estranee all’argomento, come geografia e storia, dirigendole tutte verso applicazioni pratiche; su oggetti della realtà suscettibili di misurazione. Le misure oggetto di studio nel nostro sistema metrico non sono soltanto quelle che vengono applicate alle ricerche scientifiche, per determinare le qualità intrinseche della materia o alle dimensioni microscopiche, ma più spesso sono grossolane valutazioni quantitative di oggetti connessi con le necessità sociali della vita dell’uomo.
Il sistema metrico decimale, rispetto a tutti gli altri sistemi di misure, ha due vantaggi che gli danno una indiscutibile superiorità. Il primo è dato dal fatto di fondarsi su di un accordo internazionale di unificazione, che rende uniformi le valutazioni delle quantità e perciò facilita la conoscenza e gli accordi commerciali tra i paesi che l’adottano. L’altro vantaggio è quello di aver applicato ai calcoli di misure quantitative il sistema a base dieci.
Prima che il sistema metrico decimale fosse stabilito e accettato da molte nazioni, ogni popolo aveva la sua particolare maniera di misurare, ereditata dalla tradizione. Possiamo dire che ogni paese avesse, come una propria lingua, così anche la sua propria maniera di misurare: alcuni usavano come riferimento di misura la lunghezza del piede o del braccio o della mano con pollice e mignolo stesi (palmo); altri la lunghezza di una certa pertica, ecc…
Per giungere a un criterio uniforme e universale, si stabilì di basare le misure su di un dato naturale che fosse comune a tutti i paesi, e di fondarsi su di una misura che proprio allora il progresso delle scienze e della matematica rendeva possibile: quella del meridiano terrestre. Di comune accordo, si scelse il meridiano che, passando per Parigi, va dal polo all’equatore. A Parigi, il 20 marzo 1791, l’Assemblea Costituente invitava Luigi XVI ad accordarsi con Giorgio III d’Inghilterra per l’adozione di un sistema metrico universale, la cui unità fondamentale fosse qualche cosa di indipendente dall’uomo, che appartenesse alla Terra, che non si riferisse a una particolare nazione, uguale per tutti gli uomini e per tutti i tempi. Il progetto venne rimandato per le vicende politiche dovute alla Rivoluzione; nel 1798 gli scienziati Delambre e Méchain, ai quali era stato affidato l’incarico di misurare l’arco di meridiano (quello a 2°20′ di longitudine est) compreso fra Dunkerque (Francia) e Barcellona (Spagna) conclusero i loro studi, deducendo, dalla misura di quell’arco di meridiano, la lunghezza dell’intero meridiano terrestre. Lo scienziato italiano Borda costruì il metro-campione, e nel 1799, con gli scienziati Laplace, Monge e Lagrange ideò le altre unità di misura (per i pesi, le capacità, ecc…) coordinandole con il metro. Questa lunghezza che (quasi) con esattezza potè essere misurata soltanto quando civiltà e cultura erano ad un livello avanzato, fu poi divisa e suddivisa di dieci in dieci, secondo il sistema di numerazione a base decimale, fino a che si giunse ad ottenere una lunghezza facilmente maneggevole che venne chiamata metro. Così la parola originaria metro, che in greco significa misura, divenne il nome proprio di tale grandezza. Su questi calcoli si costruì un regolo di platino-iridio, ossia un oggetto di metallo prezioso e inalterabile che rappresenta la misura effettiva base del sistema metrico decimale. Si conserva in Francia, negli archivi di stato, nel Pavillon de Breteuil, presso il Bureau International des Poids et des Misures, a Sèvres, un sobborgo di Parigi. La quarta parte del meridiano terrestre misura dieci milioni di metri, e perciò l’intero meridiano raggiunge quaranta milioni di metri. Il metro equivale quindi al decimilionesimo della quarta parte del meridiano terrestre.
Nel sistema metrico decimale bisogna considerare due elementi: il primo è l’unità di misura che si deve determinare, in relazione a tutto quanto è suscettibile di misurazione. Possono essere misure di linee e o di lunghezze (linea), misure di piani o di superficie (quadrato), e misure di solidi o di volume (cubo). Il secondo elemento consiste nel procedere a riunire le unità in gruppi, secondo il sistema di misurazione a base 10, al fine di eseguire il calcolo delle misure.
Premesso questo, nel nostro sistema metrico, ai diversi gruppi decimali si assegnano nomi speciali derivanti dalla lingua greca:
10 – deca
100 – etto
1000 – chilo
10.000 – miria
(l’elemento miria, che indicava il valore 10.000, e il corrispondente simbolo M sono stati aboliti e ora M indica Mega ed indica un valore di 1.000.000).
Così non si dirà cento metri, ma un ettometro; non mille metri, ma un chilometro. Allo stesso modo dei multipli, anche i sottomultipli decimali, ossia la decima, centesima, millesima parte dell’unità, hanno un loro nome, questa volta derivante dal latino.
Le varie denominazioni sono:
1/10 – 0,1 – deci
1/100 – 0,01 – centi
1/1000 – 0,001 – milli
Ugualmente non si dirà la decima parte di un metro, ma un decimetro; non la centesima o millesima parte del metro, ma un centimetro o un millimetro. Il modo più comune per rappresentare il metro coi suoi multipli e sottomultipli consiste nell’usare i simboli dei prefissi, ai quali si unisce quello dell’unità principale di misura delle lunghezze:
km – chilometro – 1.000
hm – ettometro – 100
dam – decametro – 10
m – metro – 1
dm – decimetro – 0,1
cm – centimetro – 0,01
mm – millimetro – 0,001
Se si tratta di misure di superficie o di solidi, le denominazioni non cambiano; soltanto si aggiungono le relative indicazioni, mediante le parole quadrato e cubo. Diremo quindi metro quadrato, metro cubo, ettometro quadrato, ettometro cubo, ecc… Le indicazioni simboliche portano il segno numerico usato per i quadrati e i cubi dei numeri, per esempio hm² m³.
Quando si tratta di misure di superficie la relazione fra esse è di 100 in 100, mentre per le misure dei solidi le unità procedono di 1000 in 1000, come già vedemmo nel sistema decimale.
Misure delle superfici:
km² – 1.000.000 m² – (1000 x 1000)
hm² – 10.000 m² – (100 x 100)
dam² – 100 m² – (10 x 10)
m² – 1 m²
dm² – 0,01 m²
cm² – 0,0001 m²
mm² – 0,000001 m²
Misura dei volumi:
km³ – 1.000.000.000 m³ – (1000 x 1000)
hm³ – 1.000.000 m³ – (100 x 100)
dam³ – 1.000 m³ – (10 x 10)
m³ – 1 m³
dm³ – 0,001 m³
cm³ – 0,000001 m³
mm³ – 0,000000001 m³
Bisogna sempre tener presente tale ordine di successione dei valori per eseguire i calcoli o per effettuare la riduzione, cioè per passare da un’unità all’altra.
Dalle tabelle presentate risulta chiaro che i sottomultipli dell’unità principale di misura numericamente sono frazioni decimali. Sono anche espresse da uno zero indicante l’unità principale, seguito dalla virgola che ci mostra che scendiamo ad una parte più piccola dell’unità.
L’unità principale è una quantità realmente determinata e costituisce, perciò, il punto di partenza della valutazione. Essa può effettuarsi nei due sensi opposti, percorrendo i gradi precisi e rigorosamente ordinati del sistema decimale. Per questo, le unità che vanno verso la direzione della diminuzione sono realmente frazioni dell’unità principale, matematicamente considerate.
Non possiamo ottenere un più o un meno, se non riferendoci a una misura convenzionale, stabilita in relazione alle differenti possibilità di misurazione.
Il decimetro, tuttavia, è una lunghezza e non è veramente frazione di alcuna cosa. Il metro corrisponde a 10 decimetri e alla decima parte del decametro. Quindi il decametro corrisponde a 100 decimetri.
Invece il decimetro cubo è la millesima parte dell’unità principale di misura dei volumi, che è il metro cubo. Nelle misure dei pesi, d’altra parte, che hanno come unità principale di misura il centimetro cubo, il decimetro cubo è mille volte maggiore dell’unità principale.
Le misure sono correlazioni decimali crescenti e decrescenti rispetto all’unità prestabilita. Ciascuna misura rappresenta un particolare aspetto: è un’unità in se stessa che serve per misurare. Opera infatti misurazioni tanto il centigrammo del farmacista quanto l’ettogrammo del fruttivendolo; il rapporto di queste misure con l’unità principale è una convenzione necessaria per orientarci sull’ammasso della materia. Non si può quindi parlare di calcoli sulle frazioni. La stessa virgola, poi, è una convenzione che ci mette in relazione col sistema di numerazione a base decimale. Le riduzioni in frazioni ecc… indicano semplicemente che si prendono in considerazione, per necessità pratiche, misure di varia grandezza, adeguate cioè a ciò che si deve misurare.
Se talvolta risulta necessario rappresentarle mediante frazioni (decimali) è perchè ogni altra misura è orientata verso un centro, l’unità fondamentale di misura. Il calcolo tuttavia si esegue come se non ci fosse discontinuità.
Nei numeri 1.000.000 100.000 10.000 1.000 100 10 1, l’uno è l’unità matematica. Nelle misure, invece, c’è un orientamento verso il centro: 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001 e l’1 è l’unità di misura.
Non bisogna perciò considerare la frazione decimale come una difficoltà di calcolo.
Se torniamo alle aste numeriche che nella Casa dei Bambini costituiscono il primo materiale per contare, nell’asta più lunga troviamo rappresentata la lunghezza di un metro (asta del 10), mentre nella più corta la lunghezza di un decimetro (asta dell’1). Quelle intermedie corrispondono rispettivamente alle lunghezze di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 decimetri:
Nel materiale che ci era servito per contare, l’asta più corta rappresentava l’unità numerica che si ripeteva, nella successione, una volta di più, raggruppando nelle aste successive quantità e numeri crescenti fino al 10. Qui, invece, si rappresentano unità di misura determinate.
L’unità principale di misura delle lunghezze, cioè l’unità di misura delle linee, è il metro, l’asta lunga: quella del 10. Il metro si moltiplica e si divide determinando altre unità di misura, che procedono di 10 in 10 dando luogo tanto ai multipli del metro quanto alle suddivisioni decimali o sottomultipli. Nel sistema di numerazione, l’unità potrebbe venir rappresentata da un oggetto qualsiasi; una perla, una bambola, ecc… ma alla fine è pur sempre il numero uno. Invece le unità principali di misura risultano rappresentate da oggetti, soprattutto di dimensioni prestabilite. Tali unità sono il centro dal quale si parte: da un lato verso i multipli e dall’altro verso i suoi sottomultipli.
1000 m – chilometro – km – 1000
100 m – ettometro – hm – 100
10 m – decametro – dam – 10
1 m – metro UNITA’ PRINCIPALE DI MISURA – 1
10a parte del metro – decimetro – dm – 1/10 – 0,1
100a parte del metro – centimetro – cm – 1/100 – 0,01
1000a parte del metro – millimetro – mm – 1/1000 – 0,001
Ognuna di queste misure vale 10 volte quella immediatamente inferiore. Per esempio:
1 km = 10 hm
1 hm = 10 dam
proprio come accade nelle gerarchie della serie naturale dei numeri.
Ridurre una misura superiore in una inferiore equivale a scrivere un numero seguito da zeri a seconda del suo posto nella gerarchia decimale.
Riferendoci alle misure, invece di quattro chilometri si dirà quattromila metri; oppure invece di due metri si dirà duecento centimetri. Si potrebbero anche ridurre i chilometri in millimetri, sebbene questa pratica non avvenga di solito. In tal caso avremo 3 km = 3.000.000 mm. Praticamente, l’unità di misura delle lunghezze usata per le grandi distanze (per misurare, ad esempio, la lunghezza di una strada che congiunge le città, ecc…) è il chilometro. Se invece si tratta di misurare lunghezze o altezze poco rilevanti, come possono essere quelle che si riferiscono a una casa, a un appartamento, a un mobile o alla misurazione di tessuti, l’unità di misura è il metro. Per misurazioni piccole (come quelle per un disegno) si usa sempre il decimetro o il doppio decimetro, che porta le graduazioni indicanti centimetri e millimetri.
Generalmente, in pratica, le altre misure non si usano. Così, ad esempio, dovendo misurare la distanza fra due punti di una strada, se resta una frazione di chilometro essa si esprime in metri. Allora si dirà, ad esempio, dodici chilometri e settecento metri, invece di dodici chilometri e sette ettometri. Quando, al contrario, si usa il metro, le sue frazioni si indicano in centimetri e non in decimetri. Per esempio si dirà quattro metri e sessanta centimetri, e non quattro metri e sei decimetri.
Quando si tratta poi di misurare una lunghezza piccola, per cui è indispensabile utilizzare i millimetri, tutte le unità di misura si esprimono in millimetri. Così, per esempio, si dirà quarantasei millimetri e non quattro centimetri e sei millimetri.
C’è ancora la presenza del metro, poichè in pratica si usa nella misurazione delle superfici. Ciò che in una superficie si può realmente misurare sono i suoi lati: il contorno, i limiti fatti di linee che la comprendono. Per il loro studio, si può ricorrere alla geometria, all’equivalenza tra figure piane e al modo di calcolare l’area della loro superficie. Per esempio, si voglia calcolare l’area di una terrazza di forma rettangolare, i cui lati misurano rispettivamente m 6 e m 4.
Il lavoro consiste nel misurare esattamente, mediante un metro a nastro o rigido, lunghezza e larghezza della terrazza. La sua area sarà espressa dal prodotto delle sue misure lineari, il prodotto 6×4. I lati quanto l’area della superficie vengono sempre calcolati come unità uguali, ossia come perle 6×4=24 perle. Questo perchè esse rappresentano un’astrazione numerica dell’unità ed esprimono, ma in forma geometrica, una semplice moltiplicazione di numeri.
Quando si deve misurare realmente una superficie, bisogna distinguere fra la misurazione reale che è misurazione di linee, e il calcolo che, mediante una moltiplicazione di numeri, rappresenta un prodotto in metri quadrati.
Il calcolo si indica con il simbolo m (metro) in questo modo: 6m x 4m ) 24m²
Le misure di superficie di indicano con misure quadrate, perchè l’area si ottiene sempre per mezzo di una moltiplicazione. Come nella scala delle unità delle misure di linee le unità procedevano di 10 in 10, così in quella delle misure di superficie bisogna considerare i quadrati corrispondenti, in quanto le misure di superficie procedono di 10² in 10².
Le misure sono:
km² – (1000m x 1000m) – 1.000.000 m²
hm² – (100m x 100m) – 10.000 m²
dam² – (10m x 10m) – 100 m²
m² – (1m x 1m) – 1 m²
dm² – (1/10m x 1/10m) – 0,01 m²
cm² – (1/100m x 1/100m) – 0,0001 m²
mm² – (1/1000m x 1/1000m) – 0,000001 m²
Le misure agrarie
Nella pratica le grandi estensioni di terreno si valutano in ettometri quadrati, ossia 100m x 100m = 10.000m². Questa misura-calcolo si chiama ettaro (simbolo ha). Parlando perciò dell’estensione di un terreno, si dirà che misura duecento ettari: vuol dire che è costituita di 200 quadrati, il lato di ciascuno dei quali misura 100 metri di lunghezza:
10.000 m² x 200 = 2.000.000 m²
Nella pratica si usa anche il decametro quadrato, che corrisponde ad un quadrato il cui lato misura 10m, e che si chiama ara (simbolo a) ed è l’unità di misura principale delle superfici agrarie.
Invece, per misurare grandi estensioni di terreno si impiega il chilometro quadrato.
Se consideriamo poi la serie dei valori relativi alle misure quadrate o delle superfici, osserveremo che nel passaggio da un grado decimale all’altro, riferendoci al lato del quadrato, le misure non procedono di 10 in 10, ma di 100 in 100, proprio perchè se il lato procede di 10 in 10, le misure di superficie procedono di 10×10 in 10×10, cioè di 100 in 100. Se perciò, attraverso il calcolo scritto, si vuole ridurre una misura ad un’altra immediatamente inferiore, indicante la medesima superficie, bisogna moltiplicarla per 100. Per esempio 25 ettari corrispondono a 2500 are che, a loro volta, corrispondono a 250.000 metri quadrati (o centiare; simbolo ca):
hm² = ha = 25
dam² = a = 2500
m² = ca = 250.000
Volendo misurare un terreno rettangolare molto grande, i cui lati misurano rispettivamente 10.ooo metri e 1000 metri, ossia 10 km per 1 km, si effettuerà prima il calcolo in metri quadrati, così:
10.000m x 1.000m = 10.000.000m²
per esprimere poi il totale in ettari così:
10.000.000m² : 10.000 = 1.000 ha
Invece, se si trattasse di calcolare l’estensione di un paese o di una regione o di una provincia, ci si esprimerebbe in chilometri quadrati. L’ara, l’ettaro e il chilometro quadrato sono misure convenzionali che servono per esprimere, mediante numeri piccoli, una grande quantità di metri quadrati ottenuti col calcolo; non sono misure effettive, ossia oggetti che servono per effettuare misurazioni. Tali grandi misure si ottengono quindi unicamente mediante il calcolo.
Le carte topografiche si rilevano per mezzo di apparecchi speciali usati dagli ingegneri, i quali effettuano i calcoli con l’aiuto di linee e di angoli determinati mediante quegli strumenti.
Chiunque poi è in grado di calcolare l’area della superficie di un terreno, quando gli si diano le linee necessarie. A tale proposito, conviene ricordare le riduzioni di figure geometriche in rettangoli equivalenti, che vuol dire ridurre tutto il calcolo ad una moltiplicazione di due numeri.
Si abbia, ad esempio, un campo di forma triangolare la cui base misura 500m e l’altezza 405m. L’area della sua superficie sarà:
(500 x 405) : 2 = 202.500 : 2 = 101.250m²
il che equivale a 10 ettari e 1250m² (o ca).
Invece, se si tratta di un terreno trapezoidale, che ha i due lati di base rispettivamente di 300 e 200 metri e l’altezza che misura 160 metri, l’area della sua superficie sarà uguale a:
(300 + 200) x 80 = 500 x 80 = 40.000 m²
che corrispondono a 4 ettari.
Per il calcolo dei volumi, si usa come unità principale di misura il metro cubo (m³); non lo si usa però in modo effettivo, cioè non si trasporta materialmente nessun metro cubo, perchè anche i volumi si calcolano per mezzo delle linee. Per esempio, se si vuole conoscere la cubatura di una sala rettangolare, bisogna misurarne in metri lineari la lunghezza dei lati di base e poi l’altezza, fino al soffitto.
Prendiamo ad esempio un salone lungo 9m, largo 7m e alto 5m. Anzitutto bisogna considerare l’area della superficie del pavimento, che è 9m x 7m = 63m²; poi moltiplicare l’area del pavimento per l’altezza del salone: 63m² x 5m = 315m³.
Se invece si volesse calcolare il volume di una delle piramidi d’Egitto, basterebbe conoscere, in metri lineari, la misura del lato della base quadrata e la sua altezza. Calcolando l’area della superficie di base (quadrato del lato), avremo un numero in metri quadrati, che poi si moltiplica per la terza parte dell’altezza: otterremo, in metri cubi, il volume della piramide monumentale.
Possiamo preparare modelli di cartoncino e vari disegni con le piante dei principali monumenti corredate dalle relative misure. Tali modelli possono essere utilizzati tanto per uno studio di carattere storico ed artistico, quanto, attraverso il calcolo approssimativo delle loro dimensioni, per offrire ai bambini cognizioni tangibili sull’imponenza di alcune costruzioni edificate dall’uomo.
Nella vita di ogni giorno, le misure comunemente più usate sono quelle che si riferiscono al modo di determinare quantità si sostanze che, in se stesse, non hanno forma propria, come i liquidi: acqua, olio, vino, ecc… o anche si elementi secchi come grano, riso, farina, o anche sabbia, ghiaia da spargere in un giardino, legna, ecc… Occorre quindi un’unità di misura delle capacità che sia basata sul metro, perchè anch’essa formi parte del sistema metrico, e le cui unità di misura procedano di 10 in 10 per poter essere comprese in quello decimale. L’unità principale di misura delle capacità è il decimetro cubo (dm³).
Fra il materiale usato nella Casa dei Bambini la torre rosa ha nel suo cubo maggiore, quello con lo spigolo di 10cm, il volume indicato come unità principale di misura delle capacità.
Attorno a questo cubo immaginiamo di costruire un rivestimento metallico a forma di scatola che lo contenga esattamente. Poi sostituiamo il cubo di legno con una quantità di acqua tale da riempire la scatola proprio fino al bordo: questa quantità rappresenta un litro, l’unità fondamentale di misura dei liquidi.
Una volta determinata tale quantità, nella pratica delle misurazioni il decimetro cubo non è più necessario. Un cilindro nel quale si sia versato un litro di acqua può, contrassegnando il livello raggiunto dalla superficie del liquido, servire poi come misura di un qualsiasi liquido. Si può anche usare una comune bottiglia che porti un segno nel punto in cui giunge il livello corrispondente ad un litro.
I liquidi si misurano con recipienti di forma diversa come barili, damigiane, ecc…
Il calcolo però si rapporta sempre, per la sua qualità di punto di riferimento e unità principale di misura, alla capacità di 1dm³, ossia ad un recipiente di forma cubica con lo spigolo di 1dm.
Per i liquidi, le misure di uso più corrente sono:
hl – ettolitro – 100 litri
dal – decalitro – 10 litri
l – litro – 1 litro = 1dm³
dl – decilitro – 1/10 di litro = 0,1 litri
cl – centilitro – 1/100 di litro = 0,01 litri.
Le misure stesse di capacità sono anche misure di volume, poichè esse rappresentano:
1 litro – 1dm³
1 decalitro – una fila di 10 cubi
1 ettolitro – un quadrato di 100 cubi
1 chilolitro – la sovrapposizione di 10 ettolitri, corrispondente alla capacità di 1m³.
Le misure che si usano in pratica sono di vetro e poichè si presentano segnate nel punto raggiunto dal liquido, funzionano da misura. Per misure maggiori, si usano recipienti di metallo o di legno a forma di otre o barile. Le misure per l’olio generalmente sono di metallo e di forma cilindrica, munite di manico e beccuccio, e portano un segno nel punto in cui deve giungere la misura precisa.
Il procedimento più interessante per la determinazione pratica dell’unità di misura è quello che riguarda il peso dei corpi. La misura da cui si parte è il piccolo cubo che troviamo alla sommità della torre rosa e che misura 1cm di spigolo.
Per calcolare un peso con scrupolosa esattezza occorre una bilancia di precisione. Bisogna quindi determinare un volume e la qualità della materia, dal momento che uguali volumi di sostanze diverse hanno peso diverso. Anche qui abbiamo due criteri distinti, due elementi differenti ed entrambi importanti.
Il volume scelto come unità è quello corrispondente alle capacità di un cubo con lo spigolo di 1cm.
Immaginiamo una scatolina di metallo che contenga esattamente un piccolo cubo, come il primo della torre rosa, però costituito in metallo, con la massima precisione, in modo da rappresentare esattamente 1cm³. Togliendo poi il piccolo cubo, rimane la scatolina metallica della capacità esatta di 1cm³. Tale minuscola scatola deve essere riempita con una sostanza che sceglieremo, perchè essa influisce sul peso più di quanto non operi il volume. Infatti 1cm³ di olio e 1cm³ di mercurio peseranno senza dubbio in modo assai diverso.
Per rendere più comprensibile questo fatto, potremo ricordare le esperienze condotte nella Casa dei Bambini, quando in modo empirico cercavano di riconoscere il differente peso di tavolette uguali per forma e dimensioni, ma diverse nella materia: dall’ebano all’abete.
Potremo ricordare anche le altre esperienze fatte nella scuola elementare studiando in grammatica gli aggettivi di grado comparativo e superlativo.
Diamo qui un esercizio nel quale i bambini confrontano sostanze liquide diverse come acqua, olio, alcol, e insieme sostanze solide come sughero e piombo. Indipendentemente dalla quantità usata per ciascuna delle sostanze elencate, esse si dispongono l’una sotto l’altra, senza mescolarsi: acqua, olio ed alcol rimangono separate e sovrapposte tra le due sostanze solide collocate agli estremi: il piombo affonda e il sughero galleggia.
Il peso in relazione con la natura della sostanza piuttosto che con il volume è un fatto già noto ai bambini, da quando è stato loro spiegato il valore dell’aggettivo “specifico”. Sarà perciò chiaro che, oltre al volume, si rende necessario riferirsi a una sostanza, rapportandosi al suo peso specifico. La materia scelta è l’acqua.
L’unità fondamentale di misura dei pesi è rappresentata dal peso di 1 cm³ di acqua. Si sa che l’acqua può essere pura e impura. Si studiarono già molti aggettivi che si riferiscono all’acqua: deve essere inodore, incolore, insapore, ecc… Venne pure filtrata mediante corpi permeabili. Si concluse che, per ottenere acqua pure, bisogna distillarla, poichè quando si converte in vapore, essa non trasporta con sè nessuno dei sali che contiene disciolti, ma si converte in acqua chimicamente pure (H2O). Il vapore acqueo, condensandosi, si raccoglie a goccia a goccia trasformato nuovamente nello stato liquido.
Il grammo, unità principale di misura dei pesi, corrisponde al peso di 1 centimetro cubo di acqua distillata alla temperatura di 4° centigradi.
Come si sa, l’acqua è la sostanza usata anche per definire la scala per la misura delle temperature. Infatti se un tubo capillare contenente mercurio ed ermeticamente chiudo si introduce nel ghiaccio, il mercurio si contrae; nel punto corrispondente al livello minimo si segna lo zero (zero gradi di temperatura). Se poi introduciamo il tubo nell’acqua che bolle (oppure lo esponiamo al vapore acqueo che si forma sulla superficie dell’acqua che bolle, a una normale pressione atmosferica, che è 1-, il mercurio si dilata e nel punto del tubo in cui esso raggiunge il livello massimo si segna 100 (cento gradi di temperatura). Lo spazio tra 0 e 100 si suddivide in 100 parti uguali chiamate gradi.
Abbiamo così stabilito che l’unità principale di misura dei pesi corrisponde al peso di 1 cm³ di acqua distillata alla temperatura di 4°C: tale peso, messo in rapporto con il sistema metrico, si chiama grammo (g). L’unità di peso è assai piccola, proprio perchè talvolta serve come punto di partenza per la misurazione di quantità minime, come avviene in medicina o quando si determina il peso di sostanze utilizzate per analisi chimiche.
Il grammo che si usa praticamente per pesare non è certo quell’acqua contenuta nel piccolo cubo, ma un piccolo cilindro di ottone munito di un bottoncino di presa, e si determina mediante una bilancia di precisione, comparandolo in modo che corrisponda perfettamente al peso dell’acqua del piccolo cubo che, perciò, ha ruolo di peso-campione.
Nella pratica si usano pesi anche minori del grammo; nella loro successione decimale sono:
1/10 di grammo – decigrammo – 0,1 grammi (dg)
1/100 di grammo – centigrammo – 0,01 grammi (cg)
1/1000 di grammo – milligrammo – 0,001 grammi (mg)
Invece, per i pesi adoperati comunemente nella vita di ogni giorno, si usano i multipli del grammo e uno di essi, il chilogrammo, serve da punto di riferimento:
1 grammo – grammo – g
10 grammi – decagrammo – dag
100 grammi – ettogrammo – hg
1000 grammi – chilogrammo – kg
Il chilogrammo corrisponde al peso dell’acqua distillata contenuta in un decimetro cubo, grande come il cubo maggiore della torre rosa, e corrisponde al peso di 1 litro di acqua distillata.
In pratica si usa anche l’ettogrammo quando si comprano generi alimentari. Quando invece si tratta di misurare pesi più grandi, si ricorre a due pesi estremi, rappresentati dal peso citato, il chilogrammo in relazione al decimetro cubo, e da quello corrispondente al peso dell’acqua distillata che riempirebbe esattamente la capacità di 1 metro cubo.
Un metro cubo contiene 1000 decimetri cubi e pertanto corrisponde al peso di 1000 chilogrammi di acqua distillata. Questa enorme unità di misura dei pesi si chiama tonnellata (t).
Un peso corrispondente a 100 chilogrammi si chiama quintale (q) e si usa per pesare legna, carbone e cose simili. Ecco l’elenco delle unità di misura dei pesi:
1.000.000 g – tonnellata – t – metro cubo di acqua – 1000 kg
100.000 g – quintale – q – 100 kg
10.000 g – miriagrammo – Mg – 10 kg
1.000 g – chilogrammo – kg – decimetro cubo di acqua – 1000 g
100 g – ettogrammo – hg
10 g – decagrammo – dag
1 g – grammo – g – unità principale di misura -centimetro cubo di acqua – 1g
1/10 g – decigrammo – dg
1/100 g – centigrammo – cg
1/1000 g – milligrammo – mg – millimetro cubo di acqua
Le misure dei pesi sono sempre indirette e occorre uno strumento meccanico per valutarle: la bilancia.
Le misure dei volumi comprendono tanto unità di misura di volume quanto di capacità e di peso. L’unità principale di misura dei volumi è il metro cubo (m³); esso corrisponde alla capacità di 1 chilolitro (kl) di acqua pura, cioè di 1000 litri; e 1 kl di acqua pura pesa 1 tonnellata (t), cioè 1000 chilogrammi.
L’unità principale di misura delle capacità è il litro (l); esso corrisponde alla capacità di 1 decimetro cubo di acqua pura; e 1 dm³ di acqua pura pesa 1 chilogrammo (kg).
L’unità principale di misura dei pesi è il grammo (g); esso corrisponde al peso di 1 centimetro cubo (cm³) di acqua pure che, d’altra parte, ha la capacità di 1 millilitro (ml), cioè di litri 0,001.
Se abbiamo due quantità di uguale volume ma aventi differente peso, vuol dire che hanno diverso peso specifico relativo, cioè diversa densità relativa. Per esempio: ferro, ebano, sughero; oppure mercurio, olio d’oliva, vino, alcool presi nella stessa quantità hanno pesi diversi.
Prepariamo cubetti tutti uguali e con lo spigolo di 1cm delle seguenti sostanze: ferro, alluminio, marmo, cristallo, ebano, sughero. Confrontiamo, poi, il peso di ciascuno di questi piccoli cubi uguali con quello di 1 grammo, che è il peso di un ugual volume di acqua distillata. In conseguenza diremo che:
il ferro pesa 7,85 grammi
l’alluminio pesa 2,56 grammi
il marmo pesa 2,75 grammi
il cristallo pesa 2,60 grammi
l’ebano pesa 1,17 grammi
il sughero pesa 0,24 grammi
Per le sostanze liquide poste in provette graduate della capacità di 1 cm³ riscontreremo che:
il mercurio pesa 13,59 grammi
l’olio pesa 0,92 grammi
il vino pesa 0,96 grammi
l’alcol pesa 0,79 grammi
Così i vari pesi specifici dei quali avevamo già rivelato la differenza mediante una valutazione empirica secondo che galleggiassero o precipitassero, si possono ora identificare con numeri, i quali ci permettono di eseguire calcoli comparativi.
E’ così possibile calcolare il peso (P) di un corpo del quale si conosce il volume (V) e il peso specifico (ps).
Il grande cubo del trinomio Montessori
Il grande cubo del trinomio Montessori è un cubo costituito da 27 singole parti, della grandezza complessiva di cm 31x31x31.
Il cubo originale Montessori ha una grandezza di 9x9x9. Di seguito le misure e l’elenco dei colori da utilizzare per costruirlo in proprio.
Per costruirlo servono tavolette di compensato di 1cm di spessore con le seguenti misure:
4 tavolette cm 9×8
14 tavolette cm 10×10
4 tavolette cm 14×13
14 tavolette cm 15×15
4 tavolette cm 24×23
14 tavolette cm 25×25
12 tavolette cm 13×24
12 tavolette cm 8×24
24 tavolette cm 14×23
12 tavolette cm 8×14
24 tavolette cm 9×23
12 tavolette cm 9×13
12 tavolette cm 10×15
Con queste tavolette si costruiscono le 27 parti del cubo del trinomio come segue:
1 CUBO GIALLO: 4 tavolette 9×8 e 2 tavolette 10×10
1 CUBO BLU: 4 tavolette 14×13 e due tavolette 15×15
1 CUBO ROSSO: 4 tavolette 24×23 e 2 tavolette 25×25
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE BLU): 6 tavolette 25×25 e 12 tavolette 13×24
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE GIALLE): 6 tavolette 25×25 e 12 tavolette 8×24
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE BLU): 6 tavolette 15×15 e 12 tavolette 14×23
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE BLU, FACCE CORTE GIALLE): 6 tavolette 15×15 e 12 tavolette 8×14
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE ROSSE, FACCE CORTE GIALLE): 6 tavolette 10×10 e 12 tavolette 9×23
3 PARALLELEPIPEDI (FACCE LUNGHE GIALLE, FACCE CORTE BLU): 6 tavolette 10×10 e 12 tavolette 9×13
6 PARALLELEPIPEDI (in cui i lati corti corrispondenti ai lati del cubo piccolo e di quello medio, verranno verniciati in giallo e in blu, sul coperchio e sul fondo, e i lati lunghi, corrispondenti ai lati del cubo grande, in rosso): 12 tavolette 10×15, 12 tavolette 14×23 e dodici tavolette 9×23.
Cubi:
4x4x4
3x3x3
2x2x2
Parallelepipedi:
(3) 4x4x3
(3) 4x3x3
(6) 4x3x2
(3) 3x3x2
(3) 4x2x2
(3) 3x2x2
tutte le facce 4×4 sono rosse
tutte le facce 3×3 sono blu
tutte le facce 2×2 sono rosse
tutte le facce non quadrate sono nere.
Questo materiale offre ai bambini un’ ampia gamma di sperimentazioni possibili: si può costruire un’alta torre grazie al particolare rapporto di grandezza tra loro; le singole parti possono essere ordinate secondo grandezza e colore, su di una base, e formare alla fine un cubo; alle varie parti possono venir associati cartoncini fino ad arrivare a sperimentare la formula del trinomio (a+b+c) x (a+b+c) x (a+b+c); le singole parti possono formare una strada o un cerchio su cui i bambini possono camminare, tenendosi in equilibrio.
Noi adulti abbiamo molte idee astratte su ciò che il bambino può o non può imparare e questo avviene anche con il grande cubo del trinomio.
E’ essenziale piuttosto prenderci sufficiente tempo per osservarli giocare e imparare da loro, invece di pretendere sempre che raggiungano i nostri obiettivi e soddisfino le nostre aspettative.
Ciò significa che dovremmo vedere i bambini come sono e non come vorremmo che fossero. La capacità di osservare diventa un’arte vera e propria. Dovremmo riuscire a reprimere l’impulso di intrometterci nei processi infantili o addirittura cercare di accelerarli. La Montessori chiama tutto ciò “Attendere osservando”. I bambini imparano attraverso attività spontanee, durante le quali sviluppano un’enorme energia.
“Lo studio dello sviluppo del bambino è intimamente connesso con lo studio dello sviluppo del movimento della mano. Ci si dimostra chiaramente che lo sviluppo del bambino è legato alla mano, la quale ne rivela lo stimolo psichico.
Possiamo esprimerci in questo modo: l’intelligenza del bambino raggiunge un certo livello, senza far uso della mano; con l’attività manuale egli raggiunge un livello più alto, ed il bimbo che si è servito delle proprie mani ha un carattere più forte.” (Maria Montessori, La mente del bambino).
NUMERI DECIMALI esercizi per la quarta classe
NUMERI DECIMALI esercizi per la quarta classe della scuola primaria, stampabili e scaricabili gratuitamente in formato pdf.
Come abbiamo già detto parlando delle frazioni, non ci troviamo sempre di fronte a quantità intere. Molto spesso ci troviamo di fronte a parti di intero. Se l’intero viene diviso in dieci parti uguali (o cento, o mille, ecc…), avremo un’unità frazionaria che rientra nel nostro sistema di numerazione decimale. Ognuna di queste dieci parti costituirà un nuovo ordine di unità, il decimo, che a sua volta potrà essere suddiviso in dieci parti uguali, e avremo il centesimo, da cui il millesimo, e così via.
Come scrivere questi numeri che seguono lo stesso ordine dei numeri interi? Semplicemente dividendo con una virgola la parte intera dalla parte decimale.
Ad esempio 0,2 (due decimi); lo stesso numero potrebbe essere scritto anche sotto forma di frazione: 2/10.
Perciò potremo indifferentemente scrivere 1/10 oppure 0,1; 1/100 oppure 0,01.
Che cos’è allora un numero decimale? Il numero decimale è un numero composto di unità intere e unità decimali. Le due parti sono separate dalla virgola.
Come nei numeri interi, ogni cifra vale dieci volte la cifra posta alla sua destra.
0,2 vuol dire 0 interi e 2 decimi; ossia l’intero è stato diviso in 10 parti uguali e se ne considerano solo 2.
Aggiungere degli zeri alla destra di un numero intero vuol dire moltiplicarlo per 10, 100, 1000, ecc…
Esempio: 4 – 40 – 400 – 4.000
Se invece gli zeri si aggiungono alla sinistra del numero, essi non hanno alcun valore. Se aggiungo uno o più zeri alla destra di un numero decimale, il suo valore non cambia:
Esempio: 2,4 – 2,40 – 2,400
Infatti si tratta sempre di 2 interi e 4 decimi.
Uno o più zeri, messi dopo la virgola, non modificano il numero se non sono seguiti da un’altra cifra:
Esempio: 2,0000000 = 2
Se si aggiungono degli zeri alla sinistra della parte decimale di un numero, questa parte decimale cambia di valore (diventa 10, 100, 1000 volte più piccola):
Esempio: 2,4 – 2,04 – 2,004
FRAZIONI esercizi per la quarta classe
FRAZIONI esercizi per la quarta classe della scuola primaria, stampabili e scaricabili gratuitamente in formato pdf.
Finora abbiamo considerato l’unità intera. Ma, a volte l’intero viene diviso in parti. Se esso viene diviso in parti uguali, abbiamo le unità frazionarie.
Che cos’è dunque l’unità frazionaria? Ognuna delle parti in cui viene diviso l’intero. Come viene scritta? Sotto forma di frazione. Che cos’è la frazione. Una parte di un’unità intera. Frazionare vuol dire dividere l’intero in parti uguali. Con la frazione possono essere indicate una o più unità frazionarie.
Se l’intero è stato diviso, ad esempio, in quattro parti uguali e se ne sono considerate due, tale parte dell’intero viene indicata così:
La frazione è composta di due numeri separati da una linea che significa: diviso. I due numeri si chiamano numeratore e denominatore.
Il denominatore ci dice in quante parti è stato diviso l’intero, (ogni parte è un’unità frazionaria); il numeratore dice quante unità frazionarie sono state considerate.
Se numeratore e denominatore sono uguali, la frazione è uguale a 1 (cioè all’intero) e viene detta apparente. Ad esempio:
Per trovare la frazione di un numero, si dovrà dividerlo per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore. Siano da trovare ed esempio i
si procederà così:
15: 5 = 3 (unità frazionaria)
3 x 3 = 6
Che cosa significa un mezzo? Che l’intero è stato diviso in due parti uguali. Come possiamo scriverlo? Sotto forma di frazione:
NUMERI CARDINALI E ORDINALI esercizi per la quarta classe
NUMERI CARDINALI E ORDINALI esercizi per la quarta classe della scuola primaria, scaricabili e stampabili gratuitamente in formato pdf.
All’inizio della quarta classe sarà bene accertarsi se i bambini hanno acquistato sicurezza e disinvoltura nella scrittura e la lettura dei numeri, insistendo soprattutto sui numeri fra i 10.000 e i 100.000
Dopo aver considerato i numeri cardinali (da cardine che significa fondamento, base), potremo soffermarci anche sui numeri ordinali, che indicano il posto occupato da una cosa in una successione o in una serie di cose appartenenti logicamente alla stessa specie. Essi sono: primo, secondo, terzo, quarto, ecc…
ESERCIZI DI MATEMATICA per la quarta classe
Esercizi con le frazioni per la terza classe
Esercizi con le frazioni per la terza classe della scuola primaria stampabili in formato pdf.
Per calcolare la metà, la terza, la quarta o la quinta parte di un numero intero si divide quel numero per 2, per 3, per 4 o per 5.
Esempi:
la metà di 48 = 24, perché 48 : 2 = 24
1/3 di 60 = 20, perché 60 : 3 = 20
¼ di 200 = 50, perché 200 : 4 = 50
1/5 di 285 = 57, perché 285 : 5 = 57
Problemi di aritmetica per la terza classe
Il metro esercizi per la terza classe
Peso lordo peso netto tara problemi per la classe terza
Il grammo esercizi per la terza classe
Il grammo problemi per la terza classe
Problemi sul perimetro di quadrato rettangolo e triangolo
Incolonnamento di numeri decimali
Incolonnamento di numeri decimali – esercizi per la classe terza della scuola primaria stampabili in formato pdf.
Scrivendo i numeri interi, abbiamo visto che le unità vanno scritte sotto le unità, le decine sotto le decine, le centinaia sotto le centinaia e le migliaia sotto le migliaia. Così, scrivendo i numeri decimali, dovremo scrivere i decimi sotto i decimi ecc… virgola dopo virgola.
Se ci capiterà di incolonnare un numero intero sotto un numero decimale, sarà bene trasformare il numero intero in numero decimale, cioè aggiungere al numero una virgola, seguita da tanti zeri quante sono le cifre decimali.
Ad esempio, per incolonnare il numero intero 34 sotto il numero decimale 0,5 devo trasformare il numero intero in numero decimale così:
0,5
34,0
_____________________
Esercizi
Il migliaio – esercizi per la classe terza
Il migliaio – esercizi per la classe terza stampabili gratuitamente in formato pdf.
9 unità + 1 unità = 10 unità = 1 decina
99 unità + 1 unità = 100 unità = 1 centinaio
999 unità + 1 unità = 1000 unità = 1 migliaio
1 migliaio è formato da 1.000 unità, oppure da 100 decine, oppure da 10 centinaia.
Abbiamo visto che:
il simbolo dell’unità è u
il simbolo della decina è da
il simbolo delle centinaia è h
il simbolo del migliaio è k
Esercizi di aritmetica per la classe terza
Metà e doppio – esercizi per la classe terza
Esercizi di Aritmetica – numeri fino a 800 – classe terza
Esercizi di Aritmetica – numeri entro il 700 – Classe terza
Composizione e scomposizione di numeri – esercizi per la classe terza
Moltiplicazioni e divisioni per 10 100 1000 di numeri interi
Moltiplicazioni e divisioni per 10 100 1000 di numeri interi – una raccolta di esercizi per bambini della classe terza della scuola primaria, stampabili in formato pdf.
Abbiamo visto che per dividere per 10 un numero intero terminante per zero, basta togliere lo zero dalla destra del numero. Ora invece divideremo per 10 un numero che non termina per zero:
35:10 =
Siccome, dividendo un numero per 10, ogni cifra diminuisce il suo valore di 10 volte, ecco che le 3 decine diverranno 3 unità e le 5 unità… diverranno 5 decimi. Sappiamo che i decimi si scrivono alla destra della virgola, perciò sarà necessario mettere la virgola, così:
35:10 = 3,5
Ricorda:
per dividere un numero intero per 10, si separa con la virgola una cifra, partendo dalla destra del numero.
Consideriamo questa divisione:
326 : 100 =
Siccome dividendo un numero per 100 ogni cifra diminuisce il suo valore di 100 volte, ecco che le 3 centinaia diventeranno 3 unità, le 2 decine diventeranno 2 decimi e le 6 unità diventeranno 6 centesimi. Sappiamo che i decimi ed i centesimi si scrivono a destra della virgola, perciò sarà necessario mettere la virgola, così:
326 : 100 = 3,26
Ricorda:
per dividere un numero intero per 100, si separano con la virgola due cifre, partendo dalla destra del numero.
Consideriamo questa divisione:
1.324 : 1.000 =
Siccome dividendo un numero per 1.000 ogni cifra diminuisce il suo valore di 1.000 volte, ecco che un migliaio diventa 1 unità, le 3 centinaia diventeranno 3 decimi, le 2 decine diventeranno 2 centesimi e le 4 unità diventeranno 4 millesimi. Sappiamo che i decimi, i centesimi ed i millesimi si scrivono a destra della virgola, perciò sarà necessario mettere la virgola, così:
1.324 : 1.000 = 1,324
Ricorda:
per dividere un numero intero per 1.000, si separano con la virgola tre cifre, partendo dalla destra del numero.
Moltiplicazioni e divisioni per 10 100 1000 di numeri interi
Esercizi
Moltiplicazione e divisione per 10 100 e 1000 di numeri decimali – esercizi
Moltiplicazione e divisione per 10 100 e 1000 di numeri decimali – esercizi per la classe terza della scuola primaria, disponibili gratuitamente in formato pdf.
Abbiamo visto che per moltiplicare per 10 un numero intero basta aggiungere uno zero a destra del numero. Ora invece moltiplicheremo per 10 un numero decimale. Ad esempio:
4,6 x 10 =
Poiché moltiplicando un numero per 10 ogni cifra che lo compone aumenta il suo valore di 10 volte, ecco che le 4 unità diventano 4 decine, e i 6 decimi diventano 6 unità. Perciò sarà necessario spostare la virgola di un posto verso destra, così:
4,6 x 10 = 46
Ricorda: per moltiplicare un numero decimale per 10 basta spostare la virgola di un posto verso destra.
Quando moltiplichiamo un numero decimale per 100, le cifre che lo compongono aumentano il loro valore di 100 volte. Ad esempio, nel caso di:
5,48 x 100 =
le 5 unità diventano centinaia, i 4 decimi diventano decine, gli 8 centesimi diventano unità. Perciò per moltiplicare un numero decimale per 100 è necessario spostare la virgola di due posti verso destra, così:
5,48 x 100 = 548
Se manca una cifra, si aggiunge uno zero. Ad esempio:
9,8 x 100 = 980
Ricorda: per moltiplicare un numero decimale per 100 basta spostare la virgola di due cifre verso destra. Se manca una cifra si aggiunge uno zero.
Moltiplichiamo ora un numero decimale per 1.000:
2,5 x 1.000 = 2500
Ricorda: per moltiplicare un numero decimale per 1.000 si sposta la virgola verso destra di tre cifre (quanti sono gli zeri del moltiplicatore). Se le cifre non bastano, si aggiungono degli zeri.
Dividendo un numero per 10 o per 100 o per 1.000 ogni cifra che lo compone diminuisce il suo valore di 10, 100 o 1.000 volte.
Nel caso di una divisione per 10, ad esempio:
342,5 : 10 = 34,25
le 3 centinaia diventano decine, le 4 decine diventano unità e le 2 unità diventano decimi; i 5 decimi diventano centesimi.
Nel caso di una divisione per 100, ad esempio:
342,5 : 100 = 3,425
le 3 centinaia diventano unità, le 4 decine diventano decimi, le 2 unità centesimi e i 5 decimi millesimi. Se le cifre non bastano, si aggiungono degli zeri. Ad esempio:
1,5 : 100 = 0,015
Nel caso di una divisione per 1.000 avremo ad esempio:
49,3 : 1.000 = 0,0493
Ricorda: per dividere un numero decimale per 10 o per 100, basta spostare la virgola di una o due cifre verso sinistra. Se le cifre non bastano si aggiungono degli zeri.
Per dividere un numero decimale per 1.000 si sposta la virgola, da destra verso sinistra, di tante cifre quanti sono gli zeri del divisore. Se le cifre non bastano, si aggiungono degli zeri.
Esercizi
Numeri decimali esercizi per la terza classe
Numeri decimali esercizi per la terza classe – una raccolta di esercizi e problemini per la classe terza su decimi, centesimi e millesimi stampabili in formato pdf.
I decimi
Se prendiamo una tavoletta di cioccolata e la tagliamo in dieci parti uguali, ogni pezzetto è un decimo della cioccolata. Un decimo, oltre che sotto forma della frazione 1/10, si può indicare anche col numero decimale 0,1. La virgola separa la parte intera dalla parte decimale (i decimi occupano il primo posto alla destra della virgola). Così:
1/10 = 0,1
2/10 = 0,2
3/10 = 0,3
4/10 = 0,4
10/10 = 1
2,3 = 2 unità e 3 decimi
10,7 = 10 unità e 7 decimi
32,6 = 32 unità e 6 decimi
9,9 = 9 unità e 9 decimi
50 = 50 unità e 0 decimi
Si chiamano numeri decimali i numeri che comprendono unità decimali.
I centesimi
Prendiamo una lunga striscia di carta e tagliamola in 100 parti uguali. Ogni pezzetto è un centesimo 1/100 del foglio. Un centesimo, oltre che sotto forma di frazione 1/100, si può indicare anche con il numero decimale 0,01. La virgola separa la parte intera dalla parte decimale, e i centesimi occupano il secondo posto a destra della virgola. Così:
1/100 = 0,01
2/100 = 0,02
3/100 = 0,03
4/100 = 0,04
5/100 = 0,05
100/100 = 1
2 unità e 18 centesimi = 2,18
7 unità e 2 centesimi = 7,02
19 unità e 37 centesimi = 19,37
24 unità e 1 centesimi = 24,01
2 unità e 18 centesimi = 2,18
0 unità e 10 centesimi = 0,10
I millesimi
Prendiamo una stella filante, svolgiamo il rotolino e dividiamolo in 1000 parti uguali: ogni pezzetto è un millesimo (1/1000) della striscia. Un millesimo, oltre che sotto forma di frazione 1/1000, si può indicare anche con il numero decimale 0,001. La virgola separa la parte intera dalla parte decimale. Così:
2/1000 = 0,002
3/1000 = 0,003
4/1000 = 0,004
1000/1000 = 1
0 unità e 37 millesimi = 0,037
4 unità e 2 millesimi = 4,002
14 unità e 328 millesimi = 14,328
10 unità e 7 millesimi = 10,007
I millesimi occupano il terzo posto alla destra della virgola.
Problemi sul litro e le misure di capacità per la classe terza
Esercizi sulle misure di capacità per la terza classe
Numeri romani – esercizi per la terza classe
Numeri romani – esercizi per la terza classe scaricabili e stampabili in formato pdf, nella versione semplice e in forma di scheda autocorrettiva.
scarica e stampa le schede qui:
Istruzioni per le schede autocorrettive: ritagliare lungo le linee orizzontali, quindi piegare ognuno dei foglietti ricavati lungo la metà verticale. In questo modo otterrete delle schede fronte-retro.
Il bambino può svolgere l’esercizio sulla scheda, quindi aprirla per correggersi.
Gli esercizi sono quelli comunemente utilizzati in terza classe, come vedete. Ho sempre però difficoltà a trovare materiali che offrano ai bambini anche la possibilità dell’autocontrollo e dell’autocorrezione (per gli esercizi per i quali si può fare, naturalmente…).
Utilizzo delle schede autocorrettive: bambini hanno a disposizione in classe una scatola-schedario di esercizi vari per ogni materia, da scegliere liberamente, che è uno per tutti: abbiamo uno schedario per la Matematica, uno per l’Italiano, uno per l’Inglese, ecc…
Ogni bambino ha poi una scatola-schedario individuale, col suo nome, dove conserva i cartellini che ha usato per i suoi esercizi. E’ assurdo incollare fotocopie su fotocopie sui quaderni! Questa modalità favorisce il lavoro individuale e individualizzato, ma anche l’aiuto reciproco e la collaborazione: se un bambino ha già provato un dato esercizio, può dare una mano al compagno che lo sta facendo; poi ci sono anche schede per lavorare in coppia, ad esempio quelle dei dettati che prevedono che un bambino legga al bambino che scrive.
E’ naturalmente sempre il bambino a scegliere; se lo desidera può portare anche il lavoro a casa: vi sembrerà assurdo, ma a me che non uso dare compiti, i bambini li chiedono…
A differenza degli eserciziari “a libro”, lo schedario mi permette di aggiornare l’offerta di esercizi in base agli interessi dei bambini, o alle difficoltà che mostrano, e inoltre si integra benissimo coi materiali montessoriani già a disposizione.
Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo ESERCIZI
Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo ESERCIZI. Una raccolta di presentazioni, giochi ed esercizi per l’addizione secondo la psicoaritmetica Montessori.
Tutto il materiale stampabile illustrato in questo articolo si trova qui:
Tavola dell’addizione e asticine – Esercizi
Scopo: aiutare il bambino a conoscere e memorizzare tutte le possibili combinazioni dell’addizione di numeri da 1 a 9, per facilitare la comprensione delle operazioni e il calcolo mentale.
La linea rossa che divide verticalmente la tavola dell’addizione ci dice, per ogni numero che eccede il 10, di quante unità oltre la decina è composto il numero stesso. Mostra cioè al bambino che i numeri sono divisi in due parti: una parte rappresenta una decina completa, l’altra parte è il resto di unità che non hanno raggiunto una decina. Questo è il meccanismo generale dell’addizione che vogliamo sia appreso dai bambini.
Controllo dell’errore: Il bambino controlla il lavoro sulle tavole di controllo Tavola I e Tavola II.
Età: 5 anni e 1/2 – 6 anni
Presentazione 1
Per prima cosa illustriamo al bambino la Tavola con asticine, mostrando bene la linea rossa che scorre in verticale tra i numeri 10 e 11; indicargli i numeri che si trovano nella parte superiore della tavola e dirgli che è li che troverà la risposta che cerca.
Prendere tutte le asticine blu e metterle in ordine decrescente; fare la stessa cosa con le asticine rosse.
Chiedete al bambino di scegliere un’asticina blu e posizionarla sulla prima riga della tavola. (Ad esempio l’asticina del 6). Scegliamo un’asticina rossa, cercando di evitare che la somma superi il 10 (ad esempio l’asticina del 3) e posizioniamola a destra della striscia blu.
Mostriamo quindi al bambino che 6 più 3 è uguale a 9
Ripetiamo l’esercizio, ma questa volta facendo in modo che la somma superi la decina, e mostrare chiaramente al bambino la linea rossa verticale che indica che il numero ottenuto è maggiore di 10.
Presentazione 2
L’insegnante invita il bambino ad unirsi a lei in questo esercizio, insieme portano al tavolo tutto il materiale necessario, poi si siede accanto a lui, dal suo lato non dominante; il bambino sceglie un cartellino delle addizioni da svolgere, legge a voce alta, poi posa il cartellino sul tavolo.
Per esempio, se si tratta di 9 +5= , l’insegnante prende l’asticina blu del 9 e la mette sulla tavola dell’addizione, poi prende l’asticina rossa del 5 e la mette alla fine dell’asticina blu, quindi fa notare al bambino che le due asticine insieme terminano sulla casella 13.
Il bambino prende il cartoncino dei risultati corrispondente, lo pone a destra di quello dell’operazione, poi scrive sul foglio a quadretti l’operazione ed il suo risultato.
Presentazione 3
Mostriamo al bambino il primo modulo per l’addizione scritta, quello dell’1. La prima operazione è 1 + 1 =
Il bambino metterà sulla tavola dell’addizione un’asticina blu dell’1 e un’asticina rossa dell’1.
Mostriamo al bambino che il risultato dell’operazione è 2:
Il bambino scrive il risultato sul modulo, quindi prosegue completando, anche nei giorni seguenti, tutti i moduli.
Una volta che ha completato i moduli da 1 a 9, possiamo introdurre la Tavola I di controllo, e aiutare il bambino a verificare la correttezza del lavoro svolto sui moduli.
Presentazione 4
Chiediamo al bambino di mettere sulla Tavola dell’Addizione, ad esempio, un’asticina blu del 5 e una rossa del 3. La somma sarà 8.
Poi chiediamogli di mettere un’asticina del 3 blu e un’asticina 5 rossa. La somma sarà ancora 8.
Osserviamo col bambino come nelle due operazioni i colori appaiano in ordine differente, e che comunque il risultato finale è identico.
Fare molti esercizi di questo genere.
Presentazione 5
Il bambino posiziona, ad esempio, l’asticina blu dell’8 sulla Tavola dell’addizione. Poi prende un pezzetto di carta a quadretti e scrive 8. Chiediamo al bambino: “Cosa fa 8?”
Partendo dall’asticina blu dell’1, il bambino aggiunge l’asticina rossa che serve a raggiungere l’8, quindi trascrive l’operazione sul suo foglietto; in questo modo:
Per le operazioni identiche (ad esempio 7+1 e 1+7) possiamo spiegare al bambino come eliminare una delle due, che rappresenta un duplicato, e come cancellarle (tirando una riga) anche dal foglietto.
Il bambino può poi controllare il suo lavoro sulla Tavola II di controllo.
Esercizi con la TAVOLA III
Il bambino farà scorrere la mano destra lungo le linee orizzontali, e la mano sinistra lungo le linee verticali per trovare la somma.
Materiale necessario: Tavola III dell’addizione; moduli delle addizioni; cartellini degli esercizi per l’addizione; tavola di controllo (Tavola I) dei risultati.
Presentazione 1: l’insegnante invita il bambino ad unirsi a lei nell’esercizio, porta quindi al tavolo del bambino il materiale, e il bambino sceglie un cartellino dell’addizione.
L’insegnante chiede al bambino di leggere ad alta voce l’operazione, ad esempio: “Due più sei uguale…” e pone il cartellino scelto sul tavolo
quindi gli mostra come trovare il risultato sulla tavola dell’addizione, facendo scorrere la mano destra lungo la linea blu fino ad arrivare al 2, e ripetendo a voce alta: “Due”, e la mano sinistra lungo la linea rossa fino al 6, ripetendo a voce alta: “Sei”.
Muovendo poi le mani insieme, e ripetendo “Due più sei uguale”, arrivata al risultato legge il numero: “Otto”.
Chiede quindi al bambino di cercare il cartellino dell’otto nella scatola dei risultati, e di posizionarlo a destra del cartellino dell’operazione, dopo il segno di uguale.
Quando il bambino è pronto a lavorare autonomamente, dopo il numero di esempi necessari, insegnante e bambino si scambiano i ruoli per qualche altra operazione, quindi il bambino può lavorare da solo e scegliere nei giorni successivi questo materiale ogni volta che lo desidera.
Presentazione 2
Presentiamo la Tavola al bambino, mostrandogli i numeri blu sull’asse orizzontale e i numeri rossi sull’asse verticale. Chiedere quindi al bambino di scegliere un cartellino dal cesto delle operazioni, e chiedergli di leggerlo a voce alta; ad esempio: “9 + 5=”
Mostrare al bambino come posizionare un dito sul 9 rosso (sull’asse verticale) e un altro dito sul blu 5 blu (sull’asse orizzontale). Far scorrere le dita fino a quando si incontrano, per ottenere la risposta. Dire ad alta voce, “9 + 5 = 14” .
Far ripetere al bambino. Fare un paio di esempi.
Una volta che il bambino capisce che cosa fare con le dita, gli insegneremo a prendere il cartellino del risultato da abbinare a quello dell’operazione, ed a registrare il risultato sui moduli.
Nei giorni seguenti il bambino può lavorare da solo, o con un compagno.
Esercizi con la TAVOLA IV
Per prima cosa esaminiamo la tavola col bambino: notiamo che essa è per dimensione solo la metà rispetto alla Tavola III. Non vi è alcuna riga superiore blu. Eppure ha lo stesso numero di operazioni.
I movimenti della mano sono leggermente diverse rispetto a quelli necessari per l’uso della Tavola III.
Il bambino sceglie un’addizione, ad esempio 8 + 4 =
Per trovare il risultato sulla Tavola, bisognerà posizionare un dito sull’ 8 rosso, e un dito sul 4 rosso. I consiglio è quello di posizionare sempre l’indice sinistro sul numero più grande dell’operazione (in questo caso l’8)
Poi bisogna far scorrere le due dita verso destra, parallelamente, finché una delle due non può più andare avanti.
A questo punto scendere col dito arrivato allo “stop” fino ad incontrare l’altro dito (in questo caso nella casella del 12)
Dire, “8 + 4 = 12” Chiedete al bambino di fare un paio di prove, fino a capire i movimenti della mano che vanno eseguiti, quindi chiedere al bambino di registrare l’operazione e la risposta.
Esercizi con la TAVOLA V
Il bambino sceglie un cartellino delle operazioni, ad esempio 6 + 2 = Posiziona l’indice sinistro sul 6 rosso e il destro sul 2 rosso.
Fa poi scorrere le dita verso destra, ciascun dito fino al “capolinea”: in questo caso il dito destro si fermerà sul 4 e il sinistro sul 12.
Ora fate incontrare le due dita tra loro, una salendo e l’altra scendendo le scale:
si incontreranno sull’8:
dire quindi ad alta voce: “6 + 2 = 8”
Esercizi con la TAVOLA VI (Tombola dell’addizione)
Chiedete al bambino di prendere i tombolini e di metterli in ordine crescente a sinistra della Tavola.
Il bambino sceglie un’operazione tra i cartellini delle addizioni e la legge a voce alta, ad esempio: “7 + 4 =”
Il bambino dovrebbe conoscere la risposta, e prendere il tombolino corrispondente al risultato.
Quindi posizionerà un dito sul 7 blu e uno sul 4 rosso, e posizionerà il tombolino del risultato nel punto di incontro.
Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo stampabili
Tavola con asticine dell’addizione e tavole di controllo stampabili. Il lavoro necessario a calcolare qualsiasi addizione si incentra sempre intorno al 10. Le addizioni parziali dei gruppi possono rimanere al di sotto della decina, raggiungerla o superarla. Per completare l’esercizio col tavoliere delle asticine, si offre un materiale scritto che conduce il bambino alla memorizzazione necessaria per il calcolo rapido.
In questo articolo trovi la descrizione dettagliata di tutte le tavole per l’addizione predisposte dalla Montessori, la tombola delle addizioni, i cartellini ed i moduli da compilare; mentre trovi tutto il materiale pronto per la stampa qui:
Il tavoliere delle asticine è in due versioni:
– piccola
– grande.
Oltre al tavoliere il materiale comprende tutte le tavole di controllo previste da Maria Montessori, compresa la tombola dell’addizione:
– moduli per l’esercizio scritto
– cartelli delle operazioni per le addizioni
– tavola I: questa tavola rappresenta tutte le combinazioni che si possono effettuare con i moduli per l’esercizio scritto
– tavola per il passaggio dalla Tavola I alla Tavola II
– tavola II: in questa tavola dell’addizione i riquadri sono disposti in modo che tutti i 10 risultino sulla stessa linea
– tavola per il passaggio dalla Tavola II alla tavola III
– tavola III, che si legge come la tavola pitagorica. Le due linee direttrici della cornice ricalcano la successione della serie naturale dei numeri da 0 a 9
– tavola IV
– tavola V
– tavola VI: la tombola dell’addizione.
Questa è la tavola con asticine per l’addizione:
Moduli per l’esercizio scritto
Nei moduli per l’esercizio scritto avremo sulla colonna di sinistra (primo addendo) sempre lo stesso numero (da 1 a 9), che viene sommato successivamente coi numeri da 1 a 9 (secondo addendo, nella colonna centrale). A destra si scrivono i numeri che rappresentano i totali. Dopo la stampa ritagliate i moduli lungo le linee verticali.
Questo materiale per gli esercizi scritti conduce il bambino ad impadronirsi di tutte le possibili combinazioni intorno al 10, necessarie e sufficienti da memorizzare. Stampatene tutte le copie che il bambino desidera.
Esercizi per l’addizione
Questi cartellini contengono tutte le combinazioni possibili, che rientrano nelle tavole dell’addizione, ed a parte, tutti i risultati corrispondenti:
cartelli delle operazioni
Prima tavola dell’addizione – Tavola I
Questa tavola rappresenta tutte le combinazioni che si possono effettuare con i moduli per l’esercizio scritto.
In essa ogni numero da 1 a 9 risulta addizionato con la serie dei numeri da 1 a 9.
Osservando la tavola, si vede che in ogni colonna è sempre presente un 10 come totale. Nella prima colonna (quella dell’1) il 10 è l’ultimo totale ottenuto, il penultimo nella colonna del 2, il terzultimo nella colonna del 3 ecc.. , mentre occupa la prima posizione nella colonna del 9.
Passaggio dalla tavola I alla tavola II
Il 10, nella tavola I, risulta sempre composto dall’unione di quegli stessi gruppi che il bambino ha avuto modo di conoscere fin da quando lavorava con le aste numeriche, quando, attraverso vari spostamenti, formava aste tutte di lunghezza 10 così:
9+1=10
8+2=10
7+3=10
6+4=10.
Sappiamo che 5+5=10 non è possibile con le aste numeriche per la presenza nella serie di una sola asta del 5: in realtà potremmo eseguire l’operazione 5×2, facendo ruotare l’asta di 180° gradi.
Le rimanenti combinazioni
4+6=10
3+7=10
2+8=10
1+9=10
sono semplicemente l’inverso delle combinazioni precedenti.
Disporre di aste rigide che si possono spostare per formare aste di valore 10 chiarisce il fatto che le successive combinazioni si rifanno alle precedenti e fa risaltare la differenza che esiste tra le nove combinazioni considerate nel loro complesso e la necessità di dislocare gli elementi che costituiscono le prime quattro combinazioni per poter concretizzare le ultime quattro.
Le combinazioni rappresentano il fatto più importante. Prendiamo ad esempio la combinazione 3+7=10. Se su questa combinazione si interviene con il dislocamento dei pezzi componenti cambiandoli in 7+3=10, risulta sempre la stessa combinazione, anche se sotto un altro aspetto, quasi come succede per una stessa moneta vista nel suo dritto e nel suo rovescio.
Ciò che occorre memorizzare, quindi, è la combinazione, ed ogni combinazione di gruppi diseguali di presenta doppia, dal punto di vista della posizione dei termini che la compone. Questo “duplicato inverso” può essere eliminato in una tavola semplificata, nella quale siano presenti tutte le possibili combinazioni, dove il necessario è ciò che è sufficiente:
Per il passaggio dalla Tavola I alla Tavola II nelle scuole Montessori si utilizzano oggi dei rettangoli di cartoncino che vengono utilizzati per coprire via via le combinazioni ripetute sulla Tavola I: ne risulta che la tavola si presenta suddivisa in due parti triangolari. Soltanto in quella in basso a sinistra si possono leggere le 45 combinazioni rimaste. Tuttavia, per ottenere la Tavola II, dovremo idealmente tagliare in strisce verticali le combinazioni rimaste, per riallinearle in modo che tutte le addizioni con 10 per totale si trovino sulla stessa riga.
Seconda tavola dell’addizione – Tavola II
Nella seconda tavola dell’addizione i riquadri sono disposti in modo che tutti i 10 risultino sulla stessa linea.
In questa tavola si trovano tutte le combinazioni dei gruppi che non raggiungono la decina, che si trovano al di sopra della linea in cui i risultati sono uguali a 10; tutte le combinazioni dei gruppi che superano la decina si trovano invece al di sotto della linea.
Nella Tavola II i riquadri organizzati secondo la linea del 10 offrono questo schema generale: in ogni riga sono presenti le combinazioni i cui totali risultano uguali.
Possiamo contrassegnare con colori meno accesi o con un carattere tipografico più piccolo, i duplicati delle combinazioni che è possibile eliminare alla scopo di ottenere quelle fondamentali. Le scomposizioni si verificano più volte ripetute con termini invertiti e, siccome si distinguono le ripetizioni, contrassegnandole con un colore più chiaro (ad esempio), si vede che esse vanno aumentando di numero dalla seconda colonna in avanti; vale a dire che ci si imbatte in un doppione nella colonna del 2, in due in quella del 3, ecc… e in otto nella colonna del 9.
Nella Tavola II, ogni colonna ha inizio con la combinazione in cui i due addendi sono fra loro uguali: 1+1 2+2 3+3 ecc…, e le altre combinazioni si svolgono (ma il 9+9 inizia e conclude la colonna) verso il basso.
Tutte le combinazioni della Tavola I si trovano nella Tavola II, procedendo a ritroso obliquamente e passando, in tal modo, attraverso tutte le colonne, fino alla prima.
Al di sopra della diagonale, cioè sopra la linea degli addendi uguali, si ritroverebbero le combinazioni ripetute in senso inverso (contrassegnate con colore pallido).
Se dalla Tavola I si eliminano dunque i duplicati, otteniamo una tavola semplificata contenente tutte le possibili combinazioni: questa Tavola II si può leggere e studiare come la tavola pitagorica per la moltiplicazione.
Leggendo le addizioni rimaste in ciascuna colonna, si vede che esse cominciano sempre con un numero addizionato a se stesso.
C0sì, ad esempio, considerando la colonna col 4+4:
– troviamo poi 3+4=7 (che si può leggere anche 4+3=7) nella colonna precedente e nella sua riga immediatamente superiore (salendo di una posizione in diagonale, insomma)
– nella colonna ancora più a sinistra (quella del 2) e nella riga ancora più in alto (salendo cioè in diagonale di un’altra posizione), troviamo 2+4=6 (che si può leggere anche 4+2=6).
– avvalendosi della proprietà commutativa dell’addizione, il bambino che lavora alle combinazioni del 4 troverà quelle non presenti (perchè già eliminate) rispettivamente nelle colonne del 3 del 2 e dell’1, dove il 4 è presente come secondo addendo.
La stessa cosa si osserva per tutti i numeri, procedendo obliquamente da destra a sinistra.
Per eseguire tutte le combinazioni di un dato numero partendo dalla minore, ad esempio tutte le addizioni relative al 3:
– partiamo da 1+3 della prima colonna
– proseguiamo in obliquo verso destra, di colonna in colonna, scendendo sempre di una riga: 2+3 3+3
– giunti a 3+3 si prosegue verticalmente sulla stessa colonna.
Terza tavola dell’addizione – Tavola III
Trascriviamo, uno sotto l’altro, colonna dopo colonna, i totali delle addizioni presenti nella Tavola I:
Costruiamo poi una cornice contenente la serie dei numeri da 1 a 9, prendendo lo zero per angolo. Si ottiene così questa tavola:
La Tavola III si legge come la tavola pitagorica: per esempio 8+5=13. Le due linee direttrici della cornice ricalcano la successione della serie naturale dei numeri da 0 a 9.
Lungo la diagonale si incontrano via via i doppi dei numeri presenti nella cornice, e fuori della diagonale non c’è altro che la ripetizione simmetrica delle addizioni presenti in ciascuna delle due metà. Per questo motivo basta imparare a memoria soltanto metà della tavola, cioè 45 combinazioni.
Quarta tavola dell’addizione – Tavola IV
Possiamo ridurre la Tavola III in questo modo:
– nella tavola, ogni numero da 1 a 9 si conclude, al termine delle rispettive righe, con il suo doppio.
– si vedono inoltre i numeri uguali incasellati in allineamenti ascendenti e discendenti tra loro paralleli e perpendicolari alla diagonale principale
Per poter leggere la Tavola IV si procede verso destra fino a raggiungere il doppio del numero di partenza; se il totale dell’addizione è superiore a quel doppio (e questo accade quando il secondo addendo è maggiore del primo), si scende verticalmente fino alla riga che indica il livello del secondo addendo.
Prendiamo ad esempio l’addizione 4+7:
– si procede fino al doppio del 4 (4 x 2=8)
– si scende verticalmente fino alla riga del 7: il totale è 11.
Se desideriamo addizionare 5+8, partiamo allo stesso modo dal doppio del 5 (10) e poi scendiamo verticalmente fino alla riga dell’8, e troveremo il 13.
E’ evidente che, per eseguire ad esempio la somma 8+5, per la proprietà commutativa, opereremo in maniera che il primo addendo sia quello minore, cioè il 5.
Bisogna però dire che il bambino trova molto facilmente il totale in questo modo: punta i due addendi sulla striscia verticale, sposta poi le due dita orizzontalmente verso destra finchè un dito raggiunge la diagonale che limita la tavola, e a questo punto scende verticalmente fino ad incontrare la riga orizzontale indicata dall’altro dito.
Quinta tavola dell’addizione – Tavola V
Eseguendo parecchie di queste addizioni sulla Tavola IV si osserva che i risultati incontrati lungo la diagonale principale sono sempre numeri pari, e che quelli lungo la diagonale immediatamente al di sotto e parallela sono dispari. Perciò, queste due serie di numeri bastano ad indicare ogni possibile totale di addizioni entro il 18. Possiamo quindi ridurre la Tavola IV in questo modo:
ottenendo la Tavola V.
Prendiamo come esempio l’addizione 5+8
– si procede orizzontalmente fino ad incontrare i rispettivi doppi, cioè 10 e 16
– si percorre la diagonale con direzione convergente, raggiungendo il 12 nello scendere, e il 14 nel salire
– il risultato si trova nella casella che sta tra il 12 ed il 14, sulla diagonale dei numeri dispari: 13
Prendiamo ora ad esempio l’addizione 3+7:
– arrivati al doppio 6+14 si procede in senso contrario
– sulla diagonale troviamo la casella del 10: questa volta il totale, essendo pari, si trova proprio sulla diagonale principale.
Prendiamo poi ad esempio l’addizione 3+9:
– avanziamo tra il 6 e il 18
– le dita si incontrano su un numero comune che si trova sulla diagonale: 12.
L’uso di due bastoncini per parte, che vengono opportunamente separati, dà a questo esercizio l’aspetto di gioco.
Dopo molti esercizi, il bambino potrà arrivare ad alcuni interessanti punti di coscienza:
– la somma di due numeri pari è un numero pari
– la somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari
– la somma di due numeri dispari è un numero pari.
Inoltre, la somma di due numeri è uguale alla media dei loro doppi. Infatti, intendendo per media aritmetica “la somma di due o più numeri divisa per il numero di essi” avremo ad esempio:
4+6= (4×2) + (6×2) x 1/2 = [2 x (4+6)] :2 = 10
Tavola dell’Addizione VI – Tombola dell’addizione (o Tavola con tombolini)
Oltre a queste cinque tavole di confronto, viene usata poi una sesta tavola con 81 totali mobili: è la Tombola dell’addizione.
Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione
Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione – La tavola dell’addizione con le asticine serve a introdurre le addizioni oltre il dieci. Si tratta di un materiale che permette di studiare, analizzandoli nei loro particolari, i passaggi già esaminati attraverso il serpente dell’addizione.
Qui il post:
Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione è una tavola suddivisa in 18 colonne e 10 righe, che formano una quadrettatura di 2 x 2 cm, nella versione originale. Una grossa linea verticale rossa situata fra la decima e l’undicesima (cioè dopo il numero 10) divide in due parti la tavola. Il materiale è completato da 9 asticine blu e nove asticine rosse, numerate entrambe da 1 a 9. Le asticine blu sono lisce, mentre quelle rosse sono quadrettate.
Le suddivisioni sono contrassegnate da numeri posti nella parte superiore che, in corrispondenza dei quadretti sottostanti, vanno da 1 a 10 alla sinistra della linea divisoria, e da 11 a 18 alla sua destra. I numeri da 1 a 10 sono scritti in rosso, mentre quelli da 11 a 18 in blu o nero. Sotto la striscia orizzontale che reca i numeri, sono presenti altre 10 strisce orizzontali: ne risulta una scacchiera rettangolare di 18 quadretti vuoti di base e di 10 di altezza.
Lo scopo del tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione è quello di mostrare chiaramente il passaggio attraverso il 10. Accompagnano il materiale due serie di asticine di legno della stessa altezza dei quadretti e di lunghezza variabile da 1 a 9 quadretti:
– nella prima serie le asticine sono blu e non risultano suddivise in quadretti; alla fine portano il numero che corrisponde alla quantità che rappresentano
– nella seconda serie, di colore rosso, le asticine risultano suddivise in tanti quadretti quante sono le unità di ciascun gruppo da esse rappresentato. Inoltre, nell’ultimo quadretto di ogni asticina, è presente il numero corrispondente alle unità che compongono il gruppo.
Ho preparato una versione piccola del tavoliere (che sta in un foglio a4 orizzontale) e una versione un po’ più grande (occorre unire tra loro due fogli a4 per ottenere il tavoliere completo):
Oltre al tavoliere il materiale comprende tutte le tavole di controllo previste da Maria Montessori, compresa la tombola dell’addizione:
– moduli per l’esercizio scritto
– cartelli delle operazioni per le addizioni
– tavola I: questa tavola rappresenta tutte le combinazioni che si possono effettuare con i moduli per l’esercizio scritto
– tavola per il passaggio dalla Tavola I alla Tavola II
– tavola II: in questa tavola dell’addizione i riquadri sono disposti in modo che tutti i 10 risultino sulla stessa linea
– tavola per il passaggio dalla Tavola II alla tavola III
– tavola III, che si legge come la tavola pitagorica. Le due linee direttrici della cornice ricalcano la successione della serie naturale dei numeri da 0 a 9
– tavola IV
– tavola V
– tavola VI: la tombola dell’addizione.
Per utilizzare il materiale il bambino colloca sul tavoliere un’asticina blu, quella del 7 ad esempio, in alto a sinistra, subito al di sotto dei numeri;
pone poi accanto ad essa un’asticina rossa, ad esempio quella del 5.
Vede così che le due asticine insieme oltrepassano la linea rossa e arrivano al quadretto del 12, che rappresenta il totale dell’addizione considerata: 7+5=12.
L’asticina del 5 risulta a cavallo della linea rossa: 3 quadretti sulla sinistra e 2 sulla destra. Il 5 ha ceduto cioè 3 unità per completare il 10, e soltanto 2 hanno sconfinato nella seconda decina.
Esempi di addizione:
7+5=12
8+8=16
6+9=15
9+2=11
5+6=11
In questo stesso modo, si possono ripetere tutte le possibili combinazioni; ai bambini tra i 5 e i 6 anni piace molto elencare queste combinazioni una ad una.
Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione, che serve ad esercitarsi sull’addizione parziale di gruppi entro la decina (serpente dell’addizione e tavoliere delle asticine), si completa con una serie di tavole di controllo per l’addizione ed esercizi scritti, che accompagnano il bambino nella memorizzazione necessaria per il calcolo veloce.
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Il tavoliere delle asticine Montessori per l’addizione
Giochi coi numeri da 1 a 10
Giochi coi numeri da 1 a 10: sono giochi che si possono fare con i bambini per allenare la conoscenza delle cifre da 1 a 10 e le quantità corrispondenti. Sono adatti ad essere proposti nel periodo in cui i bambini si dedicano alle aste numeriche,
ai numeri tattili
e al casellario dei fuselli…
E’ importante che i bambini si divertano con questi giochi, che provino piacere nel mostrare quello che hanno imparato e che ognuno sperimenti il successo: tutti i bambini devono brillare.
Gioco 1
Si invitano i bambini a dare diverse cose per un certo numero di volte. Ad esempio:
“Giovanni, vuoi battere tre volte i piedi?”
“Anna, vuoi battere 6 volte le mani?”
“Carlo, vuoi battere sul tavolo 4 volte?”
“Elisa, vieni a darmi 2 baci?”
“Luca, batti le mani zero volte?”
Gioco 2
Si mettono 55 oggetti identici sul tavolo (biglie, conchiglie, pietre, frutta secca,…).
Poi si scrivono i numeri da 0 a 10 su foglietti rettangolari piegati a metà, e si mettono in una scatolina.
Ogni bambino estrae un foglietto dalla scatola, lo apre e legge il suo numero senza dirlo agli altri. Poi passa alla tavola e prende il numero di oggetti corrispondente al numero, infine consegna il foglietto e gli oggetti al maestro.
Gioco 3
Gli oggetti possono anche essere non identici.
Un bambino prende un messaggio segreto e lo pone richiuso sul tavolo. Poi prende il numero di oggetti corrispondente, e lascia che un altro bambino indovini il messaggio segreto.
Gioco 4
Scopo: esercitare la memoria ricordando un numero per un certo periodo di tempo, mostrare che tutti gli oggetti possono essere contati.
Si invitano al gioco 11 bambini.
Ogni bambino, uno alla volta, prende un messaggio segreto, lo guarda attentamente, poi lo pone chiuso sul tappeto verde, va a prendere il numero di oggetti corrispondente e lo pone vicino al messaggio.
Quando tutti i bambini lo hanno fatto, si chiede individualmente ad ogni bambino di identificare il suo numero e di contare i suoi oggetti.
Quando tocca al bambino con lo zero, l’insegnante sottolinea il concetto: “Non ha portato oggetti, deve avere lo zero!”
Il serpente dell’addizione Montessori
Il serpente dell’addizione è un esercizio che si può introdurre parallelamente a quello delle catene di 100
e delle catene di 1000,
e che ha lo scopo di far eseguire quasi meccanicamente piccole addizioni di unità, introducendo i bambini al calcolo mentale.
Per giocare al serpente dell’addizione occorrono semplicemente le barrette di perle colorate e quelle di perle dorate (per il 10).
Se non vuoi acquistarle, trovi il tutorial per realizzarle in proprio qui:
Se non ti è possibile, puoi anche pensare di stampare la versione virtuale, che trovi qui:
E’ necessario disporre di una certa quantità di barrette. Il numero rappresentato da ciascuna di esse si conosce contando le perle che la compongono. A poco a poco, però, il colore aiuterà a riconoscere la quantità ed eliminerà l’impegno di dover contare una perla alla volta.
Si comincia l’esercizio disponendo in riga una certa quantità di bastoncini, scegliendoli a caso. Almeno in un primo momento, però, sarà meglio disporre i bastoncini in modo tale che i bastoncini-addendi in gioco (due o più) non diano come somma oltre la decina. Questi bastoncini andranno allineati su un lungo tavolo o sul pavimento. Per fare in modo che non risulti troppo lunga, la linea non è diritta ma sinuosa, e ricorda un serpente.
Si inizia il conteggio e non appena si giunge a 10 unità, si isolano i bastoncini sommati, sostituendoli con un bastoncino dorato della decina. Quindi, a partire dalla decina, si riprende a contare fino a raggruppare altre dieci unità e, ancora, un bastoncino dorato va a sostituire quelli sommati, che si tolgono dal serpente. E così si procede fino ad esaurire il conteggio.
Assistiamo a questa trasformazione: il serpente muta pelle e diventa via via tutto d’oro , e bastoncini di uguale lunghezza vanno via via ad occupare il posto di quelli di lunghezza diversa. Il conteggio è servito a trasformare in decine quantità minori, destinate a fondersi nel dieci, base del sistema decimale.
L’esercizio offre la possibilità di eseguire semplici addizioni nel limite del dieci, dal momento che ogni volta si comincia daccapo, senza tener conto di quei bastoncini delle decine che si vanno allineando lungo il cammino. E’ un’attività sempre uniforme che va ripetendosi e che finisce col rendere facile, rapida e meccanica l’addizione di numeri inferiori al dieci.
In realtà si tratta di un grande lavoro di conteggio delle unità, che costringe a riflettere e ad eseguire un certo numero di sottrazioni contemporaneamente alle addizioni, per calcolare la quantità eccedente la decina, dopo che essa è stata formata.
Su questa particolarità si sviluppa l’esercizio con tutte le sue varietà, risultanti dai possibili accostamenti, nella formazione del serpente, di bastoncini differenti.
Poniamo il caso che il serpente cominci coi numeri 6 e 5:
la loro somma dà 11. Si isolano i due bastoncini, sostituendoli con un altro dorato, ma c’è ancora una perla (l’ultima del bastoncino marrone) che completa la quantità espressa dalla somma 5+6, cioè 5+6 è uguale a 10+1.
Questo uno appartiene al 6 che è stato isolato insieme al bastoncino del 5, infatti 6 = 5+1. Questo 1 che rimane è ancora da contare.
Proseguendo, supponiamo che gli altri bastoncini che seguono siano 8 e 6. L’addizione che si presenta per prima è 1+8=9, quindi si continua a sommare 9+6 = 15 = 10+5. Si isolano perciò i bastoncini 1, 8 e 6, sostituendoli con un bastoncino del 10 e uno del 5. Questo 5 è ciò che è rimasto del 6.
Questi resti di cui abbiamo parlato devono potersi distinguere dai bastoncini colorati che costituiscono il serpente. Questi resti rappresentano la quantità che si è dovuta mettere da parte, poichè il bastoncino colorato conteggiato solo parzialmente non può essere spezzato. Però bisogna ricordarsi di tenerne conto nell’addizione successiva. Per rappresentare questi resti, c’è un materiale complementare che elimina ogni possibile confusione: i bastoncini per i cambi:
1 – un bastoncino di 1 perla nera
2- un bastoncino di 2 perle nere
3 – un bastoncino di 3 perle nere
4 – un bastoncino di 4 perle nere
5 – un bastoncino di 5 perle nere
6 – un bastoncino di 5 perle nere e 1 bianca
7 – un bastoncino di 5 perle nere e 2 bianche
8 – un bastoncino di 5 perle nere e 3 bianche
9 – un bastoncino di 5 perle nere e 4 bianche
L’uso di nero e bianco e la loro particolare disposizione facilitano la scelta dei pezzi, che si riconoscono a prima vista.
Se non avete la possibilità di utilizzare perle vere per il gioco del serpente dell’addizione, ho preparato anche i bastoncini dei cambi in versione stampabile:
Esempi pratici
Facciamo degli esempi pratici. Componiamo questo serpente:
1 + 4 + 9 + 2 + 6 + 9 + 2 + 4 +8 + 6 + 3 + 7 + 5 + 3 + 4 +2
Il bambino comincia a contare le perle, e arrivato a 10 mette un segno a dividere la decina dal “resto”
Stacchiamo le barrette interessate al conteggio, e prendiamo la barretta della decina che abbiamo ottenuto, e la barretta del cambio relativa alla parte restante (in questo caso 1+4+9= 10 e 4):
Mettiamo da una parte la decina, ed attacchiamo al serpente la barretta nera del cambio:
Conserviamo quindi a parte le perle colorate che abbiamo tolto al serpente, e che ci serviranno per la prova:
Continuiamo il gioco addizionando la barretta del cambio al serpente, fino a raggiungere una nuova decina. Nell’esempio dovremo sommare 4 + 2 + 6
Otterremo una seconda barretta della decina, e avremo bisogno di una barretta dei cambi da 2 da attaccare al serpente:
Eliminiamo da ogni conteggio la barretta da 4 del cambio precedente:
quindi attacchiamo il nuovo cambio ottenuto (due) al serpente, e conserviamo da una parte le decine ottenute, a dall’altra le barrette colorate tolte al serpente:
Ora dunque dobbiamo sommare 2 e 9; avremo una nuova decina e un cambio da 1:
Poi avremo 1+2+4+8, ed otterremo una decina e una perla del cambio da 5:
poi 5+ 6; avremo una decina ed un resto di 1:
poi 1+3+7, ed avremo 1 decina e un cambio da 1:
poi 1+5+3+4, ottenendo una decina e un cambio di 3:
la barretta del cambio da 3 si attacca alla parte terminale del serpente, che è 2:
non arriviamo a comporre una decina nuova, quindi l’operazione si conclude conteggiando un avanzo di 5, cioè una barretta dei cambi da 5:
Eliminiamo dal conteggio il vecchio cambio (quello di 3 perle) e poniamo il cambio da 5 insieme alle decine, e la barretta del 2 insieme alle altre barrette colorate tolte via via dal serpente.
Il risultato dell’addizione 1 + 4 + 9 + 2 + 6 + 9 + 2 + 4 +8 + 6 + 3 + 7 + 5 + 3 + 4 +2 è 75:
cioè 10 10 10 10 10 10 10 10 5. Ma come possiamo sapere se è corretto? Basterà contare tutte le perle colorate che formavano il serpente in origine, sempre raggruppando tra loro le barrette a formare decine colorate. Se ci occorre spezzettare le barrette, potremo sostituirle con un equivalente di perle nere dei cambi. Nel nostro esempio dovremo sostituire la barretta dei due con due barrette da uno:
ed avremo:
9+1=10, 9+1=10, 8+2=10, 7+3=10, 6+4=10, 6+4=10, 5+4+1=10, e 3+2=5; cioè 10 10 10 10 10 10 10 10 5
l’operazione è corretta. Il risultato è 75.
Torniamo ora all’immagine del serpente già presentato più sopra:
L’immagine rappresenta i cambi avvenuti per formare le decine. Le quantità originarie incolonnate a sinistra sono state via via sostituite, dando luogo alla disposizione rappresentata nella linea di perle a destra. Fra le due disposizioni possiamo vedere ciò che rimaneva dei bastoncini che nel corso dell’operazione risultavano eccedere la decina: resti che vennero via via sommati con i bastoncini che li seguivano. Il risultato del serpente è 62, ossia: 10 10 10 10 10 10 2
A volte i bambini costruiscono un serpente molto lungo, che assomma a molte centinaia. A esercizio concluso, si contano i bastoncini delle decine disponendoli uno accanto all’altro, verticalmente: appena riuniti 10 bastoncini, si sostituiscono con un quadrato del centinaio, e così si prosegue coi cambi, fino alla fine. Il totale risalta facilmente, proprio per la differente forma dei risultanti gruppi del sistema decimale ( quadrato per le centinaia, linea per la decina, punto per le unità).
La verifica dell’operazione eseguita si effettua raccogliendo tutti i bastoncini via via usciti dal gioco e riunendoli a due a due (se possibile), in modo che ogni coppia costituisca una decina. Nel caso del serpente 5 6 8 6 2 5 1 4 9 3 4 7 9 si raggrupperanno così:
9+ 1
8+2
7+3
6+4
6+4
5+5
9
e si verificherà che ogni gruppo possa sostituirsi con una decina del risultato. In questo caso c’è perfetta corrispondenza:
L’esercizio del serpente fissa l’attenzione del bambino sulla difficoltà di contare per dieci. Questa difficoltà, ripetendosi costantemente, porta il bambino a procedere in modo esatto, dal momento che non lo preoccupa la serie di decine che via via si lascia indietro.
Nei metodi comuni, quando si addizionano gruppi di unità che formano più decine, questo accumulo gravoso e molesto si trascina, rendendo faticoso l’andare avanti. Invece la difficoltà di calcolo è unica ed è sempre la stessa, per quanto grande sia l’ampiezza dei conti da eseguire, e risiede in quel salto attraverso il 10 che presuppone un’attività mentale, esige cioè piccole addizioni e sottrazioni per arrivare a completare le decine, e il calcolo dei resti che devono essere aggiunti ai gruppi successivi.
Gli esercizi col serpente, ripetuti per lungo tempo, finiscono per rendere meccanico il lavoro della mente intorno al 10: a poco a poco sparisce la lenta attività di ragionamento, e si sostituisce con un meccanismo mentale. Le leggi che regolano le attività razionali affidano al deposito della memoria le conoscenze acquisite, per fare in modo che ci siano sempre energie disponibili da dedicare a lavori successivi. Questo deposito della memoria è un grande tesoro che permette di avanzare.
Si tratta della teoria montessoriana del “valore del subconscio”. Secondo la Montessori il subconscio è deposito e riserva di impressioni assorbite e di conoscenze acquisite. Il subconscio è paragonabile a una grande stanza buia nella quale sono immagazzinate le esperienze attraverso cui l’individuo è passato nel corso della sua vita. La stanza non è arredata: i mobili non vi sono disposti con una funzione, ma sono ammassati come in un magazzino. La mente che cerca una soluzione è simile a una torcia nelle mani di un ladro che sceglie la cosa per lui più preziosa in quel momento. Il fascio di luce si arresta: ha trovato quello che cercava, e questo cercare e trovare è ciò che chiamiamo “portare alla luce della coscienza”.
Le nuove acquisizioni, poi, devono prima essere filtrate dal ragionamento, e non si dirigono mai direttamente alla memoria ed ai suoi meccanismi.
Così, quando il bambino ha raggiunto un certo grado di maturità meccanica nel calcolo relativo ai passaggi attraverso il 10, i gruppi di decine già accumulati e lasciati indietro potranno venir trasportati di volta in volta nel posto che compete loro attraverso la memoria, grazie a passaggi che in sè non presentano ormai nessuna difficoltà.
Nell’esercizio del serpente, i due diversi lavori risultano separati, e questo permette un procedere rapido e senza fatica, consentendo il raggiungimento di risultati apprezzabili. Le decine che si accumulano si contano a parte, in una seconda fase, e i bambini lo fanno con grande piacere, provando la soddisfazione di chi si rende conto della propria ricchezza dopo aver fatto la fatica di “risparmiarla”.
La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri
La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri. Contare secondo la serie naturale dei numeri risulta interessante soltanto per una mente che già possiede il principio organizzatore degli ordini della numerazione decimale.
Per questo motivo, con i bambini, è molto importante partire dai punti fondamentali delle gerarchie, considerando le unità che guidano gli ordini del sistema: uno, dieci, cento, mille.
Per l’1 abbiamo una delle perle dorate:
per il 10 un bastoncino di perle:
per il 100 un quadrato costruito con 10 bastoncini di perle:
per il 1000 un cubo costruito con 10 quadrati:
Se invece di tenere le decine unite in forma di quadrato, le “sleghiamo”, mantenendole unite soltanto per le estremità, otterremo una catena di cento perle raggruppate in decine, ossia in bastoncini che si susseguono:
La catena del 100 impressiona per la sua lunghezza, più di quanto non lo faccia il quadrato per la sua superficie. La catena rappresenta il cammino delle unità che, attraverso le decine, vanno a formare il centinaio. Possiamo contare le unità a una a una, effettuando in tal modo la numerazione progressiva: uno, due, tre….nove, dieci, undici… trentotto, trentanove… novantanove, cento.
E’ evidente che, una volta conosciuta la chiave dei “passaggi”, non esiste maggior difficoltà nel contare fra novanta e cento che fra trenta e quaranta.
Questa è la catena del 100 in versione stampabile:
e questa con le perle vere:
Il bambino conta le perle una ad una, ed utilizza le frecce per tenere il conto.
Come già spiegato qui
per le catene potete agganciare le barrette tra loro attraverso i ganci terminali, oppure congiungere le barrette tra loro con degli anellini fatti arrotolando il fil di ferro attorno alla pinza.
Trovi il tutorial per realizzare in proprio la catena del 100 e le altre catene dei quadrati dei numeri, e la versione stampabile delle catene qui:
Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD
Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD.
Le catene di perle sono serie di barrette (di perle colorate per i numeri da 1 a 9) e di perle dorate per la decina, che rappresentano in forma lineare il quadrato ed il cubo di ogni numero. Coi bambini più piccoli si prestano ad esercizi legati al contare ed all’esplorazione del numero e del sistema decimale, coi più grandi supporta lo studio delle potenze e dell’algebra.
Qui trovi qualche suggerimento per la costruzione in proprio del materiale, o in alternativa la versione stampabile.
Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD
Partiamo dalla costruzione della catena del 100 e delle altre catene del quadrato dei numeri.
Questa è la catena del 100, cioè del quadrato di 10 (da realizzare naturalmente con le perle dorate)
Se desiderate realizzare il materiale con perle vere, dopo aver preparato le 10 barrette da dieci perle, congiungetele tra loro preparando degli anellini di fil di ferro:
Se non avete la possibilità di realizzare il materiale con perle vere, potete considerare l’idea di stampare e comporre sempre con anellini di fil di ferro o graffette queste catene pronte per la stampa:
Sia che usiate perle vere, sia che vogliate ricorrere alla versione stampabile, completano il materiale le frecce per contare (blu per le decine, rosse per le centinaia):
Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD
Le altre catene dei quadrati, oltre a quella del 100 (quadrato del 10) si preparano allo stesso modo, utilizzando le barrette di perle colorate
per i numeri da 2 a 9 (il quadrato di 1 è 1), congiungendo attraverso gli anellini di fil di ferro (o le graffette):
– 2 barrette del 2
– 3 barrette del 3
– 4 barrette del 4
– 5 barrette del 5
– 6 barrette del 6
– 7 barrette del 7
– 8 barrette dell’8
– 9 barrette del 9
è un materiale che, una volta preparato, si presta poi ad essere utilizzato anche per giochi con le tabelline e successivamente allo studio delle potenze dei numeri.
Questa è, se può essere utile, la versione stampabile:
E anche in questo caso, completano il materiale le frecce per contare.
Ho preparato una versione colorata (nei colori utilizzati per preparare il materiale stampabile) e una versione bianco e nero se utilizzate barrette di colori diversi (da colorare o da stampare su fogli colorati):
Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD
La catena del 1000 e le altre catene dei cubi dei numeri
Per la catena del 1000, dopo aver preparato le 10 catene del 100 necessarie, congiungetele tra loro con un ulteriore anellino, in modo tale che la catena presenti un anello a congiungere le decine tra loro, e due anelli a congiungere tra loro le centinaia.
Allo stesso modo potete congiungere tra loro, se preferite, il materiale stampabile proposto più sopra, insieme alla catena del 100.
Sia che usiate perle vere sia che usiate il materiale stampabile, completano il materiale le frecce per contare.
Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD
Per i cubi dei numeri da 1 a 9 congiungete tra loro:
– 4 barrette del 2
– 9 barrette del 3
– 16 barrette del 4
– 25 barrette del 5
– 36 barrette del 6
– 49 barrette del 7
– 64 barrette dell’8
– 81 barrette del 9
Questo è il materiale in versione stampabile:
Anche in questo caso, il materiale è completato dalle frecce per contare, compreso nelle frecce per contare le catene delle potenze:
Catene di perle Montessori TUTORIAL E DOWNLOAD
La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri
La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri. Il cubo di 1000 perle può essere scomposto in dieci quadrati e ciascuno di essi in dieci bastoncini, ognuno di dieci perle. Lasciando questi uniti soltanto per le estremità, otterremo una catena lunghissima che ci dà l’impressione della quantità, il migliaio, più esatta di quella che ci viene fornita dal cubo.
Le perle fotografate nelle presentazioni sono le mie perle auto prodotte e le perle prodotte da Montessori 3D di Boboto.
Se si paragona questa catena del 1000 con la catena del 100, si vede chiaramente la differenza tra quadrato e cubo. Ripiegando 10 volte la catena del mille in modo che le decine risultino bene accostate, avremo la parvenza di una successione di 10 quadrati.
Se vicina a questa si dispone la catena del 100, si nota che a ciascun bastoncino della catena del 100 corrisponde un quadrato di quella del 1000.
La reazione dei bambini di fronte a questo materiale è sorprendente: vorranno infatti contare la catena del mille, unità dopo unità. Poichè questa è un’operazione troppo lunga per poterla eseguire in una sola volta, i bambini la interrompono, ma non la abbandonano.
Lo stesso giorno, o il giorno seguente, riprendono l’operazione da dove l’avevano interrotta
e proseguono nel conteggio fino a concluderlo.
Sono vivamente interessati da questa successione di decine e centinaia e dalla somma di unità che si susseguono l’una all’altra. Contano e contano senza stancarsi.
Una variante dell’esercizio di conteggio delle perle che formano la catena del 1000, e che aiuta i bambini a comprendere meglio il valore dei numeri 1, 10, 100 e 1000, consiste nel predisporre in una grande stanza la sequenza lineare di tutto il materiale. Si forma la prima colonna con l’unità, la seconda con la decina, la terza col serpente del centinaio, e la quarta col serpente del migliaio: la sua lunghezza è impressionante! La maggior parte dei bambini provano grande piacere nel contare, appena si sentono capaci di farlo. Piace anche molto mettere le frecce dei numeri mentre contano.
Costruire la catena del 1000 in proprio
per le catene potete agganciare le barrette tra loro attraverso i ganci terminali, oppure congiungere le barrette tra loro con degli anellini fatti arrotolando il fil di ferro attorno alla pinza, così:
gli anellini sono più resistenti ed io li preferisco. Per ogni catena, come avete potuto vedere nelle immagini, preparate prima i gruppi di barrette al quadrato (due barrette per il due, 3 per il 3… 8 per l’8… ecc…) mettendo sempre un anellino anche all’inizio ed alla fine, e poi formate la catena del “cubo” in modo che tra un gruppo e l’altro ci siano 2 anellini consecutivi:
Trovi il tutorial per realizzare in proprio la catena del 1000 e le altre catene dei cubi dei numeri da stampare gratuitamente, e la versione stampabile delle catene qui:
I cubi dei numeri
La catena del 1000 è la versione lineare del cubo del 10; possiamo preparare quindi le catene dei cubi di tutti i numeri da 1 a 9, che i bambini troveranno altrettanto affascinanti.
Questi sono degli esempi:
Versione stampabile delle perle dorate Montessori
Versione stampabile delle perle dorate Montessori – Questo è il materiale delle perle dorate:
potete trovare il tutorial per realizzarlo in proprio qui
Versione stampabile delle perle dorate Montessori
Soprattutto pensando alle insegnanti che sentono quanto la psicoartimetica Montessori potrebbe essere d’aiuto nella scuola, non solo per il sostegno, ho anche preparato del materiale “virtuale” stampabile:
Versione stampabile delle perle dorate Montessori
materiale pronto per download e stampa qui:
Dopo aver stampato, consiglio di plastificare, o almeno di incollare ad un cartoncino per rendere il materiale più resistente e facile da maneggiare.
Potete utilizzare le barrette semplicemente ritagliate, ma sarebbe meglio completarle inserendo alle due estremità di ogni barretta una graffetta:
o un anellino di fil di ferro (basta attorcigliarlo attorno alla pinza e tagliare):
Questo accorgimento vi permetterà poi di utilizzare il materiale anche per altri giochi ed attività interessanti come il serpente dell’addizione e le catene di 100 e di 1000.
Versione stampabile delle perle dorate Montessori
Esercizi con le tavole di Sèguin e le perle colorate Montessori
Esercizi con le tavole di Sèguin e le perle colorate Montessori per imparare a conoscere i numeri da 11 a 19, da 10 a 90 e da 11 a 99.
Tutto il materiale pubblicato (download, presentazioni, tutorial, ecc.) si trova qui: LE TAVOLE DI SEGUIN.
Qui puoi trovare anche la stampa dei cartelli dei numeri
e delle aste numeriche.
La prima tavola di Séguin
Il materiale è costituito da una serie di nove 10 scritti l’uno sotto l’altro e disposti in una cornice.
Sotto l’ultimo c’è uno spazio vuoto. Allegata a questa tavola c’è una serie di tavolette di grandezza sufficiente per coprire lo zero del 10, che si possono collocare nella cornice, introducendole dal lato destro fornito di apposita scanalatura.
Con questo esercizio il bambini unisce le conoscenze dei numeri da 11 a 19, prima considerati separatamente o come quantità o come simboli.
L’appaiamento quantità – simboli si conduce presentando contemporaneamente le perle colorate e i cartelli, per ciascuno dei numeri da 11 a 19. Nelle immagini vediamo il numero 15 con le perle colorate, e con le “perle colorate” stampabili:
Altro esercizio consisterà poi nel lasciare fissa la stessa decina, e sostituendo via via accanto ad essa i gruppi successivi di unità. Questo esercizio può essere eseguito sia con le perle colorate, sia con le aste numeriche:
Ogni volta che si forma una nuova quantità, c’è la relativa composizione del numero. Si pone così il bastoncino da 1 perla vicino a un bastoncino della decina, mentre nel cartello del 10 lo zero viene coperto dal simbolo dell’1. Si prosegue così, sostituendo e unendo fra loro quantità e simboli, lasciando fissa la decina.
Arrivati al 9, non si può continuare con lo stesso procedimento, perchè il bastoncino (o l’asta numerica) che segue il 9 non può che essere una nuova decina. Collochiamo quindi la nuova decina accanto alla prima.
Per quanto riguarda i cartelli dei numeri, bisogna invece accantonare quelli usati prima e utilizzare il cartello del 20.
Tutti questi esercizi rafforzano il concetto chiave del sistema decimale, che si impernia sul passaggio da una decina all’altra, cioè dal 9 al 10. Dopo il 9, il ponte è stato superato: ha inizio una nuova decina.
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Esercizio 2 – prima tavola di Séguin
collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità
Materiale:
tavolette di Séguin dei 10,
9 barrette di perle del 10,
un set di barrette di perle colorate da 1 a 9
Scopo: collegare le cifre da 10 a 19 alle quantità
Esercizio: si sistemano le tavole di Seguin sul tappeto. L’insegnante mette una barretta del 10 e una dell’1 a sinistra del primo 10 della tavoletta dicendo: “10 e 1 è undici”, e chiede al bambino di contare le perle.
Poi prende la tessera mobile dell’1 e la fa scivolare sul primo 10 della tavoletta dicendo “10 e 1 è 11. Questo è il nostro modo di scrivere 11″.
Quindi il bambino mette le barrette a destra del numero 11.
Poi chiede al bambino di mettere una barretta del 10 e una del 2 a destra del secondo dieci, quindi di comporre sulla tavoletta di Seguin il 12.
Il bambino conta le perline delle barrette.
Questo esercizio prosegue fino al 19.
Come sempre si ripone il materiale in un luogo accessibile al bambino, in modo che lui possa servirsene ogni volta che lo desidera.
Seconda tavola di Séguin – numerazione da 11 a 99.
Scopo di questa seconda tavola è quello di verificare, per altra via, lo stesso fenomeno. E’ costituita da due tavole uguali:
la suddivisione in due tavole ha solo lo scopo di rendere più maneggevole il materiale. Sulla prima tavola sono presenti i numeri corrispondenti alle prime 5 decine: 10 20 30 40 50; nell’altra le quattro decine successive 50 60 70 80 90. Il materiale è completato da una serie di nove tavolette con le unità, che si possono inserire nelle tavole per coprire gli zeri.
Ci sono poi, per eseguire l’esercizio, le perle dorate del sistema decimale: 9 decine e 10 unità sciolte.
Per la numerazione da 11 a 99 si procede contemporaneamente con quantità e simboli. Per esempio, per il passaggio dalla seconda alla terza decina, si aggiunge ai due bastoncini dorati una perla e contemporaneamente si copre lo zero del 20 con la tavoletta dell’1, per ottenere il numero 21. Poi, si aggiungerà una seconda perla, sostituendo l’uno col la tavoletta del 2 per ottenere il numero 22.
Arrivati al 29, nel momento stesso in cui si aggiunge la decima perla, si sostituiscono le perle sciolte con una nuova decina: quelle tre decine che, spostandosi in basso, corrispondono al numero 30.
Inserendo e sostituendo, sopra lo zero del 10, una dopo l’altra, le nove cifre delle unità secondo la serie naturale dei numeri, si formano successivamente i numeri 11 12 13 14 15 16 17 18 19.
Giunti a questo punto, bisogna passare al 20, ripercorrendo il procedimento per comporre via via i numeri 21 22 23 24 25 26 27 28 29… e così via, fino ad arrivare al 99.
Giunti al 99 non è più possibile continuare con questo materiale: i riquadri sono insufficienti a contenere il numero 100, che è formato da tre cifre. L’unità che manca, e che non possiamo aggiungere, è una chiave più importante di quella che prima ci permetteva il passaggio da una decina all’altra. Si tratta anche qui di un “semplice uno”, ma questa unità è diversa da quella che ci ha permesso di percorrere una ad una le decine: porta con sè una nuova gerarchia, che richiede per esprimersi di uno spazio maggiore. E’ il passaggio dalle decine alle centinaia.
Le decine che si susseguono l’una all’altra sono le guide. Lo dimostrano le parole stesse, tutte differenti tra loro: dieci, venti, trenta, quaranta, cinquanta, sessanta, settanta, ottanta, novanta. Al contrario, i punti di passaggio da una decina alla successiva, ad eccezione di quelli tra le prime due decine che ha richiesto uno studio a parte, si distinguono con parole uniformi che corrispondono all’unione successiva delle nove unità con ciascuna decina: vent-uno venti-due venti-tre venti-quattro venti-cinque venti-sei venti-sette vent-otto venti-nove.
Questo si ripete via via per ogni nuova decina, allo stesso modo che per la sostituzione delle tavolette: è un’autentica addizione di parole.
Questi esercizi chiariscono e facilitano non solo la comprensione del sistema decimale, ma anche il meccanismo del contare che deve svolgersi sulla base del grande quadro del sistema decimale.
Esercizio 1 – seconda tavola di Seguin
collegare le cifre da 10 a 90
Materiale:
tavolette di Séguin dal 10 al 90
45 barrette di perline colorate del 10.
Scopo:
collegare le cifre da 10 a 90 alle quantità,
contare da 10 a 99 con quantità e cifre
Esercizio:
– le tavolette di Seguin vengono disposte verticalmente sul tappeto,
– l’insegnante mostra al bambino come mettere correttamente le barrette di perline alla sinistra delle cifre, cominciando dal 10.
Appena il bambino capisce l’esercizio, può lavorare autonomamente, infatti siccome le barrette di perline sono contate, lui può accorgersi da solo di eventuali errori ed autocorreggersi.
Esercizio 2 – seconda tavola di Seguin
Contare da 10 a 99 con le tavolette di Séguin e le perle colorate Montessori
Materiale:
tavolette di Séguin dal 10 al 90 e cifre mobili dall’1 al 9;
9 barrette di perline colorate del 10
un set di barrette di perline colorate dall’1 al 9.
Scopo:
costruire quantità e numeri in sequenza da 10 a 99. Questa è la tappa finale di tutto il lavoro svolto per imparare a contare.
Esercizio:
– si prepara il materiale sul tappeto. Poi l’insegnante chiede al bambino di mettere una barretta di perline del 10 a sinistra del numero 10.
Poi gli mostra come costruire l’11 mettendo una perlina delle unità a sinistra del numero 10, quindi fa scivolare il numero mobile dell’uno sullo zero dicendo: “10 e 1 è 11, e noi lo scriviamo così, dieci e uno”.
L’insegnante mostra al bambino che per fare il 12 bisogna aggiungere un’altra unità, quindi toglie la tessera dell’1 e mette al suo posto quella del 2.
Insegnante e bambino continuano così a costruire i numeri e le quantità cui corrispondono fino a 19. I numeri mobili non usati si tengono da parte, girati sul rovescio:
“19. 10 e 9 sono 19. Abbiamo una decina e 9 unità.
Se noi avessimo un’unità in più (mette una perlina in più) avremmo 10 unità, quindi sarebbero 2 decine”.
Quindi sostituisce le dieci perline con una barretta di perline del 10: “Ora dobbiamo mettere questa decina con le altre, così di barrette ne abbiamo due adesso, quindi siamo a 20, il nostro prossimo numero”.
Si procede così, rispettando i tempi di apprendimento del bambino, fino al 99.
Quando il bambino ha capito l’esercizio, può svolgerlo anche da solo.
